Визначено абсолютно неперервні процеси, які збігаються до мультифрактального броунівського руху за ймовірністю в просторах типу Бєсова. Одержано результат про збіжність розв'язків стохастичних диференціальних рівнянь з такими процесами до розв'язку рівняння з мультифрактальним броунівським рухом. Аналогічні наближення побудовано для випадку двопараметричних процесів.We define absolute continuous stochastic processes that converge to a multifractal Brownian motion in Besov-type spaces. The convergence of solutions of stochastic differential equations with such processes to a solution of the equation with multifractal Brownian motion is proved. Similar approximations are constructed in the case of two-parameter processes

Blake, Randolph

Brascamp, Jan

Heeger, David J.

Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine

PubMed

Ральченко, К.В.

Наукова електронна бібліотека періодичних видань НАН України (Vernadsky National Library of Ukraine)

УДК 519.21© 2011К.В. РальченкоНаближення мультифрактальних процесiв i полiвабсолютно неперервними процесами(Представлено академiком НАН України В. С. Королюком)Визначено абсолютно неперервнi процеси, якi збiгаються до мультифрактального бро-унiвського руху за ймовiрнiстю в просторах типу Бєсова. Одержано результат прозбiжнiсть розв’язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь з такими процесами дорозв’язку рiвняння з мультифрактальним броунiвським рухом. Аналогiчнi наближенняпобудовано для випадку двопараметричних процесiв.Дробовий броунiвський рух (ДБР) є популярною моделлю для дослiдження процесiв з дов-гостроковою залежнiстю, що виникають, наприклад, у комп’ютерних мережах, на фiнансо-вих ринках тощо. Але стацiонарнiсть приростiв ДБР iстотно обмежує область його засто-сувань. Зокрема, вiн не дозволяє моделювати процеси, регулярнiсть траєкторiй i “глибинапам’ятi” яких змiнюється з часом. У зв’язку з цим останнiм часом було запропоновано де-кiлька узагальнень ДБР, а саме: мультифрактальний броунiвський рух (МБР) з рухомимсереднiм [1], МБР типу Вольтерра [2, 3], гармонiзований МБР [4].У данiй роботi ми будуємо абсолютно неперервнi процеси, якi наближують одно- i дво-параметричний МБР. Ми доводимо збiжнiсть апроксимацiй у просторах типу Бєсова. Якнаслiдок, ми одержуємо результат про збiжнiсть розв’язкiв вiдповiдних стохастичних ди-ференцiальних рiвнянь.1. Апроксимацiя мультифрактального броунiвського руху.1.1. Означення 1. Нехай для β ∈ (0, 1) W β0 = Wβ0 ([0, T ]) — простiр вимiрних функцiйf : [0, T ] → R з‖f‖0,β := supt∈[0,T ](|f(t)|+t∫0|f(t)− f(s)|(t− s)1+βds)<∞.Також нехай W β1 = Wβ1 ([0, T ]) — простiр вимiрних функцiй f : [0, T ] → R з‖f‖1,β := sup06s<t6T(|f(t)− f(s)|(t− s)β+t∫s|f(u)− f(s)|(u− s)1+βdu)<∞.Нехай (Ω,F ,P) — повний iмовiрнiсний простiр. Дробовим броунiвським рухом (ДБР)з параметром Хюрста H ∈ (0, 1) називається центрований гауссiвський процес BH == {BHt , t > 0} зi стацiонарними приростами та коварiацiйною функцiєюE(BHt BHs ) =12(t2H + s2H − |t− s|2H).ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 27Припустимо, що функцiя H : [0,+∞) → (1/2, 1) задовольняє умову Гельдера з показни-ком γ > 1/2: iснує стала C1 > 0 така, що для будь-яких t1, t2 ∈ [0,+∞)|Ht1 −Ht2 | 6 C1|t1 − t2|γ .Можливi рiзнi узагальнення ДБР зi змiнною функцiєю Хюрста. Ми розглядатимемоузагальнення вигляду Yt = BHtt , де {BHt , t ∈ [0, T ],H ∈ (1/2, 1)} — така сiм’я випадковихвеличин, що(i) для фiксованого H ∈ (1/2, 1) {BHt , t ∈ [0, T ]} — ДБР з параметром Хюрста H;(ii) для будь-яких t ∈ [0, T ], H1, H2 ∈ (1/2, 1)E(BH1t −BH2t )26 C2(H1 −H2)2.Наприклад, це може бути будь-яке з узагальнень, запропонованих в роботах [1–4].Введемо позначення Hmin := min{γ, mint∈[0,T ]Ht}.1.2. Апроксимацiя мультифрактального броунiвського руху. Розглянемо таку апрокси-мацiю:BHt,εt :=1φt(ε)t+φt(ε)∫tBHss ds =1φt(ε)φt(ε)∫0BHu+tu+t du, (1)де φt(ε) = φ(t, ε) : [0, T ] × R+ → R+ — набiр вимiрних функцiй, який задовольняє умови:1) supt∈[0,T ]φt(ε) → 0, ε → 0+;2) для всiх t, s ∈ [0, T ] i для всiх ε > 0∣∣∣∣φs(ε)− φt(ε)φs(ε)∣∣∣∣6 C3|t− s|Hmin,де C3 — стала, яка не залежить вiд ε.У ролi φt(ε) можна розглядати, наприклад, функцiї виду φt(ε) = ψt · ε, де функцiя ψtвiдокремлена вiд нуля та задовольняє умову Гельдера з показником Hmin.Теорема 1. Для довiльного β ∈ (0,Hmin)‖BH,ε −BH‖1,βP−→ 0, ε→ 0 + .1.3. Наближення розв’язкiв стохастичних диференцiальних рiвнянь. Розглянемо сто-хастичне диференцiальне рiвняння з МБР:Xt = X0 +t∫0b(s,Xs) ds +t∫0σ(s,Xs) dBHss , t ∈ [0, T ]. (2)Наближення для розв’язку цього рiвняння природно будувати як розв’язокXεt = X0 +t∫0b(s,Xεs ) ds+t∫0σ(s,Xεs ) dBHs,εs , t ∈ [0, T ],28 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №7де процеси BHs,εs , ε > 0, визначенi формулою (1). Але спершу треба визначити, коли розв’я-зок рiвняння (2) iснує та єдиний.Припустимо, що коефiцiєнти b(t, x), σ(t, x) майже напевне задовольняють такi умови(сталi LN , MN та функцiя b0 можуть залежати вiд ω).I. σ(t, x) — диференцiйовна за x; iснують сталi 1−Hmin < κ 6 1 та (1/Hmin)−1 < δ 6 1,i для кожного N > 0 iснує MN > 0 таке, що:(i) для всiх x ∈ R i t ∈ [0, T ]|σ(t, x)− σ(t, y)| 6M0|x− y|;(ii) для всiх |x|, |y| 6 N i t ∈ [0, T ]∣∣∣∣∂∂xσ(t, x) −∂∂xσ(t, y)∣∣∣∣6MN |x− y|δ;(iii) для всiх x ∈ R, t, s ∈ [0, T ]|σ(t, x)− σ(s, x)| +∣∣∣∣∂∂xσ(t, x)−∂∂xσ(s, x)∣∣∣∣6M0|t− s|κ.II. Iснує b0 ∈ Lρ(0, T ), ρ > 2, i для кожного N > 0 iснує LN > 0 таке, що:(iv) для всiх |x|, |y| 6 N i t ∈ [0, T ]|b(t, x)− b(t, y)| 6 LN |x− y|;(v) для всiх x ∈ R i t ∈ [0, T ]|b(t, x)| 6 L0|x|+ b0(t).Нехай α0 = min{1/2,κ, δ/(1 + δ)}.Теорема 2. Припустимо, що α ∈ (1 − Hmin, α0), X0 — випадкова величина, а коефi-цiєнти рiвняння (2) задовольняють умови (i)–(v) з ρ > 1/α. Тодi iснує єдиний розв’язок{Xt, t ∈ [0, T ]} рiвняння (2), X ∈ L0(Ω,F ,P,Wα0 [0, T ]), траєкторiї якого майже напевненалежать до простору C1−α[0, T ].