Nous démontrons qu'il existe un voisinage (au sens d'espaces fonctionnels convenables) de l'espace-temps de Minkovoski tel que tout espace-temps de ce voisinage, solution des équations d'Einstein du vide, a une masse positive. Nous indiquons quelques résultats et difficultés pour la résolution du probléme global

Choquet-Bruhat, Yvonne

Marsden, Jerrold E.

French

Caltech Authors - Main

C. R. Acad. Sc. Paris, t. 28l (15 mars 1976) serte A-609 
RELATIVITE GENERALE. - Sur fa positlvite de fa masse: Note (-) de 
M me Yvonue Cboquet-Brubat et M. Jerrold E. Marsden, presentee par 
M. Andre Lichnerowicz. 
Nous demontroas qu'jJ existe un voisinase (au sens d'espaces fonctionnels convenables) de I'espace-
temps de Minkovski tel que tout espace-temps de ce voisinase, solution des 6Qualions d'ElnsteiD du 
vide, a une masse positive. Nous indiquons quelques risultats et difficultCs pour Ia resolution du 
probIeme s1obaJ. 
INTRODUCTION. - Le probleme de la positivite de Ja masse m associee a un espace temps 
asymptotiquement euclidien, solution des equations d'Einstein du vide, a fait !'objet de 
nombreux travaux et discussions. Une methode elegante pour etablir cette positivite a the 
proposee par Brill et Deser ('), s'inspirant de la theorie de Morse: ils montrent que la 
masse (en tant que fonction de I'espace temps) a pour seul point critique I'espace temps 
plat; cn ce point m est nul et sa seconde variation « significative» (en un sens physique) 
est positive. Nous nous proposons ici de demontrer rigoureusement, par une methode 
directe, que l'espace temps plat est un minimum local de la masse. 
NOTAnoNs ET ESPACES FONCTIONNELS. - On designe par M:.6 , I < p < co, a e R, 
s e Z+ la completion d'un espace de fonctions CGO a support compact I: R" - Rill pour 
la nonne 
oil a (x) = (1+1 X 12)112, Os derivCe (totale) d'ordre cx. 
On aura n = 3 et on prendra 3 < p < 6, a = 0, s ~ 3. On a alors M:.4 c Cr, la multi-
plication M:'4 x Mf-l.II+1 - Mf-u+,. 0 ~ f ~ s est bilineaire et continue et Ie 
laplacien A est un isomorphisme de M!.6 sur M:-U +2 [cf. Nirenberg-Walker e) et 
Cantor en On montre aussi que/e M:', implique/e L6. Ole L2 et 
(1) 
oia lilliE = II D/ULl est la «, nonne de l'cnergie ••. 
On designe par "f la metrique euclidienne sur Rl, par Sf.5 I'cspace des champs de 
2-tenseurs covariants symetriques sur Rl de composantes dans M:.6• On notc ..II~5 Ie cone 
ouvert des metriques g propremcnt riemaoniennes sur R3 teUes que g-1 e Sf.5' L'espacc 
tangent en g a .11:.5 est S:.I' 
LA FONCTION MASSE ET SA DWvtE. - Un cspace temps asymptotiquemcnt cuclidicn 
est determine par ses donnees de Caucby sur Rl, metrique g e..ll:. 5 et deuxieme forme 
fondamcntale k e S:-1.5+1' 
La fonction masse m est la restriction aux solutions des contraintes de la fonction in : 
..K:. II XS:_ I ,5+1 - R definie par 
(2) 161t;n(g, k) =- f (o,Ojg'J-%,gjJ)dl x- f (R(g)-k.k+(trk)l)dJ.l(g) J.s J.s 
[R (g) courbure scalairc, dJ.l (g) element de volume, tr k = tr, kJ. 
" 
