En este articulo se estudian condiciones de existencia de solución de problemas de contorno para ecuaciones matriciales de segundo orden. Mediante la solución de una ecuación algebraica inatricial asociada al problema de contorno, obtenemos una expresión de la solución general del problema, computable en términos de los datos y sin aumentar la dimensión del problema.In this paper boundary value problems for second order matrix difference equations are
considered. Existente conditions for the solutions of the problem as well as an explicit expression of the general solution of the problem, are given in terms of a solution of an algebraic matrix equation related to the problem. Our method provides an expression of the solutions of the
problem avoiding the increase of the dimension of the problem.Peer Reviewe

Jódar, L.

Morera, José L.

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cáiculo y Diseño en Ingenieria. Vol. 6, 3, 397-407( 1990) SOLUCION DE PROBLEMAS DE CONTORNO PARA ECUACIONES EN DIFERENCIAS MATRICIALES DE SEGUNDO ORDEN L. JODAR Y J.L. MORERA Departamento de Matemdtica Aplicada, Universidad Politécnica de Valencia, Apdo. 22.01 2, Valencia. RESUMEN En este articulo se estudian condiciones de existencia de solución de problemas de contorno para ecuaciones matriciales de segundo orden. Mediante la solución de una ecuación algebraica inatricial asociada al problema de contorno, obtenemos una expresión de la solución general del problema, computable en términos de los datos y sin aumentar la dimensión del problema. SUMMARY In this paper boundary value problems for second order matrix difference equations are considered. Existente conditions for the solutions of the problem as well as an explicit expression of the general solution of the problem, are given in terms of a solution of an algebraic matrix equation related to the problem. Our method provides an expression of the solutions of the problem avoiding the increase of the dimension of the problem. INTRODUCCION El objetivo de este artículo es el estudio de condicones de existencia y la obtención explícita de las mismas para problemas de contorno relacionados con ecuaciones de diferencias del tipo donde do,^^,^; H,P,,  E;, F;, para O 5 n < N - 2, 1 < i < 4 y la incógnita Yn son matrices cuadradas con coeficientes complejos, elementos de (Epx, .  Recibido: Diciembre 1988 @Univcrsitat Politkcnica de Cataiunya (España) ISSN 0213-1315 L. JODAR Y J. MORERA Sistemas del tipo (1) aparecen, por ejemplo, en la representación de modelos discretos relacionados con economía, biología y soc i~ log ía~~~.  El estudio de sistemas controlados por ordenador conduce de manera natural a otra clase de modelos discretos del tipo (l)'19. Además de estos problemas donde los sistemas del tipo (1) describen el problema original a resolver, el estudio de dichos sistemas surgen como recurso numérico en la resolución de sistemas diferenciales continuos cuando éstos son aproximados por las correspondientes ecuaciones en diferencias. Así por ejemplo, ésta es frecuentemente aplicada en simulación digita18. En el estudio de sistemas vibratori~s'~, problemas térmicos y mecánicos7, y cuando se consideran sistemas con parámetros distribuidos descritos por ecuaciones en derivadas parciales1, aparecen frecuentemente sistemas continuos del tipo si dividimos el intervalo [a, b] en N partes iguales por los puntos t , ,  tl , 'a . , t, con t, = a,, t, = b, y sustituimos en (2) la derivada ~ ( j ) ( t , )  de la incógnita continua Y(t) en t,, por la diferencia AjY(t,)/(At)j, para O 5 j 5 2, se obtienen descritos del tipo ( l ) ,  véase [12, p.2051. Problemas de condiciones iniciales para la ecuación en diferencias han sido estudiadas en [ll], pero la expresión obtenida en dicho artículo, para la solución general de (3) tiene el inconveniente numérico del aumento de la dimensión del problema y su inconveniencia para tratar problemas de contorno del tipo (1). El artículo está organizado como sigue. En primer lugar obtendremos una representación de la solución general de (3) en términos de una solución invertible Xo de la ecuación algebraica matricial y de