Miquel, V.

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Pub . Mat . UAB
N° 21 Oct . 1980
Actes VII JMHL
EL LEMA DE GAUSS PARA LA CONEXION CARACTERISTICA DE UNA VARIE-
DAD CASI-HERMITICA
V . Miquel Molina
Dpto . de Geometría y Topología
Universidad de Valencia
Sean (M, <,>,J) una variedad casi-hermítica, D su conexión
característica, i .e ., la única conexión verificando
(i)
	
D<,> =0
(ü) DJ =
(iii) T(x,Y) _ -T(JxsJY)
donde T es la torsión de D .
Sea d(m,p) la distancia entre dos puntos m y p de M medida
a lo largo de la geodésica que une m con p . Se define la esfera geodé-
sica asociada a la conexión D como
SZ (r) = í ps M / 6 ( p) = Y}
El teorema de Gauss para la conexión de Levi-Civita de una
variedad riemanniana establece la ortogonalidad entre las geodésicas
y las esferas geodésicas asociadas a esta conexión . Nos proponemos a
quí caracterizar las variedades casi-hermíticas en las que se sigue ve-
rificando el lema de Gauss para la conexión característica .
DEFINICION : Una conexión D sobre una variedad riemanniana
(M ; <,>) se dice que es métrica si y sólo sí D<,>= 0 .
PORPOSICION (2) : una conexión métrica D sobre una variedad
de Riemann tiene las mismas geodésicas que la conexión de Levi-Civita
p si y sslo sí Z T (z, Y), Y > = 0 VA yE x (M)
TEOREMA : Sea (M ; <,» una variedad de Riemann y D una conexión
métrica sobre ella . El lema de Gauss se verifica para las geodésicas
y esferas geodésicas asociadas a D si y sólo sí
	
¿, T(X,Y),Y i =
DE140STRACION : Si D tiene las mismas geodésicas que Y,
S(Y) _ S (Y) y el lema de Gauss se verifica trivialmente .
Supongamos que se virifica el lema de Gauss para D. Sea
c(s) una curva en Mm (espacio tangente a M en m) tal que IIC(SU .= 1° .
Sea expm la aplicación asociada a D . Consideremos la superficie
o( 1t, S) = ezp, ( t c (5))
Para cada so fijo, t (t~ V es
$ h~s f (c ,S) es una curva sobre S (~)
te a la geodésica A'(t,S) en 4'~ ,5)0
te a la curva d(to,s) en el punto
establece que
por tanto
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como
z 918s (fo,so)
como D es métrica,
á ~ aá a~ >
91: 95 ~~
«%,50 ) . El
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Teniendo en cuenta que
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t 1---p at lt, S) es una geodésica y
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I 9 as a~ a c r a'<
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t o1It, S) es una geodésica,
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72
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Sea p 5M, YpE Mp , II Y
ca tangente a Y
P
en p . Sea
definido sobre MNI3) ( .8W=0-
una geodésica, y para cada to fijo,
El vector (a~/~ r) 1 é, sJ es tangen-
y el vector (a"0/dt),,, ,)e. tangen-
lema de Gauss, pues,
un punto
Reparametricemos
as~~
I I c (s) )I
z = r~
que Leí 1 at
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Sea (3If) la única geodési-
de ~(t) tal que expq esté
de modo que 9=110)
Entonces existe un V E MI) ilu1)=í tal que
	
~ H =
P= exl vv y P~
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Sean X1 , . . . 9Xn-1 vectores
ortonormales en Mp tangentes a
S (1- ) . Tomemos ci (s) curvas sobre Mq verificando
Definamos
~~ (t, s ) . ezp~ (t c,(s))
se tiene entonces
y,
y
y
__ d0.'
e
'
p at ~ft,ol
X i =
as Il ol
por verificarse el lema de Gauss, aplicando (1) se tiene
<T(Xc,Yp),Yp> =o
como {Xi, Yp j es una base ortonormal en p,
como YP E MP y p6 M son arbitrarias, el teorema queda demostrado .
PROPOSICION (3) : Una veriedad casi-hermit¡ea (M-G,7;J) es
Nearly-Kaehleriana si y sólo si el tensor torsión T de la conexión ea
racteristica D verifica ~ T()í,0 , Y i =
COROLARIO : La conexión característica de una variedad casi-
hermitica M verifica el lema de Gauss si y sólo si M es Nearly-
-Kaehleriana .
BIBLIOGRAFIA
e% tv, al 5pP)=r
(1) J . MILNOR : "Morse Theory", Princeton University Press, 1 .963 .
(2) V . MIQUEL, A .M . NAVEIRA : "Sur la relation entre la function volume
de certaines boules géodésiques et la géometrie d'une variété
riemanniene" . C .R . Acad . Se . París . t 290, 379-381, (1 .980) .
(3) V . MIQUEL : "Volumes of certain small geodesic balls and almost-
hermitian geometry" . (Pendiente de publicación) .


El lema de Gauss para la conexión característica de una variedad casi-hermítica

Miquel Molina, V.

