Valette, Bernard

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V.2 
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C. R. Acad. Sc. Paris, t. 299, Série II, no 8, 1984 437 
SISMOLOGIE ,(DYNAMIQUE DES SYSTÈMES DE CORPS RIGIDES ou 
FLEXIBLES). - Ondes sismiques en termes de perturbations lagrangiennes, influence 
de la précontrainte. 
Note de Bernard Valette, présentée par Georges Jobert. 
Remise le 14 mai 1984. 
L’objet de cette Note est d’établir les équations qui régissent les perturbations lagrangiennes d‘un corps 
deformable autogravitant au voisinage d’un état d’équilibre. I1 apparaît que la précontrainte dans le corps 
peut induire une forme d’anisotropie et ne peut être totalement négligée dans le cas de la Terre. 
SEISMOLOGY (RIGID AND DEFORMABLE BODIES DYNAMICS). - Seismic Waves as Lagrangian 
Perturbations, Influence of Prestress. 
In this paper our purpose is to estublish the lagrangian perturbation equations for a seIJgravitating deformable 
body in the neighbourhood of an equilibrium state. I t  appears that prestress may induce a kind of velocity 
anisotropy in the body and can ìn no way be totally neglected in the case of the Earth. 
Nous considérons un corps dtformable repéré par un système de coordonnées curvi- 
lignes dans un espace oÙ il est en état d‘équilibre. Une déformation de ce corps autour 
de cette position est définie à chaque instant par une application f, : 
V a  E V ,  a +f, ( a ) = x  (a, t ) = a + u  (a, t )  E V , ,  
oÙ u(a, t )  est le déplacement lagrangien du point matériel a du domaine de référence V ,  
de sa position au repos à celle qu’il occupe en x (a, t )  dans le domaine déformé V,. 
Rappelons que si DA, désigne l’application linéaire tangente àf, en a, E le tenseur de 
déformation finie lagrangien et e son analogue eulerien : 
aaP au¶ 
(1) Df,,=I+Du(a, t), E , , = D , , u , + D , ~ , + D , , u ~ D ~ u ~ ,  eij=E,,,- - axì ax]‘ 
Rappelons également que la puissance virtuelle de déformation s’exprime par : 
6Wdef= IV, Til 6eij dV, = op¶ 6~, dV, 
oÙ le tenseur des contraintes de Cauchy T et de Rola-Kirchhoff de deuxième espèce (T 
sont liés par : 
op4=(1 + O )  TIJ- - = ( I  + O )  {DA,-’ 6 Df,;’ (T)},,,, 
s, 
.. a a P  au¶ 
axl ax] 
O étant la dilatation volumique dont l’expression au deuxième ordre en u est : 
1 
2 
’ 8=Di U’+ - {(Di u’)’-Di u’D, U’}. (2) 
Les équations de la mécanique sont usuellement écrites ([2], [5 ] )  sous la forme lagran- 
gienne suivante : 
D,, {(I 6 DA,) ( ~ ) } ~ j + p F j ( x  (a, t ) )=O,  V U E V ,  
(1  + x )  @= op¶ - n,, sur aV de vecteur normal n, axj 
aaq 
( 3) 
oÙ {( 1 6 Df,,) ( ( ~ ) } ~ j =  op¶ axi/aa4, est le tenseur de Rola-Kirchhoff de première espèce; 
p, la masse volumique dans 1’Ctat de rétérence; F, la densité volumique des forces 
0249-6305/84/02990437 8 2.00 0 Académie des Sciences 
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Cote i Q 
438 C. R. Acad. Sc. Paris, t. 299, Série II, no 8, 1984 
de toutes natures; a, la densité des forces surfaciques et x, la dilatation surfacique 
[x = div u - Du (n) . n au premier ordre en u]. 
Ces équations présentent le désavantage d'être hybrides; cela est dû au caractère mixte 
du tenseur de Piola-Kirchhoff qui opère sur le produit des espaces tangents en a et en x. 
Pour se ramener à une formulation totalement lagrangienne il convient de multiplier 
l'expression (3) par (Df,;');; en effet; après sommation sur j ,  et tenant compte de (1) 
nous obtenons au premier ordre en u : 
(4) D, op'+oPmDpDmu'+p(F-Du(F))'=O dans V. 
