Les théorémes de décomposition des tenseurs symétriques donnés par Ch. Barbance, Deser, Berger-Ebin, York et Moncrief peuvent tous étre obtenus á partir d'une construction générale de géométrie symplectique

Arms, Judith Meryl

Fischer, Arthur Eliot

Marsden, Jerrold Eldon

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C. R. Acad. Sc. Paris, t. 281 (29 septembre 1975) Serle A- 517 
GEOMETRIE DIFFERENTIELLE. - Une approche symp/ectique pour de5 theoremes 
de decomposition en geometrie ou relativite genera/e. Note (*) de MM. Judith Meryl 
Arms, Arthur Eliot Fisher et Jerrold Eldon Marsden, presentee par M. Andre 
Lichnerowicz. 
Les th~oremes de decomposition des tenseurs sym~triques donn~ par Ch. Barbance, Oeser, 
Berger-Ebin, York et Moncrief peuvent tous etre obtenus a partir d'une construction generate 
de gwmetrie symplectique. 
I. NOTATIONS ET REsULTATS DE GEc>METRm SYMPLECTIQUE. -Pour plus de clarte, nous 
commen~ons par le cas coo de dimension finie. Soit (P, Q) une variete symplectique de 
2-forme n, Gun groupe de Lie operant sur P par symplectomorphismes, g l'algebre de Lie 
de Get g* son dual. Si ~ e g, ~Pen ie champ de vecteurs correspondant sur P. D'apres 
Kostant-Souriau, nous notons 'I' : P --. g* un C""-moment pour l'action de G : pour tout 
v e T;r Pet; e g, on a 
( T.x 'l'. v, I;)= O;r(;p(X), v), 
ou T.x pest l'espace tangent a pen X E pet T.x '¥ l'application lineaire tangente a 'I' en x. 
Ainsi ;P est le champ hamiltonien avec l'energie x- 'l' (x). 1;. Dans beaucoup de cas '¥ 
est construit explicitement comme invariant de Noether : par exemple si G agit sur Q et 
aussi sur T* Q de maniere symplectique, on a 
Nous supposons '¥ equivariant; i.e. pour toutg E G, '¥ 0 ell, = Ad:-1 0 '¥,oil ell, : p- p 
est l'action donnee et Ad;_ 1 l'action coadjointe de G sur g*. 
Si J.1 e g*, soit G" = { g e G I Ad;_ 1 Jl = Jl} le sous-groupe d•isotropie de Jl. L'equi-
variance implique que G" laisse invariant chaque ensemble de niveau 'l'- 1 (Jl). Si ; appar-
tient a l'algebre de Lie g" de G", ;p (x) E ker (T;r '¥). 
Les resultats suivants soot etablis dans Marsden-Weinstein ct 0). 
1.1. LEMME. - 8i X E 'l'- 1 (Jl) et si G .X est /"orbite de X: 
(a) T.x (G11 .x) = T.x (G .x) n ker T.x '1'. 
(b) ker T.x '¥ est/e complement D.-orthogonal de T;r: (G .x). 
1 . 2. Tm'!OREME. - Si Jl est une valeur regu/iere de 'I' et si G11 agit librement et proprement 
sur '1'- 1 (Jl), il existe une structure symplectique unique sur 
p" = 'P-1 (Jl)/G" 
re/tee d (P, 0) par projection. 
Ce resultat unifie eo> beaucoup de resultats connus de geometries symplectique et 
mecanique; P11 est appele l'espace de phase reduit ou l'espace des vrais degres dyna-
miques de liberte. 
2. UNB DECOMPOSmON POUR LES VARIETEs SYMPLECTIQUES. - Supposons maintenant 
que Pet G soient munis de structures rimanniennes. L'orthogonalire et l'adjonction seront 
entendues par rapport aux produits inrerieurs correspondants. On a Ia decomposition 
orthogonale : 
(1) 
518- Serle A C. R. Acad. Sc. Paris, t. 281 (29 septembre 1975) 
oil Tx 'P : Tx P __. g* ~ g et T; 'P : g* __. Tx P est son adjoint. D'apres 1. l (b), on peut 
verifier que 
(2) 
oil l. est le complement orthogonal pour Ia metrique et CJlx : Tx P-+ T: P, rox : Tx P-+ T! P 
sont les isomorphismes associes respectivement a Ia metrique eta Ia structure symplectique. 
Ainsi 
2.1. LEMME. - On a 
(3) 
ou /'isomorphisme est nature/. 
D'autre part, pour x e P, ex-" : g11 __. Tx P; I;- ~P (x) si bien que 
(4) TxP =range ex-"$ kerex:. 
