Bellier, Louis

Horizon / Pleins textes

Un exemple d’application 
de l’analyse factorielle des 
correspondances : étude 
de neuf lots de souris blanches 
L. BELLIER, 
Ecologiste de l’O.R.S. T.O. M., 
Abidjan (Côte d’ivoire). 
RÉSUMÉ 
Présentation d’une nouvelle méthode d’analyse sta- 
tistique d’emploi très général permettant la discrimination 
entre groupes. 
ARSTRACT 
The author explains, on a simple example, a new, 
eficient method to analyse groups. 
L’Analyse Factorielle des Correspondances, mise au 
point par M. le Professeur BENZECRI (Laboratoire de 
Statistique Mathématique de l’Université de Paris), 
est un outil statistique mathématique relativement 
récent. Elle est susceptible d’aider le chercheur à 
résoudre de nombreux problèmes de discrimination 
entre lots, en particulier lorsque ceux-ci sont constitués 
d’individus sur lesquels on peut prendre un grand 
nombre de mesures. Si N est le nombre de mesures, 
on peut imaginer que chaque individu est caractérisé, 
dans un espace dual de N dimensions, par ses N 
mesures, ou coordonnées. L’ensemble des points 
correspondant à tous les individus d’un même lot 
constitue un nuage de points représentatif de la 
population étudiée. Deux populations différentes 
auront leurs représentations dans cet espace à N 
dimensions plus ou moins disjointes. La difficulté 
réside dans la possibilité de visualisation de cet espace 
à N dimensions. Or les N mesures - nous dirons me- 
sures primaires - qui ont servi à définir cet espace, sont 
carrelées entre elles ; on conçoit qu’elles soient sous la 
dépendance d’un petit nombre de facteurs naturels, 
plus ou moins indépendants entre eux, qui régissent 
la forme. (Ces facteurs pourront être par exemple 
l’âge, le sexe, la souche de l’animal...) Dans l’espace 
à N dimensions des mesures primaires le nuage des 
points représentant les individus ne se présentera 
donc pas comme une sphère également étendue dans 
toutes ses directions, il aura des directions principales 
d’allongement en nombre approximativement égal 
à celui des facteurs naturels : disons, pour prendre une 
image visible, que c’est comme si, N étant 3, on avait 
dans l’espace usuel (3 dimensions) une galette (2 direc- 
tions d’allongement) ou un cigare (1 direction d’al- 
longement) (cf. fig. 1). Ces directions principales 
d’allongement, déterminées par le calcul statistique 
sur ordinateur sont, dans l’espace des N mesures 
primaires, des axes nouveaux appelés axes factoriels, 
les coordonnées sur ces axes étant les facteurs extraits 
ainsi appelés par opposition aux facteurs naturels 
plus ou moins inaccessibles à la mesure, mais que 
justement l’on reconnaît souvent dans lee facteurs 
extraits qui ne sont mathématiquement parlant que 
des combinaisons linéaires des mesures primaires ; 
les coefficients de ces combinaisons résultant du calcul 
statistique. 
Pratiquement dans une étude craniométrique où 
le nombre N des mesures primaires est d’une ving- 
taine, on a une vision claire des proximités relatives 
des individus et des groupes en se bornant à considérer 
un nombre n = 2, 3 ou 4, de facteurs extraits. Le gain 
est donc indéniable. 
On a maintenant affaire à un petit nombre de 
variables numériques, les n facteurs extraits, qui, de 
plus, de par leur construction même (le calcul sta- 
tistique) sont non carrelées entre elles. (Ce qui explique 
d’ailleurs que malgré leur petit nombre, elles donnent 
une bonne idée du tout.) 
Ceci correspond à la théorie générale de l’analyse 
factorielle classique, qu’elle soit menée par rotations 
successives ou en étudiant les composantes princi- 
pales. L’analyse des correspondances utilisée ici 
dérive directement de cette dernière méthode, mais 
elle doit toutefois son efficacité grandement accrue 
et son universalité d’emploi à trois éléments nouveaux. 
Tout d’abord, elle ne traite pas des données brutes, 
mais des profils. Prenons un exemple trivial où N = 2 : 
un animal caractérisé par son poids x et sa taille y. 
