Rey, Josep

Udina, Manuel

Hemeroteca Cientifica Catalana

120 noubiaix 36 desembre 2014 131mmacael racó del mmaca120 noubiaix 36Variacions sobre Fibonacci i el nombre d’orJosep Rey, Manuel UdinaEn aquest article volem referir-nos a alguns dels mòduls de les exposicions del Museu deMatemàtiques de Catalunya (MMACA) relacionats amb Fibonacci i el nombre d’or. En algunscasos es tracta demòduls interactius, i en d’altres, d’informació que es presenta en els pòstersde l’exposició. Pensem que els uns i els altres poden aportar idees per al possible treball aclasse d’aquesta temàtica.La successió de FibonacciLa successió de Fibonacci té l’origen en el tractat Liber abaci de Leonardo de Pisa (1170-1250),conegut com Fibonacci.En aquest llibre planteja la successió que s’obté a partir del «problemadels conills»: «Un homeva posar una parella de conills envoltats per tots els llocs per una paret. Quantes parellesde conills es poden produir a partir d’aquesta parella durant un any si se suposa que totsjuny 2015 121els mesos cada parella engendra una nova parella i que només es poden reproduir des delsegon mes?».Aquest problema es pot il·lustrar amb l’esquema següent en què cada cercle significa unaparella de conills, en blanc per a la parella jove i en negre per a quan ja es pot reproduir.1 21 3 5 8 13 21Cada columna representa un mes. El nombre de parelles que tenim cada mes és la successióde Fibonacci, en la qual es pot obtenir cada terme de manera recursiva fent la suma dels dosanteriors:1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3,2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8,5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21,13 + 21 = 34, 21 + 34 = 55,34 + 55 = 89, 55 + 89 = 144...Si per veure la proporció de creixement del nombre de parelles de conills mes a mes,dividim les d’un mes per les del mes anterior, obtenim resultats diferents, però cada vegadas’assemblen més i tendeixen al nombreΦ =1 +√52= 1,618033988749894848204586834365638117720309anomenat nombre d’or o proporció àuria:1/1 = 1 5/3 = 1,6666666 21/13 = 1,61538461589/55 = 1,6181818 2/1 = 2 8/5 = 1,634/21 = 1,619047619 144/89 = 1,617977528 3/2 = 1,513/8 = 1,625 55/34 = 1,617647059 233/144 = 1,618055555122 noubiaix 36Si volem calcular aquest límit, veiem quean+1an=an + an−1an= 1 +an−1an= 1 +1anan−1Ara observem que tant és límit d’aquesta successió el límit dean+1ancom el límit deanan−1(un terme dividit pel seu anterior). Així,L = 1 +1L,d’on L2 = L + 1 i L2 − L− 1 = 0. Resolent l’equacióL =1±√1 + 42=1±√52= Φ(considerant només la solució positiva).Rectangles de FibonacciSi construïm rectangles amb costats de nombres consecutius de la successió de Fibonacci, laproporció dels seu costats s’aproxima cada vegada més a la proporció àuria Φ.Això ho podem experimentar en un mòdul físic de l’exposició.Partim del fet que si sobreposem dos rectangles semblants fent coincidir, per exemple, doscostats i el vèrtex inferior esquerre, les diagonals coincideixen. Justament si homirem comenun sistema de coordenades amb origen en aquest vèrtex coincident, el pendent de la rectacorresponent a la diagonal dels rectangles és aquesta proporció (de fet, segons si hem posataquests rectangles en posició vertical o horitzontal, el pendent serà aquesta proporció Φ o lafracció recíproca 1/Φ).El mòdul disposa d’un tauler amb dos eixos de coordenades en el qual s’han dibuixat lesrectes y = Φx i y = (1/Φ)x, i d’uns quants rectangles que tenen per costats els de la successióde Fibonacci. Es pot anar comprovant com, a mesura que avancem en la successió, cadavegadamés el vèrtex lliure del rectangle s’ajusta a una de les dues rectes (segons que posemel costat llarg horitzontal o vertical).juny 2015 123L’espiral de FibonacciUna representació amb rectangles de la successió de Fibonacci ens va donant, en créixer,una aproximació cada cop més ajustada del rectangle auri. Presentem un mòdul en què elssuccessius quadrats són peces de fusta, i, a partir dels dos quadrats inicials, es poden anarafegint quadrats fins a obtenir un rectangle molt pròxim al rectangle auri. A més, en cada und’aquests quadrats hi ha gravat un quart de cercle que, en fer la construcció dels rectangles,va construint una espiral, l’espiral de Fibonacci.Aquesta espiral és una aproximació a l’espiral àuria, una espiral logarítmica (les que donenun model del creixement d’alguns caragols) que no es correspon, com de vegades es diu, ala del