Existen situaciones para las que los resultados de interés corresponden a una zona pequeña de la estructura en comparación con su totalidad. La utilización de elementos infinitos constituye posibilidad que evita un esfuerzo excesivo de cálculo. Esta idea se aplica en este artículo al mLsas
estático de la flexión de placas, desarrollando un elemento finito rectangular con un lad,) situado a distancia infinita. La función de decrecimiento de los movimientos en el interior del elemento
es exponencial con un parámetro cuyo valor se deteimina mediante minirnixaclón de la energía potencial total. Se presentan resultados obtenidos con el elemento, contrastando su bondad y eficacia en comparación con un cálculo convencional. Se comentan finalmente distintas extensiores posibles del elemento.Peer Reviewe

Samartín, Avelino

Torre, J. de la

Existen situaciones para las que los resultados de interés corresponden a una zona pequeña de la estructura en comparación con su totalidad. La utilización de elementos infinitos constituye la posibilidad que evita un esfuerzo excesivo de cálculo. Esta idea se aplica en este artículo al análisis estático de la flexión de placas, desarrollando un elemento finito rectangular con un lado situado a distancia infinita. La función de decrecimiento de los movimientos en el interior del elemento es exponencial con un parámetro cuyo valor se determina mediante minimización de la energía potencial total. Se presentan resultados obtenidos con el elemento, contrastando su bondad y eficacia en comparación con un cálculo convencional. Se comentan finalmente distintas extensiones posibles del elemento

Torre, Juan de la

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Elementos semiinfinitos de flexión

Samartín Quiroga, Avelino

UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC

Revista internacional de métodos numéricos para cálculo y diseño en ingeniena, Vol. 1,4,63-77 (1985) ELEMENTOS SEHMIINFINITOS DE FLEXION AVELINO SAMARTIN Y JUAN DE LA TORRE E.T.S. Ing. de Caminos. Universidad de Santander RESUMEN Existen situaciones para las que los resultados de interés corresponden a una zona pequeña de la estructura en comparación con su totalidad. La utilización de elementos infinitos constituye * posibilidad que evita un esfuerzo excesivo de cálculo. Esta idea se aplica en este artículo al mLsas estático de la flexión de placas, desarrollando un elemento finito rectangular con un lad,) situado a distancia infinita. La función de decrecimiento de los movimientos en el interior del elemento es exponencial con un parámetro cuyo valor se deteimina mediante minirnixaclón de la energía potencial total. Se presentan resultados obtenidos con el elemento, contrastando su bondad y eficacia en comparación con un cálculo convencional. Se comentan finalmente distintas extensiores posibles del elemento. SUMM ARY There exist structural analysis where the main results are concentrated only in a srnall part of the structure. The use of infinite elements represents a possibility to  avoid an excessive computational effort. This idea is applied in this paper to  the static analysis of plate bending. Ii rectangular infinite element is developped. In this element the displacement vary according to a11 exponential decay function. The value of the decay pararnetler is obtained by minimization of the total potential energy. Some examples are shown in order to iüustrate and tesi the element efficiency. Possible extensions of the method are also shown . INTRODUCCION El método de los elementos fini~tos ha mostrado de un modo evidente su eficacia en el cálculo de complejas estructuras. Sin embargo, existen situaciones para las que los resultados de interés corresponden únicamente a una zona pequeña de la estructura en comparación con su totalidad. Los ejemplos son numerosos dentro del grupo de sistemas acoplados: estructura-suelo-fluido, en las estructuras perióldicas, etc. Existen varias posibilidades para obviar el excesivo esfuerzo computacional que conlleva el equilibrio entre una adecuada modelización de toda la estructura y una necesaria exactitud de los resultados requeridos en la zona. Algunas como la utilización de mallas progresivamente variables no resuelven satisfactoriamente el problema y otras, como la subestructuración o la introducc:ión del método de los elementos del contorno, exigen modificaciones substanciales del programa de computador. La consi- deración de elementos semiinfinitos representa un modo natural de resolver estas situaciones y no implica tratamieiqto específico para estos nuevos elementos; que Recibido : Marzo 19 85 @ Univetsitat Politicnica de Catalunya (España) ISSN 0213-1315 pueden ser incluidos fácilmente dentro de un programa modular de elementos finitos. Existen numerosas contribuciones particularmente respecto a la clase de problemas estructurales con continuidad C O .  