( 5 )  D, o;'+ p Fb=O dans V, o. (n)=O sur aV. 
Des expressions (4) et ( 5 )  nous déduisons, supposant o - o. du premier ordre en u : 
D, u'} + p {(F- Fo)' -Du (F - Fo)'} = O  dans V, 
A l'équilibre, le tenseur des précontraintes, o. =To, vérifie : 
D, {(o- o o ) p '  + 
(6) (o - oo) (n) = o. (n) = O sur aV, 
T (n,) =(div u - Du (n) . n) o. (n) +Du (oo (n)) + o (n), continu pour toute interface. 
LE CAS DE LA TERRE. - Nous supposons la Terre en état d'équilibre dans une rotation 
uniforme, de vecteur instantané de rotation R, autour de son centre de masse G. Nous 
prenons cet espace en rotation, centré en G, comme espace de référence pour le système 
de coordonnées lagrangiennes. L'adoption d'une loi de comportement élastique pour les 
parties solides Vs de la Terre, et d'une loi de fluide parfait pour le noyau externe VF, 
conduit pour les perturbations adiabatiques de l'équilibre, aux expressions suivantes, au 
premier ordre en Du : 
oÙ les coefficients cPqk' sont ceux du tenseur de Sélasticité adiabatique linéaire et 
y ( = p/p (ap/ap),) est l'indice adiabatique du fluide. I1 convient de remarquer que si les 
coordonnées eulériennes sont bien adaptées à un fluide, c'est le tenseur de Piola-Kirchhoff 
qui intervient naturellement dans la loi de Hooke (121, [5]) .  
L'évolution étant supposée adiabatique le travail lié à la déformation est égal à la 
variation d'énergie interne AU son calcul au deuxième ordre, compte tenu de 2, donne : 
1 
2 
(8) AU = lvs {of Di uj  + - (cijkZ i-o! gj') Di uj D 
Puisque nous supposons ici I'évolution libre autour de l'équilibre, les actions F se 
réduisent à la gravitation et à l'inertie : 
F-Fo=g-go-R A (R A u)-2 R A 8, u-#  u 
(9) 
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Au premier ordre en u : 
dtn '. u'-u (u ' -a) .  (u ' - - )  -3 (u'-u) I a'-a 1' 
Il en découle l'expression habituellement utilisée : 
g-go=Dgo @)+grad $, où $ (= -G 1 ( a l - a ) .  u' dm') I u'-u 13 
est le potentiel de redistribution des masses qui vérifie, au sens des distributions: 
A$=4 R G div (pu). La variation d'énergie potentielle d'origine gravitationnelle s'exprime 
par : 
dont un développement au deuxième ordre en u conduit à : 
(12) AP= -Iv u .  go dm 
I u'-u 12 ( (a l -u).  (u'-u))2 
- 3  I u'-a 1' } dm dml= -jv ( g+g, 2 ,  . u).&. 
Reste à fixer le comportement des interfaces oÙ intervient un fluide; le cas de l'interface 
noyau-manteau notamment3 été largement discuté. Le choix classique consiste A supposer 
que les deux milieux restent en contact permanent et que sur la frontière il y a continuité 
de la contrainte normale; soit : 
(13) US n = uF n, 00s (n) = -PO n, 
*S (n>-PO (n)tptpOdiv(uF))n-pO (DUFI* ( ? I )  
=po [Du* (n) -(Du (n) . n) t i ]  - n div, (po[u]). 
Regroupant les expressions (5) ,  (6), (7) nous obtenons finalement : 
cijk' nj Dk uI =O, o$ nj=0 sur ÙV,,,, et (13) sur ùvsF, 
Di bo (y- 1) Dk u' g'j+po g" D, u'}, dans V,, 
Di (cijk' D, u1 + o:, D,,, u'} dans V,. 
oÙ g-go est donné par (10) et L par : 
P (L u)i= (15) 
Dans le cas fluide, l'opérateur L correspond à un cas particulier de I'équation obtenue 
par Friedman et Schutz [4], ainsi qu'à l'opérateur déduit par Dahlen [3]; il nous semble 
par contre que la prise en compte de la précontrainte par ce dernier est inexacte dans le 
cas solide. 