Нехай BHs,εs , ε > 0, визначенi формулою (1).Теорема 3. Припустимо, що виконанi умови теореми 2. Тодisupt∈[0,T ]|Xt −Xεt |P−→ 0, ε→ 0+.2. Апроксимацiя полiв.2.1. Означення 2. Нехай s, t ∈ R2+, s = (s1, s2), t = (t1, t2). Будемо писати s < t, якщоs1 < t1 i s2 < t2. Для s < t позначимо [s, t] = [s1, t1]× [s2, t2] ⊂ R2+. Для функцiї f : R2+ → Rрозглядатимемо прирости∆sf(t) := f(t)− f(s1, t2)− f(t1, s2) + f(s), s, t ∈ R2+.Нехай T = (T1, T2) ∈ (0,∞)2, [0, T ] = [0, T1] × [0, T2].ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 29W β1,β21 = Wβ1,β21 ([0, T ]) — простiр вимiрних функцiй f : [0, T ] → R, для яких‖f‖1,β1,β2 = sup06s<t6T(|∆sf(t)|(t1 − s1)β1(t2 − s2)β2+1(t2 − s2)β2t1∫s1|ft−(u, s2)− ft−(s)|(u− s1)1+β1du++1(t1 − s1)β1t2∫s2|ft−(s1, v)− ft−(s)|(v − s2)1+β2dv +∫[s,t]|∆sf(r)|(r1 − s1)1+β1(r2 − s2)1+β2dr)<∞,де ft−(s) := f(s) − f(s1, t2−) − f(t1−, s2) + f(t−).2.2. Загальна теорема. Нехай {Bt, t ∈ [0, T ]} — випадкове поле, яке задовольняє умови:1) Bt — гауссiвське;2) iснують сталi C > 0 та λ > 1 такi, що для будь-яких s, t ∈ [0, T ]E(∆sBt)26 C({t1 − s1}{t2 − s2})λ; (3)3) траєкторiї Bt — неперервнi з iмовiрнiстю 1.Розглянемо таку апроксимацiю:Bεt =1ε2t1+ε∫t1t2+ε∫t2Bsds =1ε2∫[0,ε]2Bs+tds.Теорема 4. Для довiльних β1, β2 ∈ (0, λ/2)‖Bε −B‖1,β1,β2P−→ 0, ε→ 0 + .2.3. Дробове броунiвське поле. Випадкове поле {BHt , t ∈ [0, T ]} називається дробовимброунiвським полем з iндексом Хюрста H = (H1,H2) ∈ (0, 1)2, якщо воно задовольняєумови:1) BHt — гауссiвське поле, BHt = 0, t ∈ ∂R2+;2) EBHt = 0, EBHt BHs =14∏i=1,2(t2Hii + s2Hii − |ti − si|2Hi).Таке поле має неперервну модифiкацiю завдяки критерiю Колмогорова. Його приростизадовольняють тотожнiстьE(∆sBHt )2 = |t1 − s1|2H1 |t2 − s2|2H2 .Тому для BHt нерiвнiсть (3) виконується з λ = 2min{H1,H2}. Таким чином, згiдно з теоре-мою 4, при Hi > 1/2 для довiльних β1, β2 ∈ (0,H1 ∧H2) має мiсце збiжнiсть апроксимацiй:‖BH,ε −BH‖1,β1,β2P−→ 0, ε→ 0+,де BH,εt =1ε2t1+ε∫t1t2+ε∫t2BHs ds.30 ISSN 1025-6415 Reports of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2011, №72.4. Анiзотропне мультифрактальне броунiвське поле. Розглянемо функцiю H(t) == (H1(t),H2(t)) : [0, T ] → (1/2, 1)2 . Нехай сталi µ, ν такi, що12< µ < mint∈[0,T ]Hi(t) 6 maxt∈[0,T ]Hi(t) < ν < 1, i = 1, 2.Припустимо, що iснують додатнi сталi c1, c2 такi, що для будь-яких t, s ∈ [0, T ]:(H1) |Hi(t)−Hi(s)| 6 c1(|t1 − s1|ν + |t2 − s2|ν);(H2) |∆sHi(t)| 6 c2(|t1 − s1| |t2 − s2|)ν .Мультифрактальне броунiвське поле {BH(t)t , t ∈ [0, T ]} з функцiональним iндексомХюрста H(t) визначається формулоюBH(t)t :=∫R2∏i=1,2[(ti − ui)Hi(t)−1/2+ − (−ui)Hi(t)−1/2+]dWu, t ∈ [0, T ],де s+ = max{s, 0}, W = {Ws, s ∈ R2} — стандартне вiнерiвське поле.Теорема 5. Траєкторiї поля BH(t)t неперервнi з iмовiрнiстю 1.Теорема 6. Iснує стала C > 0 така, що для будь-яких s, t ∈ [0, T ]E(∆sBH(t)t )26 C(|t1 − s1| |t2 − s2|)2µ.