Théorie du potentiel sur les courbes en géométrie analytique non archimédienne (applications à la théorie d'Arakelov)

Abstract

Nous montrons que le point de vue introduit par V.G. Berkovich en géométrie analytique non archimédienne permet de développer, sur toute courbe lisse X, une théorie du potentiel analogue à celle dont on dispose sur une surface de Riemann. La motivation initiale, arithmétique, provient des travaux de R. Rumely. Nous définissons le faisceau des fonctions harmoniques sur X puis vérifions qu'il possède les propriétés usuelles ; le théorème de réduction semi-stable permet de se ramener à des graphes. Nous introduisons alors des espaces de fonctions-test et un opérateur linéaire, analogue du laplacien complexe, se prolongeant par dualité à l'espace des fonctions réelles sur X. Ceci fournit, en particulier, la correspondance attendue entre fonctions sous-harmoniques et mesures de Radon positives sur X. La théorie d'Arakelov en dimension 1 peut être conçue comme l'étude de l'arithmétique des courbes algébriques sur Q via les théories du potentiel associées aux différentes valeurs absolues sur Q.RENNES1-BU Sciences Philo (352382102) / SudocSudocFranceF