Se presenta una formulación de endurecimiento-ablandamiento en términos de resultantes de tensiones y desplazamientos para aplicar la teoría de elastoplasticidad a elementos de barra. Los factores se calibran con respecto a relaciones momento-curvatura de las secciones, obtenidas a partir de ecuaciones constitutivas realistas del hormigón y del acero. Ejemplos muestran la capacidad del modelo y la importancia del ablandamiento en la respuesta estructural hasta los estados límites considerados.A formulation of hardening and softening is presented in terms of stress resultants and
displacements to apply the elastic-plastic theory to bar elements. The factors are adjusted with regard to moment-curvature relations of sections, obtained from realistic constitutive equations of confined concrete and steel. Examples shown the model capacity and the importance of softening in the structural response up to the limit states considered.Peer Reviewe

Etse, Guillermo

Möller, Oscar

Rubinstein, Marcelo

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

A formulation of hardening and softening iss presented in terms of stress resultants and displacements to apply the elastic-plastic theory to bar elements. The factors are adjusted with regard to moment-curvature relationsof sections, obtained from realistic constitutive equations of confined concrete and steel. Examples shown the model capacity and the importance of sostening in the structural response up to the limit states considered

Möller, O.

Rubinstein, M.

Etse, G.

Scipedia

Formulación elastoplástica para el análisis computacional de pórticos planos de hormigón armado

Se presenta una formulación de endurecimiento-ablandamiento en términos de resultantes de tensiones y desplazamientos para aplicar la teoría de elastoplasticidad a elementos de barra. Los factores se calibran con respecto a relaciones momento-curvatura de las secciones, obtenidas a partir de ecuaciones constitutivas realistas del hormigón y del acero. Ejemplos muestran la capacidad del modelo y la importancia del ablandamiento en la respuesta estructural hasta los estados límites considerados.A formulation of hardening and softening is presented in terms of stress resultants and

displacements to apply the elastic-plastic theory to bar elements. The factors are adjusted with regard to moment-curvature relations of sections, obtained from realistic constitutive equations of confined concrete and steel. Examples shown the model capacity and the importance of softening in the structural response up to the limit states considered.Peer Reviewe