2. 2. LEMME. - Les decompositions (3) et ( 4) sont compatibles en ce sens que 
Cela resulte de 1.1 (a). On a ainsi : 
2.3. THEOREME. - Pour x e P, on a Ia decomposition plus fine: 
(5) T x P = range <Xx EEl (ker T x 'P n ker ex:) EEl range T: 'P 
~ Tx(G".x) EEl(kerTx 'P/Tx(G".x)) EEl TAG .x). 
Par suite v e Tx P peut etre ecrit de maniere unique comme somme de trois vecteurs 
orthogonaux 
ou v1 = ~ (x) pour que/que I; e g", Tx 'P. v2 = 0, ex: v2 = 0 et v3 , orthogonal a v1, v2 est 
dans rang T! 'P. 
Notons que, dans les conditions de 1.2, v2 peut etre identifie naturellement a un element 
tangent a P11 ; v2 est dans Ia direction d'une composante pour }'action de G11 sur 'P- 1 (Jl). 
Dans le cas infini-dimensionnel, nous supposons seulement que Ia forme symplectique 
et Ia metrique sont faiblement non degenerees [cf. Chernoff-Marsden e)]. On doit aussi, 
comme dans Ebin e), etre attentif en ce qui concerne les hypotheses de regularire. Les 
points cruciaux sont les suivants : 
(a) On doit avoir un sous-espace ferme T! P c T: P tel que cp.l< et ffix soient des isomor-
phismes sur T; P. 
(b) On suppose que G est groupe topologique et variete et opere en x e P de fa~on que 
l'action de G sur l'orbite de x soit reguliere; l'ensemble de tels x est suppose dense. 
(c) On requiert que Ad:_, ait un sens sur un sous-groupe dense de G de fall(on que G" 
soit de.finissable et soit une variete et un groupe topologique. 
(d) On suppose que 'P ex.iste et est defini partout sur P et veri.fie sa propriete de defini-
tion et l'equivariance sur les ensembles decrits ci-dessus. 
.~ 
\. 
C. R. Acad. Sc. Paris, t. 281 (29 septembre 1975) Serle A -519 
(e) Les operateurs Tz 'I' et ax, ou leurs adjoints, soot tels que J>altemative de Fredholm 
[voir Berger-Ebin e)J s'applique a eux; (1) par exemple est assure. Dans les exemples, ce 
pourrait etre des operateurs differentiels et on requiert que leurs symboles (ou les symboles 
de leurs adjoints) soient injectifs. 
Si ces conditions techniques soit satisfaites, on obtient encore Ia decomposition (5). 
3. EXEMPLES I (decomposition de Moncrief). - Soot M une variete compacte et .H 
l'espace des metriques riemanniennes sur M; T+ .R est J>ensemble des (g,x), oil g e.H et 1t 
est une densite tensorielle contravariante symetrique x11 J det g"'' f!J est le groupe des 
diffeomorphismes de Met il opere sur .Af et T+ Jf. Pour son action, le moment est 
'P(g, x).X = 2 J XS1t, 
oil o est Ia divergence, et a(u.n> (X) = (Lx g, Lx x). La decomposition (5) correspondante 
de (h, ro) e T<11 ,,.1 (T+ .AI) est juste deux fois Ia decomposition canonique usuelle de 
Berger-Ebin; h = h0 + Lx g, oil S h0 = 0. 
Soit J le groupe additif des fonctions positives sur M et G = .F. !lJ le produit semi-
direct; G «opere» de maniere symplectique sur T+ Jl selon le groupe dynamique de Ia 
relativite [(6), ( 8)]. Pour N e T 1 J, X e T., f!J (champs de vecteurs sur Jl) le moment peut 
s'ecrire: . 
'I' (g, x)(N, X)= 2 J X ox+ J N .Jt'(g, x), 
ou 
Jt'(g, 1t) = (i<trx)2-1t.1t+R(g))J.lu• 
R (g) etant Ia courbure scalaire de g. 
Les equations du mouvement en relativite generale (qui dependent du choix de N, X) 
peuvent s'ecrire (Fisher, 1972) : 
J=( 0 I)• 
-I 0 
oil <ll (g, x) = (Jt" (g, 1t), S x). L'action de G sur T+ .A admet le geoerateur infinitesimal 
a<9• ,.> (N, X) = J o D «<>* (g, x).(~). 
Les operateurs concernes ont un symbole injectif {'); pour ll = 0, o .. = G, (5) nous 
donne Ia decomposition de Moncrief: si S 1t = 0 et.tf (g, x) = 0 : 
6) { 
T<9 ,,"(T+ ®)=(range J oD«<>(g, x)*) EB, 
