En este trabajo se presenta un método numérico para la resolución de un problema de
elastoplasticidad con endurecimiento mixto no lineal. El método consiste en un algoritmo
basado en técnicas del lagrangiano aumentado combinado con un método de elementos finitos
mixto. La tensión y los parámetros de endurecimiento se aproximan por funciones constantes a trozos y los desplazamientos mediante funciones lineales a trozos.In this paper we present a method for the numerical resolution of a elastoplasticity problem with nonlinear mixed hardening. The method is based on Augmented Langragian thechniques. We use a mixed finit element method: stress and hardening parameters are approxiinated by piecewise constant functions and displacements by piecewise linear functions.Peer Reviewe

Huidobro, José

Robles, Arturo

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 6 ,3, 437-448( 1990) 
ALGORITMO NUMERICO PARA 
PROBLEMAS DE ELASTOPLASTICIDAD 
CON ENDURECIMIENTO MIXTO 
JOSE ANGEL HUIDOBRO 
Y 
ARTURO ROBLES 
Departamento de Matemáticas, 
Escuela T.S.I.I. de Gijón - Universidad de Oviedo, 
Carretera de Castiello s/n, Gijón 33204, Asturias. 
RESUMEN 
En este trabajo se presenta un método numérico para la resolución de un problema de 
elastoplasticidad con endurecimiento mixto no lineal. El método consiste en un algoritmo 
basado en técnicas del lagrangiano aumentado combinado con un método de elementos finitos 
mixto. La tensión y los parámetros de endurecimiento se aproximan por funciones constantes 
a trozos y los desplazamientos mediante funciones lineales a trozos. 
SUMMARY 
In this paper we present a method for the numerical resolution of a elastoplasticity problem 
with nonlinear mixed hardening. The method is based on Augmented Langragian thechniques. 
We use a mixed finit element method: stress and hardening parameters are approxiinated by 
piecewise constant functions and displacements by piecewise linear functions. 
INTRODUCCION 
La idea de endurecimiento mixto fue sugerida por Prager en 1935 y consiste en 
combinar los conceptos de endurecimiento isotrópico y cinemático. Está  especialmente 
indicado en l a  modelización de procesos de endurecimiento en  los que no puede 
prescindirse del efecto Bauschinger, como sucede por ejemplo en casos de carga cíclica. 
El modelo que se considera en este trabajo se enmarca en l a  teoría inñnitesimal y 
viene definido por: superficie de fluencia de Von Mises, regla de flujo de Prantdl-Reuss, 
endurecimiento isotrópico por deformación y regla de endurecimiento cinemático de 
Prager. 
Este modelo h a  sido analizado por Axelsson y Samuelsson', donde se formula el 
problema mediante l a  construcción de l a  matriz elastoplástica. Para  su resolución 
Recibido: Enero 1989 
OUniversitat Politecnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 437 
J. HUIDOBRO Y A. ROBLES 
se tiene 
dh . dF 
--i) = A- 
drl drl 
y para la ley de Prager 
1 .  dF 
--a = A- 
c d a  
obteniéndose entonces que las ecuaciones (4)-(5)-(6) pueden expresarse como 
X > O ,  F S O ,  F X = O  
lo que indica que el vector (8, -$&, -hl(q)i)) es normal saliente a la superficie de 
fluencia en el punto (a, a ,  q ) .  
A partir de esta relación y para el caso de endurecimiento isotrópico lineal, 
Johnsonla formula variacionalrnente el problema y obtiene resultados de existencia 
y unicidad de solución. Para el caso no lineal el tratamiento del problema resulta 
más complejo tanto en el aspecto teórico como práctico. En este trabajo se introduce 
un cambio de variable que simplifica la condición de normalidad anteriormente 
mencionada. Sea 
dh + 
v  = g(q)  siendo g ( 7 )  = 1/' (d;) ds 
Mediante estas relaciones la ley de endurecimiento isotrópico puede expresarse 
como 
. dF 
-i = A- con F(a ,  a ,  v )  = ~ ( a ,  ,  g - l ( v ) )  ay  
De esta forma la evolución de las variables plásticas queda definida por 
i z o ,  F ~ O ,  F X  = O 
o también, 
. ( T - o , p - a , p - v ) L O  V ( T , ~ , ~ ) E B  
B = { ( r , P , p )  E M, x M, x R : F ( 7 , P , p )  < 0 )  (11) 
Esta inecuación permite obtener fácilmente una formulación variacional del 
problema. 