610 -serieA C. R. Acad. Sc. Paris, t. 282 (15 mars 1976) 
Pour notre choix de p, s, 0 la fonction in est COl). Sa derivee se calcule en utilisant les 
formuJes de variation de R (g) et Ricc (g) (tenseur de Ricci) donnees par Lichnerowicz (4). 
On trouve pour la derivee de in dans la direction (h, w) e S:.6 x S:_, .6+ 1 au point (g, k) : 
(3) 167tm'(g. k).(h, w) =- f.J { Ricc(g)- ~(R(g)-k.k+(trk)l }hdJ1(g) 
+2 r (k-gtrk).wdJ1(g). J.s 
(g. k) est un point critique de in si et seuJement si k-g tr k = 0 (c'est-a-dire k = 0) et 
Rice (g)-(g/2) R (g) = 0 (c'est-a-dire g est plat). 
Nous restreindrons desormais notre etude au cas dit « a symeme temporelle ». k = O. 
D'apres un tMoreme de N. O'Murchadha-J. York ("') qu'on peut demontrer dans les 
espaces M:. 6 en utiJisant la methode conforme de A. Lichnerowicz, a tout espace temps 
admettant une section d'espace maximale (') (tr k = 0) on peut en associer un autre de 
masse infcrieure ou egale avec k = O. 
Le sous-espace de ..11:.6 veritiant les contraintes est alors au voisinage de y une sous-
variete 'i [('), (8)], de plan tangent T, fG : 
'I: {ge..ll:.6, R(g)=O}, T,~: {heS:.6,~,trh-ooh+Rice(g).h=O}, 
c'est-a-dire 
T, ~: {h = k- ~gtrk+ ~g~;' (ook-Ricc(g).k); kes:. 6}' 
O'oit pour g e 'I, he T, re. k e S:... : 
(4) 167tm'(g).h = r Ricc(g).hdJ1(g) = r Ricc(g):kdJ1(g). J.J J •• 
On montre que si g e,,/{:.6' Ricc (g) = 0 alors g e 0, orbite de J'espace euclidien par Jes 
diffeomorphismes II e~:+1.6-' [tels que 0 (ll-I) et 0 (ll-' -I) eM:.,]. O'ou 
THEoaEME. - g e..ll:', est un point critique de m si et seulement si g est !Sometrique Q 
respace euclidien par un dif!eomorphisme de ?i:+l.a~,' 
DERIvEE SECONDS DE m. - On trouve par Ie calcul, sans autres hypotheses, que la derivee 
seconde de;;; : ..11:.6 - Rest la forme quadradque 
(5) 167tm'"(g)(h, h) 
= ! r V h. V II dJ1(g) 2J.s 
+ fas {- ~(dtrh)Z-(Oh)l+dtrh.Oh-(trll)(Ricc(g).h)+3RiCC(g).h xiI }dJlCg) 
+ f., {~Rtg)(lrh)Z-R(g)(h.h) }dJ1 (g), 
OU • est Ja contraction des tenseurs et (h x h)'j = h" h~. 
Si Rice (g) = 0, tr h = 0 et Ok = 0, (5) se reduit au produit scaJaire 
(h, h),= r Vh.VhdJ.1(g). J.J 
r 
C. R. Acad. Sc. Paris, t. 181 (IS mars 1976) Serie A - 611 
On notera /I /I" Ja norme de I'energie 
II" liE = < fr. II), = j' I c:, "'/1 1 d l X. 
11 
CoNSTRUCTION D'UNE lllANCHE DANS~II:.6' - Posons 
S = {ge..K:. 6 • gl/I1J=O}, 
metriques en e:oordonnees harmoniques, S 3 y. On demontre que S est dans un voisinage 
de y une sous-variete CO!) de "":.6 modelee sur 
E, = {h' eS:. 6 • Oyh,- ~dtr,lJ, = o} 
en prouvant que S:.6 est la somme topologique et < , )., orthogonale de El et 
£1 = { (hl)/j = - ~ A.,-l (a'UJ+aJu,)+ ~ O'J(~;' (i, U,), uJe M:. 5 }. 
Si £ est assez petit et II g-y IIs~ .• < £ il existe un diffeomorphisme cp, Dcp e M:.6 • 
tel que cp. g e S. II suffit done: de montrer iii > 0 dans 'If t"'\ S; au voisinage de "f. 
POsmVlTE LOCALE DE m SUR. S. - On demontre que : 
LEMME. - ~ n S est, au voisinage de y, une sous-var;ete CO!) de ~":.6 de plan tangent au 
point g: 
