Запропоновано алгоритм побудови періодичних розв'язків сингулярно збуреної системи диференціальних рівнянь з періодичними коефіцієнтами у некритичному випадку.Предложен алгоритм построения периодических решений сингулярно возмущенной системы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами в некритическом случае.An algorithm of constructing the periodic solutions of a singularly perturbed system of differential equations with periodic coefficients in the uncritical case is proposed

Bouw, Sander R.

Gerritsen, D.F.

Rigtering, J.P.C.

Vonk, Sven

Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine

Financiering en financiële markten

Strategy, Organisation, Entrepreneurship

UU LEG Research UUSE Multidisciplinary Economics

UU LEG Research USE Tjalling C. Koopmans Institute

NARCIS 

Travelers' conversion behavior at foreign cash withdrawals: An experimental study

Utrecht University Repository

Шкіль, М.І.

Самусенко, П.Ф.

Наукова електронна бібліотека періодичних видань НАН України (Vernadsky National Library of Ukraine)

УДК 517.927.8© 2012М. I. Шкiль, П.Ф. СамусенкоПро перiодичнi розв’язки системи сингулярно збуренихдиференцiальних рiвнянь з перiодичнимикоефiцiєнтами(Представлено академiком НАН України В. Л. Макаровим)Запропоновано алгоритм побудови перiодичних розв’язкiв сингулярно збуреної системидиференцiальних рiвнянь з перiодичними коефiцiєнтами у некритичному випадку.Рiзноманiтнi аспекти теорiї сингулярно збурених систем диференцiальних рiвнянь з пе-рiодичними коефiцiєнтами розглядались в роботах Д.В. Аносова, В. Вазова, Л. Флаттоi Н. Левiнсона, Дж. Хейла та iн. Так, Дж. Хейл [1] навiв достатнi умови iснування i єди-ностi перiодичного розв’язку системиεdxdt= Ax+ f(x, t, ε)зi сталою матрицею A i перiодичною за змiнною t вектор-функцiєю f(x, t, ε).В. Вазов [2] для лiнiйної сингулярно збуреної системиεdxdt= A(t, ε)x, (1)у випадку голоморфностi матрицi A(t, ε) за змiнними t, ε, розробив алгоритм побудовиасимптотичних розвинень перiодичних розв’язкiв. Аналогiчнi результати були ним отриманiдля нелiнiйної системиεdxdt= f(x, t, ε)за умови голоморфностi вектор-функцiї f(x, t, ε) за всiма змiнними.Системи лiнiйних сингулярно збурених диференцiальних рiвнянь (1) з матрицею A(t, ε),що зображується у виглядi асимптотичного рядуA(t, ε) =∑s>0εsAs(t),були всебiчно дослiдженi в роботах М. I. Шкiля та його учнiв [3, 4]. Зокрема, знайденоумови, при яких система (1) має єдиний перiодичний розв’язок у випадку як простих, такi кратних коренiв характеристичного рiвняння (елементарних дiльникiв); наведено асимп-тотичнi формули для мультиплiкаторiв, на пiдставi чого з’ясовано умови некритичностiсистеми (1) та її стiйкостi.28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3А.