Casamitjana i Vila, Xavier

Casamitjana, Xavier

DUGiDocs – Universitat de Girona

SCIENTIA gerundensis, 11: 139-146, (1985) L'ESTRUCTURA FINA DE L'ESPECTRE DE L'HIDROGEN. De la formula de Sommerfeld a I'equacio de Dirac Xavier Casamitj ana i Vila Departament de Física. Col.legi Universitari de Girona. CI. Hospital, 6. 17071 Girona. Seminari d'Histbria de les Cikncies. Facultat de Ciirncies. Universitat Autbnoma de Barcelona. Bellaterra (Barcelona). RESUM En aquest treball s'analitza I'evolució hist6rica de la fórmula que descriu els nivells d'estructura fina de l'atom d'hidrogen des de I'antiga teoria de Sommerffeld (anys 1915-1916) fins a la teoria de Dirac (1928). Ens fixem especialment en les aportacions de Dirac entre els anys 1925 i 1928, adre~ades a fonamentar les bases matematiques de la nova mecanica quantica. RESUMEN En el presente articulo se analiza la evolución histórica de la fórmula que describe 10s niveles de aestructura fina, del átomo de hidrógeno desde la teoria de Sommerfeld (1915-16) hasta la teoria de Dirac, aparecida en el a80 1928 en el articulo <cThe quantum theory of the electron*. Se estudian especialmente las aportaciones de Dirac entre 10s años 1925 y 1928. ABSTRACT In this work we analize the historical evolution of the fine structure of the hydrogen's spectrum from the old theory of Sommerfeld (1915-16) till Dirac's theory (1928-a). We put special emphasis on Dirac's contributions, circa 1925-1928, to the theoretical bases of Quantum Dynamics which led to the historical article c(The quantum theory of the electron), where the Relativistic Quantum theory of the electron is definitively established. Key words: Dirac, fine structure, hydrogen atom, quantum theory, relativistic quantum theory, Sommerfeld. Entre 1915 i 1916 Arnold Sommerfeld' explicava amb una teoria que partia de la quantitzacio d'brbites keplerianes relativistes (elslipses el periheli de les quals es desplaqa) els nivells d'energia de l'atom d'hidrogen amb un acord formidable amb l'experikncia. La fórmula que donava aquests 140 X. CASAMITJANA nivells, coneguda com estructura fina de l'espectre de l'hidrogen era: E(n,k) = mc2{[1 + a2z2(n - k + d k2 - a2~2)-2]-1'2 - 1) (1) hc és la constant d'estructura fina de l'electró i n i k són nombres quantics tals que n = 1, 2.. i k varia d71 fins a n. Desenvolupant E(n,k) en potencies d'a fins a l'ordre a2 obtenim: Tant les fórmules (I) com (11) pertanyien al marc de la vella mecanica quantica, superada uns 10 anys més tard quan es revela insuficient per explicar una quantitat notable de fenomens físics. L'any 1926 Erwin schrodinger2 va publicar una serie d'articles que introdui'en les conegudes equacions que porten el seu nom: Aquestes equacions no eren relativistes, i per tant la seva solució per a l'atom d'hidrogen no podia conduir a la fórmula dels nivells d'estructura fina (I) quer era la correcta, encara que hagués estat trobada amb una teoria que ja havia estat superada. La solució de (111) porta a reobtenir els nivells d'energia de l'atom de Bohr (serie de Balmer): Els diferents intents de reabsorbir un resultat antic en el marc d'una nova teoria són freqüents a la historia de la ~ i b n c i a . ~  Schrodinger havia provat en va d'obtenir una teoria relativista de l ' e le~tró .~  Pauli deduí la fórmula de Balmer en el marc de la mecanica de matrius,' pero tampoc aconseguí d7incloure els efectes relativistes en la teoria. Finalment Heisen- berg i ~ o r d a n ~  el marG de 1926 varen deduir (11) per6 no (I), concebint un hamiltonia format, a més dels termes habituals, per dues pertorbacions, una referida a l'spin i l'altre incloent-hi termes relativistes. Oscar ~ e l i n , ~  l'abril de 1926 va proposar el que avui coneixem com a equació de Klein-Gordon, ja que també va ser treballada per Walter Gordon, i que per a molts físics semblava que havia de ser el bon camí en la resolució del problema relativista de l'electró: ESPECTRE DE L'HIDROGEN 141 P.A.M. DIRAC La fórmula (I) que descriu l'estructura fina de l'espectre de l'hidrogen no fou obtinguda fins l'any 1928 quan Dirac desenvolupa una teoria relativista que representa un avens fonamental en la física quantica. En paraules de Norwood Rusell Hanson: ccTheoretica1 Physics has rarely witnessed such a powerful unification of concepts, data, theories and intuitions: Newton and universal gravitation; Maxwell and electrodynamics; Einstein and special relativity; Bohr and the hydrogen atom; These are high spots before Dirac. From a chaos of apparently unrelated ideas, Newton in his way and now Dirac in his, built a logically powerful and conceptually beautiful physical ~heoryu .