On peut associer à un individu le point (x, y) d’ab- 
tisse x et d’ordonnée y ; mais on peut aussi lui associer 
le point 
i 
X Y 
xtv’x+v 
(ayant pour coordonnées des 
rapports, dont la somme est 1) ce point étant affecté 
de la masse (x + y) pour rappeler l’importance de 
l’individu : c’est en gros ce que fait l’analyse des 
correspondances. L’importance de cette transforma- 
tion est essentielle : elle permet de mêler sans pré- 
cautions particulières des individus différant gran- 
dement par l’âge et la taille (cf. fig. 2). 
Ensuite la distance utilisée n’est pas la distance 
euclidienne classique, elle a été choisie d’après des 
Coh. ORSTOM, sér. Biol., no 18, 1973 : 57-60 57 
L. Bellier 
Fig. 1. - Exemples de nuages de points dans l’espace usuel à 3 dimensions : 
à droite, un cigare (une seule direction principale d’allongement : axe X) ; 
à gauche, une galette (deux directions d’étalement : X d’abord, puis Y). 
considérations statistiques. Ici encore, il vaut mieux 
prendre un exemple : plaçons-nous dans un espace 
à deux dimensions, c’est-à-dire dans le plan ! Traçons 
un disque représentant un essaim de pointe. Si on 
dit que la distance d’un point (x, y) à l’origine est 
donné par la formule usuelle : 
d = dx2 + y2 
il n’y a pas de direction principale ; c’est comme on 
l’a dit, un disque. Si on pose : 
d’ = 4100 x2 + y2 
le nuage est très allongé suivant l’axe 0x (10 fois plus 
que suivant oy). Si au contraire on pose : 
d” = 4x2 + 100 y2 
c’est oy qui est l’axe principal d’allongement. Cet 
exemple est troublant : il fait voir que la notion 
évidente de direction principale d’allongement n’est 
pas simple, univoque : elle dépend de ce qu’on appelle 
distance. On conçoit donc que les résultats de l’analyse 
factorielle dépendent grandement du choix judicieux 
d’une formule de distance. La gît le deuxième avantage 
annoncé. 
Enfin, troisième avantage : les calculs font jouer 
un rôle symétrique aux individus (ici des crânes) 
d’une part et aux mesures de l’autre : il est donc pos- 
sible de figurer sur un même graphique avec les 
individus l’ensemble des mesures, une classe d’indi- 
vidu se plaçant, en gros, autour des mesurea qui sont 
chez elles relativement les plus développées. 
Ainsi donc, en plus de la facilité de visualisation 
d’un espace orthogonal de dimensions réduites 
qu’apporte l’analyse en composantes principales, 
1’Analyse Factorielle des Correspondances permet de : 
- traiter toutes sortes de données, 
- pouvoir représenter dans le même espace les 
sujets et les objets concernés par l’étude. 
58 
Fig. 2. - Représentation de deux indi- 
vidus par leura mesures brutes (points 
M et M’) et par leurs formes (points F 
et F’) : il devient possible d’étudier la 
dispersion des formes indépendamment 
des inégalités de tailles. 
Ainsi deux populations différant par deux carac- 
tères auront leurs représentations associées dif- 
féremment à la représentation de ces caractères. 
Enfin - et ce n’est pas là une qualité mineure - 
la méthode met en quelque sorte à l’index l’individu 
exceptionnel, celui qui rompt l’harmonie du lot soit 
simplement parce qu’il est exceptionnel et qu’il ne 
faut pas en tenir compte, soit parce que les mesures 
qu’on lui rapporte sont erronées. 
L’exemple que l’on donne ci-dessous est assez 
typique. Dans le cadre de notre collaboration avec le 
laboratoire de Psychobiologie et Psychopharmacie 
que dirige M. le Professeur BOVET, à Rome, et qui 
dépend du Centre National de Recherches Italien, 
neuf lots de crânes de souris blanches - animaux 
que nous n’utilisons jamais dans nos propres recherches 
- nous ont été envoyés pour études biométriques. 