los parámetros matriciales libres, que permitirán caracterizar la existencia de la solución de (1) y la obtención explícita de las mismas, cuando la ecuación algebraica (4) admite invertible Xo. La expresión obtenida para las soluciones de (1) está expresada en términos de la dimensión de los datos. Si A es una matriz en (Epxp, denotaremos por u(A) el conjuntos de los valores propios de A. Para una matriz rectangular S en (EpXp, denotaremos por S+ su inversa Moore-Penrose, y recordaremos que métodos efectivos para el cálculo de S+ pueden encontrarse en [5, p.121. SOLUCION DE PROBLEMAS DE CONTORNO SOBRE LA SOLUCION GENERAL DE LA ECUACION EN DIFERENCIAS MATIUCIAL (3) Puesto que nuestro trabajo está basado en la existencia de una solución invertible de la ecuación algebraica (4), recordemos un método eficaz para la obtención de tal solución cuando existe: .Teorema 1. [ref. 10, p.49, ref. 6, p.8361 Dada la ecuación (4) donde Ao, A2 son elementos de í E p x p ,  consideremos la matriz polinomial L(z) = ra I+ Al z+ Ao. Si L(z) tiene p vectores latentes a la derecha b, , . . - b, linealmente independientes, correspondientes a las raices latentes p,, e, p,, entonces, si Q = [b,, - - - , bp], y D = diag(pl, - - , p,), resulta que X = QDQ-l es una solución de (4). Nótese que en particular, si las raices latentes p;, son distintas de cero, entonces la solución X suministrada por el teorema 1 es invertible. Supongamos por momento que Xo es una solución invertible de la ecuación algebraica matricial (4). Entonces, es claro, que para cualquier matriz C de a,,,, la sucesión YnV1 = XtC,  es una solución de la ecuación matricial en diferencias homogénea Y2+n + AiYi+n + AoYn = 0  , n  2 O ( 5 )  A continuación intentaremos obtener otra solución {Yn.2) de la forma Yn,2 = X;cn (6) donde Cn, para n 2 0, son matrices a determinar, de modo que {Yn,2) satisface la ecuación de diferencias (5). Consideramos las siguientes expresiones de Yn+1,2 y de Yn+2,2: Yn+1,2 = x;+lcn + x;+'(cn+I - Cn) Yn+2,2 = ~ ; + ~ c n + 2  = ~ ; + ~ c n  + x;+"(cn+l- cn)  + ~ ; + ~ ( c n + 2  -Cn+i) (7) Imponiendo que {Yn,2), definida por (6) satisface la ecuación ( 5 ) ,  y teniendo en cuenta (7), resulta que las matrices Cn han de verificar yn+2,2 + AlYn+1,2 + AoYn,2 = ~ z + ~ C n  + ~ ; + ~ ( ~ n + l  - Cn)+ + ~ ; + ~ ( c n + 2  - Cn+l) + A~[x;+'c~ + x;+'(c~+I - Cn)] + AoX;Cn = = (x: + A ~ X O  + Ao)X;Cn + ~ t + ~ ( ~ n + l -  Cn)+ (8) + ~ , " + ~ ( c n + 2  - Cn+i) + Aix;+l(cn+l - Cn) = O Como Xo es una solución de (4), si llamamos Rn =X;+'(cn+1 -Cn) , n 2 O  L. JODAR Y J. MORERA de (8) se sigue que Yn,2 definida (6), es solución de (5), si sólo si, Rn definida por (9), satisface Rn+l + (Xo + A1)Rn = O , n 2 O Resolviendo (lo), tenemos que De aquí, de (9) de la invertibilidad de Xo, se sigue que k = l  Tomando Co = O , Ro = I tenemos que k = l  en consecuencia hemos obtenido la siguiente expresión para Yn,2: n Yns2 = x;cn = C(-l)k-lx;-k(xo + al)*-' , Yo.2 = 0 (13) k = l  De aquí el siguiente resultado queda demostrado: *Teorema 2. Sea Xo una solución invertible de la ecuación algebráica (4), entonces Ynn1 = Xg, Ynt2 = En k = l  ( - l ) k - l ~ : - k ( ~ o  + A ~ ) ~ - ' ,  definen un par de soluciones de (5), satisfaciendo Yovl = 1, Y1,l = Xo, Yo,2 = O, Y1,2 = I. Sea C la matriz por bloques definida por y suponemos que C es invertible. Sea {Yn,2) un par de soluciones de la ecuación homogénea (5) y sea {W,) definida por entonces es inmediato comprobar que Wn+1 =CWn , n > O  Wn es invertible si y sólo si, Wo es invertible, porque De aquí y del teorema 2, se deduce el siguiente resultado. SOLUCION DE PROBLEMAS DE CONTORNO Supongamos que la matriz C definida por (14) es invertible, y sea Xo una solución invertible de (4). Entonces la sucesión de matrices {W,) definida por (15) es invertible para todo n 2 0. Nota 1. Bajo la hipótesis de la matriz C por (14), en virtud de [6], cualquier solución Xo de (4) es invertible porque los valores propios de Xo son también valores propios de C. En consecuencia, no necesitamos añadir la hipótesis de invertibilidad de Xo. A continuación estamos interesados en la obtención de la solución