~  Pau1 Adrien Maurice Dirac va neixer a Bristol el 8 d'agost de l'any 1902 i segons paraules d'un bibgraf: <<Pau1 was an introvert and being often silent and alone devoted himself to the quiet contemplation of naturew.9 Va ésser estudiant d'enginyeria a la universitat de Bristol i més tard, la tardor de 1923, va anar a Cambridge on comensa la seva brillant carrera com a físic tebric de la m i  de R.H. Fowler. Quan Dirac arribi a Cambridge Sir Joseph Larmor tenia la menció especial de professor c<lucasii>) de matematiques. Aquesta distinció, que Newton havia també obtingut, l'obtindria Dirac 9 anys després de la seva arribada. Les primeres publicacions de Dirac foren sobre termodinhmica, mecini- ca estadística, relativitat i mecanica quantica antiga. Després d'aquestes vingueren les més importants, adregades a fonamentar tebricament les bases de la mecanica quintica. Anem a fer un breu resum de les seves principals aportacions entre els anys 1925 i 1928. El setembre de l'any 1925, Fowler li va donar l'esborrany d'un article de Heisenberg que el va fer adonar que: ((la no commutació era la característi- ca dominant de la teoria de Heisenberg i la clau d'una teoria general de la mecanica q~anticau.'~ Aquell mateix any Dirac publica: aThe fundamental equacions of quantum mechanicsw," on s'estableix un pont entre el formalisme de la mecanica classica i la mecinica quantica, mitjansant una correspondkncia entre els commutadors de Heisenberg i els claudators de Poisson de manera que: aLa difergncia entre els productes de Heisenberg de dues quantitats quantiques és igual a ih12n cops el seu clauddtor de Poissonu: Aquesta troballa és explicada per Dirac en uns apunts bibliogrifics: alt was during one of the Sunday walks in october 1925, when I was thinking very much about this "uv-vu" in spite of my intention to relax, that I 142 X. CASAMITJANA thought about Poisson brackets. .. I did not remember very well what a Poisson bracket was ... It was really a very disturbing situation, and it became imperative for me to brush up my knowledge of Poisson brackets ... There was just nothing I could do because it was Sunday evening and the libraries were all closed ... The next morning I hurried along to one of the libraries as soon as it was open and then I looked up Poisson brackets in Whittaker's Analytical Dynamics)).12 En el següent article, l'any 1926: ccQuantum mechanics and a prelimina- ry investigation of the hydrogen atomu,13 Dirac desenvolupa les idees basiques de l'hlgebra dels ccq-numbers)), una nova classe de variables no commutatives i que avui identificariem com operadors i que compleixen les relacions: (VIII) A continuació Dirac dedueix la fórmula de Balmer ja trobada per Pauli en el marc de la mecanica de matrius en un article publicat 5 dies abans que el de ~ i r a c . '  És important assenyalar el fet de que els matemgtics, i entre ells principalment Hilbert, ja coneixien els problemes de la mecanica de matrius i que havien desenvolupat teories d'algebra no commutativa, per6 Dirac independentment va descobrir els aspectes que necessitava pel seu treball. En aquest sentit opinava: nI could turn to algebra when I had the basic ideas given. But to get the new basic ideas I worked geometrically. Once the ideas are established one can put them into' algebraic form and one can proceed to deduce c o n s e q ~ e n c e s ~ ) ~ ~  El mateix any de 1926 publica: .On the theory of quantum mechanicsu,15 on dedueix el que avui coneixem com estadística de Fermi-Dirac, ja que previament havia estat també trobada per Fermi. Aquest fet era ignorat per Dirac: a l  had read Fermi's paper about Fermi statics and forgotten it completely. When I wrote up my work on the unti-symmetric wave functions, I just did not refer to it at all. Then Fermi wrote and told me and I remembered that I had previously read about itw.16 En aquest mateix article, desenvolupa una teoria de pertorbacions dependents del temps, que aplicada a un sistema atbmic li permet derivar l'expressió d'Einstein per a l'emissió estimulada, tot assenyalant la impossi- bilitat de poder tractar l'emissió espontania en el marc d'aquesta teoria. Caldria esperar l'any següent, en que ell mateix desenvoluparia una nova quantificació que faria aixb possible. ESPECTRE DE L'HIDROGEN 143 L'any 1927, en un article fonamental: ~ T h e  physical interpretation of quantum dynamicsw,17 Dirac mostrari clarament l'equivalkncia entre la mecanica de matrius de Heisenberg i la interpretació ondulatoria de Schrodinger. En aquest treball s7introdueix la funció avui coneguda com: <(delta de Dirac,): ~_+,"dxti(x) = 1 (1x1 i també unes funcions de transformació, que avui identificaríem com a crbracketsn. Utilitzant aquestes funcions, Dirac escriu la transformació general: g(5' 5") = JJ(~'la7)da'g(a'7a'7)da"(a'71~7') i l'equació de Schrodinger: donant-li un nou significat: aThe eigenfunctions of Schrodinger's wave equation are just the transfor- rnation functions.. . that enable one to transform