З теорем 5 i 6 випливає, що анiзотропне мультифрактальне броунiвське поле {BH(t)t , t ∈∈ [0, T ]} задовольняє умови теореми 4. Тому для довiльних β1, β2 ∈ (0, µ)‖BH(t),εt −BH(t)t ‖1,β1,β2P−→ 0, ε→ 0+,де BH(t),εt =1ε2t1+ε∫t1t2+ε∫t2BH(s)s ds.1. Peltier R. F., Lévy Véhel J. Multifractional Brownian motion: definition and preliminary results // INRIAresearch report. – 1995. – No 2645. – 39 p.2. Boufoussi B., Dozzi M., Marty R. Local time and Tanaka formula for a Volterra type multifractionalBrownian motion // Bernoulli. – 2010. – 16, No 4. – P. 1294–1311.3. Ральченко К.В., Шевченко Г.М. Властивостi траєкторiй мультифрактального броунiвського руху //Теорiя ймовiрностей. та матем. статистика. – 2009. – 80. – С. 106–116.4. Benassi A., Jaffard S., Roux D. Gaussian processes and pseudodifferential elliptic operators // Rev. Math.Iberoamer. – 1997. – 13, No 1. – P. 19–89.Надiйшло до редакцiї 14.10.2010Київський нацiональний унiверситетiм. Тараса ШевченкаK.V. RalchenkoAbsolute continuous approximations for multifractal processes and fieldsWe define absolute continuous stochastic processes that converge to a multifractal Brownian mo-tion in Besov-type spaces. The convergence of solutions of stochastic differential equations withsuch processes to a solution of the equation with multifractal Brownian motion is proved. Similarapproximations are constructed in the case of two-parameter processes.ISSN 1025-6415 Доповiдi Нацiональної академiї наук України, 2011, №7 31

Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами

This essay critically examines the extent to which binocular rivalry can provide important clues about the neural correlates of conscious visual perception. Our ideas are presented within the framework of four questions about the use of rivalry for this purpose: (i) what constitutes an adequate comparison condition for gauging rivalry's impact on awareness, (ii) how can one distinguish abolished awareness from inattention, (iii) when one obtains unequivocal evidence for a causal link between a fluctuating measure of neural activity and fluctuating perceptual states during rivalry, will it generalize to other stimulus conditions and perceptual phenomena and (iv) does such evidence necessarily indicate that this neural activity constitutes a neural correlate of consciousness? While arriving at sceptical answers to these four questions, the essay nonetheless offers some ideas about how a more nuanced utilization of binocular rivalry may still provide fundamental insights about neural dynamics, and glimpses of at least some of the ingredients comprising neural correlates of consciousness, including those involved in perceptual decision-making

Наближення мультифрактальних процесів і полів абсолютно неперервними процесами

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Наукова електронна бібліотека періодичних видань НАН України (Vernadsky National Library of Ukraine)

NARCIS

Utrecht University Repository