general de la ecuación homogénea (5), en términos de las dos soluciones particulares {Ynnl) suministradas por el teorema 2. Supongamos que buscamos una solución {Y,) de (5), tal que Yo = Co, Yl = Cl. Entonces, sean matrices P, Q en (EpxP, y consideramos la sucesión de matrices { z , ) , ~ ~  definida por exigiendo que Zo = Co, Z1 = Cl, resulta que las matrices P, Q, han de verificar es decir Resolviendo (19) y teniendo en cuenta el teorema 2, resulta que Tomando estos valores de P, Q, en la expresión (la),  se sigue que la correspondiente sucesión {Zn)n21 satisface las mismas condicones iniciales que la sucesión {Y,) de partida. Por otra parte, es claro, que tomando matrices cualesquiera P, Q , en el segundo miembro de (la),  se obtiene una solución de (5). En consecuencia, hemos demostrado el siguiente corolario: Supongamos que Xo es una solución invertible de (4) y sean definidas en el teorema 2. Entonces la solución general de la ecuación en diferencias (5) viene dada por (18), donde P, Q, son matrices arbitrarias en (Epx,. A continuación desrrollaremos un método de variación de los parámetros matricial discreto para obtener la solución general de la ecuación de diferencias no-homogénea (3) ,  en términos de una solución invertible de (4), lo que nos permitirá resolver dicha ecuación sin aumentar la dimensión del problema. Supongamos que Xo es una solución invertible de (4), y sean {Ynt1), el par de soluciones de (5) definido en el teorema 2. Ahora, ensayamos posibles soluciones de la ecuación no-homogénea (3), de la forma 402 L. JODAR Y J. MORERA Yn = Yn,l Pn + Yn,zQn n L 0 (21) donde Pn, Qn, son matrices en ( E p x P ,  que eligiremos de manera que (21) satisfaga la ecuación (3). Sean S,, Tn las sucesiones de matrices definidas por y supongamos por un momento que podemos encontrar matrices S,, Tn, tales que donde {Wn) viene definido por (15). Ahora si suponemos que la matriz C definida por (14) es invertible, entonces, por el corolario 1, para todo n > O, la matriz W, es invertible, ya que Wo = I es invertible. Además de (1'7) se sigue que la Única I x o  II - solución [k] de (23) viene dada por Si denotamos las potencias i-ésimas de C-' en la forma entonces de (24) y (25) se sigue que s n  = C2,n+iFn Tn = (-XoC2,n+i + ~4,n+i)Pn n > O P 6 )  Veamos que si Pn,Qn, satisfacen (22), entonces {Y,), definida por (21) Satisface la ecuación (3). Nótese que de (22) y (23) se sigue que las matrices Pn, Qn, satisfacen Yn+i,i (Pn+i - Pn) + Yn+i,2(Qn+i - Qn) = O - (n 2 0) Yn+2,1(Pn+i - Pn) + Yn+2,2(Qn+i - Qn) = Fn Teniendo en cuenta (27) y el hecho de que {Ynp1), satisfacen la ecuación homogénea (5) se sigue que Y, definida por (21) satisface SOLUCION DE PROBLEMAS DE CONTORNO Finalmente, puesto que S,, Tn, están determinadas por (26), de (22) se sigue que De aquí y de (26) obtenemos donde Po, Qo son matrices arbitrarias en ( E p x P .  El siguiente resultado queda demostrado. Supongamos que la matriz C definida por (14) es invertible y sea Xo una solución invertible de la ecuación algebraica (4). Entonces la solución general de la ecuación en diferencias (3), viene dada por (21) donde Pn, Qn están definidas por (29), Po, Qo son matrices arbitrarias en ( E p X p  y las matrices Cjj quedan determinadas por (25) para j = 2,4; i 2 l. SOLUCION DEL PROBLEMA D E  CONTORNO En esta sección estudiaremos bajo qué condiciones el problema de contorno en diferencias (1) admite solución y obtendremos una expresión explícita en forma cerrada para la solución general de ( l ) ,  sin aumentar la dimensión del problema original. Supongamos que Xo es una solución invertible de (4) y que la matriz C dada por (14) es invertible. Nótese que la solución general de (3) puede escribirse en la forma n-1 Yn = Yn,lPo + yn,2Q0 + Ln 7 Ln = {Yn,lc2,i+i + Yn,2(c4,i+i - x ~ c ~ , i + i ) }  Fi i=O (30) para n > 1, donde {Ynal), {Yn,2} están definidas en el teorema 2. Imponiendo a la expresión (30) que satisfaga las condiciones de contorno de ( l ) ,  resulta que las matrices libre Po, Qo, han de verificar donde S = (Sisj) , 1 5 i,  j 5 2, es la matriz por bloques definida por L. JODAR Y J. MORERA y las matrices Ln viene