to a scheme in which the harniltonian is a diagonal rnatrix)). El pont entre les dues formulacions de la mecanica quintica queda definitivament establert. Entre els anys 1926-27 Dirac visiti Copenhaguen i Gottingen on es relacioni amb nombrosos físics de l'epoca. A Copenhaguen passava molt de temps al ccBohr7s Institute), on quedi fortament impressionat per la personalitat del propi Bohr. Durant 17estada a Copenhaguen, Dirac escrigué: aThe quantum theory of the emission and absorption of radiation)),18 on introdueix el formalisme de quantificació del camp electromagnetic, que avui coneixem com ((segona quantificación, per distingir-la de la primera quantificació, imposada per l'equació de Schro- dinger . Aquestes relacions les escriu: i serveixen per donar propietats de ccquant de llum,, a la radiació. En l'article esmentat Dirac puntualitza: (<The light quanturn has the peculiarity that it apparently ceases to exist when it is in one of its stationary states, namely, the zero state.. . When a light quantum is absorbed it can be considered to jump into this zero state, and when one is emitted it can be considered to jump from the zero state to one in which it is physically in evidence, so that it appears to have been createds. 144 X. CASAMITJANA L 'EQUACI~  RELATIVISTA DE L'ELECTR~ Des del 24 fins el 29 d'octubre de 1927, Dirac participi en el ((Fifth Conseil Solvay of physics,,, trobada de físics en la que coincidiren Einstein, Bohr, Ehrenfest, Debye, Born, Heisenberg, Kramers, Compton, De Broglie, Pauli, Schrodinger i Planck. En aquest temps Dirac tenia ccin menten el problema de l'equació relativista de l'electró. Ell mateix ens ho explica: ccThere is one incident that I remember about this Solvay conference. During the period before the lecture on one occasion, Bohr came up to me and asked me: "What are you working on now?". I said "I  amb trying to get a relativistic theory of the electron". Then Bohr said, "But Klein has already solved this problem". I was a bit taken aback by this. I began to explane that Klein's solution of the problem, based on the Klein-Gordon equation, was not satisfactory because it could not be fitted in whith my general interpretation for quantum mechanics. However I was not able to explain very much to Bohr before the start of the lecture interrumpted our conversation, and I had to leave the question rather in the a i r ~ . ' ~  Dirac, no gens satisfet amb l'equació de Klein-Gordon com a solució al problema relativista de l'electró, es posi a treballar en aquest tema i l'any 1928 publica: .The quantum theory of the e l e c t r ~ n ) ~ . ~ ~  En la introducció d'aquest histbric article, Dirac assenyala el fet de que per fer 'front als problemes de la duplicitat de les ratlles espectrals Goudsmith i Uhlenbeck haguessin introdui't la idea de l'spin desenvolupada posteriorment per Pauli i Darwin i que conduia a l'obtenció de l'estructura fina de l'hidrogen fins l'ordre d'aproxima,ció donat per (11). També es pregunta el perquk la natura ha escollit aquest model en lloc d'haver-ne triat un de cirrega puntual, i argumenta que en aquest article mostrari que les teories anteriors eren incompletes en el sentit de no ser relativistes i que: c<Zt appears that the simplest hamiltonian for a point charge electron satisfying the requirements of both, relativity and the general transformation theory leads to un explanation of all duplexity phenomena without further assumption)). Per resoldre I'itom d'hidrogen ja no caldri, com feren Heisenberg i ~ o r d a n ~  i pauli2', introduir l'spin, sinó que aquest seri una conseqiikncia bbvia de la conservació del moment angular. Dirac també remarca una dificultat de l'equació de Klein-Gordon que rau en la possible existkncia de solucions d'energia negativa, per6 adverteix que ell no podri resoldre aquest problema, i que en el seu hamiltonii també apareixeran aquests tipus de solucions. La identificació de les solucions d'energia negativa amb els positrons fou un procés complicat, que passi per la teoria dels ((forats>>, que no descriurem aquí, ja que mereix per si sola un altre article. Recordem que el positró no fou trobat experimentalment fins a l'any 1932 per Anderson. ESPECTRE DE L'HIDROGEN 145 Continuant la descripció de l'anterior article, Dirac vol que l'equació buscada s'interpreti en la seva teoria general de funcions, és a dir que: (H - W)I) = O (XIII) i que sigui lineal amb p0,p1,p2,p3 essent: iR a p - -  - ili a O - p1,2,3 = - - - c at aX~ ,2 ,3  En base a aixb i seguint el seu gust innat de <(jugar amb les equacions)),22 escolleix un hamiltonia que en abskncia de camp electromagnktic és de la forma: D'on dedueix que les a i les són matrius 4 x 4  relacionades amb les matrius 2 x 2  de la teoria de Pauli, i la funció d'ona I) és un vector de 4 components. Pel cas d'un