Garcia Gomez, A.

Van Den Driessche, Raymond

Horizon / Pleins textes

Une méthode d’analyse des expériences factorielles 
Ana GARCfA GoMEZ (l), Raymond VAN DEN DRIESSCHE (2) 
(1) Fernando IV, 09, Sevilla 11 (Espagne) 
(2) Chercheur O.R.S.T.O.M., Services Scienlifiques Centraux, 70-74, route d’Aulnay, 93140 Bondy (France) 
RESUMÉ 
L’obtention directe des composantes de chacune des dix interactions à deux facieurs ne dépassant pas cinq 
niveaux passe, quel que soit le dispositif factoriel utilisé, par des fableaux 2 x 2 et leur coefficient de pondération, 
ainsi que par des constantes que l’on trouve dans deux figures de référence. 
MOT-CLE : Expérimentation factorielle. 
ABSTRACT 
ANALYSIS OF FACTORIAL EXPERIMENTS 
Single degrees of freedom components from unconfounded first-order interactions and from unconfounded 
main effects are obtained in a straightf orward manner. The factorial designs may be of any type, mixed or not, 
up to 5 levels: 
r x 26 x 3t x 4% x 5~ in blocks of k un&, 
where k < rx28X3tX4UX5U; s+t+u+v > 2; r > 0; r = 1, 6, . .. 
Fourfold tables of means wi, xi, yi, zi, with weighing factors fi are applicable to a11 10 possible interactions, with 
constant m to yield the mni components, where 
Test of the components follows. 
KEY WORD : Factorial designs. 
n, = fi (wi - xi - y,+z,)” 
La méthode d’analyse qui suit concerne toutes les 
expériences factorielles r x 25 x 3t x 4~ x 5~ en blocs 
de k unités. Dans ces expériences, il y a r répétitions; 
la rép&ition étant définie comme le nombre de 
traitements factoriels obtenus par combinaison des 
facteurs à tous leurs niveaux : entier positif non-nul 
ou nombre fractionnaire. Il y a s facteurs à 2 niveaux, 
t facteurs à 3 niveaux, u facteurs ?I 4 niveaux, 
v facteurs à 5 niveaux; s, t, u, v sont des entiers > 0 
avec s+t+u+v > 2. Quant aux blocs, ils regroupent 
tous le même nombre k de traitements, inférieur, 
égal ou supérieur g celui de la répétition. Sa mission, 
rarement remplie, est de contrôler l’hétérogénéité 
du milieu expérimental. 
Cah. O.R.S.T.O.M., sEr. Pkdol., vol. XX, no 2, 1983: 155-162. 155 
Le planificateur d’une expérience ne doit pas 
confondre, même partiellement, des interactions 
à 2 facteurs avec les différences éventuelles entre 
blocs. Les expériences dans lesquelles les interactions 
à deux facteurs et les effets principaux ne sont pas 
confondus se prêtent a la démarche que voici. 
Etape 1 
Chaque interaction à 2 facteurs apparaît sous la 
forme d’un tableau a double entrée (Les entrées 
lignes correspondent aux niveaux du premier 
facteur : 1,2, . . . . 5; les entrées colonnes correspondent 
aux niveaux du second facteur : 1, 2, . . . . 5 de l’inter- 
A. GARCIA GÔMEZ, R. VA!%’ DEN DRIESSCHN 
~~ 
I 
, I 
l I 
t_____--_’ 
f2=216 
c__------ 
f5=2/6 
Q- 
____ 
I 1 I I 
L____----A L-_______J 
f7=6/ 12 fg=%/15 
.i __ 
LJI 
l________J 
f ,o=6/12 f,,=9/16 
----Ï 
I Lb ___1 
f ,3=4/10 f ,4=8/15 
'i 
x. 
,’ -4 'i ‘i 
tiens de L’effet principal Les 4 décompos 
II[I---’ 
___J 
f ,7=1/2 
FIG. 1. .- 
a 5 niveaux. 
lzItir:I3 -2 
f ,8=2/3 f ,9=3/4 
*es 16 décompositions de l’interaction 5 x 5 
1 l I 
f 20=4/5 
L 
action ; quant aux cellules du tableau, elles ren- 
ferment des moyennes obtenues sur l’ensemble 
des autres facteurs et sur l’ensemble des répétitions). 
Cela ne diffère en rien de l’approche habituelle. 