Ces lots étaient désignés par quelques initiales dési- 
gnant la souche, suivies d’un nombre et d’une lettre 
M ou F indiquant le nombre d’individus du lot et leur 
sexe, Mâle ou Femelle. 
Nous ignorions tout de l’antécédent des lots. Ils 
pouvaient avoir été soumis à des traitements différents 
(diète spéciale, par exemple). Chaque lot devait être 
composé de spécimens du même âge. Cet âge pouvait 
être le même pour l’ensemble des lots. 
11 fallait donc pouvoir préciser, au terme de notre 
étude : 
- si les lots étaient homogènes ou non, 
- si les lots de même souche pouvaient ou non 
être confondus, ou devaient être considérés comme 
distincts. 
LE MATÉRIEL. 
Les neuf lots sont désignés par un numéro. 
La correspondance avec leur appellation d’origine 
est la suivante : 
Cah. ORSTOM, sér. Bd., ILO 18, 1973 : 57-60 
Un exemple d’application de l’analyse factorielle des correspondances : étude de neuf lots de souris blanches 
R eprésentation graphique 
Lot no 1 SEC 24 M rond noir 
Lot no 2 SEC 5 M triangle noir 
Lot no 3 SEC 10 F étoile noire 
Lot no 4 S x C 14 M 6toile blanche dans rond noir 
Lot ne 5 BALB 15 M étoile blanche 
Lot no 6 CDR 11 M maison renversée 
Lot ne 7 C 57 BL 15 M rond blanc 
Lot ne 8 C 57 BL 8 F carré blanc 
Lot no 9 C 57 BL 12 F triangle blanc 
Le traitement des crânes s’est fait selon les procédés 
classiques du laboratoire : 
Numérotation des crânes, 
Nettoyage initial par des Dermestes, 
Nettoyage final à la pince aprbs traitement chimique, 
Blanchiment à l’eau oxygénée faible. 
Les crânes ont ensuite été mesurés, à raison de 
17 caractères pour chaque crâne. Le détail des mensu- 
rations est inutile ici, à l’exception de la première 
mesure qui correspond à la longueur totale du crâne : 
il s’agit de la longueur condylo basale-incisive, 
indiquée par la suite sous l’abréviation Cb. 
Il y avait au total : 
1 = 114 individus mesurés 
pour J = 17 caractères par individu. 
La matrice des données initiales est donc un tableau 
complet de 114 x 17. 
Le couple (i, j) i E 1; j E J constitue donc la Jeme 
mesure effectuée sur le ieme individu. 
h%i RÉSULTATS DE L’ANALYSE. 
Seules les trois premières valeurs propres ont été 
extraites pour cette analyse. Elles sont obtenues par 
ordre décroissant. Les trois facteurs correspondant 
extraient 66oj, de l’inertie totale du muage. Comme 
d’habitude dans les études craniométriques, le premier 
facteur est de loin le plus important puisqu’il extrait 
à lui seul plus de 4300 de l’inertie totale. 
Un seul graphique est donné en annexe : celui qui 
correspond à la projection du nuage sur le plan formé 
par les 1 er et 2e facteurs. Les deux autres projections 
sont un peu moins typiques et leur étude ne pourrait 
qu’alourdir l’exposé. 
A partir de ce graphique des remarques de deux 
types peuvent être faites : 
- les premières concernent l’homogénéité ou 
l’hétérogénéité d’un lot. Celle-ci peut être due : 
soit à la souche elle-même, 
soit à une erreur dans la formation du lot (classes 
d’âges mélangées, par exemple), 
soit surtout à des mesures erronées. 
De ce type de remarques, on peut tirer quelques 
conclusions sur la comparaison de lots entre eux. 
- Les remarques du deuxième ordre concerne les 
relations qui existent entre lots. La représentation 
graphique de deux lots peut être : 
- confondue, et l’on ne peut conclure qu’à l’iden- 
tité des deux lots, 
- proche ce qui signifie qu’il y a une différence 
notable entre les deux lots considérés mais qu’ils 
peuvent dériver l’un de l’autre, 
Cah. ORSTOM, sér. Bd., ao 18, 1973 : 57-60 
Fig. 3. 