electró en predncia de camp electromagnktic, l'equació (XV) convenientment modificada per la predncia del camp, porta implícita la idea de l'spin, ja que l'hamiltonia commuta amb un moment angular de la forma: <<We can interpret this result by saying that the electron has a spin angular rnomenturn of 1 ho, which added to the orbital momentum m, gives the total angular momentum M, which is a constant of rnotionu. Finalment, Dirac no dedueix la fórmula (I) per a l'atom d'hidrogen, com seria factible suposar, sinó que es conforma amb demostrar que en el primer ordre d'aproximació la seva teoria és idkntica a la de ~ a r w i n , ~ ~  tot derivant el terme del hamiltonia que avui coneixem com el d'interacció spin-orbita i que, tant en aquesta teoria de Darwin, com en la de  aul li,^' menava a l'obtenció de (11). Aquest fet, reconegut per Dirac, és explicat per ell mateix: sYou may wonder why I did not imrnediately go on to consider the higher approximations, but the reason is that I was really scared to do so. I was afraid that, in the higher approxirnations, the results might not come right and I was so happy to have a theory that was correct in the first approxirnation that I wanted to consolidate this succes by publishing it in that form without going on to risk a failure in the higher approximations)).24 La fórmula (I) de l'estructura fina de l'electró queda finalment establerta en el marc de la teoria de Dirac per G ~ r d o n ~ ~  i a r w i n , ~ ~  que resolgueren ambdos separadament l'hamiltonia de Dirac per a l'atom d'hidrogen sense cap aproximació. 146 X. CASAMITJANA Bibliografia ' La teoria de Sommerfeld és ben explicada a: SOMMERFELD, A., c<Atombau und Spektrallinien),, Vieweg, Braunschweig, 1919; c<Atomic structure and spectral lines*, trad. de la tercera ed. alemana per H.L. BROSE, London, 1923. SCHRODINGER, . ,  Quantisierung als Eigenwertproblem, Erste Mitteilung, Ann. d. Phys., 1926, 79, 361-76; Zweite Mitteilung, ibid, 489-527; Dritte Mitteilung, Ann. d. Phys., 1926, 80, 437-90; Vierte Mitteilung, Ann. d. Phys., 1926, 81, 109-39. KHUN, T.S., <<La estructura de las revoluciones científicas,), Fondo de cultura economica, México, 1971. Citat a: KRAGH, H., The Genesis of Dirac's Relativistic theory of electrons, <<Archive for History of Exact Sciences~, 24, Springer-Verlag, 1981. PAULI, W., Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quanten- mechanik, Zs. f. Phys., 1926, 36, 336-63. ' HEISENBERG, W., JORDAN, P., Anwendung der quantenmechanik, Zs. f. Phys., 1926, 37, 263-277. KLEIN, O., Quantentheorie und fiindfdimensionale relativitatstheorie, Zs. f. Phys., 1926, 37, 895-906. RUSELL, HANSON, N. aThe Concept of Positron>). Cambridge, p. 146. MEHRA, J., The Golden Age of theoretical physics: P.A.M. Dirac's scientific work from 1924 to 1933, A. Salam & E.  Wigner ed., ccAspects of Quantum Theory,, Cambridge, 1972. p. 18. 'O Citat per: MOYER, D.F., Origins of Dirac's electron 1925-28, Am. J. Phys., 1981, 49, 10. " DIRAC, P.A.M., The fundamental equations of quantum mechanics, 1925, Proc. Roy. Soc., A109, 642-53. l2 DIRAC, P.A.M., Recollections of an Exciting Era, ccHistory of twentieth Century Physicsn, C. Weiner (ed), New York, 1927, p. 109-146. l3 DIRAC, P.A.M., Quantum mechanics and a preliminary investigation of the hydrogen atom, Proc. Roy. Soc., 1926, A110, 561-79. l4 MEHRA, J. ,  ibid. (9), p. 34. l5 DIRAC, P.A.M., On the theory of quantum mechanics, Proc. Roy. Soc., 1926, A112, 661-77. l6 MEHRA, J., ibid. (9), p. 37. l7 DIRAC, P.A.M., The physical interpretation of quantum dynamics, Proc. Roy. SOC., 1927, A113, 621-41. l8 DIRAC, P.A.M., The quantum theory of the emission and absorption of radiation, Proc. Roy. Soc., 1927, A114, 243-65. l9 DIRAC, P.A.M., ibid. (12), p. 141. DIRAC, P.A.M., The quantum theory of the electron, Proc. Roy. Soc., 1928, A117, 610-24. PAULI, W., Zur Quantenmechanik des magnetischen elektrons, Zs. f. Phys., 1927, 43, 601-23. 22 DIRAC, P.A.M., Ibid. (12), p. 142. 23 DARWIN, C.G., The electron as a vector wave, Proc. Roy. Soc., 1927, 227-53. 24 DIRAC, P.A.M., Ibid. (12), p. 143. 25 GORDON, W., Die Energieniveaus des Wasserstoffatoms nach der Diracschen Quantentheorie des electrons, Zs. f. Phys., 1928, 48, 11-14. DARWIN, C.G., The wave equation of electron, Proc. Roy. Soc., 1928, 654-80, 664. 

L'estructura fina de l'espectre de l'hidrogen. De la fórmula de Sommerfeld a l'equació de Dirac

Revistes Catalanes amb Accés Obert

SCIENTIA gerundensis, 11: 139-146, (1985) 
L'ESTRUCTURA FINA DE L'ESPECTRE DE L'HIDROGEN. 
De la formula de Sommerfeld a I'equacio de Dirac 
Xavier Casamitj ana i Vila 
Departament de Física. Col.legi Universitari de Girona. CI. Hospital, 6. 17071 Girona. 
Seminari d'Histbria de les Cikncies. Facultat de Ciirncies. Universitat Autbnoma de 
Barcelona. Bellaterra (Barcelona). 