definidas. por (30). En virtud del teorema 3, se sigue que el problema de contorno (1) admite solución, si y sólo si, el sistema algebraico (31) admite solución. Ahora, en virtud del Teorema 2.3.2. de [13, p. 241, el sistema (31) admite solución si y sólo si se satisface la relación [B:] = [B:] Además en este caso, la solución general de (31) viene dada por donde I es la matriz identidad en (E2px2p y Z es una matriz arbitraria en (EzpXp. De aquí queda demostrado el siguiente teorema: @Teorema 4. Supongamos que la matriz C definida por (14) es invertible y sea Xo una solución invertible de (4). Sea la S la matriz por bloques definida por (32) y sean G1, H1 las matrices definidas por (33). Si {YnI1), {YnI2), son las sucesiones definidas en el teorema 2, se verifica que (i) El problema de contorno (i) admite solución, si sólo si, se satisface la condición (34). En este caso, la solución general de (1) viene dada por (21) donde Po, Qo están definidos por (35)) y Z es una matriz arbitaria en (EpXp. (ii) El problema (1) admite solución única, si y sólo si, la matriz S es invertible, en cuyo caso, la única solución viene dada por (21) con SOLUCION DE PROBLEMAS DE CONTORNO 405 El siguiente ejemplo ilustra el método desarrollado para resolver problemas de contorno del tipo (1). Ejemplo Consideremos el problema de contorno en diferencias (1) correspondiente a los datos N = 4 y con R = [a, ;] para n 2 O Aplicando el teorema 1, obtenemos una solución invertible Xo de la ecuación algebraica (4), que en este caso podemos tomar Xo = 1 3 1 . ES fácil comprobar que en nuestro ., caso la matriz C definida por (14) es invertible. Teniendo en cuenta los datos, la matriz S definida por (32) toma la forma y las matrices G1, H1 que aparecen en (31) toman la forma como la matriz S. es invertible, por el teorema 4, el problema de contorno (1) en nuestro caso, admite una única solución Y, definida por donde L. JODAR Y J. MORERA 66'1563 -2'2484 -3'6587 -0'3333 -4'4449 -0'2365 -2'2357 -0'1653 y Ln viene definido por (30) donde 1 y las matrices C2,j, C4,j, para j = 0,1,2,3,4 toman la forma Con esto queda determinada la única solución de nuestro problema de contorno. CONCLUSIONES En este artículo resolvemos problemas de contorno para ecuaciones en diferencias matriciales de segundo orden, obteniendo una solución explícita de los mismos, previo análisis de su existencia y expresada en términos de las dimensiones de los datos. AGRADECIMIENTOS Este trabajo ha sido parcialmente realizado con la ayuda de la Dirección General Científica y Técnica, D.G.I.C.Y.T. proyecto PS87-0064. REFERENCIAS 1. M.J. Balas, "Trends in large Space Structure Theory: Fondest Hopes, Wildest Dreams", IEE IPrans. Autom. Control, Vol. AC-27, pp. 522-535, (1982). 2. A.B. Bishop, "Introdzsction a Discrete Linear Control: Theory and Applications", Academic Press, New York, (1975). 3. J.A Cadzow, uDisc~ete Time Systems: An Introducction with Interdisciplinary Applications", Englewood Cliffs, Prentice Hall, (1973). SOLUCION DE PROBLEMAS DE CONTORNO - 4. J.A Cadzow, y H.R. Martens, UDiscrete-Time and Computer Control Systems", Englewood Cliffs, Prentice Hall, (1970). 5. S.L. Campell y C.D. Meyer Jr., "Generalized Inverses of Linear l+ansfomationsn, Pitman, London, (1979). 6. J.E. Dennis Jr., J.F. Traub y R.P. Weber, UThe algebraic theory of matrix polyiioiiiials", SIAM J. Numer. Anal., Vol. 13, pp. 831-845, (1976). 7. R.C. Dorf, "Modern Control Systems", Second Ed., Addison-Wesley, Readiiig, MA, (1974). 8. F.B. Hildebrand, UFinite Difference Equations and Simulations", Englewood Cliffs, Prentice Hall, (1968). 9. B.C. Kuo, "Digital Control Systems", Champaign: SRL Publg. Co., (1977). 10. P. Lancaster, "Lambda-Matrices and Vibrating Systems" , Pergamon, Oxford, (1966). 11. P. Lancaster, " A fundamental theorem on lainbda matrices 11. Difference equations witli constante coefficients", "Linear Algebra and its Applications", Vol. 18. pp. 213-256, (1977). 12. E.L. Ince, "Ordinary Differential Equations", Dover, New York, (1927). 13. C.R. Rao y S.K. Mitra, «Generalized Inverses of Matrices and its Applications", John- Wiley, New York, (1971). 

