Aspectos topológicos en el análisis de conceptos formales

Abstract

En este trabajo se presenta un desarrollo teórico desde un enfoque topológico al análisis de conceptos formales (FCA en inglés). Con esto se busca combinar el FCA y un estudio topológico, el cuál permita encontrar información subyacente en tablas de datos binarios y difusos; información oculta sin el uso de herramientas topológicas. De esta manera, se obtiene un método para realizar análisis de datos de forma más completa que con el uso exclusivo del FCA. Se estudian los principales resultados en el FCA como área de la matemática aplicada sobre bases de datos, entre ellos el Teorema Básico sobre el retículo concepto, que garantiza que los conceptos formales tienen estructura de retículo completo. La estructura topológica para los contextos formales es propuesta a partir de bases topológicas para el conjunto de objetos y atributos. Para determinar relaciones entre objetos y atributos, se caracterizan algunos operadores topológicos tales como el interior, la clausura y la frontera para los datos. Con la estructura topológica se explora además, la continuidad entre contextos formales. Por otra parte, se describe la representación de un contexto formal como grafo bipartito y se exponen topologías para su retículo asociado. Se presenta una generalización para el Análisis de Conceptos Formales Difusos (FFCA en inglés) mostrando los resultados que se conservan del FCA clásico y se extiende la estructura topológica del caso binario al caso difuso. Finalmente, se muestran algunos ejemplos ilustrativos hallados en el estado del arte como aplicaciones de los resultados, se presentan las conclusiones, entre ellas, el hecho de que conociendo los conceptos formales de un contexto, se puede extraer rápidamente las bases topológicas propuestas para dotar de estructura topológica la tabla, así mismo, se concluye que la generalización para los datos difusos es posible, pero tiene grandes restricciones por falta de software especializado para realizar los cálculos necesarios. Por otra parte, como posibles trabajos futuros se plantea el desarrollo de algoritmos para cálculos en grandes volúmenes de datos difusos, el uso de otras topologías y la exploración de más relaciones entre el FCA, la teoría de retículos, de grafos y la topologíaAbstract : This work presents a theoretical development from a topological approach to formal concept analysis (FCA). This seeks to combine the FCA and a topological study, which enables find information in tables underlying binary and fuzzy data, and hidden information without the use of topological tools. We propose, a method for the analysis of data more accurate in contrast of using only FCA. The basic theorem on concept lattices ensures that formal concepts have complete lattice structure, is discussed alongside the main results of FCA as an area of applied mathematics on databases. The topological structure for formal contexts is proposed from topological basis for the set of objects and attributes. With this in mind to determine relationships between objects and attributes, some topological operators such as interior, closure and boundary for the data are characterized. Also, it is studied the continuity between formal contexts with its topological structure and it is described the representation of formal context as a bipartite graph and the topologies of its associated lattice. We present a generalization for fuzzy formal concept analysis (FFCA) showing that the results of the classical FCA are preserved and it is extended the topological structure from binary case to fuzzy case. Finally, we apply our methodology in examples of the state of the art. The conclusions are presented, including the fact that knowing the formal concepts of a context, you can quickly extract the topological bases proposed to provide topological structure for the table, also concluded that the generalization for fuzzy data is possible, but has great limited by the lack of specialized software to perform the necessary computations. As possible future work we propose to develop algorithms for computations in fuzzy large volumes of data, using other topologies and exploring more relationships between the FCA, Lattice, Graph and Topology theoryMaestrí