ALGORITMO NUMERICO PARA PROBLEMAS DE ELASSOPLASTICIDAD 441 
FORMULACION VARIACIONAL 
Se consideran los espacios de funciones 
V = { W E ( H ' ( ~ ) ) ~  : wlrl = O) , 1 (V 
Por la desigualdad de Korn, para w E V ,  Ic(w)l (norma en L2(Q,  M,) induce sobre 
V una norma equivalente7 a la natural de V .  
Se supondrá que 
f E ~ ~ ( 0 ,  T ;  ( ~ ~ ( f l ) ) ~ )  y g E ~ ~ ( 0 ,  T ;  ( H - ~ ( I ' ) ) ~ )  
y se define sobre V el operador lineal continuolg 
Lt(w)  = ( f ( t ) ,  w )  + (g ( t ) ,  w)r ,  w r v  
( e ,  a )  producto escalar en ( L 2 ( Q ) ) 3  
(-, -)rl  dualidad en ( H  + ( F ) ) ~  
Se introduce el conjunto de equilibrio 
E ( t )  = { ( T ,  ,f3, p) E H : ( T ,  E (w) )  = Lt(w)  VW E V )  
y el subconjunto convexo y cerrado de H 
fJ = ((7, P , p )  E H : F(7, ( x ) , P ( z ) ,  ~ ( 2 ) )  1 O C - P . ~ .  Q )  
Finalmente se considera la forma bilineal 
a ( a , ~ )  = Aijkhflij(z)~kh(z)d;i: , para U , T  E L ~ ( Q ,  M,), J,  
el operador Aa  = a(u, .) y la norma asociada 1 - 1,. Obsérvese que esta norma es 
equivalente a la natural de L2(Q, M,) debido a la hipótesis (2b). 
Denotando por v la velocidad de desplazamiento, el problema puede formularse 
variacionalmente como: 
Hallar ( a ,  a, v, u )  : [ O ,  TI -+ H x V verificando c.p.d. en [ O ,  T] 
J.  HUIDOBRO Y A.  ROBLES 
a(O) = O, a(O) = O, u(O) = O (14) 
La existencia y unicidad de solución ha sido demostrada en [ lo]  bajo las hipótesis: 
H1. P r l  E(t )  # q5 c.p.d. en [O,T] 
H2. 3 X :  R x [O,T] -+ M, tal que 
( ~ ( t ) , r ( w ) )  = Lt(w) Vw E V Y 121 < C c.p.d. (O, T) x a ,  j = 1 ,2  
H3. f ,  fi L2(0, T;  (L2(fl))3) 
PROBLEMA DISCRETO 
Se supondrá en lo que sigue que Q es un abierto poliédrico. Se considera una familia 
regular de elementos finitos (triángulos o tetraedros): 
ñ =  " T 
TETh 
y se introducen los espacios de dimensión finita 
donde P,,(T) denota los polinomios de grado n sobre T.  Sean además, 
Eh(t) = ((7, P, p) E Hh : (7, E@)) = Lt(w) VW E Vs) 
Ph = P n H h  
Se formula el problema aproximado (discreto en la variable espacial): 
Hallar ( u ~ , ~ ~ , u ~ , v ~ )  : [O,T] + Hh x Vh verificando c.p.d. en [O,T] 
La existencia y unicidad de solución se obtienen de forma análoga al problema en 
continuo si se dispone de hipótesis del tipo H1, H2, H3 para el problema aproximado. 
