En este artículo obtenemos una solución explícita computable de problemas mixtos para sistemas acoplados de ecuaciones en diferencias parciales que aparecen al considerar aproximaciones en diferencias para sistemas acoplados en derivadas parciales. El enfoque del problema puede considerarse como un método de separación de variables discreto matricial que utilizando series de Fourier discretas permite obtener una solución explícita del problema sin tener que resolver sistemas algrabraicos lineales.Peer Reviewe

Jódar, L.

Legua, Matilde

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Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 7, 1, 81-86(1991) SOLUCIONES EXPLICITAS DE PROBLEMAS(*) MIXTOS PARA SISTEMAS ACOPLADOS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS PARCIALES LUCAS JODAR Y MATILDE LEGUA Dpto. de Matemática Aplicada, Univ. Politécnica de Valencia, Aptdo. 22.012, 46071 Valencia. RESUMEN En este artículo obtenemos una solución explícita computable de problemas mixtos para sistemas acoplados de ecuaciones en diferencias parciales que aparecen al considerar aproximaciones en diferencias para sistemas acoplados en derivadas parciales. El enfoque del problema puede considerarse como un método de separación de variables discreto matricial que utilizando series de Fourier discretas permite obtener una solución explícita del problema sin tener que resolver sistemas algrabraicos lineales. SUMMARY In this paper an explicit and computable for mixed coupled partial difference systems appearing when one considers difference approxiinate solutions of coupled systems of partid differential equations is given. By usuing discrete Fourier series a discrete matrix separation of variables method is proposed. This approach avoids solving algebraic linear systems ocurring is other difference methods. INTRODUCCION Muchos sistemas físicos no pueden ser descritos por una sola ecuación en derivadas parciales, sino que son modelados mediante un sistema acoplado de ecuaciones en derivadas parciales. Así, en el estudio de la propagación de señales en un sistema de cables eléctricos aparecen de un modo natural tales  sistema^^^^^^*'^. Sistemas acoplados de ecuaciones en derivadas parciales aparecen también en el estudio de la distribución de la temperatura en un conductor de calor c~mpuesto '~.  Métodos para el estudio de tales sistemas pueden encontrarse en las referencias [2,13,10,3], donde el problema se transforma en un nuevo sistema de ecuaciones desacopladas. Métodos numéricos para su solución han sido propuestos en las referencias [4,5]. El objetivo de este artículo (*) Este trabajo ha sido financiado con la ayuda PS87-0064 de la D.G.I.C.Y.T. Recibido: Enero 1990 @Universitat Politkcnica de Catalunya (España) ISSN 0213-131 5 82 L. JODAR Y M. LEGUA es obtener soluciones explícitas de ecuaciones en diferencias parciales que aparece de manera natural al aproximar soluciones de sistemas desacoplados de ecuaciones en derivadas parciales del tipo donde U = ( u , , u ~ , . . . , u ~ ) ~ ,  F = (fi, f 2 , . . . ,  fm)T,  toman valores de IRm y A es una matriz arbitraria en IRmXm. El enfoque del problema es el equivalente discreto matricial del método de separación de variables. Para su resolución utilizaremos transformadas de Fourier discretas vectoriales, lo que nos permite obtener soluciones explícitas del problema discreto sin resolver sistemas Lineales como ocurre al utilizar otros métodos en diferencias, incluso para el caso escalar, véase [l], por ejemplo. SOLUCIONES EXPLICITAS DE SISTEMAS E N  DIFERENCIAS PARCIALES Supongamos que subdividimos [O, 11 x]O, m[ en rectángulos iguales de lados Az = h, At = k, y sea P = (ih, j k ) ,  con i ,  j enteros positivos,, un punto de red rectangular, entonces el valor de la solución en dicho punto P, será denotado por U(ih, jk) = U ( i ,  j) .  