El objetivo de este artículo es dar al lector una visión
global de los Códigos Turbo a modo de tutoriaI. No
pretende introducir ninguna innovación en el campo,
sino evitar la tarea de tener que recurrir a muchas
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fundamentales de la codificación Turbo: qué es y las
bases de su funcionamiento.Peer Reviewe

Calvo Page, Eduard

Ribot Caner, jaume

Ribot Caner, Jaume

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INTRODUCCIÓN A LOS CÓDIGOS TURBO Eduard Calvo Page, Jaume Ribot Caner Estudiantes de la ETSETB y Miembros de la Rama de Estudiantes de/ IEEE de Barcelona {eduard25,jaume25J@casal.L/pc.es ABSTRACT El objetivo de este artículo es dar al lector una visión global de los Códigos Turbo a modo de tutoriaI. No pretende introducir ninguna innovación en el campo, sino evitar la tarea de tener que recurrir a muchas fuentes demasiado específicas. Se tratarán los aspectos fundamentales de la codificación Turbo: qué es y las bases de su funcionamiento. o. INTRODUCCIÓN Desde que Shannon inició la Teoría de la [nformación en 1.948 con su hi stórico artículo 'A Mathematical Theory of Communication', la codificación de canal se ha convertido en una rama fundamental de ella. Su objetivo es conseguir fiabilidad en la transmisión de información entre fuente y destino. Es decir, poder reducir tanto como se quiera la probabilidad de error en recepción causada por lo efectos negati vos del medio físico: canal, interferencias y ruido. Para ello emplea códigos que protegen la información con redundancia para dotarla de mayor robustez. Los primeros trabajos, a medio cam ino e ntre el álgebra a bstrac ta y la ingeniería, se centraro n e n la bú sq ueda de códigos bloque llamados 'perfectos', dotados de una estructura a lgebraica co ncreta (códigos de Hamming, BCH, Reed-Solomon ... ). E l primer punto y aparte e produjo con e l trabajo de Ungerboeck, que en 1.982 introdujo lo s códigos TCM (' Tr ellis Coded Modulation ') [1]. Su aportación revolucionó la transmi ión sobre canales limitados en banda, permitiendo a los i temas trabajar cercanos al límite de capacidad (el número de bps máximo que podemos transmitir con una probabilidad de e rror arbitrariamente baj a). El mayor progreso desde entonces s in ninguna duda so n los Códigos Turbo. Presentados en 1.993 por Berrou et.al. [2], representan un a innovación total t anto en s u co nstru cc ió n (he urí tica, sin ninguna base matemática) como en su decodificac ión (iterativa y que recupera conceptos ya presentes en los códigos LDPC de Gallager [3], 1.963). 4 Su extraordi nario buen comportamjento (rozando el límite de capac idad deShannon) hizoqueen un principio se recibieran con escepticismo, que luego tuvo que transfo rmarse en una búsqueda del porqué de su bondad . Actualmente son omnipresentes, pudiéndose enco ntrar en multitud de aplicaciones de comunicaciones espaciales, pero también en el estándar UMTS, WLANy en TV digital. 1. EL CODIFICADOR El codificador Turbo co nsis te en la conca te nació n de dos códigos continuos recursivos y s is temáticos, denominados codifi cadores co ns titu yentes , que operan uno sobre la info rm ac ión a codificar (la parte sistemática) y e l otro sobre un a vers ión perm utada (entre lazada) de la misma, tal y como mu estra la Figura l. .. b, g , (O) b, .. .. ,- g,(O) p :1) Puncturing I;I , .. D(b, ) P:" (opciollal) p , .. g , (O) .. g ,(O) Figura 1. Diagrama de bloques del codificador Seguidamente se comenta la función de cada bloque del diagrama anterior. 1.1. CODIFlCADORES CONSTITUYENTES A lo codificadores conti nuos que se concatenan en paralelo se les denomina const itu ye nte s, caracterizados por dos polinomios: uno defeedback ( g, (D ) ) y otro de feedforward ( g 2 (D )). Estos codificadores son recursivos y s is temáticos, s iendo su ma tri z generadora GRS = [1 g2 (D )j g, (D )], de la cual se extrae únicame nte la ra ma de paridad . Su implementac ión con regi s tros de desplazami e nto se muestra e n la Figu ra 2. B URAN N"20 D ICIEMBRE 2003 b, I gil KI2 g¡{K 1) ! ~ D -----~=:Q]_ --'Dl---J Figura 2. Estructura de un codificador continuo, recursivo y sistemático Cualquier diseño de un codificador de canal intenta maximizar la distancia mínima entre dos palabras código. Para un código lineal, esta distancia se corresponde con el peso mínimo de entre todas las palabras código distintas de la todo ceros. Como todos los bloques que conforman el codificador Turbo son lineales, este en su conjunto también lo es. Por lo tanto, para maximizar su distancia interesa que las paridades sean de mucho peso. Es por ello que los constituyentes se