Propriétés uniformes de familles de systèmes de réécriture de mots paramétrées par des entiers

Abstract

Dans cette thèse nous proposons un formalisme étendant la notion de réécriture contrainte sur les mots : la réécriture paramétrée. Cette dernière permet de décrire de façon uniforme des familles, éventuellement infinies, de systèmes de réécriture de mots qui dépendent de paramètres entiers. Ce formalisme permet l'étude des propriétés uniformes des familles de structures algébriques présentées par de tels systèmes. Par exemple, nous traitons le cas de la famille composée des groupes de permutations d'ordre N, où N est un paramètre prenant ses valeurs dans les entiers naturels. Nous donnons des algorithmes permettant de faire des preuves équationelles qui sont correctes, dites preuves uniformes, pour toutes les valeurs des paramètres. Ensuite nous étudions les preuves par réécriture et montrons un lemme des paires critiques analogue à celui présent en réécriture standard. Nous en déduisons un algorithme de complétion pour les systèmes de réécriture paramétrés. Enfin nous proposons un algorithme permettant le calcul du cardinal de l'ensemble des formes normales des algèbres paramétrées. Au fil du manuscrit, nous présentons une syntaxe pour la réécriture paramétrée qui est très proche de celle utilisée en mathématique pour présenter équationellement des structures dénombrablement engendrées. Nous indiçons les lettres par des expression arithmétiques, puis nous définissons les notions de mots avec exposants entiers et les mots contenant des produits finis. Par l'étude de nombreux exemples issus de la littérature mathématique, nous montrons que notre formalisme permet de représenter et d'étudier automatiquement des familles de structures qui auparavant nécessitaient de longs raisonnements mathématiques fastidieux.In this thesis, we introduce a formalism extending the string contrained rewriting : the parameterized string rewriting. It enables one to describe uniformly infinite families of string rewriting systems which depend on integers parameters. With this formalism, one can study uniform properties of algebraic structures families presented by such systems. For example, we study the family composed of the groups of permutations of order N, where N is a parameter with values in the non negative integers. We give algorithms to build equational proofs that are correct for each value of the parameters. Thereafter we study rewriting proofs and prove a critical pair lemma for parameterized rewriting, which is very similar to the one in classical rewriting. We give a completion algorithm for parameterized rewriting. Finally we propose an algorithm which computes the cardinal of the set of normal forms in parameterized algebras. The syntax that we introduce in the document is very close to the syntax used in mathematics to give equational presentations of denumerable generated structures. We use letters indexed by arithmetic expressions, words with integers exponents and finite products. Through several examples, coming from mathematical literature, we show our formalism in action, studying automatically infinite families of structures which would be studied with long and tedious mathematical proofs.ORSAY-PARIS 11-BU Sciences (914712101) / SudocSudocFranceF