Topology optimization problems for the heat equation

Abstract

Abstract: In this document, we analyze the performance of the Schwarz two-levels preconditioners applied to the topology optimization problem for the heat equation. We discretize the topology optimization problem using the finite element method and apply an optimization method that requires, in each iteration, the solution of the heat equation. For the topology optimization problem, we use the density based formulation which has been actively developed in the last 30 years. Due to the nature of the optimization problem, it yields a high-contrast multiscale coefficient for the heat equation and therefore designing efficient solution methods is a challenging task that we approach by designing and testing several preconditioners. These preconditioners are built using a domain decomposition method and the generalized multiscale finite element method (GMsFEM) recently introduced. It is known that for a good performance of the preconditioner it is important the design of the basis functions. In this document, the calculation of multiscale basis functions uses the solution of carefully selected local eigenvalue problems as usual in the GMsFEM. We also propose the approximation of the local eigenvalues using a randomized algorithm to obtain an overall less expensive methodology. Topology optimization experiments are presented in which the good performance of the proposed methods is verified.Resumen: En este trabajo, analizamos el rendimiento de los precondicionadores de dos niveles de Schwarz aplicados al problema de optimización topológica para la ecuación de calor. Discretizamos el problema de optimización topológica utilizando el método de elementos finitos y aplicamos un método de optimización que requiere, en cada iteración, la solución de la ecuación de calor. En el problema de optimización topológica utilizamos la formulación basada en densidad que se ha desarrollado activamente en los últimos 30 años. Debido a la naturaleza del problema de optimización, este produce un coeficiente multiescala de alto contraste para la ecuación de calor y, por lo tanto, diseñar métodos de solución eficientes es una tarea desafiante que abordamos al diseñar y probar varios precondicionadores. Estos precondicionadores se crean utilizando un método de descomposición de dominios y el método generalizado de elementos finitos multiescala (GMsFEM) recientemente introducido. Se sabe que para el buen desempeño del precondicionador es importante el diseño de las funciones base. En este trabajo, el cálculo de las funciones base multiescala utiliza la solución de problemas de valores propios locales seleccionados cuidadosamente como es habitual en el GMsFEM. También proponemos la aproximación de los valores propios locales utilizando un algoritmo aleatorio para obtener una metodología general menos costosa. Se presentan experimentos de optimización topológica en los que se verifica el buen desempeño de los métodos propuestos.Maestrí