nautilus, que s’aproxima a una de logarítmica però no a l’àuria.També es disposa d’un «compàs auri» (instrument articulat que té tres puntes que sempreestan en proporció àuria) amb el qual podem veure com en els rectangles més grans lesmides dels costats s’ajusten més i més a la proporció àuria.Amb el mateix compàs podem comprovar com moltes mesures del cos humà també se-gueixen aquesta proporció.124 noubiaix 36Pantògraf auriUnpantògraf és un instrument dedibuix que serveix per a copiar dibuixos a escala. AlMMACAhem optat per fer pantògrafs on els dos dibuixos ja són fets, l’original i la còpia, i el visitantpot experimentar amb el seu funcionament.En el cas del pantògraf auri (d’escala 1:Φ), hem optat per posar-hi el dibuix de l’espiral àuria, ia més de posar-hi aquell del qual és còpia, hi hem posat també l’anterior del qual seria còpiaaquest, i l’anterior, i l’anterior... (mireu la imatge). El pantògraf serveix per a tots.En realitat, és una progressió geomètrica de dibuixos, de raó Φ. Com que les progressionsgeomètriques que s’acostumen a estudiar són numèriques, podemdir que el que es presentaen aquest mòdul és una progressió geomètrica-geomètrica.Secció àuriaEs tracta de dividir un segment en dues parts a i b de manera queab=a + ba.a ba b+Fixem-nos queab= 1 +bad’onab= 1 +1abi tal com hem vist abans,ab= Φ.juny 2015 125Construcció del rectangle auri amb regle i compàsConstrucció del rectangle auri plegant paperDel rectangle auri a la secció àuriaDe la secció àuria a l’angle auriα1FF + 1360◦Φ + 1=α1i d’aquí α = 137,50776.126 noubiaix 36LamargaridaÉs sabut que el nombre d’or és present a la naturalesa. Al MMACA hem volgut fer un mòdulper experimentar-ho. Hem escollit una margarida.Les flors acostumen a tenir els seus pètals ben distribuïts en cercle i en molts casos elspètals apareixen en simetries d’ordre 3, 4, 5... etc. Segurament aquesta simetria és un delscomponents de la seva bellesa.Aquest no és el cas de la margarida. De fet, no és una flor. És una flor composta i el queserien els pètals en realitat són flors exteriors que fan de pètals i s’anomenen lígules. A més,aquestes lígules no estan repartides simètricament i fins i tot es veuen desordenades. Potsemblar que estan repartides caòticament.De fet, en botànica s’anomena angle de divergència aquell que forma una lígula amb lasegüent (també s’utilitza el nom per a designar l’angle entre branques successives d’unarbre o la disposició de fulles al llarg d’una tija). Segons aquest angle, es poden obtenirdiferents configuracions. Perquè la distribució sigui òptima, «l’angle de divergència hauriade ser un múltiple irracional de 360◦: com més irracional més eficient. En teoria de nombreses considera que el nombre auri és el més irracional de tots els nombres» (Ian Stewart,Deshojando la margarita, Investigación y Ciencia, 222).Al mòdul s’hi pot veure la fotografia d’una margarida amb les lígules numerades de maneraque la número 1 és la més allunyada i la 13 és la més propera o recent. Hi ha un arc que fa137,5◦ i que és aproximadament l’angle auri. El visitant experimenta fent lliscar aquest arc alvoltant de la margarida i comprovant com a partir d’una lígula sempre s’arriba a la següent.juny 2015 127En cas que es vulgui portar a terme aquesta comprovació a classe amb l’alumnat, es potfer a partir de fotos fetes pels mateixos alumnes a alguna margarida o flor similar. En unareproducció de mida din A4 i havent retallat un angle de 137,5◦ en una transparència ipunxant el vèrtex en el centre de la margarida es poden fer les mateixes comprovacions. Defet, és divertit descobrir quina és la primera i quina la darrera, ja que a vegades no és ben clar.Només cal anar seguint el procés fins que falli. Aleshores, vol dir que la lígula anterior era ladarrera que anava bé. Fent el procés a la inversa, s’arriba, ara sí, fins a la primera.La targeta de crèditLes targetes de crèdit tenen unes proporcions similars a l’àuria. Si bé la intenció devia ser quefos àuria, es va fixar la norma ambmesures anglosaxones amb una aproximació raonable.21/8′′33/8′′3,375′′2,125′′= 1,58823529 . . . ≈ ΦEl nombre d’or com a fracció contínuaCom hem vist abans, Φ2 = Φ + 1, dividint per Φ tenim Φ = 1 + 1Φ, d’on es dedueix que eldesenvolupament del nombre auri en fracció contínua seràΦ = 1 +11 +11 +11 +11 +11 + · · ·Podem comprovar que agafant l’aproximació donada per un nombre finit de fraccionsobtenim una de les fraccions de Fibonacci.