implementan recursivamente ya que únicamente aquellas secuencias de entrada múltiples de gl (D) darán una paridad finita (poco peso). En caso contrario, el enrejado nunca converge al estado de reposo y al truncar la paridad a un número de bits igual al tamaño de bloque de la entrada ( N ) es de esperar que hayan tantos unos como ceros en media (mucho peso). Interesa que haya pocas secuencias divisibles entre y por ello este polinomiJ se escoge primitivo. La notación usada en la literatura para describir estos códigos consiste en la representación octal de los dos polinomios. En la Tabla 1 se adjunta un ejemplo. Tabla 1. Ejemplo de notación de un código constituyente l.2.ENTRELAZADOR(INTERLEA VER) Un entrelazador 1T: es una bloque lineal que mapea una secuencia de N bits de entrada U = (u p u2 , ••• , U N) en otra secuencia de salida que corresponde a una permutación de la entrada, de manera que para describir el entrelazador empleamos un vector conteniendo las transposiciones denotadas por 1t = (1T: l' 7r 2 , ••• , 1T: N ) de manera que la salida 1T: (u) se obtiene como u'1I:(i) = u¡ para i = 1, ... , N . La función del entrelazador es desordenar suficientemente la secuencia de bits de entrada para que si ésta era divisible por g 1 (D) a la entrada del .. RAMA DE EsTUDIANTES DEL IEEE DE BARCELONA primer constituyente, no lo sea a la entrada del segundo. Así reduciremos la probabilidad de que ambas ramas de paridad tengan un peso pequeño, aumentando la distancia mínima del código y mejorando con ello sus prestaciones. Los más utilizados son los llamados S-random [5][6] , aunque debido al excesivo tiempo de cálculo que se requiere para encontrarlos cuando el tamaño de bloque es grande también se usan los entrelazadores rectangulares (<<block interleavers»). Estos últimos se implementan escribiendo fila a fila los bits en una matriz y leyéndolos columna a columna. 1.3. PUNCTURING La tasa que ofrece un código turbo sin puncturing es r=1I3 (por cada N bits de infdrmación obtenemos 3N bits de palabra código a la salida). Este overhead, aunque necesario en algunas aplicaciones que exijan mu~ha robustez, puede ser excesivo en escenarios con restricciones de retardo donde es más apropiada una tasa mayor. Es por ello que puede incluirse un bloque de puncturing que elimine ciertos bits de redundancia. Esta eliminación aunque puede hacerse, por ejemplo, quedándose con los bits pares del primer constituyente y los impares del segundo [1] existen otros métodos más sofisticados para eliminar periódicamente ciertos bits [7][8]. 2. DECODIFICACIÓN La decodificación de los códigos turbo puede que se trate en profundidad en próximos trabajos así que en el 'presente sólo se pretenden introducir aquellos aspectos más básicos. Se considerará que se usa una modulación BPSK sobre canal A WGN. Todo algoritmo de decodificación turbo consiste en obtener iterativamente la siguiente métrica para cada bit de información: LLR(b ) = IOg( P(bk = 1) J= IOg( P(bk = 1/ y) J k P(bk = O) P(bk = O/y) Esta métrica se denomina Log-Likelihood Ratio y es novedosa en el sentido que no está basada en el criterio ML ('Maximum Likelihood') como el algoritmo de Viterbi [9], que es el que tradicionalmente se ha usado para la decodificación de los códigos continuos. Este cambio fue necesario debido a la complejidad de la aplicación de este criterio a los códigos Turbo (se describirían con un enrejado de tamaño prohibitivo), que emplean el algoritmo BCJR [10] y sus modificaciones de menor complejidad, Log-MAP y max-Log-MAP [11], para aplicar el MAP ('MaximumA Posteriori'). 5 La decisión a partir del LLR se basa en su signo. Cuando es positivo se decide 1 y O en caso contrario. Este modo de proceder constituye lo que se denomina una decodificación softporque el valor absoluto del LLR es una medida de la confianza en la decisión. Además, cuantas más iteraciones realicemos para calcular esta métrica con más precisión obtendremos su valor real. 3. SIMULACIONES Para ilustrar los aspectos más importantes que influyen en el diseño de un código turbo, se ha realizado una implementación. El objetivo es observar la variación de las prestaciones globales (en cuanto a tasa de error de bit, BER) del código con la variación de los bloques que lo forman (tamaño de bloque, entrelazador, iteraciones ... ). En una primera simulación (Figura 3) hemos comprobado la evolución de la BER con el número de iteraciones del decodificador (usando el algoritmo max-Log-MAP). Figura 3. Variación del número de iteraciones en decodificación. Como es de esperar, al incrementar el número de iteraciones la probabilidad de error de bit disminuye drásticamente, aunque