Solución de problemas de contorno para ecuaciones en diferencias matriciales de segundo orden

En este articulo se estudian condiciones de existencia de solución de problemas de contorno para ecuaciones matriciales de segundo orden. Mediante la solución de una ecuación algebraica matricial asociada al problema de contorno, obtenemos una expresión de la solución general del problema, computable en términos de los datos y sin aumentar la dimensión del problema

Morera, J.L.

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Revistes Catalanes amb Accés Obert

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cáiculo y Diseño en Ingenieria. Vol. 6, 3, 397-407( 1990) 
SOLUCION DE PROBLEMAS DE CONTORNO 
PARA ECUACIONES EN DIFERENCIAS 
MATRICIALES DE SEGUNDO ORDEN 
L. JODAR 
Y 
J.L. MORERA 
Departamento de Matemdtica Aplicada, 
Universidad Politécnica de Valencia, 
Apdo. 22.01 2, 
Valencia. 
RESUMEN 
En este articulo se estudian condiciones de existencia de solución de problemas de contorno 
para ecuaciones matriciales de segundo orden. Mediante la solución de una ecuación algebraica 
inatricial asociada al problema de contorno, obtenemos una expresión de la solución general del 
problema, computable en términos de los datos y sin aumentar la dimensión del problema. 
SUMMARY 
In this paper boundary value problems for second order matrix difference equations are 
considered. Existente conditions for the solutions of the problem as well as an explicit expression 
of the general solution of the problem, are given in terms of a solution of an algebraic matrix 
equation related to the problem. Our method provides an expression of the solutions of the 
problem avoiding the increase of the dimension of the problem. 
INTRODUCCION 
El objetivo de este artículo es el estudio de condicones de existencia y la obtención 
explícita de las mismas para problemas de contorno relacionados con ecuaciones de 
diferencias del tipo 
donde do,^^,^; H,P,,  E;, F;, para O 5 n < N - 2, 1 < i < 4 y la incógnita Yn son 
matrices cuadradas con coeficientes complejos, elementos de (Epx, .  
Recibido: Diciembre 1988 
@Univcrsitat Politkcnica de Cataiunya (España) ISSN 0213-1315 
L. JODAR Y J. MORERA 
Sistemas del tipo (1) aparecen, por ejemplo, en la representación de modelos 
discretos relacionados con economía, biología y soc i~ log ía~~~.  El estudio de sistemas 
controlados por ordenador conduce de manera natural a otra clase de modelos discretos 
del tipo (l)'19. Además de estos problemas donde los sistemas del tipo (1) describen el 
problema original a resolver, el estudio de dichos sistemas surgen como recurso numérico 
en la resolución de sistemas diferenciales continuos cuando éstos son aproximados por 
las correspondientes ecuaciones en diferencias. Así por ejemplo, ésta es frecuentemente 
aplicada en simulación digita18. 
En el estudio de sistemas vibratori~s'~, problemas térmicos y mecánicos7, y 
cuando se consideran sistemas con parámetros distribuidos descritos por ecuaciones 
en derivadas parciales1, aparecen frecuentemente sistemas continuos del tipo 
si dividimos el intervalo [a, b] en N partes iguales por los puntos t , ,  tl , 'a . , t, con t, = a,, 
t, = b, y sustituimos en (2) la derivada ~ ( j ) ( t , )  de la incógnita continua Y(t) en t,, 
por la diferencia AjY(t,)/(At)j, para O 5 j 5 2, se obtienen descritos del tipo ( l ) ,  
véase [12, p.2051. 
Problemas de condiciones iniciales para la ecuación en diferencias 
han sido estudiadas en [ll], pero la expresión obtenida en dicho artículo, para la solución 
general de (3) tiene el inconveniente numérico del aumento de la dimensión del problema 
y su inconveniencia para tratar problemas de contorno del tipo (1). 
El artículo está organizado como sigue. En primer lugar obtendremos una 
representación de la solución general de (3) en términos de una solución invertible 
Xo de la ecuación algebraica matricial 
y de los parámetros matriciales libres, que permitirán caracterizar la existencia de la 
solución de (1) y la obtención explícita de las mismas, cuando la ecuación algebraica (4) 
admite invertible Xo. La expresión obtenida para las soluciones de (1) está expresada 
en términos de la dimensión de los datos. 