Consideremos las siguientes aproximaciones en diferencias para las derivadas parciales en el punto P149p.8 Ut(ih, jk) Ñ U(i, j t 1) - U(i ,  j) k U(i + 1,j) - 2U(i, j) + u ( i  - 1 , j )  Ux,(ih, j k )  h2 y sea N, r tales que Si se aproxima las derivadas parciales U, y Ut por las diferencias finitas definidas en (41, la, ecuación (1) se convierte en rA[U(i - 1, j )  + U ( i  + 1, j)] + ( I  - 2rA)U(i,j)  - U(i, j + 1) = 8 N j 2 6  (6) Las condlcisries de contorno (2) se traducen en y la coñidiei6w inicial 43) significa SISTEMAS ACOPLADOS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS PARCIALES 83 U(i, O) = F(i) ,  1 5 i 5 N - 1 (8) donde F( i )  denota F(ih).  Supongamos que buscamos una solución de la ecuación en diferencias vectorial(6) de la forma U ,  j) = G(j)H(i),  G( j )  E IRmXm, H ( j )  E IRmXm (9) Sea p un número real, y consideremos las ecuaciones en diferencias matriciales, ' > O  G ( j  + 1) - ( I  + pA)G(j) = 0 3 - (10) ~ ( i + l ) + ( - ~ : - ~ ) ~ ( i ) + ~ ( i - l ) = ~  , l < i < N - 1  (11) Si G, H son soluciones de (10) y (11) respectivamente, entonces U(i, j) definida por (9) satisface (6) porque rA[G(j)H(i - 1) + G(j)H( i  + l)] + (I - 2rA)G(j)H(i) - G ( j  + l )H( i )  = ApG(j)H(i) - [(1 + pA)G(j) - G(j)]H(i) = ApG(j)H(i) - pAG(j)H(i) = O La solución de (10) que satisface G(0) = C E IRmXm viene dada por G ( ~ ) = ( I + P A ) ~ C  , j2O (12) Por otra parte, sí consideramos la ecuación matricial 2 r + p  Z + I = O  , Z E c m x m  z2 - (7) (13) y si p es un número real tal que -4r < p < O ,  entonces l (y)2 < o Es fácil observar que (13) admite un par de soluciones diagonales Zo, Zl E (Emxm, l 2 r + p  Zo=  { l r+ i [ i -  (y)2]112}I ; 2r + p (14) = {- - i [l - (y) '1 lI2} I Como todos los elementos diagonales de Zo, Z1, coinciden y tienen módulo unidad, existe un número real 8 E [O, 27r[, tales que - - - - - L. JODAR Y M. LEGUA Z t  = (COS n0 + isen n0)I ; 2; = (cos n0 - isen n0)I ; n 2 O (15) Nótese además que Zo - Z1 = 2i (1 - ( p) 2}1'2 1 es invertible, por tanto {Zo, Zi} define un par completo de soluciones de (13), véase [ll] y un conjunto de soluciones de la ecuación (11) viene dado por donde c, d son vectores arbitrarios en Cm. De (7) y (9), resulta que H tiene que satisfacer las condiciones de contorno De (16) y (17) resulta que c = - d  y 2isen(NO) = O. Si buscamos una solución no idénticamente nula de (ll), (17), ha de verificarse sen(N0) = O. De este modo basta tomar enteros a tales que NO = sx,  De aquí una familia de soluciones de (ll), (17), viene dada por donde g es un vector arbitario en Cm. De la definición de O, de (5) tenemos que cos 8 = (2r + p)/2r, o bien, p = p, = -2r(l  - cos O)  = -4rsen2(sn/2N) , s = 1 ,2 , .  . . , N  - 1 (20) Resolviendo (10) para este valor de p, obtenemos que es solución de (10) para cualquier matriz C E Cmxm De (9), (19) y (21), para cada s = 1,2, . . . ,  NI, obtenemos una solución U,(i, j) del problema homogéneo (6)-(7), dada por para cualquier vector u, E IRm. Ahora se trata de superponer las soluciones U,(i, j) del problema homogéneo (6)-(7), tomando vectores u, apropiados de manera que se satisfaga la condición inicial (8). Nótese que los vectores buscados v,, 1 5 s 5 N - 1 han de satisfacer N-1 U(i,O) = sen (isn/N)v, = F( i )  , 1 5 i 5 N - 1 s=l (23) SISTEMAS ACOPLADOS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS PARCIALES 8 5 1 De aquí, utilizando series de Fourier dis~retas~~'"P~~--'~~~p.~ , si llamamos fp, la p- ésima componente de F y u,, respectvamente, para p = 1,2, .  . . , m  cada componente u,,, viene dada por que podemos escribir en forma vectorial ~ resumiendo hemos demostrado el siguiente resultando: ~ TEOREMA 1. Sea N un entero positivo, h = 1/N, k > O y sea r = k/h2. Entonces para O < i 5 N ,  j 2 0, una solución del problema ( 6 ) ,  (7), (8),. viene dada por N-1 U(i, j) = (1 - 4 s e n 2 ( s 7 r / 2 ~ ) ~ ) j  sen(isr/N)v, i=l (25) donde u, está definido por (24) para 1 < s 5 N - 1. NOTA. Para el caso desacoplado, es decir, para una sola ecuación escalar, el método aquí propuesto ha sido utilizando en [8]. Aunque es claro que el cálculo de los coeficientes u, y de los vectores U(i, j ) ,  definidos en el teorema 1, son fácilmente implementables en un ordenador, y que el cálculo de los u, se reduce a los correspondientes de las respectivas componentes fp(i) 1 < p 5 n, de F = (f, , . . , f,)=, desde un punto de vista computacional puede resultar costoso para valores grandes de N y j. Para mejorar este aspecto se han desarrollado métodos, algoritmos y programas eficientes computacionalmente y numéricamente estables. Estos llamados genéricamente como basados en la transformada rápida de Fourier (FFT-methods) han sido muy estudiados en los Últimos años. Excelentes referencias son [16], donde se encuentran programas Fortran y Algol; [15] y [17]. Estos algoritmos y programas permiten reducir el volumen computacional en 4 veces apro~imadarnente~+'~. REFERENCIAS 1. B.L. Buzbee, G.H. Golub y C.W. Nielson, "On direct methods for solvinf Poisson's equationsw SIAM J. Numer. Anal., Vol. 7, pp. 627-656, (1970). 2. F.H. Branin, Jr., "Transient analysis of lossless transmission lines" , Proc. IEEE (Letters),Vol. 55, pp. 2012-2013, (1967). 3. Fung-Yuel Chang, "Transient analysis of lossless coupled transmission lines in a nonhomogeneous dielectric mediuni", IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques, MI'T 18, pp. 616-626, (1970). 4. B. Fornberg, "On a Fourier method method for the integration of hyperbolic equations", SIAM J. Numer. Anal., Vol. 12, pp. 509-528, (1975). 86 L. JODAR Y M. LEGUA .5. H.O. Kreiss, y J. Oliger, "Comparison of accurate methods for the integration of hyperbolic equations", Tcllus, Vol. 24, pp. 199-215, (1972). 6. P.I. Kuznetsov y R.L. Stratonovich, "The propagation of electromagnetic waves in multiconductor transmission lines", Macinillan, New York, (1964). 7. M. Pickering, "An introduction to fast Fourier transform methods for partial differential equations with applications", RSP Research Studies Press, Hertfordshire, England, (1986). 8. P.N. Swartztrauber, "The methods of cyclic, Fourier analysis and the FACR algorithm for the discrete solution of Poisson's equation on a rectangle", SIAM Review, Vol. 19, pp. 490, (1977). 9. L. Sirovich, "Introduction to Applied Mathematics", Texts in Applied Maths. 1, Springer Verlag, New York, (1988). 10. E.C. Zachmanoglou y D.W. Thoe, "Introduction to partial differential equations with applicationsn, William and Wilkins, (1976). 11. L. Jodar, "Explicit solutions for second order operator differential equations with two boundary value conditions", Linear Algebra AppL, Vol. 103, pp. 73-86, (1988). 12. J.R. Cannon y R.E. Klein, "On the observability ans stability of the temperature distribution in a composite heat conductor", SIAM J. Applied Math., Vol. 24, pp. 596-602, (1973). 13. H.W. Dommel, "A method for solving transient phenomena systems", Rep. 5.8, PTOC. 2nd Power Systems Computation Conf., Stockholm, Sweden, (1966). 14. G.D. Smith, "Numerical Solution of Partial Differential Equations", "Finite Difference Methodsn, Clarendon Press, Oxford, (1978). 15. W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky y W.T. Vetterling, "Numerical Recipes", Cambridge Univ. Press, (1986). 16. E.O. Brigham, "The fast Fourier rPransformJJ, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, (1974). 17. C. Temperton, "On the FACR(2) algorithm for the discrete Poisson Equationn, J. Comput. Phys., Vol. 34, pp. 314, (1980). 