Quand r < 2 et s+t+u+v = 2 l’unique tableau 
est celui des données par unité. 
fitape 2 
Chaque tableau est maintenant décomposé en 
tableaux élémentaires 2x2 de moyennes, confor- 
mément aux indications de la figure 1 qui rassemble 
les 16 décompositions de l’interaction 5 x5. Les 
décompositions sont schématisées : les traits pleins 
délimitent, par rapport aux 25 moyennes, le contenu 
des 4 cellules du tableau 2 x2. C’est ce contenu 
qui doit être remplacé par 4 moyennes. Désignons 
ces moyennes par Wir Xi> yi, Zij et faisons 
ni = f (Wi - Xi - yi+Zi)’ 
156 
formule dans laquelle fi est un coefficient de pondé- 
ration fractionnaire, dont la correspondance au 
schéma est apparente; il est simplifiable ou expri- 
mable en nombre décimal (Au dénominateur on a 
le nombre de cellules concernées, au numérateur 
12 
le nombre maximal de cellules ; ainsi f,, = - 
20 cellules au total, soit 12+4+4+1). 
20 
La figure 2 présente toutes les interactions a 
2 facteurs que l’expérimentateur peut rencontrer. 
Un schéma et une formule accompagnent chaque 
interaction : (1) le schéma indique quelles sont 
-~- des 16 décompositions - celles qu’il y a 
lieu d’effectuer; (2) la formule sert au calcul 
de la constante m a introduire dans le calcul 
des composantes de l’interaction en question. 
Le produit mni n’est autre que la composante 
recherchée. 
Cah. O.R.S.T.O..W., sér. Pédol., uoi. XX, no 2, 1983: 155-162. 
Analyse des expériences facforielles 
5x5 1 2 3 4 m=rX2sX3tX4"X5v-2 
5 6 7 8 
9 10 Il 12 
16 
13 14 15 16 ----------------~~~~~~_~~~~~~______-~~________~~_-~~~~-___ 
4x5 1 2 3 4 ou 5x4 1 2 3 . m=rX2sX3tX4"-1X5v-1 
5 6 7 a 5 6 7. 
9 10 11 12 91011 . 12 
13 14 15 . -____~__~__‘--=--_______~~~~_______~~________..--~~~---___, 
3x5 1 2 3 4 ou 5X3 1 2 . . m=rX2sX3t-1X4"X5v-1 
5 6 7 8 5 6.. 
910. . a . . . . 
13 14 * ----_~__~__:__‘_____~_______-__:______------_.-_--________. 
2X5 1 2 3 4 ou 5X2 1 . . . m=rX2s-1X3tX4uX5"-' 
. . . . 5 . . . 
9 . . . 4 . . . . 
13 . . .____:__:__'__:~_~_______---~_____----______---___________. 
4x4 1 2 3 . I~=~X~~X~~X~~-~XS" 
5 6 7. 
91011 . 9 
.____'__:__'__'____________--________---_-_-__----________. 
3x4 1 2 3 . ou 4x3 1 2 . . m=rX2sX3t-1X4"-1X5v 
5 6 7. 5 6.. 
910 . . 6 . . . . 
2X4 1 2 3 . ou 4X2 m=rXZ S-IX3tX4U-lX5V 
. . . . : : : : 
9 . . . 
3 
. . . . 
. . -____+__~__'__~_____________'__~______----_____--____________. 
3x31 2 . . m=rX25X3t-2X4uX5v 
5 6 . . 
4 
. . . . 
2X31 2 . . ou 3X2 1 . . . m=rX2 
s-lX3t-IX4UX5V 
. . . . 5 . . . 
2 . . . . . . . . 
.____‘__‘__‘__‘-_~._______l__l__’__’____~___-----_____-_-_______. 
2x2 1 . . . m=rX2s-2X3tX4uX5" 
. . . . 
1 
. . . . 