no de forma proporcional. Al pasar de una a cuatro iteraciones, la ganancia de codificación es muy grande, pero una vez que el algoritmo converge el aumento en la capacidad de corrección es menor, no compensando la mejora de la BER con el aumento de la complejidad de la decodificación (más iteraciones implica mayor retardo de decodificación). En todas las gráficas siguientes se tomarán 4 iteraciones para decodificar. La siguiente simulación (Figura 4), pretende mostrar, para un mismo código turbo (tamaño de bloque N = 200, 4 iteraciones y entrelazador S-random con 6 s = 9) cómo afecta la elección de los codificadores constituyentes. Para el primer caso usamos como constituyente el código [7,5] (de polinomios g¡ (D) = 1 + D + D 2 Y g2 (D) = 1 + D2) y para el segundo el [37,21] (con N=400 y S =9 ). En el primer caso, el código constituyente es de cuatro estados mientras que el segundo es de 16. Por ello, esperaríamos que el código [37,21] ofreciera una BER mucho mejor. Sin embargo, sólo es primitivo en el primer caso por lo que todo lo que se gana al poner un constituyente cuatro veces más complejo se pierde si no se escogen adecuadamente los polinomios, como se observa en la figura. 1 Eb/No [dB] Figura 4. Uso de diferentes polinomios constituyentes. Una tercera simulación (Figura 5) comprueba la importancia del entrelazador escogido para la codificación. Se han escogido dos de los más habituales, un S-random y un rectangular (denotado como block) para un mismo tamaño de bloque N = 200. Aunque el tamaño de bloque no es lo suficientemente grande como para apreciar diferencias significativas, sí que se observa que para Eb/No' s medias y altas, el S-random supera en un orden de magnitud al rectangular. Esta diferencia se acentuaría aún más si tratásemos con tamaños de bloque del orden de miles de bits. Sin embargo, el tiempo de cálculo y la complejidad del algoritmo de búsqueda de los entrelazadores S-random crece exponencialmente con el tamaño de bloque (aunque se han presentado algunas propuestas para reducir ambos [12][13]) y hace casi imposible atacar el problema si no es usando supercomputadoras. La cuarta y última simulación (Figura 6) ilustra la influencia del tamaño de bloque. BURAN N°20 DICIEMBRE 2003 1 EblNo [dB] Figura 5. Uso de diferentes entrelazadores. 1 EblNo [dB] Figura 6. Variación del tamaño de bloque, N. Entendemos como tamaño de bloque la longitud de la secuencia de entrada que cogemos para pasar a través de los codificadores constituyentes y el entrelazador. Se observa claramente que cuanto mayor es esa longitud, mejor BER obtenemos a la salida. El uso de tramas mayores pretende dotar de capacidad de corrección a bits muy alejados entre sí, haciendo más efectivo el empleo del entrelazador. Sin embargo, y al igual que ocurría con las iteraciones, la ganancia de codificación no es proporcional al tamaño de bloque (al menos si se usan entrelazadores rectangulares). 4. CONCLUSIONES En el presente artículo, se ha dado una visión global de las características principales de los códigos turbo. En una primera parte, se ha presentado tanto el codificador como el decodificador de forma general. Una vez comentados los parámetros influyentes en las prestaciones del código, hemos realizado una serie de simulaciones para contrastar las previsiones teóricas con los resultados obtenidos a través de la implementación del algoritmo . • RAMA DE ESTUDIANTES DEL IEEE DE BARCELONA Como conclusiones, resaltamos los siguientes puntos: - Los códigos turbo suponen un punto y a parte en la codificación de canal, sobrepasando en prestaciones cualquier código existente hasta el momento de su aparición. - Presentan una estructura novedosa pero aplicando conceptos aparecidos hace tiempo (decodificación «soft» iterativa o aleatorización en la secuencia de entrada), que mezclados y aplicados de forma inteligente, forman una estructura que obtiene una calidad excelente. - Centrándonos en el propio código, apreciamos varios parámetros que influyen directamente sobre su calidad. Vemos que a igualdad de códigos constituyentes, dos codificadores turbo pueden ofrecer prestaciones completamente diferentes dependiendo del entrelazador usado. - También vemos que el tamaño de la secuencia de entrada es un parámetro muy importante, ya que a mayor longitud de trama, mayor capacidad de corrección. Sin embargo, la elección de este parámetro debe surgir de un compromiso entre BER y retardo, pues éste último aumenta con el tamaño de bloque. - Por más complejo que sea el algoritmo de búsqueda del entrelazador deseado, una vez encontrado la complejidad de la codificación turbo es parecida. - Existen gran multitud de alternativas de diseño de entrelazad ores [14-19] dependiendo de la aplicación en concreto, estando la mayoría de ellas basadas en métodos heurísticos. - Según lo visto, no hemos encontrado un métrica única que permita comparar la bondad de distintos entrelazadores. 