Si A es una matriz en (Epxp, denotaremos por u(A) el conjuntos de los valores 
propios de A. Para una matriz rectangular S en (EpXp, denotaremos por S+ su inversa 
Moore-Penrose, y recordaremos que métodos efectivos para el cálculo de S+ pueden 
encontrarse en [5, p.121. 
SOLUCION DE PROBLEMAS DE CONTORNO 
SOBRE LA SOLUCION GENERAL DE LA ECUACION 
EN DIFERENCIAS MATIUCIAL (3) 
Puesto que nuestro trabajo está basado en la existencia de una solución invertible 
de la ecuación algebraica (4), recordemos un método eficaz para la obtención de tal 
solución cuando existe: 
.Teorema 1. [ref. 10, p.49, ref. 6, p.8361 
Dada la ecuación (4) donde Ao, A2 son elementos de í E p x p ,  consideremos la matriz 
polinomial L(z) = ra I+ Al z+ Ao. Si L(z) tiene p vectores latentes a la derecha b, , . . - b, 
linealmente independientes, correspondientes a las raices latentes p,, e, p,, entonces, 
si Q = [b,, - - - , bp], y D = diag(pl, - - , p,), resulta que X = QDQ-l es una solución de 
(4). 
Nótese que en particular, si las raices latentes p;, son distintas de cero, entonces la 
solución X suministrada por el teorema 1 es invertible. 
Supongamos por momento que Xo es una solución invertible de la ecuación 
algebraica matricial (4). Entonces, es claro, que para cualquier matriz C de a,,,, la 
sucesión YnV1 = XtC,  es una solución de la ecuación matricial en diferencias homogénea 
Y2+n + AiYi+n + AoYn = 0  , n  2 O ( 5 )  
A continuación intentaremos obtener otra solución {Yn.2) de la forma 
Yn,2 = X;cn (6) 
donde Cn, para n 2 0, son matrices a determinar, de modo que {Yn,2) satisface la 
ecuación de diferencias (5). Consideramos las siguientes expresiones de Yn+1,2 y de 
Yn+2,2: 
Yn+1,2 = x;+lcn + x;+'(cn+I - Cn) 
Yn+2,2 = ~ ; + ~ c n + 2  = ~ ; + ~ c n  + x;+"(cn+l- cn)  + ~ ; + ~ ( c n + 2  -Cn+i) (7) 
Imponiendo que {Yn,2), definida por (6) satisface la ecuación ( 5 ) ,  y teniendo en cuenta 
(7), resulta que las matrices Cn han de verificar 
yn+2,2 + AlYn+1,2 + AoYn,2 = ~ z + ~ C n  + ~ ; + ~ ( ~ n + l  - Cn)+ 
+ ~ ; + ~ ( c n + 2  - Cn+l) + A~[x;+'c~ + x;+'(c~+I - Cn)] + AoX;Cn = 
= (x: + A ~ X O  + Ao)X;Cn + ~ t + ~ ( ~ n + l -  Cn)+ (8) 
+ ~ , " + ~ ( c n + 2  - Cn+i) + Aix;+l(cn+l - Cn) = O 
Como Xo es una solución de (4), si llamamos 
Rn =X;+'(cn+1 -Cn) , n 2 O  
L. JODAR Y J. MORERA 
de (8) se sigue que Yn,2 definida (6), es solución de (5), si sólo si, Rn definida por (9), 
satisface 
Rn+l + (Xo + A1)Rn = O , n 2 O 
Resolviendo (lo), tenemos que 
De aquí, de (9) de la invertibilidad de Xo, se sigue que 
k = l  
Tomando Co = O , Ro = I tenemos que 
k = l  
en consecuencia hemos obtenido la siguiente expresión para Yn,2: 
n 
Yns2 = x;cn = C(-l)k-lx;-k(xo + al)*-' , Yo.2 = 0 (13) 
k = l  
De aquí el siguiente resultado queda demostrado: 
*Teorema 2. 
Sea Xo una solución invertible de la ecuación algebráica (4), entonces Ynn1 = 
Xg, Ynt2 = En k = l  ( - l ) k - l ~ : - k ( ~ o  + A ~ ) ~ - ' ,  definen un par de soluciones de (5), 
satisfaciendo Yovl = 1, Y1,l = Xo, Yo,2 = O, Y1,2 = I. 