I 
-___-‘--‘__‘__‘________--______-_-_______-______--_____-_-_ 
FIG. 2. .~ Interactions possibles, dhcompositions correspondantes, 
constantes avec leur fréquence d’utilisation 
-..__ 
TABLE 
F au risque 1 % avec 
d degrés de liberté 
F d 
16.3 5 
13.7 6 
12.3 7 
11.3 a 
10.6 9 
10.0 10 
9.7 11 
9.3 12 
9.1 13 
8.9 14 
8.7 15 
8.5 16 
8.4 17 
8.3 18 
8.2 19 
a.1 20 
8.0 21 
7.9 22 
7.9 23 
7.8 24 
7.8 25 
7.7 26 
7.7 27 
7.6 28 
7.6 29 
7.6 30 
7.5 31 
7.5 32 
7.5 33 
7.4 34 
7,4 35 
7.4 36 
7.4 37 
7.4 38 
7.3 39 
7.3 40 
7.3 41 
7.3 42 
7.3 43 
7.2 44 
7.2 45 
7.2 46 
7.2 47 
~__~~~~~~~_______________~__~~_______~______________~_______, 
I I 
I I 
; 5 17 18 19 20 m=rX2sX3tX4uX5v-1 I I 
I 4 I t_______--____________________---_-________________________~ I 
14 17 la 19 m=rX25X3tX4u-1X5v : I I I 
I 3 I 
:_____-----___________________-____________________________~ 
I I l 1 ; 3 17 18 m=rX2*X3 t-'X4"X5" 0 I I 
I 2 I 
:__--______________________________________________________~ 0 l I 
12 17 m=rXZs-' X3tX4UX5V 1 
I 
1 I I 1 
:____________----------------_____________--------------_--~ 
FIG. 2 (suite!. Effets principaux, décompositions, constantes avec leur frkquence d’utilisation 
Cah. O.R.S.l’.O.!VI., sér. Pedol., vol. XX, no 2, 1983: 105-162. 157 
&ape 3 
Les effets principaux sont traités de maniére 
analogue, en calculant directement leurs compo- 
santes a partir des schémas et formules des figures 1 
et 2. 
Nous avons de la sorte 
ni = fi (Wi - Xi)” 
ainsi que les composantes mnj 
]Etape 4 
Il n’est pas sans intérêt, a ce stade, d’observer 
la taille des composantes; mais cela ne suffit pas. 
Il s’agit de faire le test de signifiante, en se servant 
de l’erreur expérimentale. Rappelons que c’est 
avant la mise en place de l’expérience qu’est fixé 
le risque du test (F a 5 %, à 1 %) et qu’est connu 
le nombre d de degrés de liberté a l’erreur. A l’issue 
de l’expérience, ou en cours d’expérience, on a 
r x 28~3~ ~4” x 5” données a d’une même variable. 
Si c désigne la somme des k données d’un même 
bloc, l’erreur expérimentale 
E = &2-&q--T )i d 
Le F est extrait, au risque fixé, à la ligne d de la 
colonne 1 de la table. 
Le produit EF est la valeur de référence pour le 
test; les composantes mni qui la dépassent sont 
significatives. Par convention, on les affecte d’un 
astérisque. 
Pour la commodité de l’analyse, on a intérêt 
à multigraphier les figures 1 et 2 et à les annoter 
à mesure que progressent les calculs (sur une cal- 
A. GARCIA GOMEZ, R. VAN DEN DRIESSCHE 
culette à 50 F par exemple). Les mêmes schémas 
seront ensuite utilisés a l’interprétation des compo- 
santes significatives. 
Manuscrit reçu au Seruice des Edifions de 1’O.R.S.T.O.M. 
le 11 mai 1983 
Exemple 
Calcul direct des composantes de l’interaction AB 
dans une expérience factorielle 1 x 2O x 34 x 4O x 5O 
en blocs de 9 parcelles de palmiers a huile (INEAC). 
La parcelle est formée de 2 lignes de 12 palmiers 
et entourée d’un périmétre tampon de 32 palmiers. 
Traitements : 4 fertilisants à 3 doses. 
e 
1 2 3 
A 1 873,3 945,6 871.1 
2 992,2 886.7 1066.7 
3 875.6 862.2 897.8 kg régimes17 mois 
Composante 1 873.3 945.6 
992.2 886.7 
Composante 2 909.4 871.1 
939.4 1066.7 
Composante 5 932.8 916.1 
875,6 862,2 
Composante 6 924.4 968.9 
868.9 897.8 
m=lXZ O X 34-2 x 40 x 5O = 9 
"1 
=.t x 177.8' = 7903 mn = 1 71127 
"2 
= 2 X 165,6' = 9141 mn = 2 82269 
"5 = 6 2x 3,32 = 3.63 mn = 5 33 
"6 
15,6' = 108,16 mn = 6 973 
BIBLIOGRAPHIE 
YATES (F.), 1937. - The design and analysis of factorial VAN DEN DRIESSCHE (R.), 1961. - Analyse systbmatisbe 
experiments. Comm. BU~. Soils t.c. 35. CAB, Farnham des expbriences factorielles. Biom.-Praz., 2, (4) : 
Royal, Bucks. UK, 96 p. 245-259. 