RESUM 
En aquest treball s'analitza I'evolució hist6rica de la fórmula que descriu els nivells 
d'estructura fina de l'atom d'hidrogen des de I'antiga teoria de Sommerffeld (anys 
1915-1916) fins a la teoria de Dirac (1928). Ens fixem especialment en les aportacions 
de Dirac entre els anys 1925 i 1928, adre~ades a fonamentar les bases matematiques de 
la nova mecanica quantica. 
RESUMEN 
En el presente articulo se analiza la evolución histórica de la fórmula que describe 10s 
niveles de aestructura fina, del átomo de hidrógeno desde la teoria de Sommerfeld 
(1915-16) hasta la teoria de Dirac, aparecida en el a80 1928 en el articulo <cThe 
quantum theory of the electron*. Se estudian especialmente las aportaciones de Dirac 
entre 10s años 1925 y 1928. 
ABSTRACT 
In this work we analize the historical evolution of the fine structure of the hydrogen's 
spectrum from the old theory of Sommerfeld (1915-16) till Dirac's theory (1928-a). We 
put special emphasis on Dirac's contributions, circa 1925-1928, to the theoretical bases 
of Quantum Dynamics which led to the historical article c(The quantum theory of the 
electron), where the Relativistic Quantum theory of the electron is definitively 
established. 
Key words: Dirac, fine structure, hydrogen atom, quantum theory, relativistic quantum 
theory, Sommerfeld. 
Entre 1915 i 1916 Arnold Sommerfeld' explicava amb una teoria que partia 
de la quantitzacio d'brbites keplerianes relativistes (elslipses el periheli de 
les quals es desplaqa) els nivells d'energia de l'atom d'hidrogen amb un 
acord formidable amb l'experikncia. La fórmula que donava aquests 
140 X. CASAMITJANA 
nivells, coneguda com estructura fina de l'espectre de l'hidrogen era: 
E(n,k) = mc2{[1 + a2z2(n - k + d k2 - a2~2)-2]-1'2 - 1) (1) 
hc 
és la constant d'estructura fina de l'electró i n i k són nombres quantics tals 
que n = 1, 2.. i k varia d71 fins a n. Desenvolupant E(n,k) en potencies 
d'a fins a l'ordre a2 obtenim: 
Tant les fórmules (I) com (11) pertanyien al marc de la vella mecanica 
quantica, superada uns 10 anys més tard quan es revela insuficient per 
explicar una quantitat notable de fenomens físics. 
L'any 1926 Erwin schrodinger2 va publicar una serie d'articles que 
introdui'en les conegudes equacions que porten el seu nom: 
Aquestes equacions no eren relativistes, i per tant la seva solució per a 
l'atom d'hidrogen no podia conduir a la fórmula dels nivells d'estructura 
fina (I) quer era la correcta, encara que hagués estat trobada amb una 
teoria que ja havia estat superada. La solució de (111) porta a reobtenir els 
nivells d'energia de l'atom de Bohr (serie de Balmer): 
Els diferents intents de reabsorbir un resultat antic en el marc d'una 
nova teoria són freqüents a la historia de la ~ i b n c i a . ~  Schrodinger havia 
provat en va d'obtenir una teoria relativista de l ' e le~tró .~  Pauli deduí la 
fórmula de Balmer en el marc de la mecanica de matrius,' pero tampoc 
aconseguí d7incloure els efectes relativistes en la teoria. Finalment Heisen- 
berg i ~ o r d a n ~  el marG de 1926 varen deduir (11) per6 no (I), concebint un 
hamiltonia format, a més dels termes habituals, per dues pertorbacions, 
una referida a l'spin i l'altre incloent-hi termes relativistes. Oscar ~ e l i n , ~  
l'abril de 1926 va proposar el que avui coneixem com a equació de 
Klein-Gordon, ja que també va ser treballada per Walter Gordon, i que 
per a molts físics semblava que havia de ser el bon camí en la resolució del 
problema relativista de l'electró: 
ESPECTRE DE L'HIDROGEN 141 
P.A.M. DIRAC 
La fórmula (I) que descriu l'estructura fina de l'espectre de l'hidrogen no 
fou obtinguda fins l'any 1928 quan Dirac desenvolupa una teoria relativista 
que representa un avens fonamental en la física quantica. En paraules de 
Norwood Rusell Hanson: 
ccTheoretica1 Physics has rarely witnessed such a powerful unification of 
concepts, data, theories and intuitions: Newton and universal gravitation; 
Maxwell and electrodynamics; Einstein and special relativity; Bohr and the 
hydrogen atom; These are high spots before Dirac. From a chaos of 
apparently unrelated ideas, Newton in his way and now Dirac in his, built a 
logically powerful and conceptually beautiful physical ~heoryu .~  
Pau1 Adrien Maurice Dirac va neixer a Bristol el 8 d'agost de l'any 1902 
i segons paraules d'un bibgraf: 
<<Pau1 was an introvert and being often silent and alone devoted himself 
to the quiet contemplation of naturew.9 
Va ésser estudiant d'enginyeria a la universitat de Bristol i més tard, la 
tardor de 1923, va anar a Cambridge on comensa la seva brillant carrera 
com a físic tebric de la m i  de R.H. Fowler. 
Quan Dirac arribi a Cambridge Sir Joseph Larmor tenia la menció 
especial de professor c<lucasii>) de matematiques. Aquesta distinció, que 
Newton havia també obtingut, l'obtindria Dirac 9 anys després de la seva 
arribada. 