B, (g) = {III e S:.,; Ag(h,) = -~, tr,h, +o,o,h, -Ricc(g). h, = O. 
a,(h,) = o,h,- idtr,h,-h,.r(g) = o} 
et de norma/e, dans Ie produ;t scala;re <, >, : 
B2 (g) = { h1 = -gU +~;' (Hess, U -Ricc(g) U - ~{.Sf .. g-gO,U)-rcg).u }, 
avec UeM:'a et ueX:-l.a+l' 
Soit alors c : t 1-+ g (I ) une courbe CZ, g (0) = y, dans 'rf n S. On pose . 
g'(I) = heBdg) et g"(t) = k. 
On prendra pour c une geodesique de la strue:ture riemannienne faible (') induite sur'rf n S 
par < , ), alors k e Bz (g). 
On a 
d
Z ~(g(t» = m"(g(I»(h, h)+m'(g(t».k, 
dt 
avec:, puisque he Bl (g) : 
m"(g(I»(h, h)= r {!Vh.Vh- !trhRicc(g).h J.J 2 2 
+3 Ricc(g).(h x h)+ ~dtr h.(h.n-(h.n(h.n } dJ.L (g). 
....... """ 
611-Serie A C. R. Acad. Sc. Paris, t. 182 (15 mars 1976) 
On demontre qu'i1 existc f: > 0 tel que 
I m" (g)(h, II)-i lila IIi I ~ ell g-1I1Mf .• 11 hili 
en utilisant, entre autres, Ie lemme, consequence des inegalites de Holder : 
LEMME. - Sl g e..ll:.6 el p = RiCe (g) a/ors II p IIL'/' ~ ell g-y IIMr .• ' 
On majore de ra~on analogue m' (g (t ».k, en utilisant I'equation du second ordre 
vCrifiee par une geodesique de ( , >" sur rc f'I S. 
Pour montrer que m est positif en un point g e fI f'I S, "g-y IIsf •• < S, on joint gay 
par un arc geodesique (c'cSt possible si & est assez petit) c : I ...... g (I ), g (0) = 'Y, g (1) = g. 
Alors m (g) ,= (d 2 mIdI 2) g (t», 0 < t < I, d'ou 
m(g) ~ eli h liE ~ c/llg-yIlE' 
REMARQUES SUR LA POSITIvrrf GLOBAL£, - n est facile de trouver un champ de vecteurs 
tangent a fI, pseudo gradient pour m, par exemple 
Y'J(g) = Il;' R'J- !g'JIl;' (Rull;' RU _ V. Vtll;' RU ), 
2 
Y (I) e T, 'I et verifie : 
m'(g). Y(g) = r V Ricc(g). VRicc(g)dJ1(g) > 0 si RiCC(g);E O. J.l 
On peut montrer, en utilisant I'expression du tenseur de Ricci en coordonnees harmo· 
niques, que si g e S, II g-y II > £ implique II Y (g) "sr .• > TI· 
II reste cepeodant plusieurs difticultes a resoudre pour pouvoir appliquer les resultats 
de Ja theorie de Morse generalisee aux varietes de dimension infinie, l'une d'entre.eUes 
etant que la minoration de II Ye.g) IIsr.a n'entraine pas la minoration de " Y (g) liE' 
(*) SCanc:e du 26 janvier 1976. 
(1) D. Bauu. et S. DEsEa. Ann. Phys., SO, 1968, p. ~S70. 
(2) L. NIRl!NBl!1lo, Ann. de SCllDla. Norm. Sup. PIsa, 13, 1959, p. 1lS.162. 
(') M. CANToR, IndJmra UniW!rsiry Math. J., 24, 1975. p. 897-902. 
(4) A. LICRNER.OWJcz, Publ. I.H.E.S., 10, 1961, p. 56. 
(5) N. O'MURCIlADHA et J. W. You, Phys. Rev., 0, 10, 1974, p. 234S.2357. 
(I) Y. CHoQtm.BaUHAT, Camptes "ndJJs, 280, sene A, 1975, p. 169. 
(') Y. CHOQtnn'·BRUHAT et S. OESER, Ann. Phys., 81, 1973, p. 16S.178. 
(') A. FISCHIill et J. MARSDEN, Proc. Symp. PUrl Malh., 27,1975, p. 219-263. 
(') E. EalN et J. MARSDEN, Ann. Math., 92, 1970, p. 102·163. 
Y. C.-B. : 
Diparle~nt de MI!t:llnique. 
Un/venitl! Paris VI. 
4, place Jussiell, 
75005 Paris,' 
J. E. M. : 
Department 0/ Mathe"!fltlcs, 
Unillel'sity 0/ California, 
Berkeley, 
U.S.A. 


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