Con este objeto se prueba siguiendo a Johnson13, el lema: 
ALGORITMO NUMERICO PARA PROBLEMAS DE ELASTOPLASTICIDAD 443 
LEMA: Sea lTh la proyección ortogonal de H en Elh. Entonces 
n h ( P  n E ( t ) )  c (Ph n (Eh( t ) )  
Demostración 
Sea (T,/?,  p )  E P n E( t ) .  Su proyección sobre Hh viene dada por: 
(IT 1 medida del elemento T) 
Puesto que E ( W )  es constante en cada elemento T, 
(7, ~ ( w ) )  = Lt(w) * ( ~ h ,  ~ ( w ) )  = Lt(w) W E Vh 
Y por tanto ( ~ h ,  Ph vh ) E Eh ( t  ) 
Por otra parte, puesto que T = g- loh es cóncava, la desigualdad de Jensen conduce a 
lo que prueba que ( T ~ ,  Ph, vh) E Ph. 
La convergencia del método de elementos finitos queda establecida en el siguiente 
teorema: 
TEOREMA. Existe una constante C independiente de h tal que 
\ ( g h ,  ah, vh) - ( g , a , v ) 1 2 , ~  < C inf {Iv - ~ 1 2 , ~  , w E L2(o, T; vh))  
( 1  . J 2 , w  norma en L ~ ( o , T ;  w)) 
Demostración 
Introduciendo la solución del problema aproximado en (13) y la proyección de la 
solución del problema en continuo en (16), y sumando ambas expresiones se obtiene 
1 .  
a(+) - uh( t ) ,  ~ ( t )  - gh( t ) )  + -(M - irh(t), - ah( t ) )+  
C 
+ ( ~ ( t )  - Uh(t)> v ( t )  - ~ h ( t ) )  5 ( E ( v ( ~ ) )  - ~ ( ' ~ h ( t ) ) ,  ~ ( t )  - ~ h ( t ) )  
de donde 
J .  HUIDOBRO Y A. ROBLES 
5 Ic(v(t)) - ~ ( w )  l 2  + lu(t) - uh(t) 1 5 
y por la desigualdad de Korn 
< c I ~ ( t ) - ~ l : , v + U ( t ) - U h ( t ) 1 ~  VwEVh 
(C cte positiva) 
obteniéndose la estimación del teorema aplicando el lema de Gronwall y teniendo en 
cuenta la equivalencia entre la norma de L2(R, M,) y ( la. 
Finalmente, para obtener el problema discreto en la variable temporal, se introduce 
un método en diferencias finitas: 
Sea N un número natural y k = T/N; para n = 0,1,.  . . , N se denota 
y se plantea el problema discreto: 
Hallar (u;, a:, u;) E Hh y V; E V para n = 0,1,. .. , N ,  verificando 
Este problema equivale a la minirnización sobre el conjunto convexo y cerrado 
Ph n E: del funcional convexo y coercivo 
Para asegurar la existencia del mínimo es suficiente probar que el conjunto convexo 
no es vacío y esto se obtiene a partir de las hipótesis H1, H2 ' 9 1 3 .  La convergencia del 
problema discreto al problema aproximado se realiza mediante la técnica'standard de 
"estimación a p r i ~ r i " ~ ? " ~ ~ .  
ALGORITMO NUMERICO PARA PROBLEMAS DE ELASTOPLASTICIDAD 445 
METODO ITERATIVO 
Antes de introducir el esquema iterativo se expresará la inecuación (19) mediante 
el concepto de subdiferencial de la función indicadora del convexo de elasticidad. Con 
este objeto se introducen algunos resultados del análisis convexo (para más detalles ver 
[6l). 
Sea W espacio de Hilbert y K un subconjunto cerrado y convexo de W. Se define 
la función indicadora de K por: 
Identificando W con su dual, se dice que z está en la subdiferencial de IK en x si: 
(z,y - x) 5 O tly E K y se denota t E ¿3IK(z) (21) 
La aproximante Yosida de la subdiferencial de la función indicadora viene expresada 
por: 
donde I denota aplicación identidad y T I K  la proyección de W en K. 
