Vendrell Simón, Josep M.

Hemeroteca Cientifica Catalana

Omnis Cellula 19 7 Desembre 2008Un fractal és un objecte geomètric, l’es-tructura bàsica del qual, fragmentada o irregular, es repeteix a diferents esca-les. A un objecte fractal, se li atribueix un seguit de característiques: – és una figura geomètrica com-plexa i una massa irregular infi-nita per poder ser descrit en ter-mes geomètrics tradicionals, – té detall en qualsevol escala d’observació, – és autosimilar (exacta, aproxi-mada o estadísticament),– la dimensió de Hausdorff-Besi-covitch és estrictament més gran que la dimensió topològica, i – es defineix mitjançant un sim-ple algorisme recursiu. Processos regits per lleis estrictament deterministes (per exemple, la tempera-tura en un punt de la Terra) donen lloc a futurs incerts i impredictibles, dels quals l’únic que sabem és que vaguen gairebé aleatòriament per regions geomètriques d’estructura molt irregular: són els pro-cessos caòtics de tipus determinista. Si a això afegim l’existència de processos purament aleatoris, el resultat és una na-tura amb formes molt irregulars i caprit-xoses. La geometria fractal pretén, entre altres coses, trobar ordre i regularitats en formes geomètriques que semblen caòti-ques. La teoria del caos i la dels fractals són dos temes que sovint han aparegut junts. Denominem caos el comportament impredictible d’un sistema determinista, atesa la gran sensibilitat respecte a les condicions inicials. Caòtic no és sinònim de fractal. Tanmateix, el caos i els fractals sí que tenen aspectes en comú. Alguns fenòmens caòtics tenen una estructura fractal subjacent (per exemple, els atrac-tors). Tot i l’aparent complexitat, ambdós solen tenir una formulació senzilla.A la natura hi ha molts processos que porten a formes irregulars; dos dels més importants són el de separació i el de ramificació.La frontera de separació de dos me-dis se sol caracteritzar pel fet que, si es mira a qualsevol escala, sempre es troben incursions d’un medi en l’altre; per això, si s’augmenta el grau de resolució del me-surament de longitud o de l’àrea, aques-tes augmenten indefinidament. Si es vol tenir en compte aquest comportament, la modelització d’aquestes fronteres s’ha de fer amb corbes fractals, perquè la lon-gitud és infinita. Aquest tipus de mode-litzacions s’empren per estudiar costes o accidents geològics, entre d’altres.El procés de ramificació és un procés de creixement fractal molt important per simular el creixement en éssers vius, atès que pot explicar per si sol la formació d’un gran nombre d’arbres, plantes, algues, etc. Cada una d’aquestes formacions se-gueix pautes diferents de ramificació, fins i tot dins de la mateixa espècie, però to-tes es basen en el mateix concepte. Fre-qüentment, també trobem la ramificació en l’anatomia humana, on són abundants les estructures fractaliformes que podem observar en xarxes nervioses, xarxes dels vasos sanguinis, etc. Encara que les orga-nitzacions anatòmiques fractals citades serveixen a funcions fisiològiques apa-rentment dispars, totes tenen en comú que augmenten la superfície funcional. Les ramificacions i els replecs fractals augmenten notablement la superfície de les àrees d’absorció (com l’intestí), de dis-tribució o recol·lecció (conductes biliars) i del procés d’informació (terminacions nervioses). A causa de la redundància i la irregularitat d’aquests, són forts i resis-tents a les lesions. El cor, per exemple, és un òrgan l’arquitectura fractal del qual és evident en les pautes de ramificació dels músculs, del sistema de vasos sanguinis i del sistema His-Purkinje (encarregat de conduir els impulsos elèctrics cardíacs), la qual cosa permet una solidesa i un aprofitament dels recursos més gran.Recentment han aparegut estudis pro-metedors sobre l’aplicació dels fractals en l’estudi de cert tipus de tumors. Es creu que és possible anticipar l’aparició d’un tumor mitjançant fractals, ja que ambdós evolucionen de manera semblant (alguns tumors es ramifiquen de manera fractal).Finalment, val la pena remarcar que, a part del valor artístic –qui no s’ha dei-xat mai seduir per un gràfic fractal?–, els fractals s’usen molt en la compressió d’imatges en informàtica, en la indústria cinematogràfica (les llunes d’Endor a El retorn del Jedi són imatges fractals) i en economia i finances (es mesura millor el risc), i fins i tot existeix la música fractal. IGEOMETRIA FRACTAL DE LA NATURALa geometria sempre ha tingut un paper de primer ordre en les cièn·cies naturals. Durant la dècada dels noranta es va veure que la geometria fractal pot ser un bon instrument per entendre millor el que ens envolta i intentar modelitzar·ho. El concepte i la paraula fractal, els va proposar el 1975 el matemàtic Benoît Mandelbrot. Tot i que fa anys que el món matemàtic i les ciències en general en coneixen l’existència i els utilitzen, encara no tenen una definició matemàtica precisa i d’acceptació general.Josep M. Vendrell Simón Universitat Politècnica de Catalunya© Harris Shiffman/Dreamstime.com  • ••• • 