La reciente referencia' constituye una excelente revisión del tema. Aquí, se muestra un tipo de elemento semiinfinito rectangular de flexión que puede ser usado en numerosos problemas relacionados con el cálculo de los efectos locales de cargas concentradas en las losas de los tableros de puentes. En efecto, las losas de voladizos y las comprendidas entre las almas de las vigas del tablero, presentan una luz generalmente pequeña en comparación con la distancia entre traviesas, que en la construcción actual se disponen normalmente para reparto de los apoyos sobre pilas. Las secciones de máximos esfuerzos corresponden a la zona de aplicación de las cargas concentradas2 que precisa por este motivo ser modelizada con una malla fina de elementos, que no debe extenderse, por motivos de economía, a toda la losa del puente (Figura 1). losa a 1 a,-L , a,<<L L g luz del puente) SECCION TRANSVERSAL - PLANTA losa b Y- Fig . 1 .- Tablero de puente. ELEMENTO SEMIINFINITO DE FLEXION Se considera el elemento rectangular semiinfinito representado en la Figura 2. PLANTA SECCION Fig . 2  .- Elemento rectangular semiinfinito. ELEMENTOS SEMIINFINITOS DE FLEXION 65 Se supone que la ley de flechas w(x,y) varía sobre la superficie del elemento según la expresión: siendo con y = p  y R Yo (y) = (1 + L: a,,yr)e-Y r = l  parámetros que pueden ser datos o bien obtenidos automáticamente de acuerdo con las consideraciones que más adelante se exponen. El número R de tcSrminos polinómi- cos está especificado(*). Las condiciones siguientes deben de ser satisfechas: Las funciones de la coordenada x, N,, N 2 ,  N3 y N4 ,  corresponden a los polinomios de Hermite y, N5 y N6 son polinomios lineales, cuyas expresiones son : NOTA(*): Es posible extender la formulación anterior, considerando un número de términos poli- nórnicos diferentes para las funciones Ylo e Yl. 66 AVELINO SAMARTIN Y JUAN DE LA TORRE X con ,$ =- L Se comprueba que la expresión (1 ) satisface las siguientes iguáldades: con El elemento descrito es incompatible, puesto que no existe continuidad de e,(x,y) a lo largo de los lados x = O y x = L, aunque, supuesto que los parámetros p,  a, y 0, sean idénticos entre elementos contiguos, las funciones w(x,y) y 8,(x,y) son contínuas. Si se denomina d = [do] el vector movimientos la flecha se puede escribir como sigue : , \ El vector curvatura g se define como es usual siendo -Yo Nó' Yo o o -Nó' Bo = -Y: No = Co Bo = 0 [2YhN] - lo Y : ]  !;ti} ELEMENTOS SEMIINFINITOS DE FLEXION El vector de esfuerzos o se obtiene mediante la expresión: con D = (Di,) matriz constitutiva de la placa. En el caso de isotropia, los elementos no nulos de esta matriz son: con h el espesor de la placa y E y v constantes elásticas (módulo de elasticidad y coefi- ciente de Poisson) del material de la misma. Si se desean obtener los esfuerzos cortantes (q,,qy) y las reacciones de Kirchhoff (rx,ry) se utilizan las siguientes ecuaciones: Yo NY 4- Y: N; Y1 Ni" + Y:' Ni YA NO 4- YtlNo Y; N;' + YI"N1 Usando la técnica típica del método de los elementos finitos3 se deduce la siguiente expresión de la matriz de rigidez del elemento: Desarrollando (13) se obtiene: siendo Di, = // Ci D C, dy 68 AVELINO SAMARTIN Y JUAN DE LA TORRE drn Yi Si se denomina 1;" = Y"; dy y Y"- la expresión (1 5) se transforma en la siguiente : dyrn Los valores de los coeficientes 1:" se presentan en la Tabla 1. Mediante el uso de las igualdades anteriores se determina la matriz de rigidez del 'elemento. Las integrales (1 4) pueden efectuarse numéricamente mediante las fórmulas de Gauss o analíticamente. Los coeficientes kij de la matriz de rigidez obtenidos según este último procedimiento para el caso simple de un sólo término en Yo e Y,, (R = 1) se resumen en la Tabla 2. Se utiliza el convenio de índices repetidos con: Se comprueba que c" = c" = c" = c para todo m,n. Tabla l .  Coeficientes 1" = (Y: Y:> = 1 Y: Y; dy COEF. i j m 4  n=O I ! ! !  m=2 n=2 1 1 1 1 m=l n=l rn=O n=2 m-? n+ ELEMENTOS SEMIINFINITOS DE FLEXION 69 p = k d con k = (kij), 5 m3' m kz2 =D(- + -- +-)=k44 dT =(wl Oyl w2 Oy2 O, O,) y m = p L  m 420 15 Tabla 2.  Matriz de rigidez del elemento semiinfiriito con R = 1 y material isótropo. ELECCION DE LOS PARAMETROS DE LAS FUNCIONES DE DESARROLLO Yo Y, La elección de los parámetros p, a, y /3, debe llevarse a cabo de modo que se mini- mice la energía potencial total de la estructura V, que puede expresarse como sigue: siendo D, P  y K  los vectores movimientos, fuerzas y matriz de rigidez de toda la estruc- tura. Las condiciones de mínimo de (1 7) son: es decir: K D - P = O  1 Como es conocido la matriz de la estructura K ,  puede expresarse como suma directa o booleana de las matrices de rigidez de cada elemento ki. Simbólicamente: o bien, si se deriva respecto a un parámetro genérico h,, en donde h, representa p ,  ar O Pr (r = 2,3,. . .,) según el caso : a a - (K) = 2- (ke) ah  e A, La ecuación (19) indica que se puede obtener cada una de las matrices a/ah,(K), a partir de las derivadas de las matrices de rigidez de cada elemento, mediante la regla de composición usual. Efectuada la resolución del sistema (18) es posible calcular los valores óptimos de los parámetros h, para cada hipótesis de carga P. Formalmente, ello equivale a resolver el sistema de M (M = R + R-1) ecuaciones no lineales. El algoritmo siguiente de resolución del sistema (20) puede ser utilizado como se indica a continuación : 1. Inicializar los parámetros A,. 