Teniendo en cuenta (21) el sistema (18)-(19)-(20) puede expresarse como: 
Hallar (u;, a;, u;) E Hh y u; E V para n = 0,1,. . . ,N,  verificando 
1 (€(VE) - A W ,  --Sa:, c -Su:) E ¿31~(o:, a:, u:) (23) 
La ecuación multivoca (23) marca el carácter altamente no lineal de los problemas 
de plasticidad y su tratamiento constituye un punto crucial en la resolución numérica 
del problema. Diversos métodos basados en técnicas de penalización-dualidad han sido 
desarrollados. Citemos por ejemplo a Mercierl' y Bermudez Viaño5 para problemas 
de plasticidad perfecta y a Johnsonl', Samuelsson-Froier18 y Bermúdez-Viaño5 en 
plasticidad con endurecimiento lineal. El algoritmo que aquí se desarrolla aplica este 
tipo de técnicas a problemas con endurecimiento mixto no lineal, siendo las velocidades 
de la deformación plástica y de los parámetros de endurecimiento las que juegan el 
papel de multiplicador de Lagrange. 
Designando con (ph,  qh, S;) el elemento de la subdiferencial que realiza la igualdad 
en (23), esta ecuación puede expresarse como 
J. HUIDOBRO Y A. ROBLES 
Estas ecuaciones permiten introducir el siguiente esquema numérico (se suprime el 
subíndice h en la notación): 
Sea (PO, qo, so) arbitrario. Conocidos (pm, q;, S", se determinan u:, a;, v:, v; 
resolviendo 
El nuevo multiplicador se calcula mediante 
Se observa que el sistema (28)-(29) es básicamente un problema de elasticidad 
lineal, cuya matriz de rigidez es constante en todas las iteraciones, y donde el 
multiplicador plástico juega el papel de un segundo miembro variable en cada iteración. 
En la resolución de la ecuación (30) hay que realizar el cálculo de la proyección; puesto 
que la tensión y los parámetros de endurecimiento son constantes por elemento, ésta se 
reduce a una proyección en R6 x R6 x R. 
El sistema (28)-(29)-(30) queda incluido en el marco funcional abstracto desarrollado 
en [3], en el que ha sido analizada su convergencia. 
EJEMPLO NUMERICO 
El método numérico anteriormente descrito ha sido implementado utilizando la 
biblioteca de elementos finitos MODULEF-INRIA, siendo necesaria la construcción de 
un nuevo módulo. Como ejemplo numérico se ha analizado la propagación de la zona 
plástica en una placa de aluminio entallada (Figura 1)) que tiene un comportamiento 
elastoplástico con endurecimiento mixto no lineal. Para un test de tensión uniaxial, la 
relación tensión-deformación en el rango plástico es del tipo Ramberg-Osgoodl: 
u 
e = - + -  - 
3u ( u 1"-' E 7E u0.7 
Los valores .de la tensión de fluencia, u0.7 y n han sido analizadas en [2], 
considerándose en este caso 320 MPa, 366 MPa y 37 respectivamente. Las constantes 
elásticas son E = 70000 MPa y v = 0.2. 
En la Figura 2 se representa la malla utilizada que consta de 71 nodos y 105 
triángulos. 
En la Figura 3 se representa la evolución de la zona plástica según los valores de 
la carga. 
ALGORITMO NUMERICO PARA PROBLEMAS DE ELASTOPLASTICIDAD 447 
Figura 3. Propagación de la frontera plástica. 
AGRADECIMIENTOS 
Agradecemos al profesor Carlos Moreno sus valiosas sugerencias durante la 
elaboración de este trabajo. 