5. BffiLIOGRAFÍA [1] G. Ungerboeck, «Channel coding with multilevelJ phase signals», IEEE Transactíons on Informatíon Theory, vol. IT-28, pp. 55-67, Jan. 1982. [2] C. Berrou, A. Glavieux, and P. Thitimajshima, «Near Shannon limit error-correcting coding and decoding: Turbo-codes», Proc. IEEE Int. Con! on Comm., Geneva, Switzerland, vol. 2, pp. 1064-1070, May 1993. [3] R. G. Gallager, «Low Density Parity Check Codes», Monograph, M.I.T. Press, 1963. [4] W. E. Ryan, «A Turbo Code Tutorial». 7 [5] S. Oolinar, O. Oivsalar, «Weight Oistributions forTurbo Codes Using Random and Nonrandom Permutations», TDA Progress Report, (1999), 42-122. [6] O. Oivsalar and F. Pollara, «Multiple turbo codes for deep-space communications», TDA Progress Reporl 42-121 , Jet Propul sion Laboratory, Pasadena, California, pp. 66-77, May 15, 1995. [7] 1. Hagenaue r, «Rate-Compatible Punctured Con volutional Code (RCPC Codes) and their Application s», IEEE Transaetions on Communieations, vol. 36, no. 4, April 1988. [8] T. Ji, W.E. Stark, «Turbo-Coded ARQ Schemes for OS-COMA Data Networks O ver Fading a nd Shadowing Channels: Throughput, Oelay, and Energy Efficiency», IEEE Joumal on Seleeted Areas in Communieation, vol. 18, no. 8, August 2000. [9] A. 1. Viterbi ,»Error bounds fo r convolutional codes and an asymptotically optimal decoding algorithrn», IEEE Transaetionson Info rmation Theory, IT -13:260-269, 1967. [lO] L. Bah!, 1. Cocke, F. l elinek, and 1. Raviv, «Optimal decoding of linear codes fo r minimizing symbol error rate», IEEE Trans. In! Theory, pp. 284-287, Mar. 1974. [11 ] 1.P. Woodard and L. Hanzo, «Comparati ve Study of Turbo Oecoding Technique : An Overview», IEEE Transaetions on Vehieular Teehnology, vol. 49, no. 6, oV.2000. [1 2] B. G. Lee, S. 1. Bae, S. G. Kang, and E. K. 100, «Oes ign of swap in terl eaver for tu rbo codes», Eleetronie Letters, vo1. 30, no. 4, pp. 287-288, Feb. 1994. [13] B. G. Lee, S. 1. Bae, C. K. l eong, and E. K. Joo, «Performance Analy is of Swap Interleaver for Turbo Codes», Proe. ICT '2001. [14] H. R. Sadjapour, M. Salehi , . 1. A. Sloane, and G. ebe, «Interleaver design for short block length Turbo codes», submitted ro ICC2000, New Orleans, LA. [15] 1. Hokfelt and T. Maseng, «MethodicaJ interl eaver des ign for turbo codes», 1m. Symposium on Turbo Codes & Related Topies, pp. 2 12-2 15, Brest, France, Sept. 1997. [16] 1. A. Briffa and V. Buttigieg, «Interleavers for Unpunctured Symmetric Turbo Codes», Proe. Ofthe IEEE 1m. Symposium on Information TheOly, pA50, Sorrento, Italy, Jun 25-30, 2000. 8 [17] M. Breiling, S. Peeter , and 1. Huber, «The Class of Oouble Terrninating Turbo Code Interleavers», lEE Eleetronie Letters, no.5, 99. 389-391. [18] M. Breiling and 1. Huber, «Interleaver Oesign for Turbo Codes Using a Backtracking AIgorithm», submitted ro (he ICC2000. [19] A. Henriksson, 1. Hokfelt, O. Edfors, «Evaluation of an lnterleaver Oesign A1 gorithm for Turbo Codes in UMTS», ETSI SMG2 UMTS-L 1 Expert Group Tdoc 419/98. [20] L. C. Perez, 1. Seghers, and OJ . Costello, «A distance spectrum interpretation of turbo codes», IEEE Trans. Inform. TheOly, vol.IT-42, no. 6, pp. 1698- 1709, ovo 1996. 6. AUTORES Eduard Calvo Page es estudiante de 5° curso de Inge niería S uperior de Telecomunicac ión en la ETSETB (U PC) , especialidad en Co m uni c a c iones . Vin culado actualmen te al proyec to europeo R OMANTI K a través d e l deparzamento de Teoría de la Señal y Comuni cac iones, in ves tiga sobre la combinación de esquemas de transmisión coopera tiva , técnicas avanzadas de codificac ión de canal y el uso de di ve rsidad espacial para el aumento de la capacidad en el HSDPA de UMTS. Es miem bro de la Rama de Es tudiantes del IEEE de Barcelona desde 2001. Jaum e Rib ot Caller es Ing en iero Técnico de Tele comunicación por la Esco la Univers ita ria Poli/ecnica de Vilano va i la Geltrú (EUPVG ), de la Uni ve rsita t Politecn ica de Catalunya (U PC) . A c tualmente se encuentra finali zando sus estudios de Ingeniería Superior de Telecomunicaciones en la Escola Tecnica Superior d ' Eng inyeria d e Telecomunicació de Barcelona (ETSETB) también de la UPC, donde a la vez es becario del departa mento de Telemática trabajando en temas de comunicaciones móviles y redes Ad- Hoc, den tro del p royecto 12Cal. Es miembro de la Rama de Es tudiantes del IEEE d e Barcelona desde el presente año. 