Catalan

Geometria fractal de la natura

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Omnis Cellula 19 7 Desembre 2008
Un fractal és un objecte geomètric, l’es-
tructura bàsica del qual, fragmentada o 
irregular, es repeteix a diferents esca-
les. A un objecte fractal, se li atribueix 
un seguit de característiques: 
– és una figura geomètrica com-
plexa i una massa irregular infi-
nita per poder ser descrit en ter-
mes geomètrics tradicionals, 
– té detall en qualsevol escala 
d’observació, 
– és autosimilar (exacta, aproxi-
mada o estadísticament),
– la dimensió de Hausdorff-Besi-
covitch és estrictament més gran 
que la dimensió topològica, i 
– es defineix mitjançant un sim-
ple algorisme recursiu. 
Processos regits per lleis estrictament 
deterministes (per exemple, la tempera-
tura en un punt de la Terra) donen lloc a 
futurs incerts i impredictibles, dels quals 
l’únic que sabem és que vaguen gairebé 
aleatòriament per regions geomètriques 
d’estructura molt irregular: són els pro-
cessos caòtics de tipus determinista. Si 
a això afegim l’existència de processos 
purament aleatoris, el resultat és una na-
tura amb formes molt irregulars i caprit-
xoses. La geometria fractal pretén, entre 
altres coses, trobar ordre i regularitats en 
formes geomètriques que semblen caòti-
ques. La teoria del caos i la dels fractals 
són dos temes que sovint han aparegut 
junts. Denominem caos el comportament 
impredictible d’un sistema determinista, 
atesa la gran sensibilitat respecte a les 
condicions inicials. Caòtic no és sinònim 
de fractal. Tanmateix, el caos i els fractals 
sí que tenen aspectes en comú. Alguns 
fenòmens caòtics tenen una estructura 
fractal subjacent (per exemple, els atrac-
tors). Tot i l’aparent complexitat, ambdós 
solen tenir una formulació senzilla.
A la natura hi ha molts processos 
que porten a formes irregulars; dos dels 
més importants són el de separació i el 
de ramificació.
La frontera de separació de dos me-
dis se sol caracteritzar pel fet que, si es 
mira a qualsevol escala, sempre es troben 
incursions d’un medi en l’altre; per això, 
si s’augmenta el grau de resolució del me-
surament de longitud o de l’àrea, aques-
tes augmenten indefinidament. Si es vol 
tenir en compte aquest comportament, 
la modelització d’aquestes fronteres s’ha 
de fer amb corbes fractals, perquè la lon-
gitud és infinita. Aquest tipus de mode-
litzacions s’empren per estudiar costes o 
accidents geològics, entre d’altres.
El procés de ramificació és un procés 
de creixement fractal molt important per 
simular el creixement en éssers vius, atès 
que pot explicar per si sol la formació d’un 
gran nombre d’arbres, plantes, algues, 
etc. Cada una d’aquestes formacions se-
gueix pautes diferents de ramificació, fins 
i tot dins de la mateixa espècie, però to-
tes es basen en el mateix concepte. Fre-
qüentment, també trobem la ramificació 
en l’anatomia humana, on són abundants 
les estructures fractaliformes que podem 
observar en xarxes nervioses, xarxes dels 
vasos sanguinis, etc. Encara que les orga-
nitzacions anatòmiques fractals citades 
serveixen a funcions fisiològiques apa-
rentment dispars, totes tenen en comú 
que augmenten la superfície funcional. 
Les ramificacions i els replecs fractals 
augmenten notablement la superfície de 
les àrees d’absorció (com l’intestí), de dis-
tribució o recol·lecció (conductes biliars) 
i del procés d’informació (terminacions 
nervioses). A causa de la redundància i la 
irregularitat d’aquests, són forts i resis-
tents a les lesions. El cor, per exemple, és 
un òrgan l’arquitectura fractal del qual és 
evident en les pautes de ramificació dels 
músculs, del sistema de vasos sanguinis 
i del sistema His-Purkinje (encarregat de 
conduir els impulsos elèctrics cardíacs), 
la qual cosa permet una solidesa i un 
aprofitament dels recursos més gran.
Recentment han aparegut estudis pro-
metedors sobre l’aplicació dels fractals en 
l’estudi de cert tipus de tumors. Es creu 
que és possible anticipar l’aparició d’un 
tumor mitjançant fractals, ja que ambdós 
evolucionen de manera semblant (alguns 
tumors es ramifiquen de manera fractal).
Finalment, val la pena remarcar que, 
a part del valor artístic –qui no s’ha dei-
xat mai seduir per un gràfic fractal?–, 
els fractals s’usen molt en la compressió 
d’imatges en informàtica, en la indústria 
cinematogràfica (les llunes d’Endor a El 
retorn del Jedi són imatges fractals) i en 
economia i finances (es mesura millor el 
risc), i fins i tot existeix la música fractal. I
GEOMETRIA FRACTAL 
DE LA NATURA
La geometria sempre ha tingut un paper de primer ordre en les cièn·
cies naturals. Durant la dècada dels noranta es va veure que la geometria 
fractal pot ser un bon instrument per entendre millor el que ens envolta 
i intentar modelitzar·ho. El concepte i la paraula fractal, els va proposar 
el 1975 el matemàtic Benoît Mandelbrot. Tot i que fa anys que el món 
matemàtic i les ciències en general en coneixen l’existència i els utilitzen, 
encara no tenen una definició matemàtica precisa i d’acceptació general.
Josep M. Vendrell Simón 
Universitat Politècnica de Cata
lunya
©
 H
ar
ris
 S
hif
fm
an
/D
re
am
sti
me
.co
m  
• ••• 
• 


Geometria fractal de la natura

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hemeroteca Cientifica Catalana

Revistes Catalanes amb Accés Obert