Variacions sobre Fibonacci i el nombre d'or

Revistes Catalanes amb Accés Obert

120 noubiaix 36 desembre 2014 131
mmacael racó del mmaca
120 noubiaix 36
Variacions sobre Fibonacci i el nombre d’or
Josep Rey, Manuel Udina
En aquest article volem referir-nos a alguns dels mòduls de les exposicions del Museu de
Matemàtiques de Catalunya (MMACA) relacionats amb Fibonacci i el nombre d’or. En alguns
casos es tracta demòduls interactius, i en d’altres, d’informació que es presenta en els pòsters
de l’exposició. Pensem que els uns i els altres poden aportar idees per al possible treball a
classe d’aquesta temàtica.
La successió de Fibonacci
La successió de Fibonacci té l’origen en el tractat Liber abaci de Leonardo de Pisa (1170-1250),
conegut com Fibonacci.
En aquest llibre planteja la successió que s’obté a partir del «problemadels conills»: «Un home
va posar una parella de conills envoltats per tots els llocs per una paret. Quantes parelles
de conills es poden produir a partir d’aquesta parella durant un any si se suposa que tots
juny 2015 121
els mesos cada parella engendra una nova parella i que només es poden reproduir des del
segon mes?».
Aquest problema es pot il·lustrar amb l’esquema següent en què cada cercle significa una
parella de conills, en blanc per a la parella jove i en negre per a quan ja es pot reproduir.
1 21 3 5 8 13 21
Cada columna representa un mes. El nombre de parelles que tenim cada mes és la successió
de Fibonacci, en la qual es pot obtenir cada terme de manera recursiva fent la suma dels dos
anteriors:
1 + 1 = 2, 1 + 2 = 3,
2 + 3 = 5, 3 + 5 = 8,
5 + 8 = 13, 8 + 13 = 21,
13 + 21 = 34, 21 + 34 = 55,
34 + 55 = 89, 55 + 89 = 144...
Si per veure la proporció de creixement del nombre de parelles de conills mes a mes,
dividim les d’un mes per les del mes anterior, obtenim resultats diferents, però cada vegada
s’assemblen més i tendeixen al nombre
Φ =
1 +
√
5
2
= 1,618033988749894848204586834365638117720309
anomenat nombre d’or o proporció àuria:
1/1 = 1 5/3 = 1,6666666 21/13 = 1,615384615
89/55 = 1,6181818 2/1 = 2 8/5 = 1,6
34/21 = 1,619047619 144/89 = 1,617977528 3/2 = 1,5
13/8 = 1,625 55/34 = 1,617647059 233/144 = 1,618055555
122 noubiaix 36
Si volem calcular aquest límit, veiem que
an+1
an
=
an + an−1
an
= 1 +
an−1
an
= 1 +
1
an
an−1
Ara observem que tant és límit d’aquesta successió el límit de
an+1
an
com el límit de
an
an−1
(un terme dividit pel seu anterior). Així,
L = 1 +
1
L
,
d’on L2 = L + 1 i L2 − L− 1 = 0. Resolent l’equació
L =
1±√1 + 4
2
=
1±√5
2
= Φ
(considerant només la solució positiva).
Rectangles de Fibonacci
Si construïm rectangles amb costats de nombres consecutius de la successió de Fibonacci, la
proporció dels seu costats s’aproxima cada vegada més a la proporció àuria Φ.
Això ho podem experimentar en un mòdul físic de l’exposició.
Partim del fet que si sobreposem dos rectangles semblants fent coincidir, per exemple, dos
costats i el vèrtex inferior esquerre, les diagonals coincideixen. Justament si homirem comen
un sistema de coordenades amb origen en aquest vèrtex coincident, el pendent de la recta