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UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 13,4, 487-498(1997) FORMULACI~N ELASTOPLASTICA PARA EL ANÁLISIS COMPUTACIONAL DE PÓRTICOS PLANOS DE HORMIGON ARMADO OSCAR MOLLER* MARCELO RUBINSTEIN* Y GUILLERMO ETSE** * Instituto d e  Mecánica Aplicada y Estrucruras (IMAE) Universidad Nacional de Rosarzo Riobamba y Berutti, 2000 Rosario, Argentina Tel.: + 54-41-256010 Fax: + 54-41-256207 E-mail: moller@fceia.unr.edu.ar ** Laboratorio de Estructuras Universidad Nacional de Tucumán CC 134, Correo Central, 4000 Tucumán, Argentina Fax: + 54-81-229366 E-mail: cetse@herrera.untmre.edu.ar RESUMEN Se presenta una formulación de endurecimiento-ablandamiento en términos de resultantes de tensiones y desplazamientos para aplicar la teoría de elastoplasticidad a elementos de barra. Los factores se calibran con respecto a relaciones momento-curvatura de las secciones, obtenidas a partir de ecuaciones constitutivas realistas del hormigón y del acero. Ejemplos muestran la capacidad del modelo y la importancia del ablandamiento en la respuesta estructural hasta los estados límites considerados. ELASTOPLASTIC FORMULATION FOR COMPUTATIONAL ANALYSIS OF REINFORCED CONCRETE FRAMES SUMMARY A formulation of hardening and softening is presented in terms of stress resultants and displacements to apply the elastic-plastic theory to bar elements. The factors are adjusted with regard to moment-curvature relations of sections, obtained from realistic constitutive equations of confined concrete and steel. Examples shown the model capacity and the importance of softening in the structural response up to the limit states considered. Recibido: Febrero 1997 QUniversitat Politecnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 488 O. MOLLER, M. RUBINSTEIN Y G. ETSE Para el análisis de la respuesta no lineal de pórticos planos de hormigón armado sismorresistente es necesario formular modelos matemáticos que establezcan una adecuada relación entre simplicidad y realismo. La simplicidad del modelo es condición necesaria para su aplicación a estructuras, de uso corriente en la práctica, compuesta por numerosas barras, en donde se debe garantizar la convergencia de los procesos iterativos en un número razonablemente acotado de pasos. El realismo es también una condición necesaria y esta cualidad debe ser incorporada al modelo estableciendo una adecuada relación entre la respuesta de la barra y las ecuaciones constitutivas de los materiales que la componen. Así por ejemplo un modelo de barra con plasticidad concentrada en los extremos y comportamiento elastoplástico ideal resulta simple pero no realista ya que, al no tener en cuenta efectos de endurecimiento, será capaz de seguir, de manera aproximada, el comportamiento del pórtico sólo hasta la formación del mecanismo de colapso. El modelo de barra que se propone en este trabajo para aplicación del método de elementos finitos en desplazamientos cumple con los dos requisitos mencionados. Se incorpora el endurecimiento y ablandamiento al modelo elastoplástico ideal utilizado en7 con una ley isótropa que gobierna la evolución del criterio de fluencia definido en términos de solicitaciones de sección M y N. A partir de las pendientes de endurecimiento o ablandamiento de las relaciones momento-curvatura de las secciones extremas del elemento, se deducen términos a incluir en la matriz de rigidez elastoplástica de la barra. La ley momento-curvatura se construye por el método clásico, teniendo en cuenta relaciones a - E realistas para el acero y el hormigón2 e incluyendo la posibilidad de considerar procesos cíclicos. El colapso se manifiesta cuando se alcanza un valor límite para la curvatura asociado con la ocurrencia de uno de los estados límites establecidos. Se presentan dos ejemplos para realizar una primera calibración y verificación de los factores de endurecimiento y ablandamiento del modelo propuesto, que pusieron de manifiesto la eficacia del mismo para representar la sobrerresistencia de la estructura, registrando la respuesta más allá de la entrada en el campo plástico de una cantidad de secciones suficientes para la formación de un mecanismo y para tener en cuenta efectos de localización de deformaciones por ablandamiento derivados, en este caso, de armaduras comprimidas y confinamiento insuficientes. Dentro del compromiso entre eficiencia y precisión de este modelo aparecen como limitaciones para un futuro perfeccionamiento, que la ley momento-curvatura se deduce para un valor fijo del esfuerzo normal y que el modelo no tiene en cuenta la rotación concentrada en la interfaz barra-nudo por deslizamiento de las armaduras. TEORíA DE ELASTOPLASTICIDAD APLICADA A ELEMENTOS DE BARRA La Figura 1 presenta el elemento de barra con sus grados de libertad y variación de esfuerzos internos considerados. Figura 1. Elemento de la barra La relación entre incrementos de fuerzas AF y de desplazamientos Au en las secciones extremas del elemento A y B se obtiene aplicando la teoría general de e l a s t o p l a ~ t i c i d a d ~ ~ ~ ~ ~  Aue es el incremento de desplazamientos elásticos, en el cual K = KL + KNL con KL matriz de rigidez lineal elástica1, KNL matriz de rigidez no lineal1, AuP es el incremento de desplazamientos plásticos, con dY/dF matriz gradiente de la superficie de fluencia y A A ~  = [ A X ~ ,  AAB] contiene los multiplicadores plásticos. Los incrementos de fuerzas internas son A partir de la relación elástica y la condición de consistencia resulta con Reemplazando (5) en (3) y reordenando se obtiene donde Kep es la matriz de rigidez elastoplástica. En este trabajo se propone como función de fluencia para sección rectangular la siguiente expresión donde Mp = ayZ es el momento plástico con ay tensión de fluencia del material y Z el módulo plástico de la sección; N, = ayA es el esfuerzo normal plástico; K M ,  K N  son los parámetros de endurecimiento o ablandamiento. La matriz gradiente a la superficie de fluencia resulta Los términos de endurecimiento se definen con con ay ay d ~ ,  - - - -- N ~ N P  - -23Hb, H1 - - ¿%N d ~ ,  C ~ K N  N~ N - da ip  ay - ay d~~ - Sig. M - -- -- - - aMp dKM F O R M U L A C I ~ N  ELASTOPLÁSTICA PARA EL ANALISIS COMPUTACIONAL 49 1 Reemplazando ( l l ) ,  (12) y (13) en (6) se obtiene 4~~ M A, = -HN + -Hf, N; M; (14) Los factores HN y Hb deben estar relacionados entre sí y con la tensión de fluencia del material; se propone ANp = AAay z d AMp = ZAoY = aANp = qANp donde d es la altura de la sección rectangular. Además ANp = HLA(Al), = H ~ A A ~ N / N ~  d AMp = HMAO, = H ~ A X S ~ ~ .  