Bujalance, E.

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Pub . Mat . UAB
No 21 Oct . 1980
Actos VII JMHL
GRUPOS CICLICOS DE AUTOMORFISMOS DE SUPERFICIES DE RIEMANN COM-
PACTAS Y NO ORIENTABLES
O
Emilio Bujalance
Dpto . de Geometría y Topología
Universidad Complutense de Madrid
Abstra.ct : In this work we will find the minimun genus of a
ccmpact nonorientable Riemann Surfa.ce, having a. giver. cyclic
group of . automorphisms . Por this we caracterizo the proper
N.E .C . groups for which theré is a non-orientable Surface-
Kernel bomomorphism . In the last part of this paper we give
a bourid depending or: the genus, for the order of the cyclic
groups of automorphisms of ccmpact Klein Surfaces without
bourdary, and cyclic groups of automorph.isms rea.ching the
bound a.re cbtained .
1 . Introducción
Una. Superficie de Riem¿tnr¡ compacta y no orientable es
una Súperficié de Klein ccir~pacta, ro orienti5..ble y sir_ borde
En este trabajo vamos a encontrar el mírtimo généro de
éstas Süpérficies que tienen un determinado grupo cíclico de
automorfismos . El problema correspondiente en el caso de Su-
perficies de Riemann compactas y orientables ha sido resuelto
por Narvey en (2) .
En (§2) se dan. algunos resultados sobre los grupos de
automorfismos de Superficies de Riemaruz compactas y no orien-
tables . En (53) se caracterizan los grupos N.E .C . propios,
para. los que existe un homomorfismo en un grupo cíclico cuyo
nucleo es el grupo de una Superficie no orientable . En (94)
se resuelve el problema. del mínimo género . Y por último en (15)
89
se da . una cota superior en función del género par- el orden
de los grupos cíclicos de automorfismos de Superficies de Klein
compactas y sir- borde, y se obtienen grupos de automorfismos
que la alcanzan, en el caso de Superficies de Klein ccmxia.cta.s
y con borde, esta cota ha sido obtenida por May en (3) .
2 . Stiperficies de Riemann c om1)actas y no .orientablesJ
Un grupo cristalográfico no Euclideo, grupo N .E .C ., es un
subgrupo discreto[- del grupo G de isometrías del plano ro
Euclideo, incluyendo las que invierten la orientación. F es
un grupo N .E .C . propio si no es un grupo Fuchsiano, y se deno-
ta por
r t
el grupo Fuchsiano rn G~
Un grupo N.E .C .
	
(-g es el grupo de una Superficie no crier-
table, si rg tiene la siguiente signatura : (g; 4- ; J-] ; ~-? ),
y un grupo N.E .C . r p es el grupo de una Superficie ro orienta-
ble si rp tiene la siguiente signatura : (p ;- ;[] ;~ - 1 )
Da.do rp, tenemos que el espacio de órbitas D/rp (donde
D es C*) esuna Superficie no orientable de género p . La
proyección canónica R :D--->D/(-p induce una estructura bia.na.lí-
tica en D/ rp, que establece en D/ rp una estructura. de Superfi=
cie de Rieman.n compacta y no orientable, de género p . Como
consecuencia de los resultados dados por Singerman en (4) se
establece el siguiente teorema .
C2 .1) Teorema
Si G es un grupo finito, G es el grupo de automorfismos
de una Superficie de Riemann compacta y no orientable de género
p :1 3 .
. .
3 . Homomorfismos cuyos núcleos sor, grupos de Superficies no
orientables .
(3 .1) Definición
Un homomorfismo 6 de un grupo N .E .C . r en un grupo fini-
to H es un homomorfismo cuyo nuclec es el grupo de una Super-
ficie no orientable, si Ker A es el grupo de una Superficie
y 0((r+) = G .
90
(3 .2) - Teorema
Sea r un grupo N .E .C . propio de signatura
(E; 4- ; [ml . . .m-zl ; ~ (-)(-.) . . .k . . .(-)})
y sea Z/(n), n par . Entonces existe un homomorfismo cuyo ru-
cleo es el grupo de una Superficie no orientable e:r-->Z/(n)
si y sólo si i) mi\n
	