М. Самойленком i В.П. Яковцем закладено основи теорiї лiнiйних вироджених системз перiодичними коефiцiєнтами та узагальнено результати з асимптотичного iнтегруваннясистем (1) [5, 6].У данiй роботi розглядається системаεdxdt= A(t, ε)x+ f(x, t, ε), t ∈ [0;T ], (2)де x = x(t, ε) та f(x, t, ε) — n-вимiрнi вектори, A(t, ε) — квадратна матриця n-го порядку,ε ∈ (0; ε0], ε0 ≪ 1, — малий параметр. При цьому на вiдмiну вiд [2, 7] вимагається лишенеперервнiсть f(x, t, ε), що суттєво узагальнює дослiдження, проведенi в [1, 2, 7].Отже, нехай виконуються такi умови:1. Компоненти A(t, ε) та f(x, t, ε) — функцiї, перiодичнi за змiнною t з перiодом T .2. Матриця A(t, ε) має асимптотичне розвинення за степенями ε, тобтоA(t, ε) =∑s>0εsAs(t),As(t) ∈ Cm+1−s[−T ;T ], m ∈ N⋃{0}.3. f(x, t, ε) ∈ C(D), де D = {(x, t, ε) ∈ Rn+2 : ‖x‖ 6 a, t ∈ [0;T ], ε ∈ [0; ε0]} i f(0, t, 0) = 0.4. Iснує така функцiя η(ρ, ε) ∈ C([0; a] × [0; ε0]) неспадна за змiнною ρ, що‖f(x1, t, ε) − f(x2, t, ε)‖ 6 η(ρ, ε)‖x1 − x2‖для всiх (x1, t, ε), (x2, t, ε) ∈ D, причому η(0, 0) = 0.5. Коренi λ1(t), λ2(t), . . . , λn(t) характеристичного рiвняння det(A0(t) − λE) = 0, E —одинична матриця, та вiдповiднi їм елементарнi дiльники на вiдрiзку [0;T ] зберiгають сталукратнiсть.6. Reλi(t) 6= 0, t ∈ [0;T ], i = 1, n.Згiдно з умовою 5 iснує така неособлива перiодична з перiодом T матриця V (t) ∈∈ Cm+1[−T ;T ], щоV −1(t)A0(t)V (t) = W (t),де W (t) = diag{W1(t),W2(t), . . . ,Wp(t)}, Wi(t) — жордановi клiтини ki-го порядку, ki, i == 1, p, — кратностi елементарних дiльникiв матрицi A0(t), причому k1+k2+ · · ·+kp = n [8].Тому, не обмежуючи загальностi, вважаємо, що A0(t) = W (t).У системi (2) покладемоx = Um(t, ε)y, Um(t, ε) =m∑s=0εsUs(t).МаємоεUm(t, ε)dydt= (A(t, ε)Um(t, ε) − εU′m(t, ε))y + g(y, t, ε), (3)де g(y, t, ε) = f(Um(t, ε)y, t, ε).Матрицю Um(t, ε) визначаємо з тотожностiA(t, ε)Um(t, ε) − εU′m(t, ε) = Um(t, ε)(Λm(t, ε) + εm+1Cm(t, ε)),ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 29де Λm(t, ε) =m∑s=0εsΛs(t) — дiагональна матриця, Cm(t, ε) — квадратна матриця n-го по-рядку [9].За побудовою матрицi Um(t, ε), Λm(t, ε), Cm(t, ε) — перiодичнi за змiнною t з перiодом T ,причому Um(t, ε) = E, Λ0(t) = W (t). А тому iснує таке ε1, ε1 6 ε0, що detUm(t, ε) 6= 0,t ∈ [0;T ], ε ∈ (0; ε1].Таким чином, система (3) набуде виглядуεdydt= (Λm(t, ε) + εm+1Cm(t, ε))y + h(y, t, ε), (4)де h(y, t, ε) = U−1m (t, ε)g(y, t, ε).