Sea C la matriz por bloques definida por 
y suponemos que C es invertible. Sea {Yn,2) un par de soluciones de la ecuación 
homogénea (5) y sea {W,) definida por 
entonces es inmediato comprobar que 
Wn+1 =CWn , n > O  
Wn es invertible si y sólo si, Wo es invertible, porque 
De aquí y del teorema 2, se deduce el siguiente resultado. 
SOLUCION DE PROBLEMAS DE CONTORNO 
Supongamos que la matriz C definida por (14) es invertible, y sea Xo una solución 
invertible de (4). Entonces la sucesión de matrices {W,) definida por (15) es invertible 
para todo n 2 0. 
Nota 1. Bajo la hipótesis de la matriz C por (14), en virtud de [6], cualquier solución 
Xo de (4) es invertible porque los valores propios de Xo son también valores propios de 
C. En consecuencia, no necesitamos añadir la hipótesis de invertibilidad de Xo. 
A continuación estamos interesados en la obtención de la solución general de la 
ecuación homogénea (5), en términos de las dos soluciones particulares {Ynnl) 
suministradas por el teorema 2. Supongamos que buscamos una solución {Y,) de (5), 
tal que Yo = Co, Yl = Cl. Entonces, sean matrices P, Q en (EpxP, y consideramos la 
sucesión de matrices { z , ) , ~ ~  definida por 
exigiendo que Zo = Co, Z1 = Cl, resulta que las matrices P, Q, han de verificar 
es decir 
Resolviendo (19) y teniendo en cuenta el teorema 2, resulta que 
Tomando estos valores de P, Q, en la expresión (la),  se sigue que la correspondiente 
sucesión {Zn)n21 satisface las mismas condicones iniciales que la sucesión {Y,) de 
partida. Por otra parte, es claro, que tomando matrices cualesquiera P, Q , en el segundo 
miembro de (la),  se obtiene una solución de (5). En consecuencia, hemos demostrado 
el siguiente corolario: 
Supongamos que Xo es una solución invertible de (4) y sean definidas 
en el teorema 2. Entonces la solución general de la ecuación en diferencias (5) viene 
dada por (18), donde P, Q, son matrices arbitrarias en (Epx,. 
A continuación desrrollaremos un método de variación de los parámetros matricial 
discreto para obtener la solución general de la ecuación de diferencias no-homogénea 
(3) ,  en términos de una solución invertible de (4), lo que nos permitirá resolver dicha 
ecuación sin aumentar la dimensión del problema. 
Supongamos que Xo es una solución invertible de (4), y sean {Ynt1), el par 
de soluciones de (5) definido en el teorema 2. Ahora, ensayamos posibles soluciones de 
la ecuación no-homogénea (3), de la forma 
402 L. JODAR Y J. MORERA 
Yn = Yn,l Pn + Yn,zQn n L 0 (21) 
donde Pn, Qn, son matrices en ( E p x P ,  que eligiremos de manera que (21) satisfaga la 
ecuación (3). 
Sean S,, Tn las sucesiones de matrices definidas por 
y supongamos por un momento que podemos encontrar matrices S,, Tn, tales que 
donde {Wn) viene definido por (15). Ahora si suponemos que la matriz C definida 
por (14) es invertible, entonces, por el corolario 1, para todo n > O, la matriz W, es 
invertible, ya que Wo = I es invertible. Además de (1'7) se sigue que la Única I x o  II - 
solución [k] de (23) viene dada por 
Si denotamos las potencias i-ésimas de C-' en la forma 
entonces de (24) y (25) se sigue que 
s n  = C2,n+iFn Tn = (-XoC2,n+i + ~4,n+i)Pn n > O P 6 )  
Veamos que si Pn,Qn, satisfacen (22), entonces {Y,), definida por (21) Satisface 
la ecuación (3). Nótese que de (22) y (23) se sigue que las matrices Pn, Qn, satisfacen 
Yn+i,i (Pn+i - Pn) + Yn+i,2(Qn+i - Qn) = O 
- (n 2 0) 
Yn+2,1(Pn+i - Pn) + Yn+2,2(Qn+i - Qn) = Fn 
Teniendo en cuenta (27) y el hecho de que {Ynp1), satisfacen la ecuación 
homogénea (5) se sigue que Y, definida por (21) satisface 
SOLUCION DE PROBLEMAS DE CONTORNO 
Finalmente, puesto que S,, Tn, están determinadas por (26), de (22) se sigue que 
De aquí y de (26) obtenemos 
donde Po, Qo son matrices arbitrarias en ( E p x P .  
El siguiente resultado queda demostrado. 