(ker Dlll(g, x)nker(D<Il(g, 1t)oJ))$range D<ll(g, x)*. 
Les operateurs D <ll et D <ll* soot explicitement calcules dans ('). Si x = A. g et g est une 
metrique d'Enistein, cette decomposition se reduit a deux copies de Ia decomposition de 
Barbance-Deser-Berger-Ebin (Moncrief (11) et e), CZ), (4)] 
h = hn+Lxg+(g!J.f +Hess/- /Ric(g)), 
C. R., 1975, 2• Semestre, (T. 281, N• 13) serie A- 39 
520-Serie A C. R. Acad. Sc. Paris, t. 281 (29 septembre 1975) 
ou a hrr = 0, tr hrr = 0 (Tf = transverse sans trace). On note que la position dans 
ker D «D (g, 1t) n ker (D «D (g, 1t) o J) est dans Ia direction de l'espace des vrais degres 
gravitationnels de liberte I= '16 n fd~/JFJ, ou 
EXEt.IPLE II [decomposition de York (1 3)]. - Soit T+ Jl comme ci-dessus et G = P. 
FJ le groupe conforme operant sur .II et ainsi sur T+ Jt par image par 11 e !5) et p~oduit 
par cp e P (fonction positive). On a 
'P<11 , n> (p, x) = 2 J X o1t+ JP tr .1t; 
et Ies adjoints de ces operateurs sont aisement calculables. La decomposition (5) devient 
deux copies de Ia decomposition de York : 
h =hiT +(/g+Lxg), 
oil a h TT = 0, tr hrr = 0 et nf = tr h + 2 li X. L 'espace de phase reduit est alors Cd~ n f(/u/P. f!J 
qui est localement isomorphc au lf de I 'exemple I [on utilise Ies idees de (12)]. La seconde 
partie de Ia decomposition (5) decrit l'espace tangent a ce quotient. Des discussions plus 
detaillees sont donnees dans (9 ). Le cas de M non compacte est bcaucoup plus technique et 
requiert l'emploi des espaccs de Sobolev a poids M:.o de Nirenberg-Walker-Cantor 
[cf. (9)]. 
4. Remarquons que si nous prenons P = T+ /\."(oil/\." sont les k-formes sur une variete ~ 
M) et T+ 1\.k c T* 1\.k est l'ensemble des paires (ex, J3), ex e /\.", J3 e An-h• £'b agissant sur 
/\." done sur P de Ia maniere usuelle, on a une decomposition generate (5). Si Ia decomposi-
tion est prise en (d 9, 0) et (0, o p), on obtient comme cas particulier le theoreme de Hodge. 
(*) seance du 21 juillet I97S. 
(1) C. BAROt\NCE, Comptes rendus, 2S8, 1964, p. S336 ct 264, serie A, I967, p. SIS. 
( 2) M. BERGER et D. EBIN, J. Dijf. Geom., 3, 1969, p. 379-392. 
(l) P. CHERNOFF et J. Mt\RSDEN, Basic Properties of Infinite Dimensional Hamiltonian Systems (Lecture 
Notes, 42S, Springer, 1974). 
('•) S. DfSER, Amt. lnst. H. Poincan', A 7, 1967, p. 149-188 et 8, 1968, p. 269-273. 
(5 ) D. Ears, Proc. Symp. Pure Math., IS, 1970, p. 11-40. 
(6) A. FISCIIER et J. MARSDEN, Symp. Mathematica, XIV, 1974, p. 193-205. 
(1) A. FrSCIIEit et J. Mt\RSDEN, Proc. Symp. Pure Math. A.M. S., 27, 1975, p. 2I9-263; Bull. Am. Math. 
Soc., 79, 1973, p. 997-1003. 
( 8 ) A. FrscrmR ct J. MARSDEN, The Space of True Gravitational Degrees of Freedom (a paraitrc) ct 
K. KucHAit, Geometry of Hyperspace (preprint). 
( 9 ) A. FrsCIIER et J. MARSDEN, Duke Math. J. (il paraitrc). 
(1°) J. MARSDEN et A. WEINSTEIN, Rep. on Math. Phys., 5, 1974, p. I21-130. 
( 11 ) V. MoscRrEF, DecompositiotuoJGravitational Perturbations, J. Math. Phys., 16, 197S, p. ISS6-1560. 
( 12) N. O'MucHADHA et J. W. YoRK, Phys. Rev., 10, I974, p. 428-446. 
( 13) J. W. YoRK, Atm. but. II. Poincare (a paraitrc). 
Department of Mathe11Ultics, 
University of California, 
Berkeley, California; 
Department of Mathematics, 
Uni•·ersity of California, 
Santa Cruz, California; 
Departement de Mecanique, 
Universite Paris Yl. 


Géometrie différentielle : une approche symplectique pour des théorémes de décomposition en géométrie ou relativité générale

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