corresponent a la diagonal dels rectangles és aquesta proporció (de fet, segons si hem posat
aquests rectangles en posició vertical o horitzontal, el pendent serà aquesta proporció Φ o la
fracció recíproca 1/Φ).
El mòdul disposa d’un tauler amb dos eixos de coordenades en el qual s’han dibuixat les
rectes y = Φx i y = (1/Φ)x, i d’uns quants rectangles que tenen per costats els de la successió
de Fibonacci. Es pot anar comprovant com, a mesura que avancem en la successió, cada
vegadamés el vèrtex lliure del rectangle s’ajusta a una de les dues rectes (segons que posem
el costat llarg horitzontal o vertical).
juny 2015 123
L’espiral de Fibonacci
Una representació amb rectangles de la successió de Fibonacci ens va donant, en créixer,
una aproximació cada cop més ajustada del rectangle auri. Presentem un mòdul en què els
successius quadrats són peces de fusta, i, a partir dels dos quadrats inicials, es poden anar
afegint quadrats fins a obtenir un rectangle molt pròxim al rectangle auri. A més, en cada un
d’aquests quadrats hi ha gravat un quart de cercle que, en fer la construcció dels rectangles,
va construint una espiral, l’espiral de Fibonacci.
Aquesta espiral és una aproximació a l’espiral àuria, una espiral logarítmica (les que donen
un model del creixement d’alguns caragols) que no es correspon, com de vegades es diu, a
la del nautilus, que s’aproxima a una de logarítmica però no a l’àuria.
També es disposa d’un «compàs auri» (instrument articulat que té tres puntes que sempre
estan en proporció àuria) amb el qual podem veure com en els rectangles més grans les
mides dels costats s’ajusten més i més a la proporció àuria.
Amb el mateix compàs podem comprovar com moltes mesures del cos humà també se-
gueixen aquesta proporció.
124 noubiaix 36
Pantògraf auri
Unpantògraf és un instrument dedibuix que serveix per a copiar dibuixos a escala. AlMMACA
hem optat per fer pantògrafs on els dos dibuixos ja són fets, l’original i la còpia, i el visitant
pot experimentar amb el seu funcionament.
En el cas del pantògraf auri (d’escala 1:Φ), hem optat per posar-hi el dibuix de l’espiral àuria, i
a més de posar-hi aquell del qual és còpia, hi hem posat també l’anterior del qual seria còpia
aquest, i l’anterior, i l’anterior... (mireu la imatge). El pantògraf serveix per a tots.
En realitat, és una progressió geomètrica de dibuixos, de raó Φ. Com que les progressions
geomètriques que s’acostumen a estudiar són numèriques, podemdir que el que es presenta
en aquest mòdul és una progressió geomètrica-geomètrica.
Secció àuria
Es tracta de dividir un segment en dues parts a i b de manera que
a
b
=
a + b
a
.
a b
a b+
Fixem-nos que
a
b
= 1 +
b
a
d’on
a
b
= 1 +
1
a
b
i tal com hem vist abans,
a
b
= Φ.
juny 2015 125
Construcció del rectangle auri amb regle i compàs
Construcció del rectangle auri plegant paper
Del rectangle auri a la secció àuria
De la secció àuria a l’angle auri
α1F
F + 1
360◦
Φ + 1
=
α
1
i d’aquí α = 137,50776.
126 noubiaix 36
Lamargarida
És sabut que el nombre d’or és present a la naturalesa. Al MMACA hem volgut fer un mòdul