Не обмежуючи загальностi, вважаємо, що W (t) = diag{W+(t),W−(t)}, де W+(t) таW−(t) — квазiдiагональнi матрицi, власними значеннями яких є власнi значення матри-цi W (t) з додатними та вiд’ємними дiйсними частинами вiдповiдно. Тодi систему (4) можназаписати таким чином:εdy+dt= (Λm+(t, ε)y+ + εm+1(Cm1(t, ε)y+ + Cm2(t, ε)y−) + h+(y, t, ε),εdy−dt= (Λm−(t, ε)y− + εm+1(Cm3(t, ε)y+ + Cm4(t, ε)y−) + h−(y, t, ε),деΛm(t, ε) = diag{Λm+(t, ε),Λm−(t, ε)}, Λm+(t, 0) = W+(t), Λm−(t, 0) = W−(t),Cm(t, ε) =(Cm1(t, ε) Cm2(t, ε)Cm3(t, ε) Cm4(t, ε)),Cm1(t, ε) — квадратна матриця, порядок якої дорiвнює порядку W+(t); y = colon(y+, y−),h = colon(h+, h−), y+, y−, h+, h− — вектори вiдповiдної розмiрностi.З умови перiодичностi y(0, ε) = y(T, ε) дiстаємоy+(t, ε) =1εY+(t, ε)(Y+(0, ε) − E+)−1T∫0Y+(0, ε)Y−1+ (τ, ε) ×× (εm+1(Cm1(τ, ε)y+(τ, ε) + Cm2(τ, ε)y−(τ, ε)) + h+(y(τ, ε), τ, ε))dτ ++1εY+(t, ε)t∫TY −1+ (τ, ε)(εm+1(Cm1(τ, ε)y+(τ, ε) + Cm2(τ, ε)y−(τ, ε)) ++ h+(y(τ, ε), τ, ε))dτ, (5)y−(t, ε) =1εY−(t, ε)(E− − Y−(T, ε))−1T∫0Y−(T, ε)Y−1−(τ, ε) ×× (εm+1(Cm3(τ, ε)y+(τ, ε) + Cm4(τ, ε)y−(τ, ε)) + h−(y(τ, ε), τ, ε))dτ +30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3+1εY−(t, ε)t∫0Y −1−(τ, ε)(εm+1(Cm3(τ, ε)y+(τ, ε) + Cm4(τ, ε)y−(τ, ε)) ++ h−(y(τ, ε), τ, ε))dτ, (6)деY+(t, ε) = exp(1εt∫TΛm+(τ, ε) dτ), Y−(t, ε) = exp(1εt∫0Λm−(τ, ε) dτ),E+, E− — одиничнi матрицi вiдповiдного порядку.Оператор, що визначений за допомогою спiввiдношень (5), (6), вiдображає замкненумножину P ,P = {y(t, ε) ∈ C[0;T ] : y(t+ T, ε) = y(t, ε), t ∈ [0;T ], ‖y(t, ε)‖ 6 σ},у себе i є оператором стиску. Отже, система (5), (6) на множинi P має єдиний розв’язок [10].При цьому‖y(t, ε)‖ = O(η(σ, ε)) +O(ε). (7)Теорема 1. Нехай виконуються умови 1–6. Тодi iснують такi сталi σ > 0, ε1 > 0, щодля всiх 0 < ε 6 ε1 6 ε0 система (2) має єдиний розв’язок x(t, ε) ∈ C[0;T ], перiодичний зазмiнною t з перiодом T , для якого вiрна оцiнка (7).Якщо замiсть системи (2) розглядати системуεdxdt= A(t, ε)x+ εf(x, t, ε), t ∈ [0;T ], (8)то аналогiчно переконуємось у правильностi такого твердження.Теорема 2. Нехай виконуються умови 1–6. Тодi iснують такi сталi σ > 0, ε1 > 0, щодля всiх 0 < ε 6 ε1 6 ε0 система (8) має єдиний розв’язок x(t, ε) ∈ C[0;T ], перiодичний зазмiнною t з перiодом T , для якого справджується оцiнка‖x(t, ε)‖ = O(εη(σ, ε)) +O(ε2).Нехай тепер система (2) є лiнiйною, тобтоεdxdt= A(t, ε)x+ f(t, ε), t ∈ [0;T ]. (9)7. Припустимо, що f(t, ε) ∈ C[0;T ].Тодi для перiодичного розв’язку x = x(t, ε) системи (9) маємо такi асимптотичнi фор-мули:x(t, ε) = Um(t, ε)y(t, ε), (10)y+(t, ε) =1εY+(t, ε)( T∫0Y+(0, ε)Y−1+ (τ, ε)f(τ, ε) dτ +t∫TY −1+ (τ, ε)f(τ, ε) dτ)+O(ε), (11)ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 31y−(t, ε) =1εY−(t, ε)( T∫0Y−(T, ε)Y−1−(τ, ε)f(τ, ε) dτ +t∫0Y −1−(τ, ε)f(τ, ε) dτ)++O(ε). (12)Теорема 3. Нехай виконуються умови 1, 2, 5–7. Тодi iснує така стала ε1 > 0, що длявсiх 0 < ε 6 ε1 6 ε0 система (9) має єдиний розв’язок x(t, ε) ∈ C[0;T ], перiодичний зазмiнною t з перiодом T , для якого вiрнi асимптотичнi оцiнки (10)–(12).Зауваження. Покладемо U−1m (t, ε) = Vm(t, ε) + O(εm+1), де Vm(t, ε) = E +m∑s=1εsVs(t).