Les primeres publicacions de Dirac foren sobre termodinhmica, mecini- 
ca estadística, relativitat i mecanica quantica antiga. Després d'aquestes 
vingueren les més importants, adregades a fonamentar tebricament les 
bases de la mecanica quintica. Anem a fer un breu resum de les seves 
principals aportacions entre els anys 1925 i 1928. 
El setembre de l'any 1925, Fowler li va donar l'esborrany d'un article de 
Heisenberg que el va fer adonar que: ((la no commutació era la característi- 
ca dominant de la teoria de Heisenberg i la clau d'una teoria general de la 
mecanica q~anticau.'~ Aquell mateix any Dirac publica: aThe fundamental 
equacions of quantum mechanicsw," on s'estableix un pont entre el 
formalisme de la mecanica classica i la mecinica quantica, mitjansant una 
correspondkncia entre els commutadors de Heisenberg i els claudators de 
Poisson de manera que: aLa difergncia entre els productes de Heisenberg de 
dues quantitats quantiques és igual a ih12n cops el seu clauddtor de Poissonu: 
Aquesta troballa és explicada per Dirac en uns apunts bibliogrifics: 
alt was during one of the Sunday walks in october 1925, when I was 
thinking very much about this "uv-vu" in spite of my intention to relax, that I 
142 X. CASAMITJANA 
thought about Poisson brackets. .. I did not remember very well what a 
Poisson bracket was ... It was really a very disturbing situation, and it 
became imperative for me to brush up my knowledge of Poisson brackets ... 
There was just nothing I could do because it was Sunday evening and the 
libraries were all closed ... The next morning I hurried along to one of the 
libraries as soon as it was open and then I looked up Poisson brackets in 
Whittaker's Analytical Dynamics)).12 
En el següent article, l'any 1926: ccQuantum mechanics and a prelimina- 
ry investigation of the hydrogen atomu,13 Dirac desenvolupa les idees 
basiques de l'hlgebra dels ccq-numbers)), una nova classe de variables no 
commutatives i que avui identificariem com operadors i que compleixen les 
relacions: 
(VIII) 
A continuació Dirac dedueix la fórmula de Balmer ja trobada per Pauli en 
el marc de la mecanica de matrius en un article publicat 5 dies abans que el 
de ~ i r a c . '  
És important assenyalar el fet de que els matemgtics, i entre ells 
principalment Hilbert, ja coneixien els problemes de la mecanica de 
matrius i que havien desenvolupat teories d'algebra no commutativa, per6 
Dirac independentment va descobrir els aspectes que necessitava pel seu 
treball. En aquest sentit opinava: 
nI could turn to algebra when I had the basic ideas given. But to get the 
new basic ideas I worked geometrically. Once the ideas are established one 
can put them into' algebraic form and one can proceed to deduce 
c o n s e q ~ e n c e s ~ ) ~ ~  
El mateix any de 1926 publica: .On the theory of quantum 
mechanicsu,15 on dedueix el que avui coneixem com estadística de 
Fermi-Dirac, ja que previament havia estat també trobada per Fermi. 
Aquest fet era ignorat per Dirac: 
a l  had read Fermi's paper about Fermi statics and forgotten it completely. 
When I wrote up my work on the unti-symmetric wave functions, I just did 
not refer to it at all. Then Fermi wrote and told me and I remembered that I 
had previously read about itw.16 
En aquest mateix article, desenvolupa una teoria de pertorbacions 
dependents del temps, que aplicada a un sistema atbmic li permet derivar 
l'expressió d'Einstein per a l'emissió estimulada, tot assenyalant la impossi- 
bilitat de poder tractar l'emissió espontania en el marc d'aquesta teoria. 
Caldria esperar l'any següent, en que ell mateix desenvoluparia una nova 
quantificació que faria aixb possible. 
ESPECTRE DE L'HIDROGEN 143 
L'any 1927, en un article fonamental: ~ T h e  physical interpretation of 
quantum dynamicsw,17 Dirac mostrari clarament l'equivalkncia entre la 
mecanica de matrius de Heisenberg i la interpretació ondulatoria de 
Schrodinger. En aquest treball s7introdueix la funció avui coneguda com: 
<(delta de Dirac,): 
~_+,"dxti(x) = 1 (1x1 
i també unes funcions de transformació, que avui identificaríem com a 
crbracketsn. Utilitzant aquestes funcions, Dirac escriu la transformació 
general: 
g(5' 5") = JJ(~'la7)da'g(a'7a'7)da"(a'71~7') 
i l'equació de Schrodinger: 
donant-li un nou significat: 
aThe eigenfunctions of Schrodinger's wave equation are just the transfor- 
rnation functions.. . that enable one to transform to a scheme in which the 
harniltonian is a diagonal rnatrix)). 
El pont entre les dues formulacions de la mecanica quintica queda 
definitivament establert. 