M/Mp = - H ~ A A ~ N / N ~  (16) 4 El factor HM se obtiene a partir de la relación momento curvatura de la sección recta de la barra y su deducción se presenta en el apartado siguiente. Luego 8 N  HN = H ~ ~ P s ~ ~ .  M d N (17) Para A N = O =+ HN + m, A(A1) + o, luego A N  - -AMp p - z  (18) El momento plástico y el esfuerzo normal plástico se actualizan para cada sección extrema de la barra con [ N P ] ~ "  = ["P]' +AA,  ["v [ MP , MP , HM , Sig. M/Mp 1 (19) Con el incremento de desplazamientos Au, obtenido del proceso incremental iterativo de Newton-Raphson, se encuentran, por relaciones geométricas, los incrementos de giros en las secciones A y B: noA, AOB y el incremento de alargamiento A(A1). Con ellos se obtienen ANA, ANB = -ANA, AMA, AMB, AXA, AXB, AOp~ ,  AOpB y A(Al), de acuerdo a' y teniendo en cuenta (14). El ajuste final a la superficie de fluencia se realiza con el método de la rigidez tangente y corrección radial3. Los incrementos de esfuerzos de corte se calculan por equilibrio AQA = -AQB = (AMA + AMB) /L .  Esta metodología fué implementada en el código DINLI para análisis estático y dinámico de estructuras con no linealidad física y geométrica, utilizando el método de elementos finitos1. R E L A C I ~ N  MOMENTO-CURVATURA, PARÁMETROS DE ENDURECIMIENTO-ABLANDAMIENTO, ESTADOS L~MITES ÚLTIMOS Se construye la relación momento-curvatura para la sección rectangular de hormigón armado con un esfuerzo normal constante dado a partir de las siguientes hipótesis: Ecuación de compatibilidad de deformaciones: validez de la hipótesis de Bernoulli, es decir, la sección se mantiene plana. Ecuaciones constitutivas del hormigón confinado y acero: modelos propuestos por Mander et al.'. Equilibrio entre esfuerzo normal interno y externo: obtenido por iteraciones para cada incremento de curvatura, luego se evalúa el momento flector asociado a cada curvatura. El proceso está implementado en un programa de computación MPH15 y se puede hacer un análisis monótono creciente o cíclico. Para este último caso la curva monótona 'creciente es buena aproximación de la envolvente. Dicha curva se puede rectificar, ver ejemplos, obteniéndose el momento plástico inicial MpO, la rigidez (EI), curvatura de fluencia $y, endurecimiento h(EI) ,  ablandamiento s (EI) ,  momento máximo Mpmax y curvatura última q5,, como muestra la Figura 2. Figura 2. Parámetros de la relación momento-curvatura Para definir la curvatura última 6, se analizan varios estados límites: Degradación del momento resistente en un 20 % con relación al momento máximo alcanzado. Capacidad de absorber energía por parte de los estribos de confinamiento. A partir del balance energético de la sección se puede estimar la deformación última a cornpresión del hormigón6. Deformación última de las barras de armadura, a tracción y a compresión (pandeo). La relación entre la pendiente de endurecimiento h(EI)  o ablandamiento s ( E I )  a nivel de sección y el factor H h  a nivel de elemento se deduce de la siguiente manera - Para la sección extrema de la barra donde AOp es el incremento de giro plástico y l p  es una longitud característica o longitud de rótula plástica equivalente. De (21) resulta - A nivel de elemento y a partir de (13), reemplazando AOp por (22) Comparando (20) con (23) resulta finalmente EJEMPLOS Ejemplo 1 Se trata de una viga ménsula sismorresistente de hormigón armado de la estructura de un balcón, V;U o V; de la Figura 3. Está diseñada con la carga estática según el reglamento INPRES-CIRSOC 103 con los siguientes datos: zona sísmica 3, suelo tipo 11, destino: edificio privado de habitación, materiales: hormigón H-17, acero ADN-420, carga permanente 0,415 t/m2 y sobrecarga 0,5 t/m2. También se indica la sección y armaduras resultantes. 1 5.00 1 Figura 3. Ménsula-datos y diseño s/INPRES-CIRSOC 103 = '-y - sección v, si 4016 + 1012 estribos 06 c/10 vz I I 20 En la Figura 4 se muestra la ley momento-curvatura de la sección de empotramiento para análisis monótono creciente, se indican los estados límites y los datos que surgen para el modelo de la barra, como se presentó en la Figura 2. Se destaca que los valores de h ( E I )  y s ( E I )  pueden ser ambos positivos, como en este caso, correspondiente a dos pendientes de endurecimiento o con valores negativos para ablandamiento. SECCION RECTANGULAR m/40 401WlOtZ 4012 osoto MACI = 1334 tcin M y  = 1270 tcm 6, = 0, 008726 rad/m EI = 1455 x lo4 tcrri2 h = 0,0221 S = 0,008 M,,,,, = 1669 tcm A: falla def .  última del hormigón B: falla paiideo armadura comprimida Figura 4. Sección de la ménsula con armaduras s/INPRES-CIRSOC 103 Se ha considerado el caso de un diseño de armaduras indebido a partir de la solicitación determinante, pero sin tener en cuenta condiciones reglamentarias de armadura comprimida mínima y estribos de confinamiento. Resulta una armadura inferior 246 y estribos 46c/14, manteniéndose la armadura superior en 4416 + 1412. En la Figura 5 se observa la relación momento-curvatura mostrando un breve período de endurecimiento y luego ablandamiento al prevalecer la caída de resistencia del hormigón poco confinado frente al endurecimiento de la escasa armadura comprimida. Se indica también los estados límites alcanzados. SECCION RECTANGULAR 20/40 dD16+7D12 206 D6W4 M A C : ~  = 1251 tcm All ,  = 1232 tcm 4, = 0,009580 rad lm EI = 1286 x lo4 tcm2 h. = 0,00543 S = -0,0104 Adt,max = 1251 tcm A :  falla de l .  Última del Iiorinigóii B :  falla paiideo arinadura coiiipriinida C: falla degradación resistericia. 