2. Resolver K D = P. a 3. Determinar nuevos valores h, del sistema DT - (K)D = O. a x m  4. Repetir el proceso, desde el paso 2 con nueva matriz K obtenida para las nuevas h,, si éstas son diferentes de las supuestas. En caso contrario finaliza el cálculo. Existe otra posibilidad de cálculo de estos valores A, más simple que la expuesta, ya que no exige la determinación de las matrices derivadas (aK/dh,), que se expone a continuación : La energía potencial total de la estructura puede expresarse como sigue: Mediante esta ecuación el cálculo de V es muy simple durante la fase de resolución del sistema K D = P, puesto que implica un conjunto reducido de instrucciones de programa y prácticamente un esfuerzo adicional nulo de computación. La dependencia de V respecto a los parámetros A, se produce a través de los movimientos D. Es posi- ble obtener el valor mínimo de V mediante uno de los algoritmos de búsqueda y tanteos sucesivos que se estudian dentro de los métodos de programación matemática no lineal. Un valor tentativo del parámetro (en el caso de M = 1) que permite iniciar las itera- ciones se presenta a continuación para los dos casos más importantes de losas de forjado de puente : (a) Losa en voladizo de luz 2. (Figura 1 ,  losa a). ELEMENTOS SEMIINFINITOS DE FLEXION 7 1 Se puede suponer que el vector de desplazamientos solución corresponde a la defor- mada de una viga, por lo que si se considera un sólo elemento resulta d = [O, O, L/3, -l,O,OIT. El mínimo de 2V = dT k d = L2 /9 . kg3 - L/3 k34 + 114 . k44 corresponde a :  (b) Losa biempotrada de luz L (Figura 1,  losa b). Análogamente se deduce que: minimiza la energía potencial total: correspondiente a la deformada d = [O, 0 , 1 , 0 , 0 ,  (3F. Conviene observar que los valores de h, dependen de las características de la estruc- tura global y son iguales para cada tino de los elementos en los que se ha discretizado la estructura. Por consiguiente, el va1o:r tentativo del. parámetro de cada elemento /.L viene dado por las fórmulas (22) ó (23) según el caso, en las que L representa la luz total de la estructura. EJEMPLO ILUSTR.ATIV0 A continuación se aplica el elemento anterior al cálculo de una placa en voladizo : luz L, con una carga concentrada situada en el borde 1 ,  como se indica en la Figu- 3. Las características que se han considerado para la placa son : Se han analizado la influencia del coeficiente de Poisson en los resultados, al estudiar los casos de v =O, v=0.1 y v =0.2, Los resultados se presentan en fornna adimensional con: 72 AVELINO SAMARTIN Y JUAN DE LA TORRE en donde w es la flecha en el extremo libre, M, el momento flector longitudinal en el arranque del voladizo y V la energía potencial total. Se ha calculado el voladizo utilizando sucesivamente un distinto número N de elementos y cada -uno de ellos con un desarrollo mínimo de la función de forma, es decir con R = S = 1 (valor de p). Los resultados de los distintos casos analizados se muestran en las Tablas 3 ,  4 y 5. Se observa que en la región de mínimo de energía potencial total, la desviación de los resultados de flechas y momentos flectores es muy pequeña, obteniéndose valores aceptables incluso con un único elemento (N = 1). La introducción de un número R mayor de términos en las funciones de forma no altera de un modo sensible los resultados. En la Tabla 6 se ilustra la escasa impor- tancia que representan los términos adicionales a, y 0, (con r =2).  En el ejemplo particular que se analiza' existe una simetría, representada por la rotación O ,  nula a lo largo del eje y =O, que implica una independencia en los resultados de los valores de los parámetros 0, para r > 1. En la Tabla 6 se ha efectuado el cálculo con los valores de a2 que minimizan para cada p la energía potencial total Y. La placa ha sido analizada con dos tipos de discreti- zación (N = 1 y N = 3) deduciéndose resultados muy semejantes en ambos casos. El cálculo de la placa anterior puede llevarse a cabo mediante elementos finitos de flexión convencionales, en un número suficiente para simular una gran distancia según el eje y. Se ha utilizado el programa SAP con 20 x 4 elementos rectangulares de lados 0,25 x 0,25 m, obteniéndose los resultados (Fig. 4) para v = 0:  1.74 1.78 1.79 1.80 1.84 1 2 - w My - V - w My - V .1425 .447 -0.035637 .1425 4 My A49 -0.035637 #.1425 .43 1 -0.035621 .1425 .443 -0.035635 KOTA. La energía potencial total mínima se alcanza para p = 1.79 Tabla 3 .- Losa en voladizo (V = 0.0) .1426 .448 -0.035662 .1426 .450 4 .O35663 .1426 .43 1 -0.035646 .1426 .443 -0.035661 .1427 .448 -0.035664 .1427 .450 -0 .O35664 .1426 .43 1 -0.035648 .1426 .443 -0.035662 -- .1426 .448 -0.035663 .1426 .450 -0 .O35664 .1426 .448 -0 .O35642 .1426 .45 O -0 .O35642 .1426 .43 1 -0.035647 .1426 ,443 -0,035661 .1426 .43 1 -0.035639 .1426 .443 -0 .O35 640 ELEMENTOS SEMIINFINITOS DE FLEXION 73 NOTA. La energía potencial total mínima se alcanza para ,p = 1 8 2  Tabla 4.