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J. HUIDOBRO Y A. ROBLES 
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Algoritmo numérico para problemas de elastoplasticidad con endurecimiento mixto

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Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería. Vol. 6 ,3, 437-448( 1990) ALGORITMO NUMERICO PARA PROBLEMAS DE ELASTOPLASTICIDAD CON ENDURECIMIENTO MIXTO JOSE ANGEL HUIDOBRO Y ARTURO ROBLES Departamento de Matemáticas, Escuela T.S.I.I. de Gijón - Universidad de Oviedo, Carretera de Castiello s/n, Gijón 33204, Asturias. RESUMEN En este trabajo se presenta un método numérico para la resolución de un problema de elastoplasticidad con endurecimiento mixto no lineal. El método consiste en un algoritmo basado en técnicas del lagrangiano aumentado combinado con un método de elementos finitos mixto. La tensión y los parámetros de endurecimiento se aproximan por funciones constantes a trozos y los desplazamientos mediante funciones lineales a trozos. SUMMARY In this paper we present a method for the numerical resolution of a elastoplasticity problem with nonlinear mixed hardening. The method is based on Augmented Langragian thechniques. We use a mixed finit element method: stress and hardening parameters are approxiinated by piecewise constant functions and displacements by piecewise linear functions. INTRODUCCION La idea de endurecimiento mixto fue sugerida por Prager en 1935 y consiste en combinar los conceptos de endurecimiento isotrópico y cinemático. Está  especialmente indicado en l a  modelización de procesos de endurecimiento en  los que no puede prescindirse del efecto Bauschinger, como sucede por ejemplo en casos de carga cíclica. El modelo que se considera en este trabajo se enmarca en l a  teoría inñnitesimal y viene definido por: superficie de fluencia de Von Mises, regla de flujo de Prantdl-Reuss, endurecimiento isotrópico por deformación y regla de endurecimiento cinemático de Prager. Este modelo h a  sido analizado por Axelsson y Samuelsson', donde se formula el problema mediante l a  construcción de l a  matriz elastoplástica. Para  su resolución Recibido: Enero 1989 OUniversitat Politecnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 437 J. HUIDOBRO Y A. ROBLES se tiene dh . dF --i) = A- drl drl y para la ley de Prager 1 .  dF --a = A- c d a  obteniéndose entonces que las ecuaciones (4)-(5)-(6) pueden expresarse como X > O ,  F S O ,  F X = O  lo que indica que el vector (8, -$&, -hl(q)i)) es normal saliente a la superficie de fluencia en el punto (a, a ,  q ) .  A partir de esta relación y para el caso de endurecimiento isotrópico lineal, Johnsonla formula variacionalrnente el problema y obtiene resultados de existencia y unicidad de solución. Para el caso no lineal el tratamiento del problema resulta más complejo tanto en el aspecto teórico como práctico. En este trabajo se introduce un cambio de variable que simplifica la condición de normalidad anteriormente mencionada. Sea dh + v  = g(q)  siendo g ( 7 )  = 1/' (d;) ds Mediante estas relaciones la ley de endurecimiento isotrópico puede expresarse como . dF -i = A- con F(a ,  a ,  v )  = ~ ( a ,  ,  g - l ( v ) )  ay  De esta forma la evolución de las variables plásticas queda definida por i z o ,  F ~ O ,  F X  = O o también, . ( T - o , p - a , p - v ) L O  V ( T , ~ , ~ ) E B  B = { ( r , P , p )  E M, x M, x R : F ( 7 , P , p )  < 0 )  (11) Esta inecuación permite obtener fácilmente una formulación variacional del problema. ALGORITMO NUMERICO PARA PROBLEMAS DE ELASSOPLASTICIDAD 441 FORMULACION VARIACIONAL Se consideran los espacios de funciones V = { W E ( H ' ( ~ ) ) ~  : wlrl = O) , 1 (V Por la desigualdad de Korn, para w E V ,  Ic(w)l (norma en L2(Q,  M,) induce sobre V una norma equivalente7 a la natural de V .  