Entre els anys 1926-27 Dirac visiti Copenhaguen i Gottingen on es 
relacioni amb nombrosos físics de l'epoca. A Copenhaguen passava molt 
de temps al ccBohr7s Institute), on quedi fortament impressionat per la 
personalitat del propi Bohr. Durant 17estada a Copenhaguen, Dirac 
escrigué: aThe quantum theory of the emission and absorption of 
radiation)),18 on introdueix el formalisme de quantificació del camp 
electromagnetic, que avui coneixem com ((segona quantificación, per 
distingir-la de la primera quantificació, imposada per l'equació de Schro- 
dinger . Aquestes relacions les escriu: 
i serveixen per donar propietats de ccquant de llum,, a la radiació. En 
l'article esmentat Dirac puntualitza: 
(<The light quanturn has the peculiarity that it apparently ceases to exist 
when it is in one of its stationary states, namely, the zero state.. . When a light 
quantum is absorbed it can be considered to jump into this zero state, and 
when one is emitted it can be considered to jump from the zero state to one in 
which it is physically in evidence, so that it appears to have been createds. 
144 X. CASAMITJANA 
L 'EQUACI~  RELATIVISTA DE L'ELECTR~ 
Des del 24 fins el 29 d'octubre de 1927, Dirac participi en el ((Fifth Conseil 
Solvay of physics,,, trobada de físics en la que coincidiren Einstein, Bohr, 
Ehrenfest, Debye, Born, Heisenberg, Kramers, Compton, De Broglie, 
Pauli, Schrodinger i Planck. En aquest temps Dirac tenia ccin menten el 
problema de l'equació relativista de l'electró. Ell mateix ens ho explica: 
ccThere is one incident that I remember about this Solvay conference. 
During the period before the lecture on one occasion, Bohr came up to me 
and asked me: "What are you working on now?". I said "I  amb trying to get 
a relativistic theory of the electron". Then Bohr said, "But Klein has already 
solved this problem". I was a bit taken aback by this. I began to explane that 
Klein's solution of the problem, based on the Klein-Gordon equation, was 
not satisfactory because it could not be fitted in whith my general 
interpretation for quantum mechanics. However I was not able to explain 
very much to Bohr before the start of the lecture interrumpted our 
conversation, and I had to leave the question rather in the a i r ~ . ' ~  
Dirac, no gens satisfet amb l'equació de Klein-Gordon com a solució al 
problema relativista de l'electró, es posi a treballar en aquest tema i l'any 
1928 publica: .The quantum theory of the e l e c t r ~ n ) ~ . ~ ~  En la introducció 
d'aquest histbric article, Dirac assenyala el fet de que per fer 'front als 
problemes de la duplicitat de les ratlles espectrals Goudsmith i Uhlenbeck 
haguessin introdui't la idea de l'spin desenvolupada posteriorment per Pauli 
i Darwin i que conduia a l'obtenció de l'estructura fina de l'hidrogen fins 
l'ordre d'aproxima,ció donat per (11). També es pregunta el perquk la 
natura ha escollit aquest model en lloc d'haver-ne triat un de cirrega 
puntual, i argumenta que en aquest article mostrari que les teories 
anteriors eren incompletes en el sentit de no ser relativistes i que: 
c<Zt appears that the simplest hamiltonian for a point charge electron 
satisfying the requirements of both, relativity and the general transformation 
theory leads to un explanation of all duplexity phenomena without further 
assumption)). 
Per resoldre I'itom d'hidrogen ja no caldri, com feren Heisenberg i 
~ o r d a n ~  i pauli2', introduir l'spin, sinó que aquest seri una conseqiikncia 
bbvia de la conservació del moment angular. Dirac també remarca una 
dificultat de l'equació de Klein-Gordon que rau en la possible existkncia de 
solucions d'energia negativa, per6 adverteix que ell no podri resoldre 
aquest problema, i que en el seu hamiltonii també apareixeran aquests 
tipus de solucions. La identificació de les solucions d'energia negativa amb 
els positrons fou un procés complicat, que passi per la teoria dels ((forats>>, 
que no descriurem aquí, ja que mereix per si sola un altre article. 
Recordem que el positró no fou trobat experimentalment fins a l'any 1932 
per Anderson. 
ESPECTRE DE L'HIDROGEN 145 
Continuant la descripció de l'anterior article, Dirac vol que l'equació 
buscada s'interpreti en la seva teoria general de funcions, és a dir que: 
(H - W)I) = O (XIII) 
i que sigui lineal amb p0,p1,p2,p3 essent: 
iR a p - -  - ili a O - p1,2,3 = - - - 
c at aX~ ,2 ,3  
En base a aixb i seguint el seu gust innat de <(jugar amb les equacions)),22 
escolleix un hamiltonia que en abskncia de camp electromagnktic és de la 
forma: 
D'on dedueix que les a i les són matrius 4 x 4  relacionades amb les 
matrius 2 x 2  de la teoria de Pauli, i la funció d'ona I) és un vector de 4 
components. 
Pel cas d'un electró en predncia de camp electromagnktic, l'equació 
(XV) convenientment modificada per la predncia del camp, porta implícita 
la idea de l'spin, ja que l'hamiltonia commuta amb un moment angular de 
la forma: 
<<We can interpret this result by saying that the electron has a spin angular 
rnomenturn of 1 ho, which added to the orbital momentum m, gives the 
total angular momentum M, which is a constant of rnotionu. 