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

Soluciones explícitas de problemas mixtos para sistemas acoplados de ecuaciones en diferencias parciales

UPCommons

En este artículo obtenemos una solución explícita computable de problemas mixtos para sistemas acoplados de ecuaciones en diferencias parciales que aparecen al considerar aproximaciones en diferencias para sistemas acoplados en derivadas parciales. El enfoque del problema puede considerarse como un método de separación de variables discreto matricial que utilizando series de Fourier discretas permite obtener una solución explícita del problema sin tener que resolver sistemas algrabraicos lineales

Legua, M.

Scipedia

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 7, 1, 81-86(1991) 
SOLUCIONES EXPLICITAS DE PROBLEMAS(*) 
MIXTOS PARA SISTEMAS ACOPLADOS DE 
ECUACIONES EN DIFERENCIAS PARCIALES 
LUCAS JODAR 
Y 
MATILDE LEGUA 
Dpto. de Matemática Aplicada, 
Univ. Politécnica de Valencia, 
Aptdo. 22.012, 46071 Valencia. 
RESUMEN 
En este artículo obtenemos una solución explícita computable de problemas mixtos 
para sistemas acoplados de ecuaciones en diferencias parciales que aparecen al considerar 
aproximaciones en diferencias para sistemas acoplados en derivadas parciales. El enfoque del 
problema puede considerarse como un método de separación de variables discreto matricial que 
utilizando series de Fourier discretas permite obtener una solución explícita del problema sin 
tener que resolver sistemas algrabraicos lineales. 
SUMMARY 
In this paper an explicit and computable for mixed coupled partial difference systems 
appearing when one considers difference approxiinate solutions of coupled systems of partid 
differential equations is given. By usuing discrete Fourier series a discrete matrix separation of 
variables method is proposed. This approach avoids solving algebraic linear systems ocurring 
is other difference methods. 
INTRODUCCION 
Muchos sistemas físicos no pueden ser descritos por una sola ecuación en derivadas 
parciales, sino que son modelados mediante un sistema acoplado de ecuaciones en 
derivadas parciales. Así, en el estudio de la propagación de señales en un sistema de 
cables eléctricos aparecen de un modo natural tales  sistema^^^^^^*'^. Sistemas acoplados 
de ecuaciones en derivadas parciales aparecen también en el estudio de la distribución 
de la temperatura en un conductor de calor c~mpuesto '~.  Métodos para el estudio de 
tales sistemas pueden encontrarse en las referencias [2,13,10,3], donde el problema se 
transforma en un nuevo sistema de ecuaciones desacopladas. Métodos numéricos para 
su solución han sido propuestos en las referencias [4,5]. El objetivo de este artículo 
(*) Este trabajo ha sido financiado con la ayuda PS87-0064 de la D.G.I.C.Y.T. 
Recibido: Enero 1990 
@Universitat Politkcnica de Catalunya (España) ISSN 0213-131 5 
82 L. JODAR Y M. LEGUA 
es obtener soluciones explícitas de ecuaciones en diferencias parciales que aparece de 
manera natural al aproximar soluciones de sistemas desacoplados de ecuaciones en 
derivadas parciales del tipo 
donde U = ( u , , u ~ , . . . , u ~ ) ~ ,  F = (fi, f 2 , . . . ,  fm)T,  toman valores de IRm y A es una 
matriz arbitraria en IRmXm. El enfoque del problema es el equivalente discreto matricial 
del método de separación de variables. Para su resolución utilizaremos transformadas 
de Fourier discretas vectoriales, lo que nos permite obtener soluciones explícitas del 
problema discreto sin resolver sistemas Lineales como ocurre al utilizar otros métodos 
en diferencias, incluso para el caso escalar, véase [l], por ejemplo. 
SOLUCIONES EXPLICITAS DE SISTEMAS E N  
DIFERENCIAS PARCIALES 
Supongamos que subdividimos [O, 11 x]O, m[ en rectángulos iguales de lados Az = h, 
At = k, y sea P = (ih, j k ) ,  con i ,  j enteros positivos,, un punto de red rectangular, 