- sans relation, et dans ce cas les lots doivent être 
considérés comme absolument distincts. 
Cette absence de relations entre lots d’une même 
souche peut provenir soit du choix des individus 
lors de la formation des lots (individus de classe d’âge 
ou de sexe différents) soit d’un traitement préalable 
connu ou inconnu. 
A Homogénéité. 
Les lots 1, 2 et 3, tous trois de la souche SEC sont 
remarquablement homogènes sur les trois plans de 
projection. 
Le lot 4, souche S x C est par contre remarqua- 
blement hétérogène. Il peut, sur les trois plans de 
projection, être scindé en deux groupes : l’un de 
6 individus, situé dans le premier quadrant du gra- 
phique, l’autre de huit spécimens, proche des lots SEC. 
Les mensurations, vérifiées, ne permettent de 
déceler aucune erreur de mesure. 
Le lot 5, souche BALB est également homogène. 
Le lot 6, souche CDR, est légèrement hétérogène, 
et cela est dû essentiellement au spécimen marqué 1 
et signalé par une flèche. La vérification des mesures 
montre que celles-ci ont été correctement effectuées. 
Le lot 7, souche C 57 est relativement dispersé. 
Un rongeur s’écarte plus du lot que les autres - il est 
indiqué par une flèche et porte le numéro 2. L’examen 
des 17 mesures montre que deux d’entre elles sont 
erronées, expliquant ainsi l’écart du point par rapport 
à l’ensemble des projections du lot considéré. De même 
le lot 8, souche C 57 également, doit sa dispersion à 
deux points flechés sur le graphique et numérotés 3 
et 4. Le crâne correspondant au numéro 3 a été mal 
mesuré : deux mensurations sont erronées, par contre 
l’examen des mensurations du rongeur représenté 
par le numéro 4 ne montre qu’une petite inexactitude 
portant sur une seule mensuration, ce qui n’explique 
pas sa position excentrique. 
Enfin le dernier lot (numéro 9) de la souche C 57 
est remarquablement homogène sur le graphique 
présenté, mais est légèrement plus hétérogène sur les 
59 
L. Bellier 
autres graphiques - une erreur de mesure a ainsi pu 
être décelée. 
B Relations entre lots. 
Il est plus délicat, ici, de traiter des relations entre 
lots, compte tenu du fait que nous ignorons tout des 
antécédents de ces lots et que même la signification 
des symboles nous échappe. 
A titre d’exemple nous pouvons nous arrêter sur 
les deux groupes de trois lots désignés par les mêmes 
initiales. 
formations des données brutes en vue de normaliser 
les distributions. Le travail du chercheur est ainsi 
considérablement allégé, la précision et la clarté de 
présentation des résultats notablement augmentée. 
La méthode permet de traiter non seulement des 
données quantitatives mais aussi des observations 
qualitatives ce qui rend son emploi absolument 
universel, à condition que le nombre de caractères 
étudiés par sujet soit suffisamment Rlevé : dix paraft 
être un minimum. Il n’y a pas de limite supérieure 
autre que la capacité de l’ordinateur utilisé. 
En ce qui concerne la souche SEC, les lots 1 et 3 
sont proches l’un de l’autre et le petit écart oui existe 
Manuscrit reçu au S.C.D. le 14 fkrier 1972. 
I 
entre eux peut simplement traduire un léger dimor- 
phisme sexuel. 
Par contre le lot 2 est assez nettement séparé du 
lot 1 alors que dans les deux cas, les individus sont du 
BIBLIOGRAPHIE 
même sexe. 
La souche C 57, étudiée sur les lots 7, 8 et 9 se 
montre plus hétérogène que la précédente. Le tracé 
des contours polygonaux convexes regroupant tous 
les individus du même lot facilite l’interprétation 
des relations. Ainsi il apparaît clairement que les 
lots 8 et 9, composés de femelles sont totalement 
séparés. Cette séparation provient-elle de la formation 
même des lots, ou d’un traitement antérieur ? Nous 
ne le savons pas, mais dans ce cas, ce traitement aurait 
eu un effet très net sur la morphologie des rongeurs en 
question. 