15s Cah. O.R.S.T.O.M., sér. Pédol., uol. XXI no 2, 1983: 155-162. 
Anqlgse des expériences factorielles 
ANNEXE 
Dans le choix des douze dispositifs factoriels presentés en annexe, aprés les permutations d’usage, a prévalu la recommandation 
du preambule ; à savoir qu’il ne faut pas confondre d’interaction a deux facteurs avec les différences entre blocs. Au sujet des blocs, 
on sait que leur agencement doit épouser l’hétérogénéité du milieu experimental : serre, Etuve, pepiniére, etc., et qu’aligner les k 
unit&? n’est pas une obligation. En outre, seuls des dispositifs peu encombrants ont et6 présentés. Il en existe beaucoup d’autres 
dans cette categorie. 
ANNEXE 1 
Dispositifs: 
1 
blocs: 
1 2 
facteurs: 
12345 12345 
traitements: 
21212 22313 
23231 31211 
11333 23123 
33113 23222 
31223 22211 
33212 12131 
13322 11321 
32333 11222 
32231 13211 
13121 32222 
21113 23321 
22121 21131 
11132 21332 
21311 33233 
32132 33332 
12113 32123 
23132 33131 
31121 12332 
22322 31313 
22223 13313 
33311 32321 
31322 21233 
12311 11123 
23333 12233 
12212 31112 
11231 22112 
13223 13112 
Dispositif 1 
3 
12345 12 12 12 12 1234 1234 1234 
23111 
31232 
11111 
32213 
32312 
33323 
11312 
21122 
21221 
33221 
31331 
11213 
32111 
33122 
13232 
22331 
13331 
21323 
22133 
31133 
13133 
22232 
23312 
23213 
12323 
12122 
12221 
2 3 
12 12 
52 53 34 11 
33 12 44 44 
14 43 14 42 
45 45 32 34 
51 54 22 12 
21 41 11 15 
44 21 13 41 
42 52 31 24 
12 33 43 45 
13 44 24 21 
31 42 12 22 
53 14 45 23 
34 55 23 25 
25 31 35 13 
35 51 41 31 
32 15 42 43 
24 13 25 33 
54 24 21 35 
:: :: 