Se supondrá que f E ~ ~ ( 0 ,  T ;  ( ~ ~ ( f l ) ) ~ )  y g E ~ ~ ( 0 ,  T ;  ( H - ~ ( I ' ) ) ~ )  y se define sobre V el operador lineal continuolg Lt(w)  = ( f ( t ) ,  w )  + (g ( t ) ,  w)r ,  w r v  ( e ,  a )  producto escalar en ( L 2 ( Q ) ) 3  (-, -)rl  dualidad en ( H  + ( F ) ) ~  Se introduce el conjunto de equilibrio E ( t )  = { ( T ,  ,f3, p) E H : ( T ,  E (w) )  = Lt(w)  VW E V )  y el subconjunto convexo y cerrado de H fJ = ((7, P , p )  E H : F(7, ( x ) , P ( z ) ,  ~ ( 2 ) )  1 O C - P . ~ .  Q )  Finalmente se considera la forma bilineal a ( a , ~ )  = Aijkhflij(z)~kh(z)d;i: , para U , T  E L ~ ( Q ,  M,), J,  el operador Aa  = a(u, .) y la norma asociada 1 - 1,. Obsérvese que esta norma es equivalente a la natural de L2(Q, M,) debido a la hipótesis (2b). Denotando por v la velocidad de desplazamiento, el problema puede formularse variacionalmente como: Hallar ( a ,  a, v, u )  : [ O ,  TI -+ H x V verificando c.p.d. en [ O ,  T] J.  HUIDOBRO Y A.  ROBLES a(O) = O, a(O) = O, u(O) = O (14) La existencia y unicidad de solución ha sido demostrada en [ lo]  bajo las hipótesis: H1. P r l  E(t )  # q5 c.p.d. en [O,T] H2. 3 X :  R x [O,T] -+ M, tal que ( ~ ( t ) , r ( w ) )  = Lt(w) Vw E V Y 121 < C c.p.d. (O, T) x a ,  j = 1 ,2  H3. f ,  fi L2(0, T;  (L2(fl))3) PROBLEMA DISCRETO Se supondrá en lo que sigue que Q es un abierto poliédrico. Se considera una familia regular de elementos finitos (triángulos o tetraedros): ñ =  " T TETh y se introducen los espacios de dimensión finita donde P,,(T) denota los polinomios de grado n sobre T.  Sean además, Eh(t) = ((7, P, p) E Hh : (7, E@)) = Lt(w) VW E Vs) Ph = P n H h  Se formula el problema aproximado (discreto en la variable espacial): Hallar ( u ~ , ~ ~ , u ~ , v ~ )  : [O,T] + Hh x Vh verificando c.p.d. en [O,T] La existencia y unicidad de solución se obtienen de forma análoga al problema en continuo si se dispone de hipótesis del tipo H1, H2, H3 para el problema aproximado. Con este objeto se prueba siguiendo a Johnson13, el lema: ALGORITMO NUMERICO PARA PROBLEMAS DE ELASTOPLASTICIDAD 443 LEMA: Sea lTh la proyección ortogonal de H en Elh. Entonces n h ( P  n E ( t ) )  c (Ph n (Eh( t ) )  Demostración Sea (T,/?,  p )  E P n E( t ) .  Su proyección sobre Hh viene dada por: (IT 1 medida del elemento T) Puesto que E ( W )  es constante en cada elemento T, (7, ~ ( w ) )  = Lt(w) * ( ~ h ,  ~ ( w ) )  = Lt(w) W E Vh Y por tanto ( ~ h ,  Ph vh ) E Eh ( t  ) Por otra parte, puesto que T = g- loh es cóncava, la desigualdad de Jensen conduce a lo que prueba que ( T ~ ,  Ph, vh) E Ph. La convergencia del método de elementos finitos queda establecida en el siguiente teorema: TEOREMA. Existe una constante C independiente de h tal que \ ( g h ,  ah, vh) - ( g , a , v ) 1 2 , ~  < C inf {Iv - ~ 1 2 , ~  , w E L2(o, T; vh))  ( 1  . J 2 , w  norma en L ~ ( o , T ;  w)) Demostración Introduciendo la solución del problema aproximado en (13) y la proyección de la solución del problema en continuo en (16), y sumando ambas expresiones se obtiene 1 .  a(+) - uh( t ) ,  ~ ( t )  - gh( t ) )  + -(M - irh(t), - ah( t ) )+  C + ( ~ ( t )  - Uh(t)> v ( t )  - ~ h ( t ) )  5 ( E ( v ( ~ ) )  - ~ ( ' ~ h ( t ) ) ,  ~ ( t )  - ~ h ( t ) )  de donde J .  HUIDOBRO Y A. ROBLES 5 Ic(v(t)) - ~ ( w )  l 2  + lu(t) - uh(t) 1 5 y por la desigualdad de Korn < c I ~ ( t ) - ~ l : , v + U ( t ) - U h ( t ) 1 ~  VwEVh (C cte positiva) obteniéndose la estimación del teorema aplicando el lema de Gronwall y teniendo en cuenta la equivalencia entre la norma de L2(R, M,) y ( la. Finalmente, para obtener el problema discreto en la variable temporal, se introduce un método en diferencias finitas: Sea N un número natural y k = T/N; para n = 0,1,.  . . , N se denota y se plantea el problema discreto: Hallar (u;, a:, u;) E Hh y V; E V para n = 0,1,. .. , N ,  verificando Este problema equivale a la minirnización sobre el conjunto convexo y cerrado Ph n E: del funcional convexo y coercivo Para asegurar la existencia del mínimo es suficiente probar que el conjunto convexo no es vacío y esto se obtiene a partir de las hipótesis H1, H2 ' 9 1 3 .  La convergencia del problema discreto al problema aproximado se realiza mediante la técnica'standard de "estimación a p r i ~ r i " ~ ? " ~ ~ .  ALGORITMO NUMERICO PARA PROBLEMAS DE ELASTOPLASTICIDAD 445 METODO ITERATIVO Antes de introducir el esquema iterativo se expresará la inecuación (19) mediante el concepto de subdiferencial de la función indicadora del convexo de elasticidad. Con este objeto se introducen algunos resultados del análisis convexo (para más detalles ver [6l). Sea W espacio de Hilbert y K un subconjunto cerrado y convexo de W. Se define la función indicadora de K por: Identificando W con su dual, se dice que z está en la subdiferencial de IK en x si: (z,y - x) 5 O tly E K y se denota t E ¿3IK(z) (21) La aproximante Yosida de la subdiferencial de la función indicadora viene expresada por: donde I denota aplicación identidad y T I K  la proyección de W en K. Teniendo en cuenta (21) el sistema (18)-(19)-(20) puede expresarse como: Hallar (u;, a;, u;) E Hh y u; E V para n = 0,1,. . . ,N,  verificando 1 (€(VE) - A W ,  --Sa:, c -Su:) E ¿31~(o:, a:, u:) (23) La ecuación multivoca (23) marca el carácter altamente no lineal de los problemas de plasticidad y su tratamiento constituye un punto crucial en la resolución numérica del problema. Diversos métodos basados en técnicas de penalización-dualidad han sido desarrollados. Citemos por ejemplo a Mercierl' y Bermudez Viaño5 para problemas de plasticidad perfecta y a Johnsonl', Samuelsson-Froier18 y Bermúdez-Viaño5 en plasticidad con endurecimiento lineal. El algoritmo que aquí se desarrolla aplica este tipo de técnicas a problemas con endurecimiento mixto no lineal, siendo las velocidades de la deformación plástica y de los parámetros de endurecimiento las que juegan el papel de multiplicador de Lagrange. Designando con (ph,  qh, S;) el elemento de la subdiferencial que realiza la igualdad en (23), esta ecuación puede expresarse como J. HUIDOBRO Y A. ROBLES Estas ecuaciones permiten introducir el siguiente esquema numérico (se suprime el subíndice h en la notación): Sea (PO, qo, so) arbitrario. Conocidos (pm, q;, S", se determinan u:, a;, v:, v; resolviendo El nuevo multiplicador se calcula mediante Se observa que el sistema (28)-(29) es básicamente un problema de elasticidad lineal, cuya matriz de rigidez es constante en todas las iteraciones, y donde el multiplicador plástico juega el papel de un segundo miembro variable en cada iteración. En la resolución de la ecuación (30) hay que realizar el cálculo de la proyección; puesto que la tensión y los parámetros de endurecimiento son constantes por elemento, ésta se reduce a una proyección en R6 x R6 x R. El sistema (28)-(29)-(30) queda incluido en el marco funcional abstracto desarrollado en [3], en el que ha sido analizada su convergencia. EJEMPLO NUMERICO El método numérico anteriormente descrito ha sido implementado utilizando la biblioteca de elementos finitos MODULEF-INRIA, siendo necesaria la construcción de un nuevo módulo. Como ejemplo numérico se ha analizado la propagación de la zona plástica en una placa de aluminio entallada (Figura 1)) que tiene un comportamiento elastoplástico con endurecimiento mixto no lineal. Para un test de tensión uniaxial, la relación tensión-deformación en el rango plástico es del tipo Ramberg-Osgoodl: u e = - + -  - 3u ( u 1"-' E 7E u0.7 Los valores .de la tensión de fluencia, u0.7 