Et c’est à ce propos que l’on peut apprécier un 
avantage énorme de l’analyse factorielle des corres- 
pondances sur les autres m-éthodes analogues : il est 
possible de confondre l’espace caractérisant les indi- 
vidus et celui des caractères. La projection simultanée 
des individus et des caractères sur le même plan est 
donc possible. Cela permet de mettre en évidence que 
tel lot est associé à tels caractères alors qu’un autre 
sera associé à d’autres caractères. On met en évidence 
les caractères qui ont pu être modifiés par le traitement 
dans le cas, bien entendu, du bien fondé de notre 
hypothèse initiale. 
RÉsu& DES OBSERVATIONS. 
La méthode utilisée a permis de mettre en évidence 
un certain nombre d’erreurs de mesures. Les lots SEC 
sont remarquablement homogènes, alors que les 
lots C 57 sont plus dispersés, indiquant une plus grande 
variabilité morphologique. 
Les lots BALB et CDR sont relativement homogènes 
alors que le lot S x C est très nettement scindé en deux 
groupes. 
Au sein des mêmes souches, les lots de même sexe 
sont séparés. Ce fait traduit une différence significative 
entre les lots considérés, qui peut provenir soit d’une 
différence de choix des individus dans la formation 
du lot, soit d’un traitement antérieur quelconque. 
COKCLIJSION. 
L’analyse statistique rigoureuse de ce type de pro- 
blème : discrimination entre lots, est relativement 
aisée puisqu’elle ne nécessite plus les fréquentes trans- 
a) Concernant 1’Analyse Factorielle des Corres- 
pondances : 
L’essentiel des cours et publications s’y rapportant, 
peuvent être obtenus au Laboratoire de Statistique 
Mathématique, Tour 45, Faculté des Sciences, quai 
Saint-Bernard, Paris 5s. 
Citons principalement : 
BENZÉCRI (J. P.) et Collaborateurs. - « L’analyse des 
données ». - Tome 1. T,a taxinomie, 460 p. - 
Tome 2. L’analyse des correspondances, 460 p. 
Parution : avril 1973, chez Dunod, Edit., 24-26, 
bd de l’Hôpita1, Paris (5e). 
BENZÉCRI (J. P.), 1963-1964 - Cours de Linguistique 
Mathématique. 3e et 4e leçons. Multigr. Rennes. 
BENZÉCRI (J. P.), 1968 - Leçons sur YAnalyse Fac- 
torielle et la Reconnaissance des formes. Cours de 
3e cycle. Multigr. Université de Paris. 
BENZÉCRI (J. P.), 1968 - 4e et 5e leçons : Analyse 
Factorielle et Analyse Factorielle des Correspon- 
dances. Cours de Statistique mathématique. 
Multigr. Université de Paris. 
BENZÉCRI (J. P.), 1968 - La Classification dans les 
Sciences de la Nature. Multigr. 
BENZÉCRI (J. P.), 1970 - Problème et méthodes de la 
Taxinomie. R~U. Stat. Appl., vol. XVIII, ne 4, 
p. 73-98. 
BENZÉCRI (J. P.), 1971 - Sur les Algorithmes de Classi- 
fication. Rev. Stat. Appl., vol. XIX, no 1, : 17-26. 
CORDIER (B.), 1965 - L’Analyse Factorielle des Corres- 
pondances. Thèse de 3e cycle. 
b) Concernant l’application de l’analyse Factorielle 
des Correspondances à la biométrie des rongeurs : 
BELLIER (L.), 1971 - Etude de neuf lots de Souris 
blanches par la méthode de l’ilnalyse Factorielle 
des Correspondances. Rapport multigr. 9 pages. 
BELLIER (L.), 1971 - Application de l’bnalyse Facto- 
rielle des Correspondances à la biométrie des Ron- 
geurs : séparation des Cricetomys emini et des 
C. gambianus de Côte d’ivoire. Multigr. 37 pages. 
60 Cah. ORSTOM, sér. Biol., no 18, 1973 : 57-60 


Un exemple d'application de l'analyse factorielle des correspondances : étude de neuf lots de souris blanches

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