Introducción a los códigos Turbo

El objetivo de este artículo es dar al lector una visión

global de los Códigos Turbo a modo de tutoriaI. No

pretende introducir ninguna innovación en el campo,

sino evitar la tarea de tener que recurrir a muchas

fuentes demasiado específicas. Se tratarán los aspectos

fundamentales de la codificación Turbo: qué es y las

bases de su funcionamiento.Peer Reviewe

UPCommons

Revistes Catalanes amb Accés Obert

INTRODUCCIÓN A LOS CÓDIGOS TURBO 
Eduard Calvo Page, Jaume Ribot Caner 
Estudiantes de la ETSETB y Miembros de 
la Rama de Estudiantes de/ IEEE de Barcelona 
{eduard25,jaume25J@casal.L/pc.es 
ABSTRACT 
El objetivo de este artículo es dar al lector una visión 
global de los Códigos Turbo a modo de tutoriaI. No 
pretende introducir ninguna innovación en el campo, 
sino evitar la tarea de tener que recurrir a muchas 
fuentes demasiado específicas. Se tratarán los aspectos 
fundamentales de la codificación Turbo: qué es y las 
bases de su funcionamiento. 
o. INTRODUCCIÓN 
Desde que Shannon inició la Teoría de la [nformación en 
1.948 con su hi stórico artículo 'A Mathematical Theory 
of Communication', la codificación de canal se ha 
convertido en una rama fundamental de ella. Su objetivo 
es conseguir fiabilidad en la transmisión de información 
entre fuente y destino. Es decir, poder reducir tanto como 
se quiera la probabilidad de error en recepción causada 
por lo efectos negati vos del medio físico: canal, 
interferencias y ruido. Para ello emplea códigos que 
protegen la información con redundancia para dotarla de 
mayor robustez. 
Los primeros trabajos, a medio cam ino e ntre el 
álgebra a bstrac ta y la ingeniería, se centraro n e n la 
bú sq ueda de códigos bloque llamados 'perfectos', 
dotados de una estructura a lgebraica co ncreta 
(códigos de Hamming, BCH, Reed-Solomon ... ). E l 
primer punto y aparte e produjo con e l trabajo de 
Ungerboeck, que en 1.982 introdujo lo s códigos 
TCM (' Tr ellis Coded Modulation ') [1]. Su 
aportación revolucionó la transmi ión sobre canales 
limitados en banda, permitiendo a los i temas 
trabajar cercanos al límite de capacidad (el número 
de bps máximo que podemos transmitir con una 
probabilidad de e rror arbitrariamente baj a). El 
mayor progreso desde entonces s in ninguna duda 
so n los Códigos Turbo. 
Presentados en 1.993 por Berrou et.al. [2], representan 
un a innovación total t anto en s u co nstru cc ió n 
(he urí tica, sin ninguna base matemática) como en su 
decodificac ión (iterativa y que recupera conceptos ya 
presentes en los códigos LDPC de Gallager [3], 1.963). 
4 
Su extraordi nario buen comportamjento (rozando el 
límite de capac idad deShannon) hizoqueen un principio 
se recibieran con escepticismo, que luego tuvo que 
transfo rmarse en una búsqueda del porqué de su 
bondad . Actualmente son omnipresentes, pudiéndose 
enco ntrar en multitud de aplicaciones de 
comunicaciones espaciales, pero también en el estándar 
UMTS, WLANy en TV digital. 
1. EL CODIFICADOR 
El codificador Turbo co nsis te en la conca te nació n 
de dos códigos continuos recursivos y s is temáticos, 
denominados codifi cadores co ns titu yentes , que 
operan uno sobre la info rm ac ión a codificar (la parte 
sistemática) y e l otro sobre un a vers ión perm utada 
(entre lazada) de la misma, tal y como mu estra la 
Figura l. 
.. 
b, g , (O) b, .. .. 
,- g,(O) p :1) Puncturing 
I;I , .. D(b, ) P:" (opciollal) p , 
.. g , (O) .. 
g ,(O) 
Figura 1. Diagrama de bloques del codificador 
Seguidamente se comenta la función de cada bloque del 
diagrama anterior. 
1.1. CODIFlCADORES CONSTITUYENTES 
A lo codificadores conti nuos que se concatenan en 
paralelo se les denomina const itu ye nte s, 
caracterizados por dos polinomios: uno defeedback 
( g, (D ) ) y otro de feedforward ( g 2 (D )). Estos 
codificadores son recursivos y s is temáticos, s iendo 
su ma tri z generadora GRS = [1 g2 (D )j g, (D )], 
de la cual se extrae únicame nte la ra ma de paridad . Su 