Des conditions aux limites, on déduit que A est formellement symétrique dans 
Li(V, dm) : 
(1 6) (A u I v )  = fi {cif' Di fij D, u;+ o:, D, Ui Di ijj} dV I 
p o  {(y- I )  Di ui Di ii'+Dju' Di ii'> dV+ {(Q. u) (fi. E)-fi2 u .  fi} dm. 
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d m  dm' i ( u ' - u ) .  (3-8 ( ( u ' - u ) .  (u ' -u ) )  ( ( u ' - u ) .  (3-q) I a' -a Is -3 + ; il,, {T-u 13 
po{[Dn(u-(u. n)n). (17-(ü.n)n)]-[U]. grad,(n. r7)-[5J. grad,(n. u)}dC. 
INFLUENCE DE LA PRECONTRAINTE. - I1 ressort des expressions (15) que la précontrainte 
qui intervieni' dans les coefficients du deuxième ordre de l'opérateur L, dans les parties 
solides, influence la propagation des ondes sismiques dans ces régions; par contre elle 
n'intervient pas dans les parties fluides. Pour préciser son influence dans les zones solides, 
considérons une surface mobile S ,  au travers de laquelle 8; u subit une discontinuité 
[a; u]=s;  il en découle [DiDju]=ninjs/c2 oÙ n est le vecteur normal au front S, de céli.rité 
normale c. Appliquant l'opirateur saut à (14) nous obtenons alors : 
(17) h4; s j=  p c2 si avec MU=ck"j i l k  n,+g'j 0:' nk ni. 
Cette équation de Christoffel est à rapprocher de celle obtenue en [6] ,  mais ici les 
coefficients cijkf sont les coefficients adiabatiques intrinsèques de I'état de référence, et la 
précontrainte n'a aucun effet sur la polarisation s des différents types d'ondes. 
L. V. Nikitin et E. M. Chesnokov considèrent en effet le cas où la précontrainte est 
presque hydrostatique et ils tiennent compte des perturbations des dans le changement 
d'état lié à la partie purement déviatorique des contraintes. .I1 est donc normal que nous 
ne retrouvions pas de deuxième effet, de type <( rhéologique D, puisque nous ne préjugeons 
pas I'évolution thermodynamique du matériau jusqu'à I'état où ses coefficients sont 
+ LSF 
et cijkl. 
L'anisotropie directement due à la précontrainte est contrólée par son déviateur di; 
pour un milieu où les Coefficients cijki sont faiblement anisotropes, comme c'est le cas, 
. pense-t-on, dans la Terre : 
Cijkf - g i j  gkI + ~ ( g i k  gjI  +gil  g j k )  + @kI 
et il suit, par perturbation des résultats du cas isotrope, suivant en celh [I], que la vitesse 
des ondes quasi-longitudinales est donnée par : 
(18) p c ; P = h + 2  p-po+d~ninj+6ciik'ninjn, n,. 
Ceci montre notamment que I'anisotropie de vitesse directement liée au déviateur de 
la précontrainte n'est pas assimilable à celle induite par les coefficients élastiques. Dans 
le cas oÙ elle est hydrostatique, la précontrainte n'induit pas d'anisotropie 'pour les 
vitesses; pour ccllcs-ci tout revient à modifier par + p o  certains paramètrcs tlastiqucs. 
Mais en aucun cas ces paramètres (( équivalents )) ne peuvent décrire totalement l'effet 
de la précontrainte tel qu'il résulte des équations (14) pour les parties solides. . 
R ~ F ~ R E X C E S  BlBLlOCRAPHlQUES 
1970, p. 633-671. 
1 9 7 1 - 1 9 7 2. 
[ l]  G. E. BACKUS, A Geometrical Picture of Anisotropic Elastic Tensors, Rev. Geophjs. Space Phjs., 8. 
[2] Y. BÁWBERGER et Fr. SCHLOSSER, Cours de Mécanique de fE .N .P .C . ,  École Nat. des Ponts et Chaussks, 
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L.E.G.S. P . ,  associé au C. N . R . S . ,  Insr ir ur de I'hysique dri Globe, 
L'nirrrsiiP Pierre-er-Marie-Curie, 4. place Jussiru, 75230 Paris Crdrx 05; 
O.R.S.T.O.N. ,  24, rue Baj.ard, 75008 Paris. 
4 ;. 


Ondes sismiques en termes de perturbations lagrangiennes, influence de la précontrainte

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