25 30 Figura 5. Sección de la ménsula con armaduras convencionales La respuesta estructural no lineal se obtiene imponiendo incrementos de desplazamientos verticales en el extremo libre de la ménsula. Los resultados se presentan en la Figura 6 para los dos casos de armaduras: s/IMPRES-CIRSOC 103 y convencionales. MENSULA Figura 6. Respuesta de la ménsula: fuerza-desplazamiento vertical De la respuesta estructural se obtiene el momento M = P L y la curvatura 4 = 4, + 4p = M / E I  + Op lp, donde Op es la rotación plástica en el extremo empotrado de la barra y lp = 0,75 d es la longitud de rótula plástica equivalente referida a la altura d de la sección. Con las curvaturas 4 se obtienen los valores de momento flector a partir de la relación M - 4 (Figuras 2,3) de la sección de empotramiento. Estos resultados se comparan con los valores de M de la respuesta estructural, encontrándose una perfecta coincidencia entre ambos, validando de esta manera la deducción del parámetro H h  (24). A partir de los resultados de la Figura 6 se calcula la relación estre las rigideces del elemento en el período de endurecimiento Kh y la rigidez elástica inicial K ,  resultando K h / K  = 0,046. Si se compara con la relación de rigideces a flexión de la sección h = 0,0221, se observa que la pendiente de endurecimiento en la respuesta estructural es algo mayor que el doble de la misma relación para la sección, similar al factor 2 recomendado en7. Se pone de manifiesto en la Figura 6 la diferencia de resistencia y ductilidad de ambos casos: P, = 8,68 t ,  p = 12,1/1,21 = 10 para el diseño s/IMPRES-CIRSOC 103, frente a P, = 5,87 t ,  p = 6,2/1,28 = 4.84 para el diseño con armaduras convencionales, destacándose la importancia del efecto de localización de deformaciones por ablandamiento. Ejemplo 2 Es un pórtico simple sismorresistente de hormigón armado de la estructura de un entrepiso interno para un depósito de mercadería, mostrado en la Figura 7, diseñado con el método estático del reglamento INPRES-CIRSOC 103 con los siguientes datos: zona sísmica 3, suelo tipo 11, destino: edificio industrial de baja densidad de ocupación, materiales: hormigón H-17, acero ADN-420, carga permanente 0,41 t/m2 y sobrecarga 0,8 t/m2. I BFl{ A A (G )  1 5.00 1 pórtico 2 Figura 7. Pórtico-datos geométricos y discretización Del análisis de la ley momento-curvatura de las secciones A a G surgen los parámetros de la Tabla 1, de acuerdo a la Figura 2, con curvaturas últimas producidas en un análisis con cuatro ciclos completos hasta (6, y -4,. Sección MpO d EI MpInax h S ($u 25/50 1 tcm 1 [radjm] 1 O [ c m 2  1 1 1 1 [rad/m] A 1836 0,007459 2461 1,304 0,01530 0,00205 0,18368 B 1848 0,007166 2578 1,325 0,01644 0,00174 0,14870 C 2601 0,007277 3575 1,426 0,02166 0,00232 0,18526 D 3641 0,008579 4244 1,185 0,01100 0,00086 ,0,06729 E 2496 0,007429 3360 1,433 0,02150 0,00221 0,20187 F 2615 0,008281 3157 1,297 0,01536 0,00113 0,14615 G 1584 0,007192 2203 1,019 0,00473 -0,00415 0,07917 Tabla 1. Parámetros de las secciones del pórtico Para la columna derecha, sección inferior, se consideró como variante la sección tipo G con insuficiente armadura comprimida (externa) y estribos convencionales, obteniéndose ablandamiento en dicha sección. La respuesta del pórtico para desplazamientos horizontales impuestos en la viga se presenta en la Figua 8. Las dos combinaciones reglamentarias 1,3 W+S, 0,85 W+S originan respuestas con diferencias pequeñas, y en ambos casos la falla se produce por alcanzarse la curvatura última en la base de las dos columnas, secciones A. También en este ejemplo se verifica la validez del parámetro H h  a través de la igualdad entre los momentos flectores obtenidos de la respuesta estructural y los calculados a partir de la curvatura y la relación M - q5 de la sección. La longitud característica Zp se fijó en 0,75 d, en forma similar al Ejemplo 1. La respuesta con la sección tipo G en la columna derecha, presenta una caída de resistencia de 26,15 t a 21,O t ,  y disminución de ductilidad global de 8,25 a 3,25, pero sin entrar en ablandamiento general del pórtico, ni modificación del mecanismo de plastificación, debido a que sólo una sección fué debilitada. *---- 0,85W+S . . . . . . . 1.3W+S (G) u (m) Figura 8. Respuesta del pórtico: fuerza-desplazamiento horizontal CONCLUSIONES Se presentó un modelo de endurecimiento y ablandamiento para utilizar la teoría general de elastoplasticidad en elementos de barra para pórticos planos, donde se relacionan incrementos de esfuerzos internos (resultantes de tensiones) con incrementos de desplazamientos en las secciones extremas del elemento. La calibración se realizó a partir de relaciones momento-curvatura obtenidas para las secciones, utilizando ecuaciones constitutivas realistas para el hormigón confinado y el acero. Se encontró una expresión analítica que relaciona las pendientes de endurecimiento y ablandamiento de la relación momento-curvatura de la sección, con el parámetro HM que representa el endurecimiento y ablandamiento del elemento de barra. Para ello la longitud característica o de regularización, representa la longitud de rótula plástica equivalente. La presencia de secciones con ablandamiento, por ejemplo debido a deficiencias en el diseño, reducen sensiblemente la resistencia y ductilidad estructural. REFERENCIAS 1. O. Moller, M. Rubinstein, "Análisis dinámico no lineal físico y geométrico de barras: discusión del campo de aplicación de teorías aproximadas", Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingenierzá, Vol. 11, 2, pp. 151-182, (1995). 2. J.B. Mander, M.J.N. Priestley y R. Park, "Seismic Design of Bridge Piers", Department of Civil Engineering, University of Canterbury, New Zealand, Research report 84-2 (1984). 3. D.R. Owen y E. Hinton, "Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice, Pineridge Press Limited, U.K. (1980). 4. O.C. Zienkiewicz, "El Método de los Elementos Finitos", Reverté, (1980). 5. 0. Moller, "Diseño probabilístico de estructuras para depósitos de agua elevados solicitados por acción sísmica", Tesis de Magister en Ingeniería Estructural, Universidad Nacional de Rosario (1989). 6. T .  Paulay y M.J.N. Priestley, "Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry Buildings", John Wiley & Sons Inc. (1992). 7. F.C. Filippou y A. Issa, "Nonlinear Analysis of Reinforced Concrete Frames Under Cyclic Load Reversals", Report N. UCB/EERC-88/12 (1988). 