- Losa en voladizo (U = 0.1) NOTA. La energía potencial total mínima se alcanza para 11 = 1.88 Tabla 5.- Losa en voladizo (u = 0.2) 74 AVELINO SAMARTIN Y JUAN DE LA TORRE Tabla 6.- Análisis de la sensibilidad de a,@, =O). Se comprueba que la reducción del esfuerzo computacional con la consideración de elementos semiinfinitos de flexión es extraordinaria en comparación a un cálculo clásico. En este caso, el cálculo clásico ha exigido 415 gdl frente a únicamente 8 gdl para la placa discretizada con N=4 .  PLANTA SECClON A-A Figura 3 .- Ejemplo de aplicación del elemento. Figura 4 .- Modelo en elementos finitos de fiexión convencionales. ELEMENTOS SEMIINFINITOS DE FLEXION EL,EMENTO VIGA El elemento finito que se ha descrito en los apartados anteriores puede particulari- zarse a la situación monodimensional de viga semiinfinita. En este c,aso la expresión de los movimientos a lo largo de la directriz (eje y:) es: W(Y) ==yo wl + Y, e, 8,(y) =Yhwl + Y:; 8, (2.5) &(Y) = e y 1 y o  + 8,1Y1 I a Z w  o, El vector curvatura es E = - y por consiguiente, la matriz de rigidez es: 1 ay2 ' aly con E1 y GJ las rigideces de flexión y torsión de la sección transversal de la viga. El vector de movimientos asociado a esta matriz eis d = [ W ~ , ~ , , O , ~ ] ~  . Los elementos finitos anteriores, 2-D y 1-13, pueden combinarse dentro de un programa general de computador basado en el mélodo de los movimieritos o rigidez, sin ninguna dificultad, particularmente, si como es usual, la programación se ha diseñado de un modo estructurado y abierta para recibir nuevos elementos. Por otra parte, se puede incluir dentro de este programa, las dimensiones reales de la viga mediante el procedimiento matricial de las matrices de tr;insformación de nudos de dimensión finita. En el ejemplo que sigue se analiza la anterior placa en voladizo, disponiendo un emparrillado de barras en la zona de máximos esfuerzos, es decir, cercana a la aplica- ción de las cargas, y los elementos semiinfinitos en la zona alejada de estas (Figura 5). Los resultados obtenidos en este caso, prácticamente concordantes con la solución anterior, son: i? =0,14438; f i y  =0,4579 y V = -0,0360940. POSIBLES EXTENSIONES La formulación cinterior que corresponde a un elemento de dos nudos puede ser extendida a otra que describe un elemento de M nudos; como se  indica^ a continuación. La variación de la flecha en este elemento, se define mediante la expresión: 76 AVELINO SAMARTIN Y JUAN DE LA TORRE siendo No un vector de funciones de forma de polinomios hermíticos, de dimensión 2M x 1, es decir, correspondientes a M nudos. El vector do de movimientos contiene el desplazamiento vertical wi y el giro 0, de cada nudo i (i = 1,2,. . .,M). N1 es el vector de funciones de forma (polinomios de Lagrange) de dimensión M x 1 correspondiente a M nudos y d1 el vector de movimientos conteniendo los giros 8, del nudo i. Las funciones Yo e Y1 se extienden ahora, permitiendo una variación de los pará- metros p, a, y 0, con relación a la abscisa x, es decir: con y = py , siendo Los valores de los parámetros h,  a,, y O,, se determinan mediante un proceso de minimización de la energía potencial total. La matriz de rigidez del elemento se deduce según el procedimiento típico del méto- ,do  de los elementos finitos y su dimensión es de 3 M  x 3 M .  Las integrales pueden evaluarse numéricarriente y la variación de las características elastomecánicas del elemento (espesor, módulo de elasticidad, etc.) según la dirección x deben de incluirse en el cálculo de la matriz de rigidez, convirtiendo a este elemento en menos versátil que el expuesto en los apartados anteriores. CONCLUSIONES Se ha presentado un elemento rectangular semiinfinito de flexión, que permite modelizar largas extensiones de placas con suficiente aproximación. Este elemento puede insertarse directamente dentro de un programa matricial de estructuras formu- lado en movimientos. Se ha indicado un criterio de obtención de los parámetros (en particular de la caída exponencial) que definen la función de forma en la dirección semiinfinita que si bien no está suficientemente justificado, conduce aparentemente a resultados adecuados. ELEMENTOS SEMIINFINITO!; DE FLEXION 7 7 Uno de los autores desea expresar su agradecimiento a la Caja de Ahorros de Santan- der y Cantabria por la ayuda recibida para la realización de esta comunicación. elementos 2-0 semiinfinitos / / / / / / / / / / / / / / / / / /  ! m 2 elementos 1 -D (vigas) E = 3x1 O6 tm'2 : v=O Figura 5 .- Modelo de vigas y elementos seniiinfinitos de flexión. REFERENCIAS 1.  P. Bettess y J .  Bettess. "lnfinite elements for static problems". Engineering Coinputations. Vol. 1 .  No. 1 ,  Marzo (1984). 2. A. Samartín. "Gílculo de estructuras de puentes de hownigón ". Editorial Rueda. (1983). 3. 0. C. Zienkiewicz. "The Finite Element Method 't McGraw-Hill. (1977). 

Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería

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Revista internacional de métodos numéricos para cálculo y diseño en ingeniena, Vol. 1,4,63-77 (1985) 
ELEMENTOS SEHMIINFINITOS DE FLEXION 
AVELINO SAMARTIN 
Y 
JUAN DE LA TORRE 
E.T.S. Ing. de Caminos. Universidad de Santander 
RESUMEN 
Existen situaciones para las que los resultados de interés corresponden a una zona pequeña de 
la estructura en comparación con su totalidad. La utilización de elementos infinitos constituye * 
posibilidad que evita un esfuerzo excesivo de cálculo. Esta idea se aplica en este artículo al mLsas 
estático de la flexión de placas, desarrollando un elemento finito rectangular con un lad,) situado 
a distancia infinita. La función de decrecimiento de los movimientos en el interior del elemento 
es exponencial con un parámetro cuyo valor se deteimina mediante minirnixaclón de la energía 
potencial total. Se presentan resultados obtenidos con el elemento, contrastando su bondad y eficacia 
en comparación con un cálculo convencional. Se comentan finalmente distintas extensiores posibles 
del elemento. 
SUMM ARY 
There exist structural analysis where the main results are concentrated only in a srnall part of the 
structure. The use of infinite elements represents a possibility to  avoid an excessive computational 
effort. This idea is applied in this paper to  the static analysis of plate bending. Ii rectangular infinite 
element is developped. In this element the displacement vary according to a11 exponential decay 
function. The value of the decay pararnetler is obtained by minimization of the total potential energy. 
Some examples are shown in order to iüustrate and tesi the element efficiency. Possible extensions 
of the method are also shown . 
INTRODUCCION 
El método de los elementos fini~tos ha mostrado de un modo evidente su eficacia 
en el cálculo de complejas estructuras. Sin embargo, existen situaciones para las que 
los resultados de interés corresponden únicamente a una zona pequeña de la estructura 
en comparación con su totalidad. Los ejemplos son numerosos dentro del grupo 
de sistemas acoplados: estructura-suelo-fluido, en las estructuras perióldicas, etc. 
Existen varias posibilidades para obviar el excesivo esfuerzo computacional que 
conlleva el equilibrio entre una adecuada modelización de toda la estructura y una 
necesaria exactitud de los resultados requeridos en la zona. Algunas como la utilización 
de mallas progresivamente variables no resuelven satisfactoriamente el problema y 
otras, como la subestructuración o la introducc:ión del método de los elementos del 
contorno, exigen modificaciones substanciales del programa de computador. La consi- 
deración de elementos semiinfinitos representa un modo natural de resolver estas 
situaciones y no implica tratamieiqto específico para estos nuevos elementos; que 
Recibido : Marzo 19 85 
@ Univetsitat Politicnica de Catalunya (España) 
ISSN 0213-1315 
pueden ser incluidos fácilmente dentro de un programa modular de elementos finitos. 
Existen numerosas contribuciones particularmente respecto a la clase de problemas 
estructurales con continuidad C O .  La reciente referencia' constituye una excelente 
revisión del tema. Aquí, se muestra un tipo de elemento semiinfinito rectangular 
de flexión que puede ser usado en numerosos problemas relacionados con el cálculo 
de los efectos locales de cargas concentradas en las losas de los tableros de puentes. 
En efecto, las losas de voladizos y las comprendidas entre las almas de las vigas del 
tablero, presentan una luz generalmente pequeña en comparación con la distancia 
entre traviesas, que en la construcción actual se disponen normalmente para reparto 
de los apoyos sobre pilas. Las secciones de máximos esfuerzos corresponden a la zona 
de aplicación de las cargas concentradas2 que precisa por este motivo ser modelizada 
con una malla fina de elementos, que no debe extenderse, por motivos de economía, 
a toda la losa del puente (Figura 1). 
losa a 1 
a,-L , a,<<L 
L g luz del puente) 
SECCION TRANSVERSAL 
- 
PLANTA 
losa b Y- 
Fig . 1 .- Tablero de puente. 
ELEMENTO SEMIINFINITO DE FLEXION 
Se considera el elemento rectangular semiinfinito representado en la Figura 2. 
PLANTA SECCION 
Fig . 2  .- Elemento rectangular semiinfinito. 
ELEMENTOS SEMIINFINITOS DE FLEXION 65 
Se supone que la ley de flechas w(x,y) varía sobre la superficie del elemento según 
la expresión: 
siendo 
con y = p  y 
R 
Yo (y) = (1 + L: a,,yr)e-Y 
r = l  
parámetros que pueden ser datos o bien obtenidos automáticamente de acuerdo con 
las consideraciones que más adelante se exponen. El número R de tcSrminos polinómi- 
cos está especificado(*). 
Las condiciones siguientes deben de ser satisfechas: 
Las funciones de la coordenada x, N,, N 2 ,  N3 y N4 ,  corresponden a los polinomios 
de Hermite y, N5 y N6 son polinomios lineales, cuyas expresiones son : 
NOTA(*): Es posible extender la formulación anterior, considerando un número de términos poli- 
nórnicos diferentes para las funciones Ylo e Yl. 
66 AVELINO SAMARTIN Y JUAN DE LA TORRE 
X 
con ,$ =- 
L 
Se comprueba que la expresión (1 ) satisface las siguientes iguáldades: 
con 
El elemento descrito es incompatible, puesto que no existe continuidad de e,(x,y) 
a lo largo de los lados x = O y x = L, aunque, supuesto que los parámetros p,  a, y 0, 
sean idénticos entre elementos contiguos, las funciones w(x,y) y 8,(x,y) son contínuas. 