Finalment, Dirac no dedueix la fórmula (I) per a l'atom d'hidrogen, 
com seria factible suposar, sinó que es conforma amb demostrar que en el 
primer ordre d'aproximació la seva teoria és idkntica a la de ~ a r w i n , ~ ~  tot 
derivant el terme del hamiltonia que avui coneixem com el d'interacció 
spin-orbita i que, tant en aquesta teoria de Darwin, com en la de  aul li,^' 
menava a l'obtenció de (11). Aquest fet, reconegut per Dirac, és explicat 
per ell mateix: 
sYou may wonder why I did not imrnediately go on to consider the 
higher approximations, but the reason is that I was really scared to do so. I 
was afraid that, in the higher approxirnations, the results might not come 
right and I was so happy to have a theory that was correct in the first 
approxirnation that I wanted to consolidate this succes by publishing it in that 
form without going on to risk a failure in the higher approximations)).24 
La fórmula (I) de l'estructura fina de l'electró queda finalment 
establerta en el marc de la teoria de Dirac per G ~ r d o n ~ ~  i a r w i n , ~ ~  que 
resolgueren ambdos separadament l'hamiltonia de Dirac per a l'atom 
d'hidrogen sense cap aproximació. 
146 X. CASAMITJANA 
Bibliografia 
' La teoria de Sommerfeld és ben explicada a: SOMMERFELD, A., c<Atombau und 
Spektrallinien),, Vieweg, Braunschweig, 1919; c<Atomic structure and spectral 
lines*, trad. de la tercera ed. alemana per H.L. BROSE, London, 1923. 
SCHRODINGER, . ,  Quantisierung als Eigenwertproblem, Erste Mitteilung, Ann. d. 
Phys., 1926, 79, 361-76; Zweite Mitteilung, ibid, 489-527; Dritte Mitteilung, Ann. 
d. Phys., 1926, 80, 437-90; Vierte Mitteilung, Ann. d. Phys., 1926, 81, 109-39. 
KHUN, T.S., <<La estructura de las revoluciones científicas,), Fondo de cultura 
economica, México, 1971. 
Citat a: KRAGH, H., The Genesis of Dirac's Relativistic theory of electrons, 
<<Archive for History of Exact Sciences~, 24, Springer-Verlag, 1981. 
PAULI, W., Über das Wasserstoffspektrum vom Standpunkt der neuen Quanten- 
mechanik, Zs. f. Phys., 1926, 36, 336-63. 
' HEISENBERG, W., JORDAN, P., Anwendung der quantenmechanik, Zs. f. Phys., 
1926, 37, 263-277. 
KLEIN, O., Quantentheorie und fiindfdimensionale relativitatstheorie, Zs. f. Phys., 
1926, 37, 895-906. 
RUSELL, HANSON, N. aThe Concept of Positron>). Cambridge, p. 146. 
MEHRA, J., The Golden Age of theoretical physics: P.A.M. Dirac's scientific work 
from 1924 to 1933, A. Salam & E.  Wigner ed., ccAspects of Quantum Theory,, 
Cambridge, 1972. p. 18. 
'O Citat per: MOYER, D.F., Origins of Dirac's electron 1925-28, Am. J. Phys., 1981, 
49, 10. 
" DIRAC, P.A.M., The fundamental equations of quantum mechanics, 1925, Proc. 
Roy. Soc., A109, 642-53. 
l2 DIRAC, P.A.M., Recollections of an Exciting Era, ccHistory of twentieth Century 
Physicsn, C. Weiner (ed), New York, 1927, p. 109-146. 
l3 DIRAC, P.A.M., Quantum mechanics and a preliminary investigation of the 
hydrogen atom, Proc. Roy. Soc., 1926, A110, 561-79. 
l4 MEHRA, J. ,  ibid. (9), p. 34. 
l5 DIRAC, P.A.M., On the theory of quantum mechanics, Proc. Roy. Soc., 1926, 
A112, 661-77. 
l6 MEHRA, J., ibid. (9), p. 37. 
l7 DIRAC, P.A.M., The physical interpretation of quantum dynamics, Proc. Roy. 
SOC., 1927, A113, 621-41. 
l8 DIRAC, P.A.M., The quantum theory of the emission and absorption of radiation, 
Proc. Roy. Soc., 1927, A114, 243-65. 
l9 DIRAC, P.A.M., ibid. (12), p. 141. 
DIRAC, P.A.M., The quantum theory of the electron, Proc. Roy. Soc., 1928, 
A117, 610-24. 
PAULI, W., Zur Quantenmechanik des magnetischen elektrons, Zs. f. Phys., 
1927, 43, 601-23. 
22 DIRAC, P.A.M., Ibid. (12), p. 142. 
23 DARWIN, C.G., The electron as a vector wave, Proc. Roy. Soc., 1927, 227-53. 
24 DIRAC, P.A.M., Ibid. (12), p. 143. 
25 GORDON, W., Die Energieniveaus des Wasserstoffatoms nach der Diracschen 
Quantentheorie des electrons, Zs. f. Phys., 1928, 48, 11-14. 
DARWIN, C.G., The wave equation of electron, Proc. Roy. Soc., 1928, 654-80, 
664. 


https://dugi-doc.udg.edu/bitstream/10256/5199/1/45182.pdf

L'estructura fina de l'espectre de l'hidrogen. De la fórmula de Sommerfeld a l'equació de Dirac

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

DUGiDocs – Universitat de Girona

Revistes Catalanes amb Accés Obert