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Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 13,4, 487-498(1997) 
FORMULACI~N ELASTOPLASTICA 
PARA EL ANÁLISIS COMPUTACIONAL DE 
PÓRTICOS PLANOS DE HORMIGON ARMADO 
OSCAR MOLLER* 
MARCELO RUBINSTEIN* 
Y 
GUILLERMO ETSE** 
* Instituto d e  Mecánica Aplicada y Estrucruras (IMAE) 
Universidad Nacional de Rosarzo 
Riobamba y Berutti, 2000 Rosario, Argentina 
Tel.: + 54-41-256010 Fax: + 54-41-256207 
E-mail: moller@fceia.unr.edu.ar 
** Laboratorio de Estructuras 
Universidad Nacional de Tucumán 
CC 134, Correo Central, 4000 Tucumán, Argentina 
Fax: + 54-81-229366 E-mail: cetse@herrera.untmre.edu.ar 
RESUMEN 
Se presenta una formulación de endurecimiento-ablandamiento en términos de resultantes 
de tensiones y desplazamientos para aplicar la teoría de elastoplasticidad a elementos de barra. 
Los factores se calibran con respecto a relaciones momento-curvatura de las secciones, obtenidas 
a partir de ecuaciones constitutivas realistas del hormigón y del acero. 
Ejemplos muestran la capacidad del modelo y la importancia del ablandamiento en la 
respuesta estructural hasta los estados límites considerados. 
ELASTOPLASTIC FORMULATION FOR COMPUTATIONAL ANALYSIS 
OF REINFORCED CONCRETE FRAMES 
SUMMARY 
A formulation of hardening and softening is presented in terms of stress resultants and 
displacements to apply the elastic-plastic theory to bar elements. The factors are adjusted with 
regard to moment-curvature relations of sections, obtained from realistic constitutive equations 
of confined concrete and steel. 
Examples shown the model capacity and the importance of softening in the structural 
response up to the limit states considered. 
Recibido: Febrero 1997 
QUniversitat Politecnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 
488 O. MOLLER, M. RUBINSTEIN Y G. ETSE 
Para el análisis de la respuesta no lineal de pórticos planos de hormigón armado 
sismorresistente es necesario formular modelos matemáticos que establezcan una 
adecuada relación entre simplicidad y realismo. 
La simplicidad del modelo es condición necesaria para su aplicación a estructuras, 
de uso corriente en la práctica, compuesta por numerosas barras, en donde se debe 
garantizar la convergencia de los procesos iterativos en un número razonablemente 
acotado de pasos. 
El realismo es también una condición necesaria y esta cualidad debe ser incorporada 
al modelo estableciendo una adecuada relación entre la respuesta de la barra y las 
ecuaciones constitutivas de los materiales que la componen. 
Así por ejemplo un modelo de barra con plasticidad concentrada en los extremos y 
comportamiento elastoplástico ideal resulta simple pero no realista ya que, al no tener 
en cuenta efectos de endurecimiento, será capaz de seguir, de manera aproximada, el 
comportamiento del pórtico sólo hasta la formación del mecanismo de colapso. 
El modelo de barra que se propone en este trabajo para aplicación del método de 
elementos finitos en desplazamientos cumple con los dos requisitos mencionados. Se 
incorpora el endurecimiento y ablandamiento al modelo elastoplástico ideal utilizado 
en7 con una ley isótropa que gobierna la evolución del criterio de fluencia definido 
en términos de solicitaciones de sección M y N. A partir de las pendientes de 
endurecimiento o ablandamiento de las relaciones momento-curvatura de las secciones 
extremas del elemento, se deducen términos a incluir en la matriz de rigidez 
elastoplástica de la barra. 
La ley momento-curvatura se construye por el método clásico, teniendo en cuenta 
relaciones a - E realistas para el acero y el hormigón2 e incluyendo la posibilidad de 
considerar procesos cíclicos. El colapso se manifiesta cuando se alcanza un valor límite 
para la curvatura asociado con la ocurrencia de uno de los estados límites establecidos. 
Se presentan dos ejemplos para realizar una primera calibración y verificación de 
los factores de endurecimiento y ablandamiento del modelo propuesto, que pusieron de 
manifiesto la eficacia del mismo para representar la sobrerresistencia de la estructura, 
registrando la respuesta más allá de la entrada en el campo plástico de una cantidad 
de secciones suficientes para la formación de un mecanismo y para tener en cuenta 
efectos de localización de deformaciones por ablandamiento derivados, en este caso, de 
armaduras comprimidas y confinamiento insuficientes. 
Dentro del compromiso entre eficiencia y precisión de este modelo aparecen como 
limitaciones para un futuro perfeccionamiento, que la ley momento-curvatura se deduce 
para un valor fijo del esfuerzo normal y que el modelo no tiene en cuenta la rotación 
concentrada en la interfaz barra-nudo por deslizamiento de las armaduras. 