entonces el valor de la solución en dicho punto P, será denotado por U(ih, jk) = U ( i ,  j) .  
Consideremos las siguientes aproximaciones en diferencias para las derivadas parciales 
en el punto P149p.8 
Ut(ih, jk) Ñ U(i, j t 1) - U(i ,  j) k 
U(i + 1,j) - 2U(i, j) + u ( i  - 1 , j )  
Ux,(ih, j k )  h2 
y sea N, r tales que 
Si se aproxima las derivadas parciales U, y Ut por las diferencias finitas definidas 
en (41, la, ecuación (1) se convierte en 
rA[U(i - 1, j )  + U ( i  + 1, j)] + ( I  - 2rA)U(i,j)  - U(i, j + 1) = 8 
N j 2 6  (6) 
Las condlcisries de contorno (2) se traducen en 
y la coñidiei6w inicial 43) significa 
SISTEMAS ACOPLADOS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS PARCIALES 83 
U(i, O) = F(i) ,  1 5 i 5 N - 1 (8) 
donde F( i )  denota F(ih).  
Supongamos que buscamos una solución de la ecuación en diferencias vectorial(6) 
de la forma 
U ,  j) = G(j)H(i),  G( j )  E IRmXm, H ( j )  E IRmXm (9) 
Sea p un número real, y consideremos las ecuaciones en diferencias matriciales, 
' > O  G ( j  + 1) - ( I  + pA)G(j) = 0 3 - (10) 
~ ( i + l ) + ( - ~ : - ~ ) ~ ( i ) + ~ ( i - l ) = ~  , l < i < N - 1  (11) 
Si G, H son soluciones de (10) y (11) respectivamente, entonces U(i, j) definida por (9) 
satisface (6) porque 
rA[G(j)H(i - 1) + G(j)H( i  + l)] + (I - 2rA)G(j)H(i) - G ( j  + l )H( i )  = 
ApG(j)H(i) - [(1 + pA)G(j) - G(j)]H(i) = ApG(j)H(i) - pAG(j)H(i) = O 
La solución de (10) que satisface G(0) = C E IRmXm viene dada por 
G ( ~ ) = ( I + P A ) ~ C  , j2O (12) 
Por otra parte, sí consideramos la ecuación matricial 
2 r + p  Z + I = O  , Z E c m x m  
z2 - (7) (13) 
y si p es un número real tal que -4r < p < O ,  entonces 
l (y)2 < o 
Es fácil observar que (13) admite un par de soluciones diagonales Zo, Zl E (Emxm, l 
2 r + p  Zo=  { l r+ i [ i -  (y)2]112}I ; 
2r + p (14) 
= {- - i [l - (y) '1 lI2} I 
Como todos los elementos diagonales de Zo, Z1, coinciden y tienen módulo unidad, 
existe un número real 8 E [O, 27r[, tales que 
- - - - - 
L. JODAR Y M. LEGUA 
Z t  = (COS n0 + isen n0)I ; 2; = (cos n0 - isen n0)I ; n 2 O (15) 
Nótese además que Zo - Z1 = 2i (1 - ( p) 2}1'2 1 es invertible, por tanto {Zo, Zi} 
define un par completo de soluciones de (13), véase [ll] y un conjunto de soluciones de 
la ecuación (11) viene dado por 
donde c, d son vectores arbitrarios en Cm. 
De (7) y (9), resulta que H tiene que satisfacer las condiciones de contorno 
De (16) y (17) resulta que c = - d  y 2isen(NO) = O. Si buscamos una solución no 
idénticamente nula de (ll), (17), ha de verificarse sen(N0) = O. De este modo basta 
tomar enteros a tales que NO = sx,  
De aquí una familia de soluciones de (ll), (17), viene dada por 
donde g es un vector arbitario en Cm. De la definición de O, de (5) tenemos que 
cos 8 = (2r + p)/2r, o bien, 
p = p, = -2r(l  - cos O)  = -4rsen2(sn/2N) , s = 1 ,2 , .  . . , N  - 1 (20) 
Resolviendo (10) para este valor de p, obtenemos que 
es solución de (10) para cualquier matriz C E Cmxm 
De (9), (19) y (21), para cada s = 1,2, . . . ,  NI, obtenemos una solución U,(i, j) del 
problema homogéneo (6)-(7), dada por 
para cualquier vector u, E IRm. 
Ahora se trata de superponer las soluciones U,(i, j) del problema homogéneo (6)-(7), 
tomando vectores u, apropiados de manera que se satisfaga la condición inicial (8). 
Nótese que los vectores buscados v,, 1 5 s 5 N - 1 han de satisfacer 
N-1 
U(i,O) = sen (isn/N)v, = F( i )  , 1 5 i 5 N - 1 
s=l 
(23) 
SISTEMAS ACOPLADOS DE ECUACIONES EN DIFERENCIAS PARCIALES 8 5 1 
De aquí, utilizando series de Fourier dis~retas~~'"P~~--'~~~p.~ , si llamamos fp, la p- 
ésima componente de F y u,, respectvamente, para p = 1,2, .  . . , m  cada componente 
u,,, viene dada por 
que podemos escribir en forma vectorial 
~ 
resumiendo hemos demostrado el siguiente resultando: 
~ 
TEOREMA 1. Sea N un entero positivo, h = 1/N, k > O y sea r = k/h2. Entonces 