implementac ión con regi s tros de desplazami e nto se 
muestra e n la Figu ra 2. 
B URAN N"20 D ICIEMBRE 2003 
b, 
I 
gil KI2 g¡{K 1) ! 
~ D -----~=:Q]_ --'Dl---J 
Figura 2. Estructura de un codificador continuo, recursivo y 
sistemático 
Cualquier diseño de un codificador de canal intenta 
maximizar la distancia mínima entre dos palabras 
código. Para un código lineal, esta distancia se 
corresponde con el peso mínimo de entre todas las 
palabras código distintas de la todo ceros. Como 
todos los bloques que conforman el codificador 
Turbo son lineales, este en su conjunto también lo 
es. Por lo tanto, para maximizar su distancia interesa 
que las paridades sean de mucho peso. Es por ello 
que los constituyentes se implementan 
recursivamente ya que únicamente aquellas 
secuencias de entrada múltiples de gl (D) darán 
una paridad finita (poco peso). En caso contrario, el 
enrejado nunca converge al estado de reposo y al 
truncar la paridad a un número de bits igual al 
tamaño de bloque de la entrada ( N ) es de esperar 
que hayan tantos unos como ceros en media (mucho 
peso). Interesa que haya pocas secuencias divisibles 
entre y por ello este polinomiJ se escoge primitivo. 
La notación usada en la literatura para describir estos 
códigos consiste en la representación octal de los dos 
polinomios. En la Tabla 1 se adjunta un ejemplo. 
Tabla 1. Ejemplo de notación de un código constituyente 
l.2.ENTRELAZADOR(INTERLEA VER) 
Un entrelazador 1T: es una bloque lineal que mapea una 
secuencia de N bits de entrada 
U = (u p u2 , ••• , U N) en otra secuencia de salida que 
corresponde a una permutación de la entrada, de manera 
que para describir el entrelazador empleamos un vector 
conteniendo las transposiciones denotadas por 
1t = (1T: l' 7r 2 , ••• , 1T: N ) de manera que la salida 1T: (u) 
se obtiene como u'1I:(i) = u¡ para i = 1, ... , N . 
La función del entrelazador es desordenar 
suficientemente la secuencia de bits de entrada para 
que si ésta era divisible por g 1 (D) a la entrada del 
.. RAMA DE EsTUDIANTES DEL IEEE DE BARCELONA 
primer constituyente, no lo sea a la entrada del segundo. 
Así reduciremos la probabilidad de que ambas ramas de 
paridad tengan un peso pequeño, aumentando la 
distancia mínima del código y mejorando con ello sus 
prestaciones. Los más utilizados son los llamados S-
random [5][6] , aunque debido al excesivo tiempo de 
cálculo que se requiere para encontrarlos cuando el 
tamaño de bloque es grande también se usan los 
entrelazadores rectangulares (<<block interleavers»). 
Estos últimos se implementan escribiendo fila a fila los 
bits en una matriz y leyéndolos columna a columna. 
1.3. PUNCTURING 
La tasa que ofrece un código turbo sin puncturing es 
r=1I3 (por cada N bits de infdrmación obtenemos 
3N bits de palabra código a la salida). Este overhead, 
aunque necesario en algunas aplicaciones que exijan 
mu~ha robustez, puede ser excesivo en escenarios con 
restricciones de retardo donde es más apropiada una 
tasa mayor. Es por ello que puede incluirse un bloque 
de puncturing que elimine ciertos bits de redundancia. 
Esta eliminación aunque puede hacerse, por ejemplo, 
quedándose con los bits pares del primer constituyente 
y los impares del segundo [1] existen otros métodos 
más sofisticados para eliminar periódicamente ciertos 
bits [7][8]. 
2. DECODIFICACIÓN 
La decodificación de los códigos turbo puede que se 
trate en profundidad en próximos trabajos así que en el 
'presente sólo se pretenden introducir aquellos aspectos 
más básicos. Se considerará que se usa una modulación 
BPSK sobre canal A WGN. 
Todo algoritmo de decodificación turbo consiste en obtener 
iterativamente la siguiente métrica para cada bit de 
información: 
LLR(b ) = IOg( P(bk = 1) J= IOg( P(bk = 1/ y) J 
k P(bk = O) P(bk = O/y) 
Esta métrica se denomina Log-Likelihood Ratio y es 
novedosa en el sentido que no está basada en el criterio 
ML ('Maximum Likelihood') como el algoritmo de Viterbi 