TEORíA DE ELASTOPLASTICIDAD APLICADA 
A ELEMENTOS DE BARRA 
La Figura 1 presenta el elemento de barra con sus grados de libertad y variación 
de esfuerzos internos considerados. 
Figura 1. Elemento de la barra 
La relación entre incrementos de fuerzas AF y de desplazamientos Au en las 
secciones extremas del elemento A y B se obtiene aplicando la teoría general de 
e l a s t o p l a ~ t i c i d a d ~ ~ ~ ~ ~  
Aue es el incremento de desplazamientos elásticos, en el cual K = KL + KNL con KL 
matriz de rigidez lineal elástica1, KNL matriz de rigidez no lineal1, AuP es el incremento 
de desplazamientos plásticos, con dY/dF matriz gradiente de la superficie de fluencia 
y A A ~  = [ A X ~ ,  AAB] contiene los multiplicadores plásticos. 
Los incrementos de fuerzas internas son 
A partir de la relación elástica 
y la condición de consistencia 
resulta 
con 
Reemplazando (5) en (3) y reordenando se obtiene 
donde Kep es la matriz de rigidez elastoplástica. 
En este trabajo se propone como función de fluencia para sección rectangular la 
siguiente expresión 
donde Mp = ayZ es el momento plástico con ay tensión de fluencia del material y Z el 
módulo plástico de la sección; N, = ayA es el esfuerzo normal plástico; K M ,  K N  son los 
parámetros de endurecimiento o ablandamiento. 
La matriz gradiente a la superficie de fluencia resulta 
Los términos de endurecimiento se definen 
con 
con 
ay ay d ~ ,  - 
- 
- -- 
N ~ N P  
- -23Hb, H1 - - 
¿%N d ~ ,  C ~ K N  N~ N - da ip  
ay - ay d~~ - Sig. M 
- -- -- - - 
aMp dKM 
F O R M U L A C I ~ N  ELASTOPLÁSTICA PARA EL ANALISIS COMPUTACIONAL 49 1 
Reemplazando ( l l ) ,  (12) y (13) en (6) se obtiene 
4~~ M A, = -HN + -Hf, 
N; M; (14) 
Los factores HN y Hb deben estar relacionados entre sí y con la tensión de fluencia 
del material; se propone 
ANp = AAay 
z d 
AMp = ZAoY = aANp = qANp 
donde d es la altura de la sección rectangular. 
Además 
ANp = HLA(Al), = H ~ A A ~ N / N ~  
d 
AMp = HMAO, = H ~ A X S ~ ~ .  M/Mp = - H ~ A A ~ N / N ~  
(16) 
4 
El factor HM se obtiene a partir de la relación momento curvatura de la sección 
recta de la barra y su deducción se presenta en el apartado siguiente. 
Luego 
8 N  HN = H ~ ~ P s ~ ~ .  M d N (17) 
Para 
A 
N = O =+ HN + m, A(A1) + o, luego A N  - -AMp p - z  (18) 
El momento plástico y el esfuerzo normal plástico se actualizan para cada sección 
extrema de la barra con 
[ N P ] ~ "  = ["P]' +AA,  ["v [ 
MP , MP , HM , Sig. M/Mp 1 (19) 
Con el incremento de desplazamientos Au, obtenido del proceso incremental 
iterativo de Newton-Raphson, se encuentran, por relaciones geométricas, los 
incrementos de giros en las secciones A y B: noA, AOB y el incremento de alargamiento 
A(A1). Con ellos se obtienen ANA, ANB = -ANA, AMA, AMB, AXA, AXB, AOp~ ,  
AOpB y A(Al), de acuerdo a' y teniendo en cuenta (14). 
El ajuste final a la superficie de fluencia se realiza con el método de la rigidez 
tangente y corrección radial3. Los incrementos de esfuerzos de corte se calculan por 
equilibrio AQA = -AQB = (AMA + AMB) /L .  
Esta metodología fué implementada en el código DINLI para análisis estático y 
dinámico de estructuras con no linealidad física y geométrica, utilizando el método de 
elementos finitos1. 
R E L A C I ~ N  MOMENTO-CURVATURA, PARÁMETROS DE 
ENDURECIMIENTO-ABLANDAMIENTO, ESTADOS 
L~MITES ÚLTIMOS 
Se construye la relación momento-curvatura para la sección rectangular de 
hormigón armado con un esfuerzo normal constante dado a partir de las siguientes 
hipótesis: 
Ecuación de compatibilidad de deformaciones: validez de la hipótesis de Bernoulli, 
es decir, la sección se mantiene plana. 
Ecuaciones constitutivas del hormigón confinado y acero: modelos propuestos por 
Mander et al.'. 
Equilibrio entre esfuerzo normal interno y externo: obtenido por iteraciones para 
cada incremento de curvatura, luego se evalúa el momento flector asociado a cada 
curvatura. 
El proceso está implementado en un programa de computación MPH15 y se puede 
hacer un análisis monótono creciente o cíclico. Para este último caso la curva monótona 
'creciente es buena aproximación de la envolvente. Dicha curva se puede rectificar, ver 
ejemplos, obteniéndose el momento plástico inicial MpO, la rigidez (EI), curvatura de 
fluencia $y, endurecimiento h(EI) ,  ablandamiento s (EI) ,  momento máximo Mpmax y 
curvatura última q5,, como muestra la Figura 2. 
Figura 2. Parámetros de la relación momento-curvatura 
Para definir la curvatura última 6, se analizan varios estados límites: 
Degradación del momento resistente en un 20 % con relación al momento máximo 
alcanzado. 
Capacidad de absorber energía por parte de los estribos de confinamiento. A 
partir del balance energético de la sección se puede estimar la deformación última 