y n han sido analizadas en [2], considerándose en este caso 320 MPa, 366 MPa y 37 respectivamente. Las constantes elásticas son E = 70000 MPa y v = 0.2. En la Figura 2 se representa la malla utilizada que consta de 71 nodos y 105 triángulos. En la Figura 3 se representa la evolución de la zona plástica según los valores de la carga. ALGORITMO NUMERICO PARA PROBLEMAS DE ELASTOPLASTICIDAD 447 Figura 3. Propagación de la frontera plástica. AGRADECIMIENTOS Agradecemos al profesor Carlos Moreno sus valiosas sugerencias durante la elaboración de este trabajo. REFERENCIAS 1. K. Axelsson y A. Sainuelsson, "Finite Element Analysis of elastic-plastic niaterials displaying mixed hardening", Int. J. for Num. Meth. in Eng., Vol. 14, pp. 211-225, (1979). 2. H. Armen, A. Pifko y H.S. Levine, "Finite Element analysis of structures in the plastic range", NASA CR 1649, (1971). J. HUIDOBRO Y A. ROBLES 3. A. Bermudez y C. Moreno, "Duality methods for solving variational inequalities", Comp. and Math. with Appl., Vol. 7, pp. 43-58, (1981). 4. A. Bermúdez y J. Viaño, "Some numerical methods in elastoplasticity", Calcolo XIX, pp. 335-353, (1982). 5. A. Bermúdez y J. Viaño, "Algoritmos iterativos para el problema de elastoplasticidad con endurecimienton, le' simposium nacional sobre aplicaciones del m.e.f. en ingenierzá, Barcelona, (1982). 6. H. Brezis, "Analyse fonctionelle. Théorie et applacations", Masson, (1983). 7. G. Duvaut y J. Lions, %es inéquations en mécanique et phisique", Dunod, (1978). 8. M. Fortin y R. Glowinski, "Methodes de Lagrangien Augmenté", Dunod, (1982). 9. 1. Hlavaceck, "A finite element solution for plasticity with strain-hardening", R.A.I.R.O., Analyse Numérique 1 4 ,  Vol. 4,  pp. 347-368, (1980). 10. J. Huidobro, "Plasticidad con endurecimiento mixto", Tesis Doctoral, Universidad de Oviedo, (1987). 11. C. Johnson, "On plasticity with hardening", J. Math. Anal. and Appl., Vol. 62, pp. 325-336, (1978). 12. C. Johnson, "Existente theorems for plasticity problem", J. Math. Pures et Appl., Vol. 55, pp. 431-444, (1976). 13. C. Johnson, "A mixed finite element method for plasticity problem with hardening", Siam J. Numer. Anal., Vol. 14,  4, pp. 575-583, (1977). 14. B. Mercier, "Sur la théorie et analyse numérique de problemes de plasticicité", These de doctorat d'état, Universite Paris VI, (1977). 15. J. Necas y 1. Hlavaceck, "Mathematical theory of elastic and plastic bodies: an introduction", Elsevier Scientific Publishing Company, (1981). 16. D. Owen y E. Hinton, "Finite Elements in plasticity", Pineridge Press, (1980). 17. K. Runesson y A. Samuelsson, "Aspects on numerical techniques in small deforinatisn plasticity", Numeta'85 Conference, Swansea, pp. 7-11, (1985). 18. A. Samuelsson y E. Froier, "Finite elements in plasticity. Variational inequality approach" , Mafelap 111 Whiteman. Academic Press, (1979). 19. R. Teman, "Problimes Mathématiques en plasticitéJ', Gauthier-Volars, (1983). 20. J. Viaño, "Calcul de contraintes et visualisation del zones plastiques en elastoplasticite bi et tridimensionel. Modules Elapla et Visplan, Publicación Modulef, No. 89, (1982). 21. 0. Zienkiewicz, "The finit element method in engineering science", McGraw-Hill, London, (1971). 

En este trabajo se presenta un método numérico para la resolución de un problema de elastoplasticidad con endurecimiento mixto no lineal. El método consiste en un algoritmo basado en técnicas del lagrangiano aumentado combinado con un método de elementos finitos mixto. La tensión y los parámetros de endurecimiento se aproximan por funciones constantes a trozos y los desplazamientos mediante funciones lineales a trozos

Algoritmo numérico para problemas de elastoplasticidad con endurecimiento mixto

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