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Pub . Mat . UABN° 21 Oct . 1980Actes VII JMHLEL LEMA DE GAUSS PARA LA CONEXION CARACTERISTICA DE UNA VARIE-DAD CASI-HERMITICAV . Miquel MolinaDpto . de Geometría y TopologíaUniversidad de ValenciaSean (M, <,>,J) una variedad casi-hermítica, D su conexióncaracterística, i .e ., la única conexión verificando(i)	D<,> =0(ü) DJ =(iii) T(x,Y) _ -T(JxsJY)donde T es la torsión de D .Sea d(m,p) la distancia entre dos puntos m y p de M medidaa lo largo de la geodésica que une m con p . Se define la esfera geodé-sica asociada a la conexión D comoSZ (r) = í ps M / 6 ( p) = Y}El teorema de Gauss para la conexión de Levi-Civita de unavariedad riemanniana establece la ortogonalidad entre las geodésicasy las esferas geodésicas asociadas a esta conexión . Nos proponemos aquí caracterizar las variedades casi-hermíticas en las que se sigue ve-rificando el lema de Gauss para la conexión característica .DEFINICION : Una conexión D sobre una variedad riemanniana(M ; <,>) se dice que es métrica si y sólo sí D<,>= 0 .PORPOSICION (2) : una conexión métrica D sobre una variedadde Riemann tiene las mismas geodésicas que la conexión de Levi-Civitap si y sslo sí Z T (z, Y), Y > = 0 VA yE x (M)TEOREMA : Sea (M ; <,» una variedad de Riemann y D una conexiónmétrica sobre ella . El lema de Gauss se verifica para las geodésicasy esferas geodésicas asociadas a D si y sólo sí	¿, T(X,Y),Y i =DE140STRACION : Si D tiene las mismas geodésicas que Y,S(Y) _ S (Y) y el lema de Gauss se verifica trivialmente .Supongamos que se virifica el lema de Gauss para D. Seac(s) una curva en Mm (espacio tangente a M en m) tal que IIC(SU .= 1° .Sea expm la aplicación asociada a D . Consideremos la superficieo( 1t, S) = ezp, ( t c (5))Para cada so fijo, t (t~ V es$ h~s f (c ,S) es una curva sobre S (~)te a la geodésica A'(t,S) en 4'~ ,5)0te a la curva d(to,s) en el puntoestablece quepor tantoy'comoz 918s (fo,so)como D es métrica,á ~ aá a~ >91: 95 ~~«%,50 ) . El9'< . o'(tso )a t<á ~'ár 5+< ás ~Dá`>=oTeniendo en cuenta queresultaatást 1---p at lt, S) es una geodésica ya~c a~t a~ a¿< ad a~I 9 as a~ a c r a'<s at ` 9t > } t' W att o1It, S) es una geodésica,a 'aty, por lo tanto,rifw(~~el~~~lt)I) _ ~l72L-' 6"<< at ' gb >10,s)-r(áa 1 2~~ ) > =0at asSea p 5M, YpE Mp , II Yca tangente a YPen p . Seadefinido sobre MNI3) ( .8W=0-una geodésica, y para cada to fijo,El vector (a~/~ r) 1 é, sJ es tangen-y el vector (a"0/dt),,, ,)e. tangen-lema de Gauss, pues,un puntoReparametricemosas~~I I c (s) )Iz = r~que Leí 1 at=0~Sea (3If) la única geodési-de ~(t) tal que expq estéde modo que 9=110)Entonces existe un V E MI) ilu1)=í tal que	~ H =P= exl vv y P~exPI.* V (considerando VESean X1 , . . . 9Xn-1 vectoresortonormales en Mp tangentes aS (1- ) . Tomemos ci (s) curvas sobre Mq verificandoDefinamos~~ (t, s ) . ezp~ (t c,(s))se tiene entoncesy,yy__ d0.'e'p at ~ft,olX i =as Il olpor verificarse el lema de Gauss, aplicando (1) se tiene<T(Xc,Yp),Yp> =ocomo {Xi, Yp j es una base ortonormal en p,como YP E MP y p6 M son arbitrarias, el teorema queda demostrado .PROPOSICION (3) : Una veriedad casi-hermit¡ea (M-G,7;J) esNearly-Kaehleriana si y sólo si el tensor torsión T de la conexión earacteristica D verifica ~ T()í,0 , Y i =COROLARIO : La conexión característica de una variedad casi-hermitica M verifica el lema de Gauss si y sólo si M es Nearly--Kaehleriana .BIBLIOGRAFIAe% tv, al 5pP)=r(1) J . MILNOR : "Morse Theory", Princeton University Press, 1 .963 .(2) V . MIQUEL, A .M . NAVEIRA : "Sur la relation entre la function volumede certaines boules géodésiques et la géometrie d'une variétériemanniene" . C .R . Acad . Se . París . t 290, 379-381, (1 .980) .(3) V . MIQUEL : "Volumes of certain small geodesic balls and almost-hermitian geometry" . (Pendiente de publicación) .

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