Supongamos que la matriz C definida por (14) es invertible y sea Xo una solución 
invertible de la ecuación algebraica (4). Entonces la solución general de la ecuación 
en diferencias (3), viene dada por (21) donde Pn, Qn están definidas por (29), Po, Qo 
son matrices arbitrarias en ( E p X p  y las matrices Cjj quedan determinadas por (25) para 
j = 2,4; i 2 l. 
SOLUCION DEL PROBLEMA D E  CONTORNO 
En esta sección estudiaremos bajo qué condiciones el problema de contorno en 
diferencias (1) admite solución y obtendremos una expresión explícita en forma cerrada 
para la solución general de ( l ) ,  sin aumentar la dimensión del problema original. 
Supongamos que Xo es una solución invertible de (4) y que la matriz C dada por 
(14) es invertible. Nótese que la solución general de (3) puede escribirse en la forma 
n-1 
Yn = Yn,lPo + yn,2Q0 + Ln 7 Ln = {Yn,lc2,i+i + Yn,2(c4,i+i - x ~ c ~ , i + i ) }  Fi 
i=O 
(30) 
para n > 1, donde {Ynal), {Yn,2} están definidas en el teorema 2. Imponiendo a la 
expresión (30) que satisfaga las condiciones de contorno de ( l ) ,  resulta que las matrices 
libre Po, Qo, han de verificar 
donde S = (Sisj) , 1 5 i,  j 5 2, es la matriz por bloques definida por 
L. JODAR Y J. MORERA 
y las matrices Ln viene definidas. por (30). En virtud del teorema 3, se sigue que el 
problema de contorno (1) admite solución, si y sólo si, el sistema algebraico (31) admite 
solución. Ahora, en virtud del Teorema 2.3.2. de [13, p. 241, el sistema (31) admite 
solución si y sólo si se satisface la relación 
[B:] = [B:] 
Además en este caso, la solución general de (31) viene dada por 
donde I es la matriz identidad en (E2px2p y Z es una matriz arbitraria en (EzpXp. De 
aquí queda demostrado el siguiente teorema: 
@Teorema 4. 
Supongamos que la matriz C definida por (14) es invertible y sea Xo una solución 
invertible de (4). Sea la S la matriz por bloques definida por (32) y sean G1, H1 las 
matrices definidas por (33). Si {YnI1), {YnI2), son las sucesiones definidas en el teorema 
2, se verifica que 
(i) El problema de contorno (i) admite solución, si sólo si, se satisface la condición 
(34). En este caso, la solución general de (1) viene dada por (21) donde Po, Qo 
están definidos por (35)) y Z es una matriz arbitaria en (EpXp. 
(ii) El problema (1) admite solución única, si y sólo si, la matriz S es invertible, en 
cuyo caso, la única solución viene dada por (21) con 
SOLUCION DE PROBLEMAS DE CONTORNO 405 
El siguiente ejemplo ilustra el método desarrollado para resolver problemas de 
contorno del tipo (1). 
Ejemplo 
Consideremos el problema de contorno en diferencias (1) correspondiente a los 
datos N = 4 y 
con 
R = [a, ;] para n 2 O 
Aplicando el teorema 1, obtenemos una solución invertible Xo de la ecuación algebraica 
(4), que en este caso podemos tomar Xo = 1 3 1 . ES fácil comprobar que en nuestro 
., 
caso la matriz C definida por (14) es invertible. Teniendo en cuenta los datos, la matriz 
S definida por (32) toma la forma 
y las matrices G1, H1 que aparecen en (31) toman la forma 
como la matriz S. es invertible, por el teorema 4, el problema de contorno (1) en nuestro 
caso, admite una única solución Y, definida por 
donde 
L. JODAR Y J. MORERA 
66'1563 -2'2484 
-3'6587 -0'3333 
-4'4449 -0'2365 
-2'2357 -0'1653 
y Ln viene definido por (30) donde 
1 
y las matrices C2,j, C4,j, para j = 0,1,2,3,4 toman la forma 
Con esto queda determinada la única solución de nuestro problema de contorno. 
CONCLUSIONES 
En este artículo resolvemos problemas de contorno para ecuaciones en diferencias 
matriciales de segundo orden, obteniendo una solución explícita de los mismos, previo 
análisis de su existencia y expresada en términos de las dimensiones de los datos. 
AGRADECIMIENTOS 
Este trabajo ha sido parcialmente realizado con la ayuda de la Dirección General 
Científica y Técnica, D.G.I.C.Y.T. proyecto PS87-0064. 
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SOLUCION DE PROBLEMAS DE CONTORNO 
- 
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Wiley, New York, (1971). 


Solución de problemas de contorno para ecuaciones en diferencias matriciales de segundo orden

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