a cornpresión del hormigón6. 
Deformación última de las barras de armadura, a tracción y a compresión (pandeo). 
La relación entre la pendiente de endurecimiento h(EI)  o ablandamiento s ( E I )  a 
nivel de sección y el factor H h  a nivel de elemento se deduce de la siguiente manera 
- Para la sección extrema de la barra 
donde AOp es el incremento de giro plástico y l p  es una longitud característica o longitud 
de rótula plástica equivalente. De (21) resulta 
- A nivel de elemento y a partir de (13), reemplazando AOp por (22) 
Comparando (20) con (23) resulta finalmente 
EJEMPLOS 
Ejemplo 1 
Se trata de una viga ménsula sismorresistente de hormigón armado de la estructura 
de un balcón, V;U o V; de la Figura 3. Está diseñada con la carga estática según el 
reglamento INPRES-CIRSOC 103 con los siguientes datos: zona sísmica 3, suelo tipo 
11, destino: edificio privado de habitación, materiales: hormigón H-17, acero ADN-420, 
carga permanente 0,415 t/m2 y sobrecarga 0,5 t/m2. También se indica la sección y 
armaduras resultantes. 
1 5.00 1 
Figura 3. Ménsula-datos y diseño s/INPRES-CIRSOC 103 
= 
'-y 
- 
sección 
v, 
si 
4016 + 1012 
estribos 06 c/10 
vz 
I I 20 
En la Figura 4 se muestra la ley momento-curvatura de la sección de empotramiento 
para análisis monótono creciente, se indican los estados límites y los datos que surgen 
para el modelo de la barra, como se presentó en la Figura 2. Se destaca que los valores 
de h ( E I )  y s ( E I )  pueden ser ambos positivos, como en este caso, correspondiente a 
dos pendientes de endurecimiento o con valores negativos para ablandamiento. 
SECCION RECTANGULAR 
m/40 401WlOtZ 4012 osoto 
MACI = 1334 tcin 
M y  = 1270 tcm 
6, = 0, 008726 rad/m 
EI = 1455 x lo4 tcrri2 
h = 0,0221 S = 0,008 
M,,,,, = 1669 tcm 
A: falla def .  última del hormigón 
B: falla paiideo armadura comprimida 
Figura 4. Sección de la ménsula con armaduras s/INPRES-CIRSOC 103 
Se ha considerado el caso de un diseño de armaduras indebido a partir de la 
solicitación determinante, pero sin tener en cuenta condiciones reglamentarias de 
armadura comprimida mínima y estribos de confinamiento. Resulta una armadura 
inferior 246 y estribos 46c/14, manteniéndose la armadura superior en 4416 + 1412. 
En la Figura 5 se observa la relación momento-curvatura mostrando un breve 
período de endurecimiento y luego ablandamiento al prevalecer la caída de resistencia 
del hormigón poco confinado frente al endurecimiento de la escasa armadura 
comprimida. Se indica también los estados límites alcanzados. 
SECCION RECTANGULAR 
20/40 dD16+7D12 206 D6W4 
M A C : ~  = 1251 tcm 
All ,  = 1232 tcm 
4, = 0,009580 rad lm 
EI = 1286 x lo4 tcm2 
h. = 0,00543 S = -0,0104 
Adt,max = 1251 tcm 
A :  falla de l .  Última del Iiorinigóii 
B :  falla paiideo arinadura coiiipriinida 
C: falla degradación resistericia. 
25 30 
Figura 5. Sección de la ménsula con armaduras convencionales 
La respuesta estructural no lineal se obtiene imponiendo incrementos de 
desplazamientos verticales en el extremo libre de la ménsula. Los resultados se 
presentan en la Figura 6 para los dos casos de armaduras: s/IMPRES-CIRSOC 103 y 
convencionales. 
MENSULA 
Figura 6. Respuesta de la ménsula: fuerza-desplazamiento vertical 
De la respuesta estructural se obtiene el momento M = P L y la curvatura 
4 = 4, + 4p = M / E I  + Op lp, donde Op es la rotación plástica en el extremo empotrado 
de la barra y lp = 0,75 d es la longitud de rótula plástica equivalente referida a la altura 
d de la sección. Con las curvaturas 4 se obtienen los valores de momento flector a partir 
de la relación M - 4 (Figuras 2,3) de la sección de empotramiento. Estos resultados se 
comparan con los valores de M de la respuesta estructural, encontrándose una perfecta 
coincidencia entre ambos, validando de esta manera la deducción del parámetro H h  
(24). 
A partir de los resultados de la Figura 6 se calcula la relación estre las rigideces del 
elemento en el período de endurecimiento Kh y la rigidez elástica inicial K ,  resultando 
K h / K  = 0,046. Si se compara con la relación de rigideces a flexión de la sección 
h = 0,0221, se observa que la pendiente de endurecimiento en la respuesta estructural 
es algo mayor que el doble de la misma relación para la sección, similar al factor 2 
recomendado en7. 
Se pone de manifiesto en la Figura 6 la diferencia de resistencia y ductilidad de 
ambos casos: P, = 8,68 t ,  p = 12,1/1,21 = 10 para el diseño s/IMPRES-CIRSOC 
103, frente a P, = 5,87 t ,  p = 6,2/1,28 = 4.84 para el diseño con armaduras 
convencionales, destacándose la importancia del efecto de localización de deformaciones 
por ablandamiento. 
Ejemplo 2 
Es un pórtico simple sismorresistente de hormigón armado de la estructura de un 