para O < i 5 N ,  j 2 0, una solución del problema ( 6 ) ,  (7), (8),. viene dada por 
N-1 
U(i, j) = (1 - 4 s e n 2 ( s 7 r / 2 ~ ) ~ ) j  sen(isr/N)v, 
i=l 
(25) 
donde u, está definido por (24) para 1 < s 5 N - 1. 
NOTA. Para el caso desacoplado, es decir, para una sola ecuación escalar, el 
método aquí propuesto ha sido utilizando en [8]. Aunque es claro que el cálculo 
de los coeficientes u, y de los vectores U(i, j ) ,  definidos en el teorema 1, son 
fácilmente implementables en un ordenador, y que el cálculo de los u, se reduce a los 
correspondientes de las respectivas componentes fp(i) 1 < p 5 n, de F = (f, , . . , f,)=, 
desde un punto de vista computacional puede resultar costoso para valores grandes 
de N y j. Para mejorar este aspecto se han desarrollado métodos, algoritmos y 
programas eficientes computacionalmente y numéricamente estables. Estos llamados 
genéricamente como basados en la transformada rápida de Fourier (FFT-methods) 
han sido muy estudiados en los Últimos años. Excelentes referencias son [16], donde 
se encuentran programas Fortran y Algol; [15] y [17]. Estos algoritmos y programas 
permiten reducir el volumen computacional en 4 veces apro~imadarnente~+'~. 
REFERENCIAS 
1. B.L. Buzbee, G.H. Golub y C.W. Nielson, "On direct methods for solvinf Poisson's 
equationsw SIAM J. Numer. Anal., Vol. 7, pp. 627-656, (1970). 
2. F.H. Branin, Jr., "Transient analysis of lossless transmission lines" , Proc. IEEE 
(Letters),Vol. 55, pp. 2012-2013, (1967). 
3. Fung-Yuel Chang, "Transient analysis of lossless coupled transmission lines in a 
nonhomogeneous dielectric mediuni", IEEE Trans. Microwave Theory and Techniques, 
MI'T 18, pp. 616-626, (1970). 
4. B. Fornberg, "On a Fourier method method for the integration of hyperbolic equations", 
SIAM J. Numer. Anal., Vol. 12, pp. 509-528, (1975). 
86 L. JODAR Y M. LEGUA 
.5. H.O. Kreiss, y J. Oliger, "Comparison of accurate methods for the integration of hyperbolic 
equations", Tcllus, Vol. 24, pp. 199-215, (1972). 
6. P.I. Kuznetsov y R.L. Stratonovich, "The propagation of electromagnetic waves in 
multiconductor transmission lines", Macinillan, New York, (1964). 
7. M. Pickering, "An introduction to fast Fourier transform methods for partial differential 
equations with applications", RSP Research Studies Press, Hertfordshire, England, 
(1986). 
8. P.N. Swartztrauber, "The methods of cyclic, Fourier analysis and the FACR algorithm for 
the discrete solution of Poisson's equation on a rectangle", SIAM Review, Vol. 19, pp. 
490, (1977). 
9. L. Sirovich, "Introduction to Applied Mathematics", Texts in Applied Maths. 1, Springer 
Verlag, New York, (1988). 
10. E.C. Zachmanoglou y D.W. Thoe, "Introduction to partial differential equations with 
applicationsn, William and Wilkins, (1976). 
11. L. Jodar, "Explicit solutions for second order operator differential equations with two 
boundary value conditions", Linear Algebra AppL, Vol. 103, pp. 73-86, (1988). 
12. J.R. Cannon y R.E. Klein, "On the observability ans stability of the temperature 
distribution in a composite heat conductor", SIAM J. Applied Math., Vol. 24, pp. 596-602, 
(1973). 
13. H.W. Dommel, "A method for solving transient phenomena systems", Rep. 5.8, PTOC. 2nd 
Power Systems Computation Conf., Stockholm, Sweden, (1966). 
14. G.D. Smith, "Numerical Solution of Partial Differential Equations", "Finite Difference 
Methodsn, Clarendon Press, Oxford, (1978). 
15. W.H. Press, B.P. Flannery, S.A. Teukolsky y W.T. Vetterling, "Numerical Recipes", 
Cambridge Univ. Press, (1986). 
16. E.O. Brigham, "The fast Fourier rPransformJJ, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 
(1974). 
17. C. Temperton, "On the FACR(2) algorithm for the discrete Poisson Equationn, J. Comput. 
Phys., Vol. 34, pp. 314, (1980). 


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