15 14 
33 32 
43 34 
11 32 
41 35 
55 11 
15 23 
4 
1 2 3 
1323 2133 2322 
1113 1212 2123 
1312 2231 1131 
2312 1231 2221 
1331 1111 1221 
1132 2332 1322 
2222 2122 2333 
2323 1122 1213 
2121 2111 1311 
2211 1332 2112 
1222 2212 1333 
2233 2321 2213 
2331 2313 1112 
1121 1223 2131 
2132 1313 2232 
2113 1321 2311 
1211 2223 1123 
1233 1133 1232 
1/3 x 2O x 35 x 4O x 5O en 3 blocs de 27 unités, d = 28 
Dispositif 2 
2 x 2O x 3O x 4O x 52 en 2 blocs de 25 unités, d = 24 
Dispositif 3 
2 x 2O x 30 x 4' x 51 en 2 blocs de 20 unités, d = 19 
Dispositif 4 
1 x 2l x 33 x 40 x 50 en 3 blocs de 18 unités, d = 26 
Cah. O.R.S.T.O.M., SC+. PCdol., vol. XX, no 2, 1983: 155-162. 159 
.4. GARCIA GOMEZ, R. VAN DEN DRIESSCHE 
ANNEXE II 
160 Cah. O.R.S.T.O.M., sér. Ptdol., vol. XX, no 2, 1983: 155-162. 
dispositifs: 
5 
blocs: 
1 2 
facteurs: 
12345 12345 
traitements: 
12223 12212 
22121 12221 
21214 22114 
21223 21221 
22222 21212 
11121 21111 
12124 21122 
11211 11123 
12214 22123 
22112 11114 
11112 22213 
12113 22224 
21124 12111 
11222 11213 
22211 11224 
21113 12122 
Dispositif 5 _ 
321 
211 
323 
313 
322 
311 
122 
132 
232 
212 
113 
223 
333 
331 
222 
221 
231 
111 
112 
213 
123 
233 
332 
312 
131 
121 
133 
1/2 x zc x 3" x 4' x 50 en 2 blocs de 16 unités, d= 5 
Dispositif 6 
1 X 2' X 33 X 4' X 5' en 3 blocs de 9 unites, d= 6 
Dispositif 7 
2 x 22 x 3O X 4 'x5 0 en 4 blocs de 8 unités, d = 16 
Dispositif 8 
1 X 2' X 33 X 4' X 5' en 1 bloc de 27 unités, d- 8 
6 7 a 
1 2 3 1 2 3 4 1 
123 123 123 123 123 123 123 123 
312 131 212 
222 311 122 
132 333 321 
331 221 332 
121 112 231 
323 123 111 
211 232 313 
233 213 133 
113 322 223 
113 224 121 213 
124 212 223 123 
222 122 113 212 
214 114 211 111 
211 123 112 114 
112 221 222 224 
223 111 124 122 
121 213 214 221 
Analyse des exphiences faclorielles 
ANNEXE III 
dispositifs: 
9 10 
blocs: 
12 1 2 3 4 
facteurs: 
12 12 12345678 123'45678 12345678 12345678 
traitements: 
31 35 
22 24 
11 12 
13 21 
15 14 
33 33 
25 22 
14 25 
32 li 
12 15 
35 34 
21 23 
34. 32 
24 13 
23 31 
12112211 
22111121 
21111212 
11211112 
11122111 
22212111 
21121221 
11112122 
22222122 
11221121 
12211221 
12221212 
21212222 
12122222 
22121112 
21222211 
22122121 
12121211 
11212121 
21112221 
21221222 
22221111 
22211122 
22112112 
21211211 
21122212 
11111111 
12222221 
12111222 
Î1222112 
12212212 
11121122 
12222111 
11212211 
22112222 
22221221 
11222222 
22211212 
22722211 
21112111 
12212122 
12111112 
21221112 
11111221 
12121121 
21211121 
21122122 
11121212 
11211222 
11221211 
12221122 
12211111 
11122221 
21212112 
11112212 
22222212 
22212221 
22121222 
22111211 
21111122 
12122112 
21121111 
21222121 
121121Cl 
Disoositif 9 
2 x 20 x 3' x 4" x 5' en 2 blocs ne 15 unités, 
Oisoositif 10 
114 x 28 x 3O x 4O x 50 en 4 blocs de lb unités, 
Dispositif II 
11 
12 
12 12 
41 42 
14 23 
21 43 
11 34 
34 31 
33 44 
12 12 
23 13 
44 21 
22 22 
13 14 
24 11 
32 41 
43 33 
42 32 
31 24 
0 = 14 
d = 24 
2 x 2O x 3O x 42 x 50 en 2 blocs de lb unités, d = 15 
Cnh. O.R.S.T.O.M., sér. Pédol., uol. XX, no 2, 1983: 155162. 161 
162 Cuh.O.R.S.l’.O.M., sér. Pédol., vol. XX, no 2, 1983 : 155-162. 
A. GARCIA G&lEZ, R. VAN DEN DRIESSCHE 
ANNEXE IV 
dispositif: 
12 
blocs: 
1 2 3 4 5 4 7 8 9 
facteurs: 
1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 1234 
trait ements: 
1222 1133 2331 
2112 1312 2213 
2233 1221 3312 
3123 3122 3133 
1131 3331 1323 
3332 2111 1232 
3211 2232 1111 
2321 2323 2122 
1313 3213 3221 
2222 2123 3212 2312 2223 3223 
2131 1112 3333 3323 1333 2333 
1332 3222 2113 1331 1212 1231 
2313 2211 3121 1122 3322 3311 
1123 3131 1223 1213 2132 2212 
1211 3313 1132 3111 3113 2121 
3233 1321 1311 2221 3231 1322 
3321 2332 2322 3232 1121 3132 
3112 1233 2231 2133 2311 1113 
dispositif 12 
1 x 20 x 34 x 4O x 5 0 en 9 blocs de 9 unités, d = 40 


Une méthode d'analyse des expériences factorielles

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