entrepiso interno para un depósito de mercadería, mostrado en la Figura 7, diseñado 
con el método estático del reglamento INPRES-CIRSOC 103 con los siguientes datos: 
zona sísmica 3, suelo tipo 11, destino: edificio industrial de baja densidad de ocupación, 
materiales: hormigón H-17, acero ADN-420, carga permanente 0,41 t/m2 y sobrecarga 
0,8 t/m2. 
I BFl{ A A (G )  
1 5.00 1 
pórtico 2 
Figura 7. Pórtico-datos geométricos y discretización 
Del análisis de la ley momento-curvatura de las secciones A a G surgen los 
parámetros de la Tabla 1, de acuerdo a la Figura 2, con curvaturas últimas producidas 
en un análisis con cuatro ciclos completos hasta (6, y -4,. 
Sección MpO d EI MpInax h S ($u 
25/50 1 tcm 1 [radjm] 1 O [ c m 2  1 1 1 1 [rad/m] 
A 1836 0,007459 2461 1,304 0,01530 0,00205 0,18368 
B 1848 0,007166 2578 1,325 0,01644 0,00174 0,14870 
C 2601 0,007277 3575 1,426 0,02166 0,00232 0,18526 
D 3641 0,008579 4244 1,185 0,01100 0,00086 ,0,06729 
E 2496 0,007429 3360 1,433 0,02150 0,00221 0,20187 
F 2615 0,008281 3157 1,297 0,01536 0,00113 0,14615 
G 1584 0,007192 2203 1,019 0,00473 -0,00415 0,07917 
Tabla 1. Parámetros de las secciones del pórtico 
Para la columna derecha, sección inferior, se consideró como variante la sección 
tipo G con insuficiente armadura comprimida (externa) y estribos convencionales, 
obteniéndose ablandamiento en dicha sección. 
La respuesta del pórtico para desplazamientos horizontales impuestos en la viga 
se presenta en la Figua 8. Las dos combinaciones reglamentarias 1,3 W+S, 0,85 W+S 
originan respuestas con diferencias pequeñas, y en ambos casos la falla se produce por 
alcanzarse la curvatura última en la base de las dos columnas, secciones A. 
También en este ejemplo se verifica la validez del parámetro H h  a través de 
la igualdad entre los momentos flectores obtenidos de la respuesta estructural y los 
calculados a partir de la curvatura y la relación M - q5 de la sección. La longitud 
característica Zp se fijó en 0,75 d, en forma similar al Ejemplo 1. 
La respuesta con la sección tipo G en la columna derecha, presenta una caída 
de resistencia de 26,15 t a 21,O t ,  y disminución de ductilidad global de 8,25 a 3,25, 
pero sin entrar en ablandamiento general del pórtico, ni modificación del mecanismo 
de plastificación, debido a que sólo una sección fué debilitada. 
*---- 
0,85W+S 
. . . . . . . 
1.3W+S (G) 
u (m) 
Figura 8. Respuesta del pórtico: fuerza-desplazamiento horizontal 
CONCLUSIONES 
Se presentó un modelo de endurecimiento y ablandamiento para utilizar la teoría 
general de elastoplasticidad en elementos de barra para pórticos planos, donde se 
relacionan incrementos de esfuerzos internos (resultantes de tensiones) con incrementos 
de desplazamientos en las secciones extremas del elemento. 
La calibración se realizó a partir de relaciones momento-curvatura obtenidas para 
las secciones, utilizando ecuaciones constitutivas realistas para el hormigón confinado 
y el acero. Se encontró una expresión analítica que relaciona las pendientes de 
endurecimiento y ablandamiento de la relación momento-curvatura de la sección, con 
el parámetro HM que representa el endurecimiento y ablandamiento del elemento de 
barra. Para ello la longitud característica o de regularización, representa la longitud de 
rótula plástica equivalente. 
La presencia de secciones con ablandamiento, por ejemplo debido a deficiencias en 
el diseño, reducen sensiblemente la resistencia y ductilidad estructural. 
REFERENCIAS 
1. O. Moller, M. Rubinstein, "Análisis dinámico no lineal físico y geométrico de barras: 
discusión del campo de aplicación de teorías aproximadas", Revista Internacional de 
Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingenierzá, Vol. 11, 2, pp. 151-182, (1995). 
2. J.B. Mander, M.J.N. Priestley y R. Park, "Seismic Design of Bridge Piers", Department of 
Civil Engineering, University of Canterbury, New Zealand, Research report 84-2 (1984). 
3. D.R. Owen y E. Hinton, "Finite Elements in Plasticity: Theory and Practice, Pineridge 
Press Limited, U.K. (1980). 
4. O.C. Zienkiewicz, "El Método de los Elementos Finitos", Reverté, (1980). 
5. 0. Moller, "Diseño probabilístico de estructuras para depósitos de agua elevados solicitados 
por acción sísmica", Tesis de Magister en Ingeniería Estructural, Universidad Nacional de 
Rosario (1989). 
6. T .  Paulay y M.J.N. Priestley, "Seismic Design of Reinforced Concrete and Masonry 
Buildings", John Wiley & Sons Inc. (1992). 
7. F.C. Filippou y A. Issa, "Nonlinear Analysis of Reinforced Concrete Frames Under Cyclic 
Load Reversals", Report N. UCB/EERC-88/12 (1988). 


Formulación elastoplástica para el análisis computacional de pórticos planos de hormigón armado

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