[9], que es el que tradicionalmente se ha usado para la 
decodificación de los códigos continuos. Este cambio fue 
necesario debido a la complejidad de la aplicación de este 
criterio a los códigos Turbo (se describirían con un 
enrejado de tamaño prohibitivo), que emplean el algoritmo 
BCJR [10] y sus modificaciones de menor complejidad, 
Log-MAP y max-Log-MAP [11], para aplicar el MAP 
('MaximumA Posteriori'). 
5 
La decisión a partir del LLR se basa en su signo. Cuando 
es positivo se decide 1 y O en caso contrario. Este modo 
de proceder constituye lo que se denomina una 
decodificación softporque el valor absoluto del LLR es una 
medida de la confianza en la decisión. Además, cuantas 
más iteraciones realicemos para calcular esta métrica con 
más precisión obtendremos su valor real. 
3. SIMULACIONES 
Para ilustrar los aspectos más importantes que influyen 
en el diseño de un código turbo, se ha realizado una 
implementación. El objetivo es observar la variación 
de las prestaciones globales (en cuanto a tasa de error 
de bit, BER) del código con la variación de los bloques 
que lo forman (tamaño de bloque, entrelazador, 
iteraciones ... ). 
En una primera simulación (Figura 3) hemos 
comprobado la evolución de la BER con el número 
de iteraciones del decodificador (usando el 
algoritmo max-Log-MAP). 
Figura 3. Variación del número de iteraciones en decodificación. 
Como es de esperar, al incrementar el número de 
iteraciones la probabilidad de error de bit disminuye 
drásticamente, aunque no de forma proporcional. 
Al pasar de una a cuatro iteraciones, la ganancia de 
codificación es muy grande, pero una vez que el 
algoritmo converge el aumento en la capacidad de 
corrección es menor, no compensando la mejora de 
la BER con el aumento de la complejidad de la 
decodificación (más iteraciones implica mayor 
retardo de decodificación). En todas las gráficas 
siguientes se tomarán 4 iteraciones para decodificar. 
La siguiente simulación (Figura 4), pretende mostrar, 
para un mismo código turbo (tamaño de bloque 
N = 200, 4 iteraciones y entrelazador S-random con 
6 
s = 9) cómo afecta la elección de los codificadores 
constituyentes. 
Para el primer caso usamos como constituyente el 
código [7,5] (de polinomios g¡ (D) = 1 + D + D 2 Y 
g2 (D) = 1 + D2) y para el segundo el [37,21] (con 
N=400 y S =9 ). En el primer caso, el código 
constituyente es de cuatro estados mientras que el 
segundo es de 16. Por ello, esperaríamos que el código 
[37,21] ofreciera una BER mucho mejor. Sin embargo, 
sólo es primitivo en el primer caso por lo que todo lo 
que se gana al poner un constituyente cuatro veces más 
complejo se pierde si no se escogen adecuadamente los 
polinomios, como se observa en la figura. 
1 
Eb/No [dB] 
Figura 4. Uso de diferentes polinomios constituyentes. 
Una tercera simulación (Figura 5) comprueba la 
importancia del entrelazador escogido para la 
codificación. Se han escogido dos de los más 
habituales, un S-random y un rectangular (denotado 
como block) para un mismo tamaño de bloque 
N = 200. Aunque el tamaño de bloque no es lo 
suficientemente grande como para apreciar 
diferencias significativas, sí que se observa que 
para Eb/No' s medias y altas, el S-random supera en 
un orden de magnitud al rectangular. Esta diferencia 
se acentuaría aún más si tratásemos con tamaños de 
bloque del orden de miles de bits. Sin embargo, el 
tiempo de cálculo y la complejidad del algoritmo de 
búsqueda de los entrelazadores S-random crece 
exponencialmente con el tamaño de bloque (aunque 
se han presentado algunas propuestas para reducir 
ambos [12][13]) y hace casi imposible atacar el 
problema si no es usando supercomputadoras. 
La cuarta y última simulación (Figura 6) ilustra la 
influencia del tamaño de bloque. 
BURAN N°20 DICIEMBRE 2003 
1 
EblNo [dB] 
Figura 5. Uso de diferentes entrelazadores. 
1 
EblNo [dB] 
Figura 6. Variación del tamaño de bloque, N. 
Entendemos como tamaño de bloque la longitud de la 