dieI I = 11, . . .,Y~
( n
ii) si g=0 k=l, existe , HcI tal que m.c .d .¡(- mi,ieH)
1
(3 .3) Teorema
Sea r un grupo N.E .C . propio de signatura.
(g ;- ;[mi . . . mt7 ; ; )
y sea Z/(n), n par . Entonces existe rn homomorfismo cuyo nu- I
clec es el grupo de una Superficie no orientable e :r-->"Z/(n)
si y sólo si i) mi\n ~isl I =¡1,2, . . .,Z}
ii) si k=0, ~ mi
= 2 y además :
a) si g=1 3 Hoz tal que m.c .d .C( mi)
i .H'
1
b) si g=2 y
. -'
n
- 4(n), 3 HcI y 3pi,q,p,rE
iE I mi lI-'-r'--n y gl2p=2
L
tal que
npi
- 1( ~.
n
) i qr g 1(n)
icH mi 2 i=l mi
Z
3 .4) Teorema.
Sea r un grupo N.E .C . propio de signatura (g;-[m, . . .m z])
y sea Z/(n), n impar . Entonces existe un homomorfismo cuyo
nucleo es el grupo de una Superficie r.o orientable 9 :r--> Z/(n)
si y sólo si i) mi\n Vic-I I ={1, . . .Z~
n =ii) si g=1 3 H<-I tal que m.c .d " 1(( m;)IEH)
4 Género mínimo
(4 .1) Teorema
Si N=q, q primo, el mínimo género p de una Superficie de
Riemaran compacta y no orientable con el grupo de automorfismos
isomorfo a Z/(n) es : si q=2 p=3
si q~2 p=q
9 1
(4 .2) -Teorema
Si N = 210,~ . . .gra
fo a Z/(N) es p = 2 1. N - N - N
dor.de 2zg1.Z . . .lga , y gl . . .qa primos .
El mínimo género p de ur.a Su.perfici.e de Riem.arn compacta y no
orientable cor. el grupo de automcrfismos isomorfo a Z/(N) es
=p
	
2 i. N - N2 ql
Teorema
Si N = q1 . . .q., dcnde ql<q2< . . <qdy gl'q2, . . .qa primos y
ql
2, el mínimo género p de una. Superficie de Riemann com=
pacta y no orientable, con el grupo de au.tomorfismos isomor-
ql q2
X4 .4) Teorema
Si N=2r, siendo rol, el mínimo género p de una Superfi-
cie de Riemarin compacta y no orientable, con el grupo de au-
tomorfismos isomorfo a Z/(N) es p = 1 1 2
(4
.5) Teorema.
2 primo, y rAl, el mínimo género_p de
ur:a Superficie de Riemann compacta y no orierta.ble con el
grupo de automorfismcs isomorfo a Z/(N) es p = 1 4- N - E
ql
morfismcs
Si 'N=qi , siendo
6 . Cota Superior s
~
ra. e l orden de_ los grupos cíclicos de auto-
Una Superficie de K7ein compacta y sin. borde, o es ur.a;
Superficie de Riemarin compacta y no orientable, o es compac-
ta y orientable .
2
En las Superficies de Riemann compactas y orientables
áe género g, el máximo orden de los grupos cíclicos de auto-
norfismos es 2(2g11), ver (5), y este orden puede. alcanzarse .,
En las Superficies de Riemann compactas y no orientables,
de género p, los teoremas del (55) permiten establecer una
iota para el máximo orden de los grupos cíclicos de automor-
fismcs, que es 6(p-2), y este orden siempre puede alcanzarse .
92
Referencias
(1) ALLING,N .L . and GREENLEAF,N . Foundations of the theory
of Klein Surfaces . Lectures Notes 219 (1 .971)
(2) HARWEY,W .J . Cyclic groups of automorphisms of compact
Riemann Surface . Quart . J . Math . .Oxford (2) 17 (1 .966)
(3) MAY,C .L . Cyclic automorphism groups of compact bordered
Kleir. Surfaces . Houston J . Math . 3 (1 .977)
(4) SINGERMAN,D . Automorphisms of compact non-orientable
Riemann Surfaces, Glasgow . J . Math . (1 .971)
(5) WIMAN,A . Veber die hyperlliptischan Curven und diejenigen-
von Geschlechte p=.3, welche ein deuligen transformation in sich
zulassen . Bihan Kongl Svenska Vetens Kaps-Akademiens Haudlinger
(Stockolm 1 .895-6)


Grupos cíclicos de automorfismos de superfícies de Riemann compactas y no orientables

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