Α consistent numerical determination of the dynamic response of a class of multi-body systems

Abstract

Α systematic and complete methodology was developed and implemented in this thesis, leading to determination of the dynamic response of a class of rigid multibody systems. The analysis of the examined class of systems presents considerable complexity both in the phase of setting up the equations of motion and in solving the resulting mathematical problem. This complexity stems from two fundamentals characteristics of such systems. The first of them refers to the ability of some system components to perform large rigid body rotations, while the second is attributed to the existence of predefined geometric and kinematic constraints, coupling the motion of the system components. Consequently, the first characteristic leads to the appearance of strongly nonlinear terms in the differential equations that describe the motion of the system, while the second characteristic is responsible for the introduction of algebraic equations in the overall formulation. As a result, the equations of motion appear eventually as a set of high-index differential-algebraic equations, which is known to be associated with a singular mathematical setup. This causes the appearance of severe difficulties in trying to solve and accurately determine the dynamic response of the particular class of systems. Here, the aforementioned difficulties were significantly reduced by developing and implementing a suitable methodology. More specifically, the derivation of the set of equations governing the motion of the considered class of mechanical systems was carried out by applying an innovative new analytical method. This method handles properly the equations describing the motion constraints and leads naturally to a system of second order ordinary differential equations in the generalized coordinates. Then, the equations of motion were put into an appropriate three field weak form. Based on this, an Augmented Lagrangian methodology was developed, leading to a robust scheme for the numerical solution of the resulting mathematical problem. In the early stages of this work, the efficiency and accuracy of the developed numerical integration method was thoroughly examined through the solution of a series of small scale but challenging benchmark problems. Finally, complex industrial systems were examined to further confirm the accuracy and numerical robustness of the developed method as well as its applicability to real mechanical systems.Στα πλαίσια της παρούσας διδακτορικής διατριβής αναπτύχθηκε και εφαρμόστηκε μια συστηματική και ολοκληρωμένη διαδικασία προσδιορισμού της δυναμικής απόκρισης μηχανικών συστημάτων με πολλαπλά μέλη. Κατά την ανάλυση της εξεταζόμενης κατηγορίας συστημάτων εμφανίζεται σημαντική πολυπλοκότητα τόσο στην φάση κατάστρωσης, όσο και στο στάδιο επίλυσης του προκύπτοντος μαθηματικού προβλήματος. Η πολυπλοκότητα αυτή πηγάζει από δύο θεμελιώδη χαρακτηριστικά των εν λόγω συστημάτων. Το πρώτο χαρακτηριστικό αναφέρεται στην δυνατότητα κάποιων κατασκευαστικών συνιστωσών του συστήματος να εκτελούν μεγάλες περιστροφές στερεού σώματος, ενώ το δεύτερο αποδίδεται στην ύπαρξη προκαθορισμένων γεωμετρικών και κινηματικών περιορισμών οι οποίοι συμπλέκουν συνιστώσες του συστήματος. Οι ιδιαιτερότητες αυτές οδηγούν αφενός στην εμφάνιση ισχυρά μη γραμμικών όρων στις διαφορικές εξισώσεις που περιγράφουν την κίνηση του συστήματος και αφετέρου στην εισαγωγή αλγεβρικών εξισώσεων που περιγράφουν τους εφαρμοζόμενους περιορισμούς, διαμορφώνοντας τελικά το σύνολο των κινητικών εξισώσεων σε σύστημα διαφορικών-αλγεβρικών εξισώσεων υψηλού διαφορικού δείκτη. H προκύπτουσα μορφή εξισώσεων αποτελεί ένα ιδιάζων μαθηματικό πρόβλημα, γεγονός που καθιστά επίπονη την διαδικασία επίλυσης και ακριβούς προσδιορισμού της δυναμικής απόκρισης της συγκεκριμένης κλάσης συστημάτων. Oι παραπάνω δυσκολίες περιορίστηκαν σημαντικά με την ανάπτυξη και εφαρμογή κατάλληλων αριθμητικών μεθοδολογιών. Πιο συγκεκριμένα, η κατάστρωσης του συστήματος των εξισώσεων που περιγράφει την κίνηση της εξεταζόμενης κλάσης μηχανικών συστημάτων, πραγματοποιήθηκε με την εφαρμογή μιας καινοτόμου μεθόδου. Η εν λόγω μέθοδος, μέσω κατάλληλης διαχείρισης των εξισώσεων που περιγράφουν τους δεσμούς κίνησης, οδήγησε με φυσικό τρόπο σε ένα σύστημα κανονικών διαφορικών εξισώσεων δευτέρας τάξης. Στην συνέχεια, αφού τέθηκαν οι εξισώσεις κίνησης σε μια κατάλληλη ασθενή μορφή, αναπτύχθηκε μέθοδος αριθμητικής επίλυσης του προκύπτοντος μαθηματικού προβλήματος στα πλαίσια μιας επαυξημένης κατά Lagrange μεθοδολογίας. Στα αρχικά στάδια, η αποτελεσματικότητα και η ακρίβεια της αναπτυχθείσας αριθμητικής μεθόδου ολοκλήρωσης εξετάστηκε ενδελεχώς, μέσω της επίλυσης μιας σειράς τυποποιημένων προβλημάτων μικρής κλίμακας. Τέλος, εξετάστηκαν πολυσύνθετα μηχανικά συστήματα βιομηχανικής κλίμακας, με τα οποία επιβεβαιώθηκε περαιτέρω η ακρίβεια και η αριθμητική στιβαρότητα της αναπτυχθείσας μεθόδου καθώς και η δυνατότητα εφαρμογής της σε πραγματικές μηχανολογικές κατασκευές