secuencia de entrada que cogemos para pasar a través 
de los codificadores constituyentes y el entrelazador. 
Se observa claramente que cuanto mayor es esa longitud, 
mejor BER obtenemos a la salida. El uso de tramas 
mayores pretende dotar de capacidad de corrección a 
bits muy alejados entre sí, haciendo más efectivo el 
empleo del entrelazador. Sin embargo, y al igual que 
ocurría con las iteraciones, la ganancia de codificación 
no es proporcional al tamaño de bloque (al menos si se 
usan entrelazadores rectangulares). 
4. CONCLUSIONES 
En el presente artículo, se ha dado una visión global de 
las características principales de los códigos turbo. En 
una primera parte, se ha presentado tanto el codificador 
como el decodificador de forma general. Una vez 
comentados los parámetros influyentes en las 
prestaciones del código, hemos realizado una serie de 
simulaciones para contrastar las previsiones teóricas 
con los resultados obtenidos a través de la 
implementación del algoritmo . 
• RAMA DE ESTUDIANTES DEL IEEE DE BARCELONA 
Como conclusiones, resaltamos los siguientes puntos: 
- Los códigos turbo suponen un punto y a parte en la 
codificación de canal, sobrepasando en prestaciones 
cualquier código existente hasta el momento de su 
aparición. 
- Presentan una estructura novedosa pero aplicando 
conceptos aparecidos hace tiempo (decodificación 
«soft» iterativa o aleatorización en la secuencia de 
entrada), que mezclados y aplicados de forma 
inteligente, forman una estructura que obtiene una 
calidad excelente. 
- Centrándonos en el propio código, apreciamos varios 
parámetros que influyen directamente sobre su calidad. 
Vemos que a igualdad de códigos constituyentes, dos 
codificadores turbo pueden ofrecer prestaciones 
completamente diferentes dependiendo del entrelazador 
usado. 
- También vemos que el tamaño de la secuencia de 
entrada es un parámetro muy importante, ya que a mayor 
longitud de trama, mayor capacidad de corrección. Sin 
embargo, la elección de este parámetro debe surgir de un 
compromiso entre BER y retardo, pues éste último aumenta 
con el tamaño de bloque. 
- Por más complejo que sea el algoritmo de búsqueda del 
entrelazador deseado, una vez encontrado la complejidad 
de la codificación turbo es parecida. 
- Existen gran multitud de alternativas de diseño de 
entrelazad ores [14-19] dependiendo de la aplicación en 
concreto, estando la mayoría de ellas basadas en métodos 
heurísticos. 
- Según lo visto, no hemos encontrado un métrica única 
que permita comparar la bondad de distintos 
entrelazadores. 
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6. AUTORES 
Eduard Calvo Page es estudiante de 5° 
curso de Inge niería S uperior de 
Telecomunicac ión en la ETSETB (U PC) , 
especialidad en Co m uni c a c iones . 
Vin culado actualmen te al proyec to 
europeo R OMANTI K a través d e l 
deparzamento de Teoría de la Señal y 
Comuni cac iones, in ves tiga sobre la 
combinación de esquemas de transmisión coopera tiva , 
técnicas avanzadas de codificac ión de canal y el uso de 
di ve rsidad espacial para el aumento de la capacidad en 
el HSDPA de UMTS. Es miem bro de la Rama de 
Es tudiantes del IEEE de Barcelona desde 2001. 
Jaum e Rib ot Caller es Ing en iero 
Técnico de Tele comunicación por la 
Esco la Univers ita ria Poli/ecnica de 
Vilano va i la Geltrú (EUPVG ), de la 
Uni ve rsita t Politecn ica de Catalunya 
(U PC) . A c tualmente se encuentra 
finali zando sus estudios de Ingeniería 
Superior de Telecomunicaciones en la 
Escola Tecnica Superior d ' Eng inyeria d e 
Telecomunicació de Barcelona (ETSETB) también de la 
UPC, donde a la vez es becario del departa mento de 
Telemática trabajando en temas de comunicaciones 
móviles y redes Ad- Hoc, den tro del p royecto 12Cal. Es 
miembro de la Rama de Es tudiantes del IEEE d e 
Barcelona desde el presente año. 


Introducción a los códigos Turbo

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