Si se denomina d = [do] el vector movimientos la flecha se puede escribir como 
sigue : 
, \ 
El vector curvatura g se define como es usual 
siendo 
-Yo Nó' Yo o o -Nó' 
Bo = -Y: No = Co Bo = 0 
[2YhN] - lo Y : ]  !;ti} 
ELEMENTOS SEMIINFINITOS DE FLEXION 
El vector de esfuerzos o se obtiene mediante la expresión: 
con D = (Di,) matriz constitutiva de la placa. En el caso de isotropia, los elementos 
no nulos de esta matriz son: 
con h el espesor de la placa y E y v constantes elásticas (módulo de elasticidad y coefi- 
ciente de Poisson) del material de la misma. 
Si se desean obtener los esfuerzos cortantes (q,,qy) y las reacciones de Kirchhoff 
(rx,ry) se utilizan las siguientes ecuaciones: 
Yo NY 4- Y: N; Y1 Ni" + Y:' Ni 
YA NO 4- YtlNo Y; N;' + YI"N1 
Usando la técnica típica del método de los elementos finitos3 se deduce la siguiente 
expresión de la matriz de rigidez del elemento: 
Desarrollando (13) se obtiene: 
siendo Di, = // Ci D C, dy 
68 AVELINO SAMARTIN Y JUAN DE LA TORRE 
drn Yi 
Si se denomina 1;" = Y"; dy y Y"- la expresión (1 5) se transforma 
en la siguiente : dyrn 
Los valores de los coeficientes 1:" se presentan en la Tabla 1. 
Mediante el uso de las igualdades anteriores se determina la matriz de rigidez del 
'elemento. Las integrales (1 4) pueden efectuarse numéricamente mediante las fórmulas 
de Gauss o analíticamente. Los coeficientes kij de la matriz de rigidez obtenidos según 
este último procedimiento para el caso simple de un sólo término en Yo e Y,, (R = 1) 
se resumen en la Tabla 2. 
Se utiliza el convenio de índices repetidos con: 
Se comprueba que c" = c" = c" = c para todo m,n. 
Tabla l .  Coeficientes 1" = (Y: Y:> = 1 Y: Y; dy 
COEF. i j m 4  n=O I ! ! !  m=2 n=2 1 1 1 1 m=l n=l rn=O n=2 m-? n+ 
ELEMENTOS SEMIINFINITOS DE FLEXION 69 
p = k d con k = (kij), 5 m3' m 
kz2 =D(- + -- +-)=k44 
dT =(wl Oyl w2 Oy2 O, O,) y m = p L  m 420 15 
Tabla 2.  Matriz de rigidez del elemento semiinfiriito con R = 1 y material isótropo. 
ELECCION DE LOS PARAMETROS DE LAS FUNCIONES 
DE DESARROLLO Yo Y, 
La elección de los parámetros p, a, y /3, debe llevarse a cabo de modo que se mini- 
mice la energía potencial total de la estructura V, que puede expresarse como sigue: 
siendo D, P  y K  los vectores movimientos, fuerzas y matriz de rigidez de toda la estruc- 
tura. 
Las condiciones de mínimo de (1 7) son: 
es decir: K D - P = O  1 
Como es conocido la matriz de la estructura K ,  puede expresarse como suma directa 
o booleana de las matrices de rigidez de cada elemento ki. Simbólicamente: 
o bien, si se deriva respecto a un parámetro genérico h,, en donde h, representa p ,  
ar O Pr (r = 2,3,. . .,) según el caso : 
a a 
- (K) = 2- (ke) 
ah  e A, 
La ecuación (19) indica que se puede obtener cada una de las matrices a/ah,(K), 
a partir de las derivadas de las matrices de rigidez de cada elemento, mediante la regla 
de composición usual. 
Efectuada la resolución del sistema (18) es posible calcular los valores óptimos 
de los parámetros h, para cada hipótesis de carga P. Formalmente, ello equivale 
a resolver el sistema de M (M = R + R-1) ecuaciones no lineales. 
El algoritmo siguiente de resolución del sistema (20) puede ser utilizado como 
se indica a continuación : 
1. Inicializar los parámetros A,. 
2. Resolver K D = P. a 
3. Determinar nuevos valores h, del sistema DT - (K)D = O. 
a x m  
4. Repetir el proceso, desde el paso 2 con nueva matriz K obtenida para las nuevas 
h,, si éstas son diferentes de las supuestas. En caso contrario finaliza el cálculo. 
Existe otra posibilidad de cálculo de estos valores A, más simple que la expuesta, 
ya que no exige la determinación de las matrices derivadas (aK/dh,), que se expone 
a continuación : 
La energía potencial total de la estructura puede expresarse como sigue: 
Mediante esta ecuación el cálculo de V es muy simple durante la fase de resolución 
del sistema K D = P, puesto que implica un conjunto reducido de instrucciones de 
programa y prácticamente un esfuerzo adicional nulo de computación. La dependencia 
de V respecto a los parámetros A, se produce a través de los movimientos D. Es posi- 
ble obtener el valor mínimo de V mediante uno de los algoritmos de búsqueda y 
tanteos sucesivos que se estudian dentro de los métodos de programación matemática 
no lineal. 
Un valor tentativo del parámetro (en el caso de M = 1) que permite iniciar las itera- 
ciones se presenta a continuación para los dos casos más importantes de losas de 
forjado de puente : 
(a) Losa en voladizo de luz 2. (Figura 1 ,  losa a). 
