Preuves formelles en arithmétiques à virgule flottante

Abstract

Cette thèse est représentative de mon expérience de rapprochement de l'arithmétique à virgule flottante, régie par la norme IEEE-754, et de la preuve formelle, ici l'assistant de preuves Coq. La formalisation des nombres flottants utilisée a été premièrement développée par L. Théry. J'ai tout d'abord testé et enrichi la bibliothèque avec des propriétés simples à exprimer dans le formalisme choisi: le fait qu'une valeur réelle soit exactement représentable par un nombre flottant. J'ai ensuite fait différentes extensions du modèle: rapprochement avec la réalité matérielle des processeurs, généralisation à la représentation en complément à 2 et étude d'un arrondi plus faible. En utilisant les résultats précédents, j'ai étudié deux applications réelles. La première est une bibliothèque de calcul multi-précision basée sur les expansions. La seconde est l'évaluation de fonctions élémentaires (exponentielle, cosinus...): j'ai résolu la plupart des problèmes de la réduction d'argument en garantissant formellement les conditions et algorithmes associés et j'ai étudié l'évaluation polynomiale par l'algorithme de Horner. J'ai montré la faisabilité de preuves formelles dans le domaine complexe de l'arithmétique des ordinateurs. J'ai déterminé les points forts et les limites de cette démarche en obtenant un recul suffisant face à cette formalisation par différents moyens: enrichissement de la bibliothèque, extensions du modèle et validation de vraies applications.This work is representative of my experiments on joining computer arithmetic, directed by the IEEE-754 standard, and formal proofs, here the Coq proof assistant. The floating-point number formalization used was first developed by L. Théry. I first tested and expanded the library with properties that are easy to express in our formalism: the fact that a real value may be represented exactly by a floating-point number. I then tried some extensions of the model: bring it closer to the hardware realities, generalize it to use the two's complement representation and go into a weaker rounding. With these results, I studied two applications. The first one is a multi-precision library using expansions. The second one is the evaluation of elementary functions (logarithm, cosine...): I solved the main problems of argument reduction by formally proving the conditions and algorithms involved and I studied the polynomial evaluation using Horner's rule. I showed the possibility to make formal proofs about the difficult topic of computer arithmetic. I found the advantages and drawbacks of this method by getting enough distance from the formalization by three different means: supplements to the library, extensions of the formalization and validation of real-life applications.LYON-ENS Sciences (693872304) / SudocSudocFranceF