Тодi замiсть оцiнок (11), (12) маємоy+(t, ε) =1εY+(t, ε)( T∫0Y+(0, ε)Y−1+ (τ, ε)Vm(τ, ε)f(τ, ε) dτ ++t∫TY −1+ (τ, ε)Vm(τ, ε)f(τ, ε) dτ)+O(εm+1), (13)y−(t, ε) =1εY−(t, ε)( T∫0Y−(T, ε)Y−1−(τ, ε)Vm(τ, ε)f(τ, ε) dτ ++t∫0Y −1−(τ, ε)Vm(τ, ε)f(τ, ε) dτ)+O(εm+1). (14)Наслiдок. Нехай виконуються умови теореми 3. Тодi iснує така стала ε1 > 0, щодля всiх 0 < ε 6 ε1 6 ε0 система (9) має єдиний розв’язок x(t, ε) ∈ C[0;T ], перiодичний зазмiнною t з перiодом T , для якого справджуються оцiнки (10), (13), (14).1. Хейл Дж. Колебания в нелинейных системах. – Москва: Мир, 1966. – 230 с.2. Вазов В. Асимптотические разложения решений обыкновенных дифференциальных уравнений. –Москва: Мир, 1968. – 464 с.3. Шкиль Н.И., Старун И.И., Яковец В.П. Асимптотическое интегрирование линейных систем обыкно-венных дифференциальных уравнений. – Киев: Выща шк., 1989. – 287 с.4. Божко В.А. О периодических решениях системы линейных дифференциальных уравнений с малымпараметром // Изв. высш. учеб. заведений. Математика. – 1980. – № 3. – С. 80–84.5. Самойленко А.М., Шкiль М. I., Яковець В.П. Лiнiйнi системи диференцiальних рiвнянь з вироджен-нями. – Киев: Вища шк., 2000. – 294 с.6. Яковець В.П., Акименко А.М. Про iснування i асимптотику перiодичного розв’язку виродженоїсингулярно збуреної системи диференцiальних рiвнянь у випадку кратних елементарних дiльникiв //Нелiнiйнi коливання. – 2002. – 5, № 1. – С. 123–141.7. Самусенко П.Ф. Построение периодических решений нелинейной сингулярно возмущенной системыдифференциальных уравнений с вырождением // Дифференц. уравнения. – 2006. – 32, № 6. – С. 756–763.8. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. – Москва: Наука, 1988. – 552 с.9. Шкiль М. I. Асимптотичнi методи в диференцiальних рiвняннях. – Київ: Вища шк., 1971. – 226 с.10. Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ. – Москва: Наука, 1977. – 744 с.Надiйшло до редакцiї 26.05.2011Нацiональний педагогiчний унiверситетiм. М.П. Драгоманова, Київ32 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2012, №3Н.И. Шкиль, П.Ф. СамусенкоО периодических решениях системы сингулярно возмущенныхдифференциальных уравнений с периодическими коэффициентамиПредложен алгоритм построения периодических решений сингулярно возмущенной систе-мы дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами в некритическом слу-чае.M. I. Shkil, P. F. SamusenkoAbout the periodic solutions of a system of singularly perturbeddifferential equations with periodic coefficientsAn algorithm of constructing the periodic solutions of a singularly perturbed system of differentialequations with periodic coefficients in the uncritical case is proposed.ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2012, №3 33