per experimentar-ho. Hem escollit una margarida.
Les flors acostumen a tenir els seus pètals ben distribuïts en cercle i en molts casos els
pètals apareixen en simetries d’ordre 3, 4, 5... etc. Segurament aquesta simetria és un dels
components de la seva bellesa.
Aquest no és el cas de la margarida. De fet, no és una flor. És una flor composta i el que
serien els pètals en realitat són flors exteriors que fan de pètals i s’anomenen lígules. A més,
aquestes lígules no estan repartides simètricament i fins i tot es veuen desordenades. Pot
semblar que estan repartides caòticament.
De fet, en botànica s’anomena angle de divergència aquell que forma una lígula amb la
següent (també s’utilitza el nom per a designar l’angle entre branques successives d’un
arbre o la disposició de fulles al llarg d’una tija). Segons aquest angle, es poden obtenir
diferents configuracions. Perquè la distribució sigui òptima, «l’angle de divergència hauria
de ser un múltiple irracional de 360◦: com més irracional més eficient. En teoria de nombres
es considera que el nombre auri és el més irracional de tots els nombres» (Ian Stewart,
Deshojando la margarita, Investigación y Ciencia, 222).
Al mòdul s’hi pot veure la fotografia d’una margarida amb les lígules numerades de manera
que la número 1 és la més allunyada i la 13 és la més propera o recent. Hi ha un arc que fa
137,5◦ i que és aproximadament l’angle auri. El visitant experimenta fent lliscar aquest arc al
voltant de la margarida i comprovant com a partir d’una lígula sempre s’arriba a la següent.
juny 2015 127
En cas que es vulgui portar a terme aquesta comprovació a classe amb l’alumnat, es pot
fer a partir de fotos fetes pels mateixos alumnes a alguna margarida o flor similar. En una
reproducció de mida din A4 i havent retallat un angle de 137,5◦ en una transparència i
punxant el vèrtex en el centre de la margarida es poden fer les mateixes comprovacions. De
fet, és divertit descobrir quina és la primera i quina la darrera, ja que a vegades no és ben clar.
Només cal anar seguint el procés fins que falli. Aleshores, vol dir que la lígula anterior era la
darrera que anava bé. Fent el procés a la inversa, s’arriba, ara sí, fins a la primera.
La targeta de crèdit
Les targetes de crèdit tenen unes proporcions similars a l’àuria. Si bé la intenció devia ser que
fos àuria, es va fixar la norma ambmesures anglosaxones amb una aproximació raonable.
21/8′′
33/8′′
3,375′′
2,125′′
= 1,58823529 . . . ≈ Φ
El nombre d’or com a fracció contínua
Com hem vist abans, Φ2 = Φ + 1, dividint per Φ tenim Φ = 1 + 1
Φ
, d’on es dedueix que el
desenvolupament del nombre auri en fracció contínua serà
Φ = 1 +
1
1 +
1
1 +
1
1 +
1
1 +
1
1 + · · ·
Podem comprovar que agafant l’aproximació donada per un nombre finit de fraccions
obtenim una de les fraccions de Fibonacci.


http://revistes.iec.cat/index.php/noubiaix/article/download/139298/140950

Variacions sobre Fibonacci i el nombre d'or

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hemeroteca Cientifica Catalana

Revistes Catalanes amb Accés Obert