ELEMENTOS SEMIINFINITOS DE FLEXION 7 1 
Se puede suponer que el vector de desplazamientos solución corresponde a la defor- 
mada de una viga, por lo que si se considera un sólo elemento resulta d = [O, O, L/3, 
-l,O,OIT. 
El mínimo de 2V = dT k d = L2 /9 . kg3 - L/3 k34 + 114 . k44 corresponde a :  
(b) Losa biempotrada de luz L (Figura 1,  losa b). 
Análogamente se deduce que: 
minimiza la energía potencial total: 
correspondiente a la deformada d = [O, 0 , 1 , 0 , 0 ,  (3F. 
Conviene observar que los valores de h, dependen de las características de la estruc- 
tura global y son iguales para cada tino de los elementos en los que se ha discretizado 
la estructura. Por consiguiente, el va1o:r tentativo del. parámetro de cada elemento /.L viene 
dado por las fórmulas (22) ó (23) según el caso, en las que L representa la luz total 
de la estructura. 
EJEMPLO ILUSTR.ATIV0 
A continuación se aplica el elemento anterior al cálculo de una placa en voladizo 
: luz L, con una carga concentrada situada en el borde 1 ,  como se indica en la Figu- 
3. Las características que se han considerado para la placa son : 
Se han analizado la influencia del coeficiente de Poisson en los resultados, al estudiar 
los casos de v =O, v=0.1 y v =0.2, 
Los resultados se presentan en fornna adimensional con: 
72 AVELINO SAMARTIN Y JUAN DE LA TORRE 
en donde w es la flecha en el extremo libre, M, el momento flector longitudinal en 
el arranque del voladizo y V la energía potencial total. 
Se ha calculado el voladizo utilizando sucesivamente un distinto número N de 
elementos y cada -uno de ellos con un desarrollo mínimo de la función de forma, 
es decir con R = S = 1 (valor de p). Los resultados de los distintos casos analizados 
se muestran en las Tablas 3 ,  4 y 5. Se observa que en la región de mínimo de energía 
potencial total, la desviación de los resultados de flechas y momentos flectores es muy 
pequeña, obteniéndose valores aceptables incluso con un único elemento (N = 1). 
La introducción de un número R mayor de términos en las funciones de forma 
no altera de un modo sensible los resultados. En la Tabla 6 se ilustra la escasa impor- 
tancia que representan los términos adicionales a, y 0, (con r =2).  En el ejemplo 
particular que se analiza' existe una simetría, representada por la rotación O ,  nula 
a lo largo del eje y =O, que implica una independencia en los resultados de los valores 
de los parámetros 0, para r > 1. 
En la Tabla 6 se ha efectuado el cálculo con los valores de a2 que minimizan para 
cada p la energía potencial total Y. La placa ha sido analizada con dos tipos de discreti- 
zación (N = 1 y N = 3) deduciéndose resultados muy semejantes en ambos casos. 
El cálculo de la placa anterior puede llevarse a cabo mediante elementos finitos 
de flexión convencionales, en un número suficiente para simular una gran distancia 
según el eje y. Se ha utilizado el programa SAP con 20 x 4 elementos rectangulares 
de lados 0,25 x 0,25 m, obteniéndose los resultados (Fig. 4) para v = 0:  
1.74 1.78 1.79 1.80 1.84 
1 
2 
- 
w 
My 
- 
V 
- 
w 
My 
- 
V 
.1425 
.447 
-0.035637 
.1425 
4 My A49 
-0.035637 #
.1425 
.43 1 
-0.035621 
.1425 
.443 
-0.035635 
KOTA. La energía potencial total mínima se alcanza para p = 1.79 
Tabla 3 .- Losa en voladizo (V = 0.0) 
.1426 
.448 
-0.035662 
.1426 
.450 
4 .O35663 
.1426 
.43 1 
-0.035646 
.1426 
.443 
-0.035661 
.1427 
.448 
-0.035664 
.1427 
.450 
-0 .O35664 
.1426 
.43 1 
-0.035648 
.1426 
.443 
-0.035662 
-- 
.1426 
.448 
-0.035663 
.1426 
.450 
-0 .O35664 
.1426 
.448 
-0 .O35642 
.1426 
.45 O 
-0 .O35642 
.1426 
.43 1 
-0.035647 
.1426 
,443 
-0,035661 
.1426 
.43 1 
-0.035639 
.1426 
.443 
-0 .O35 640 
ELEMENTOS SEMIINFINITOS DE FLEXION 73 
NOTA. La energía potencial total mínima se alcanza para ,p = 1 8 2  
Tabla 4.- Losa en voladizo (U = 0.1) 
NOTA. La energía potencial total mínima se alcanza para 11 = 1.88 
Tabla 5.- Losa en voladizo (u = 0.2) 
74 AVELINO SAMARTIN Y JUAN DE LA TORRE 
Tabla 6.- Análisis de la sensibilidad de a,@, =O). 
Se comprueba que la reducción del esfuerzo computacional con la consideración 
de elementos semiinfinitos de flexión es extraordinaria en comparación a un cálculo 
clásico. En este caso, el cálculo clásico ha exigido 415 gdl frente a únicamente 8 gdl 
para la placa discretizada con N=4 .  
PLANTA SECClON A-A 
Figura 3 .- Ejemplo de aplicación del elemento. 
Figura 4 .- Modelo en elementos finitos de fiexión convencionales. 
