Modèles de fluides et de corps élastiques sur des espaces courbes

Abstract

In this thesis, we consider some problems related to Einstein-Euler equations of general relativity and to models of nonlinear elasticity in a curved space. In the first part we study the evolution of a perfect fluid in a Gowdy symmetric spacetime satisfying Einstein-Euler equations. We solve the corresponding initial value problem for a given initial data set of bounded variation. Analyzing both future expanding and future contracting spacetimes, we establish the existence of a global foliation by spacelike hypersurfaces when the time coordinate is chosen to coincide with the area of symmetry orbits. The proof relies on a version of the Glimm scheme adapted to the symmetry and the regularity class under consideration. In the future contracting case, we give geometric conditions on the initial data that ensure that the area function asymptotically approaches zero. The second part is dedicated to the study of equations of nonlinear elasticity within the framework of Riemannian manifolds. They generalize, in a natural way, the equations of classical elasticity set in a three-dimensional Euclidean space. Our approach is based on the principle of least action, stating that the deformation of the elastic body arising in response to given external forces minimizes the total energy of the elastic body. From there, we first derive the principle of virtual work and then the corresponding boundary value problem. Finally, we show that the latter admits a solution provided the external forces are sufficiently small.Dans cette thèse, nous abordons quelques problèmes liés aux équations d'Einstein-Euler de la relativité générale et aux modèles d'élasticité non linéaire sur des espaces courbes. Dans la première partie, nous étudions l'évolution d'un fluide parfait dans un espace-temps courbe à symétrie de Gowdy, satisfaisant aux équations d'Einstein-Euler. Nous cherchons à résoudre le problème de Cauchy correspondant pour une donnée initiale à variation bornée. Analysant à la fois les espace-temps en expansion et les espace-temps en contraction, nous démontrons l'existence d'un feuilletage global lorsque la coordonnée de temps coïncide avec l'aire des orbites de symétrie. La démonstration repose sur le schéma de Glimm adapté à la symétrie et la classe de régularité considérées. Dans le cas des espace-temps en contraction, nous donnons les conditions géométriques sur la donnée initiale assurant que la fonction d'aire tend asymptotiquement vers zéro. La deuxième partie est consacrée à l'étude des équations de l'élasticité non-linéaire dans le cadre des variétés riemanniennes. Ces dernières généralisent de manière naturelle les équations de l'élasticité classique posées dans l'espace euclidien de dimension 3. Notre approche est basée sur le principe de moindre action qui affirme que la déformation du corps élastique sous l'action des forces extérieures minimise l'énergie totale du corps élastique. À partir de là, nous déduisons le principe des travaux virtuels, puis le problème aux limites correspondant. Enfin, nous démontrons que ce dernier admet une solution pourvu que les forces soient suffisamment petitesPARIS-BIUSJ-Mathématiques rech (751052111) / SudocSudocFranceF