Приведена форма Эдвардса эллиптической кривой над расширенными полями характеристики 2 и соответствующий групповой закон. Рассмотрены правила изоморфизма между кривой Эдвардса и несуперсингулярной эллиптической кривой над расширенным полем характеристики 2. Получены 90 кривых в форме Эдвардса над полями четной характеристики различной битовой длины, вычислены координаты генератора для каждой кривой.Наведена форма Едвардса еліптичної кривої над розширеними полями характеристики 2 та відповідний груповий закон. Розглянуті правила ізоморфізму між кривою Едвардса та несуперсингулярною еліптичною кривою над розширеним полем характеристики 2. Отримані 90 кривих у формі Едвардса над полями парної характеристики різної бітової довжини, обчислені координати генератора для кожної кривої.An Edwards-form elliptic curve over fields of characteristic 2 and appropriate group law are given. Birational equivalence is considered between the Edwards curve and an ordinary elliptic curve over a binary field. 90 Edwards curves are obtained over binary fields of various bit-length, coordinates of base point are evaluated for every curve

Бессалов, Анатолій Володимирович

Дихтенко, Алиса Анатольевна

Borys Grinchenko Kyiv University Institutional repository

 ISSN 0485-8972 Радиотехника. 2013. Вып. 175 195 СИСТЕМЫ ЗАЩИТЫ ИНФОРМАЦИИ  УДК 681.3.06   А.В. БЕССАЛОВ, д-р техн. наук, А.А. ДИХТЕНКО, О.В. ЦЫГАНКОВА  АЛГОРИТМ ВЫБОРА КАНОНИЧЕСКОЙ КРИВОЙ,  ИЗОМОРФНОЙ КРИВОЙ ЭВАРДСА НАД ПРОСТЫМ ПОЛЕМ  Введение  Привлекающие в последние годы внимание криптографов кривые Эдвардса [1 – 5] обла-дают двойной симметрией в координатах поля характеристики 2p  и, как следствие, четы-рехкратной избыточностью по числу точек EN . Так как 4mod0EN , циклические кривые Эдвардса всегда содержат ровно две точки четвертого порядка и одну точку второго порядка. Канонических кривых с таким свойством сравнительно немного, поэтому для построения изоморфных им кривых Эдвардса возникает задача поиска кривых в форме Вейерштрасса с двумя точками четвертого порядка. В настоящей работе предложен оригинальный подход, основанный на замене традиционных параметров ),( ba  канонической кривой парой пара-метров ),( ca , где c  – единственный в поле pF  корень кубического уравнения. Кривая с тре-буемыми свойствами отбирается при выполнении двух условий на квадратичные вычеты вы-ражений, линейно связывающих параметры кривой.  Условия, порождающие две точки четвертого порядка канонической кривой  Каноническая кривая над полем характеристики 3,2p  описывается известным урав-нением [6] :pE  baxxy 32 , 027423  ba , pFba , .   (1) Далее нам потребуется операция удвоения точки  11, yxP  , которая дает координаты точки  33 ,2 yxP  :  1313123 2xxyyxx 12123yax       (2) Пусть c  – единственный в поле pF  корень кубического уравнения 03  baxx , тогда вместо (1) можно записать    222 cacxxcxy  ,  accb  3 , pFc .  (3) Парабола в правой части (3) не имеет корней в поле pF , если дискриминант квадратного уравнения является квадратичным невычетом, т.е.      2222 434 Aaccac  .    (4) Это условие гарантирует существование единственной точки второго порядка кривой (2), определяемой как  0,cD  .  Пусть  11, yxP   – точка четвертого порядка. Ее удвоение в соответствии с (2) дает  координаты точки  0,cD  :   ІSSN 0485-8972 Радиотехника. 2013. Вып. 175 196    023223112113121213xcyaxyycxyaxx.    (5) Из этой системы после сокращения сомножителя  ax 213  получим квадратное уравне-ние для координаты 1x  точки четвертого порядка:    022 2121  accxx .  Корни этого уравнения находятся из acccx  21 3 ,   ac 23 .    (6) Из двух решений в (6) выбирается значение 1x , лежащее на кривой pE . Из (5) можно также получить формулу для вычисления координаты 1y  точки четвертого порядка:  cy 3221         (7) Из (6) следует, что точка четвертого порядка существует, если величина   – четверть дискриминанта квадратного уравнения, является квадратом в поле, т.