ELEMENTOS SEMIINFINITOS DE FLEXION 
EL,EMENTO VIGA 
El elemento finito que se ha descrito en los apartados anteriores puede particulari- 
zarse a la situación monodimensional de viga semiinfinita. En este c,aso la expresión 
de los movimientos a lo largo de la directriz (eje y:) es: 
W(Y) ==yo wl + Y, e, 
8,(y) =Yhwl + Y:; 8, (2.5) 
&(Y) = e y 1 y o  + 8,1Y1 
I a Z w  o, 
El vector curvatura es E = - y por consiguiente, la matriz de rigidez es: 1 ay2 ' aly 
con E1 y GJ las rigideces de flexión y torsión de la sección transversal de la viga. 
El vector de movimientos asociado a esta matriz eis d = [ W ~ , ~ , , O , ~ ] ~  . 
Los elementos finitos anteriores, 2-D y 1-13, pueden combinarse dentro de un 
programa general de computador basado en el mélodo de los movimieritos o rigidez, sin 
ninguna dificultad, particularmente, si como es usual, la programación se ha diseñado 
de un modo estructurado y abierta para recibir nuevos elementos. Por otra parte, 
se puede incluir dentro de este programa, las dimensiones reales de la viga mediante 
el procedimiento matricial de las matrices de tr;insformación de nudos de dimensión 
finita. En el ejemplo que sigue se analiza la anterior placa en voladizo, disponiendo 
un emparrillado de barras en la zona de máximos esfuerzos, es decir, cercana a la aplica- 
ción de las cargas, y los elementos semiinfinitos en la zona alejada de estas (Figura 5). 
Los resultados obtenidos en este caso, prácticamente concordantes con la solución 
anterior, son: i? =0,14438; f i y  =0,4579 y V = -0,0360940. 
POSIBLES EXTENSIONES 
La formulación cinterior que corresponde a un elemento de dos nudos puede ser 
extendida a otra que describe un elemento de M nudos; como se  indica^ a continuación. 
La variación de la flecha en este elemento, se define mediante la expresión: 
76 AVELINO SAMARTIN Y JUAN DE LA TORRE 
siendo No un vector de funciones de forma de polinomios hermíticos, de dimensión 
2M x 1, es decir, correspondientes a M nudos. El vector do de movimientos contiene 
el desplazamiento vertical wi y el giro 0, de cada nudo i (i = 1,2,. . .,M). 
N1 es el vector de funciones de forma (polinomios de Lagrange) de dimensión M x 1 
correspondiente a M nudos y d1 el vector de movimientos conteniendo los giros 
8, del nudo i. 
Las funciones Yo e Y1 se extienden ahora, permitiendo una variación de los pará- 
metros p, a, y 0, con relación a la abscisa x, es decir: 
con y = py , siendo 
Los valores de los parámetros h,  a,, y O,, se determinan mediante un proceso 
de minimización de la energía potencial total. 
La matriz de rigidez del elemento se deduce según el procedimiento típico del méto- 
,do  de los elementos finitos y su dimensión es de 3 M  x 3 M .  Las integrales pueden 
evaluarse numéricarriente y la variación de las características elastomecánicas del 
elemento (espesor, módulo de elasticidad, etc.) según la dirección x deben de incluirse 
en el cálculo de la matriz de rigidez, convirtiendo a este elemento en menos versátil 
que el expuesto en los apartados anteriores. 
CONCLUSIONES 
Se ha presentado un elemento rectangular semiinfinito de flexión, que permite 
modelizar largas extensiones de placas con suficiente aproximación. Este elemento 
puede insertarse directamente dentro de un programa matricial de estructuras formu- 
lado en movimientos. Se ha indicado un criterio de obtención de los parámetros (en 
particular de la caída exponencial) que definen la función de forma en la dirección 
semiinfinita que si bien no está suficientemente justificado, conduce aparentemente 
a resultados adecuados. 
ELEMENTOS SEMIINFINITO!; DE FLEXION 7 7 
Uno de los autores desea expresar su agradecimiento a la Caja de Ahorros de Santan- 
der y Cantabria por la ayuda recibida para la realización de esta comunicación. 
elementos 2-0 semiinfinitos 
/ / / / / / / / / / / / / / / / / /  ! 
m 2 
elementos 1 -D (vigas) 
E = 3x1 O6 tm'2 : v=O 
Figura 5 .- Modelo de vigas y elementos seniiinfinitos de flexión. 
REFERENCIAS 
1.  P. Bettess y J .  Bettess. "lnfinite elements for static problems". Engineering Coinputations. Vol. 1 .  
No. 1 ,  Marzo (1984). 
2. A. Samartín. "Gílculo de estructuras de puentes de hownigón ". Editorial Rueda. (1983). 
3. 0. C. Zienkiewicz. "The Finite Element Method 't McGraw-Hill. (1977). 


Existen situaciones para las que los resultados de interés corresponden a una zona pequeña la estructura en comparación con su totalidad. La utilización de elementos infinitos constituye * posibilidad que evita un esfuerzo excesivo de cálculo. Esta idea se aplica en este artículo al análisis estático de la flexión de placas, desarrollando un elemento finito rectangular con un lado) situado a distancia infinita. La función de decrecimiento de los movimientos en el interior del elemento es exponencial con un parámetro cuyo valor se deteimina mediante minimización de la energía potencial total. Se presentan resultados obtenidos con el elemento, contrastando su bondad y eficacia en comparación con un cálculo convencional. Se comentan finalmente distintas extensiores posibles del elemento

Elementos semiinfinitos de flexión

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