е. 223 Bac       (8) Условия существования точек второго и четвертого порядков (4) и (8) можно выразить через символы Лежандра как  a)  143 2 pac  b) 13 2 pacp    (9) Пример. Требуется найти кривую с двумя точками четвертого порядка над полем 7F . Примем 1c  и вычислим аргументы функций (9) для всех ненулевых значений a  (табл. 1). Так как 4mod3p ,  1  – квадратичный невычет в поле [6], поэтому  ac 43 2   должен быть вычетом, как и  . Таблица 1  a  1 2 3 4 5 6  ac 43 2   0 4 1 5 2 6  ac  23  4 5 6 0 1 2  Из таблицы видим, что условия (9) для совместных вычетов совпадают лишь при одном значении 5a , при этом согласно (3) 13  accb . Тогда имеем кривую 1532  xxy  порядка 12EN  (след Фробениуса 4t ). Ее единственная точка второго порядка  0,1D , а координаты точки четвертого порядка в соответствии с (6), (7): 111  cx ,   01  x ,   13221  cy  ,  11  y .  Здесь решения, не лежащие на кривой, отбрасываются. Для найденной кривой легко построить кривую кручения 6332  xxy  порядка 4EN  и параметром 4t  (см.[6]). Здесь корень кубика смещается  3c , но свойства (9) выполняются и имеются лишь две точки четвертого порядка.  ISSN 0485-8972 Радиотехника. 2013. Вып. 175 197 Над полем 7F  существует шесть кривых с ненулевыми параметрами a  и b  и двумя точ-ками четвертого порядка. Их параметры c , a  и b  вместе с порядками EN  кривых приведе-ны в табл. 2. Здесь слева даны параметры трех изоморфных кривых порядка 12 с корнями 4,2,1c , а справа – их кривые кручения порядка 4 с корнями 5,6,3c  (они также изоморф-ны).   Таблица 2  Параметры кривой pE  Параметры кривой кручения tpE c  a  b  EN  c  a  b  EN  1 5 1 12 3 3 6 4 2 6 1 12 6 5 6 4 4 3 1 12 5 6 6 4  Можно заметить, все  1p  ненулевых значений корня c  могут дать, по крайней мере,  21p значений параметра a , так как в (9) решение определяется квадратом 2c . Поэтому число решений можно вдвое сократить, переходя (при необходимости) к кривой кручения [6].  Возникает закономерный вопрос: какова доля кривых, для которых существует изомор-физм с кривыми Эдвардса при любых значениях порядка поля р?  Оценка числа канонических кривых, изоморфных кривым Эдвардса  Утверждение. Средняя оценка числа канонических кривых (1) с параметрами 0a  и 0b  над полем pF  с двумя точками четвертого порядка определяется как   4511ppM  при 4mod3p  и  4122pM  при 4mod1p . Доказательство.  1. Пусть 4mod3p , тогда  1  – квадратичный невычет [6], т.е. 11 p, и для (9а) невычет заменяем квадратичным вычетом      ppacp1431 2   143 2 pac. Аргументы символов Лежандра (9) являются линейными функциями параметров a  и 2c , следовательно, имеем невырожденную систему двух линейных уравнений над полем pF  с соответствующим решением: 2222343BacAac     2212221493ABcBAa.   (10) Для кривых с параметрами 0a  и 0b  квадратичные вычеты 22 BA   и, кроме того, 224 AB   (нулевые вычеты 2c  отбрасываются, так как из 0c   0b , так как согласно (3) accb  3 ). Из (9) следует, что 02 A , но не исключается 02 B . Однако из (10) при 02 B  получим 223Ac , т.е. правая часть этого равенства есть квадратичный невычет и   ІSSN 0485-8972 Радиотехника. 2013. Вып. 175 198 решения нет. Итак, следует учитывать лишь ненулевые вычеты 2A  и 2B . Всего можно со-ставить   431  pp пар различных ненулевых квадратичных вычетов. Из этого числа необ-ходимо вычесть  21p пар, для которых 224 AB   и получить   451  pp допустимых пар квадратичных вычетов и, соответственно, такое же число решений (10). В среднем при больших p  половина решений объема   851  pp  с невычетами для параметра 2c  отбра-ковываются, остальные дают по две кривые с корнями c . Тогда число решений, для пара-метров  ca ,  или  ba ,  в среднем оценивается величиной   4511ppM .  2. Пусть теперь 4mod1p , тогда  1 – квадратичный вычет, т.е. 11 p [6]. Тогда для (9а) можно получить квадратичный вычет, умножив аргумент функции Лежандра на квадратичный невычет n и найти единственное решение системы  2222343BacAnac         2212221493AnBncnBAna.    (11) Если принять 02 B  в формуле для 2c , вновь получим невычет в правой часть, поэто-му и в данном случае учитываем лишь ненулевые квадраты 2A  и 2B . Но здесь уже всегда 22 nBA  , так как n  – невычет, поэтому параметр 0a  для любых ненулевых пар 2A  и 2B . Очевидно, что число таких пар квадратичных вычетов равно  41 2p. Условие 02 c  в (11) выполняется всегда, т.к. для всех ненулевых квадратов 2A  и 2B  имеем   222 ABn  , и в левой части – квадратичный невычет. Аналогичные предыдущему случаю рассуждения приводят к оценке среднего числа отобранных пар  ba ,  равной  41 22pM . Эта оценка определяет среднее число эллиптических кривых с двумя точками четвертого порядка. Дока-зательство завершено. Замечание. За формулировку и доказательство утверждения берет на себя ответственность пер-вый автор статьи. Так как общее число всех кривых с ненулевыми параметрами a  и b  равно  21p , от-носительная доля кривых, изоморфных кривым Эдвардса, оценивается в среднем величиной  145pp (при 4mod3p ) или 41 (при 4mod1p ). Для больших полей асимптотически обе оценки дают четверть всех эллиптических кривых.  Формулы (10), (11) конструктивны, так как позволяют рассчитывать параметры a  и c  кривой (и, соответственно, b ) при заданных значениях пар квадратичных вычетов  22 , BA . На основе условий (9) и формул (10), (11) можно предложить следующий алгоритм построения канонических кривых с двумя точками четвертого порядка: 1. В поле pF  задаем произвольное значение пары квадратичных вычетов  22 , BA  и со-гласно (10) или (11) рассчитываем параметры a  и 2c . Если вычисленное значение 2c  – не-вычет, меняем параметр 2B  и повторяем расчеты.  ISSN 0485-8972 Радиотехника. 2013. Вып. 175 199 2. Если 2c  – квадратичный вычет, находим 2 кривые с параметрами  ca ,  и  ba , . Значение параметра b  рассчитываем в соответствии с (3). 3. Находим координаты точки четвертого порядка (для построения изоморфной кривой Эдвардса). 4. Вычисляем порядок одной из кривых и, в случае неприемлемого порядка, рассчиты-ваем порядок кривой кручения. Если решение не найдено, переходим к другой паре значений  22 , BA  (возвращаемся в п.1).  Разумеется, можно модифицировать данный алгоритм, фиксируя, например, параметр 2c , после чего требовать выполнения условий (9). Однако в предложенном виде алгоритм быстрее приводит к кривой с двумя точками четвертого порядка. Далее, как описано в [3], строится изоморфная кривая в форме Эдвардса.  Список литературы: 1. Edwards, H.M. A normal form for elliptic curves // Bulletin of the American Mathematical Society. –  Volume 44, Number 3, July 2007. – PР. 393-422. 2. Bernstein Daniel, J., Lange Tanja. Faster addition and doubling on elliptic curves // IST Programme under Contract IST–2002–507932 ECRYPT, 2007, PP. 1-20. 3. Бессалов А.В. Число изоморфизмов и пар кручения кривых Эдвардса над простым полем // Радиотехника. – 2011. – Вып. 167. – С. 203-208. 4. Бессалов, А.В., Гурьянов, А.И., Дихтенко, А.А. Кривые Эдвардса почти простого порядка над расширениями малых простых полей // Прикладная радиоэлектроника. – 2012. – №2. – С.225-227. 5. Бессалов, А.В., Дихтенко, А.А. Криптос-тойкие кривые Эдвардса над простыми полями // Прикладная радиоэлектроника. – 2013. – Т.12, №2. – С.107-113. 6. Бессалов, А.В., Телиженко, А.Б. Криптосистемы на эллиптических кривых : учеб. посо-бие. – К. : ІВЦ «Політехніка», 2004. – 224с.  Национальный технический университет Украины «КПИ» Донецкий национальный университет  Поступила в редколлегию 05.11.2013                           

Isomorphic to the initial form elliptic  of Edwards curves over expanded fields of characteristic 2

http://elibrary.kubg.edu.ua/id/eprint/9947/7/A_Bessalov%2C_A_Dikhtenko._RT_175_IS_NTUU.pdf

Isomorphic to the initial form elliptic of Edwards curves over expanded fields of characteristic 2

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Borys Grinchenko Kyiv University Institutional repository