Nart, Enric

Vila, N.

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Pub . Mat . UAB
Ns 13, Julio] . 1979
SOBRE L'EXISTÉNCIA D'EQUACIONS QUE REALITZEN S n I An COM A
GRUPS DE GALOIS D'UN COS DE NÚMEROS .
E .Nart i N.Vila
Secció de Matemátiques de la Universidad Autónoma de Barcelona
El problema invers de la teoria de Galois consis-
teix en determinar 1'existéncia d'extensions de Galois d'un
cos donat amb grup de Galois un grup finit donat .
Hilbert,a 1'any 1892, al mateix treball on demostra
el seu teorema d'irreduibilitat [3], resol el problema per
ale coseos de números i per ale grups simétric Sn i alter-
nat An , per a tot n>1 .
El métode de Hilbert consisteix en construir un po-
-linomi amb coeficiente a una extensió K = k(T 1 , ,Tr ) pu-
rament transcendent del cos de números donat k, que resol
gui el problema sobre K i provar després que existeixen
substitucions Ti= ti , i=1, . .,r per elements de k que fan
que el polinomi amb coeficiente a k que així s'obté conti-
nui complint que el seu grup de Galois (ara sobre k) és el
desitjat .
En el cae del grup simétric Sn ,
	
1'equacib general
de grau n ja resol el problema . En el cae del grup alternat
An , Hilbert construeix les equacions explicitament i per
demostrar que resolen el problema a K es basa en un article
de Hurwitz [4], on per métodes purament analitics s'estu-
dien condicions perqué el grup de monodromia de la superfí-
cie de Riemann associada,a aquestes equacions, (que és iso-
morf de manera natural al grup de Galois que s'está trac-
tant (vegis [8],pág.101)) sigui el grup alternat An .
En aquesta nota presentem aquests resultats actua-
litzant les demostracions i tot el llenguatge en general,
fent-ho de la manera més algebraica possible .
Donat un cos M i un polinomi hEM[X] denotarem per
GM (h) el grup de Galois de h sobre M .
Teorema (d'irreduibilitat de Hilbert) 1 . Sigui k un cos de
números i FEk[T1, . .,Tr ;X1, . .,Xs],r,s>-1 un polinomi irredui-
ble- Aleshores existeixen infinites r-tuples (t1, . .,tr)E 71r
tals que el polinomi F(t1, . .,tr ;X1, . .,Xs)E k[X l , . .,XS 1 és
encara irreduible .
	
&&
Veiem a continuació que aquest teorema és Peina
clau que permet traslladar el problema a una extensió pura-
ment transcendent del cos donat .
En primer lloc recordem el teorema d'irreduibilitat
de Hilbert (per la demostració vegis j3i o be 12J) .
Corol .lari 2 . Sigui k un cos de números i K = k(T1, . . .Tr),
rzl, una extensió purament transcendent de k . Donat un po-
linomi F--- K[X],existeixen infinites r-tuples t=(t l , . .,tr )E71r
tals que el polinomi F t (X) := F(t1, . .,tr ;X) de k[X] satisfá
80
GK (F)=
	
Gk (Ft ) .
Demostració .
Sigui N el cos de descomposició de F sobre K, sigui
A = k[T1, . .,Tr] i B la clausura entera de A dins N . Siguin
bEB un element tal que N=K(b) i HE A[X] el polinomi minimal
de b sobre K .
Pel teorema d'irredulbilitat podem prendre una
r-tupla t=(t l , . .,tr )E'71r tal que el polinomi Ht (X)Ek[X] si-
gui irreduible .
Considerem 1'ideal primer de A p= (T1-tl, . .,Tr-tr) ,
i siguin e,f,g 1'índex de ramificació, grau residual i nú-
mero d'ideals primers de B sobre p a N/K respectivament .
Sigui ~ un ideal primer de B sobre p i siguin
L1~,I~cGK(F) els grups de descomposició i d'inércia corres-
ponents . Siguin !=A/p, N=B/~ els respectius cossos res¡~
duals . Clarament R=k, per tant el cos R té característica 0
i 1'extensió Ñ/R és separable . Es té doncs que Ñ/R és de
Galois i G(N/K)= V /IP (vegis [7],prop .20,Cap .I) .
Com que H =_ Ht (mbd .p) es té que H és irreduible m8-
dulgp, per tant f>-n, on n=[N :K] . De la relacib efo.=n s'obté
que f=n i e=g=1, d'on D~p= G(N/K) i IT=1 . Per tant :
GK(F) = G(N/K) = G(N/K) = Gk(Ft) . &&
Aplicant aquest resultat a l'equació general de grau
n s'obté el següent :
Teorema 3 . Sobre qualsevol cos de números existeixen infi-
nites extensions de Galois de grup de Galois isomorf a Sn.&&
Per tenir el mateix resultatper al grup alternát An
s'ha de construir un polinomi de K[X], K purament transcen-
dent sobre el cos de números donat k, de grup de Galois An
sobre K .
La idea de Hilbert consisteix en construir un poli-
nomi FEQ(T)[X] que satisfaci les dues condicions :
(1)
	
D(F) E 0(T),
(2) GC(T) (F) _ An ,
on D(F) és el discriminant de F, és a dir D(F) = fl (xi -x
j
) 2 ,
i<j
sent x l , . .,xn les arrels de F a una clausura algebraica de
4? (T) .
i
La condició (1) és equivalent a que Gk(T) (F)c:An , de-
gut a'-que una permutació de les xi 's deixa invariant /D-(F) =
= fl (xi -xj
) sí . nomss _sí é.. una permutac_ parella .
i<j
La condició (2) ens dóna 1'altra inclusib ja que
trivialment GC(T) (F)C Gk(T) (F) .
La construcció d'aquest polinomi F varia segons la
paritat de n .
Cas n parell
Siguin r=(n-2)/2 (n>2) i a l , . ., ar enters positius
diferents entre si . Sigui fEQ)[X] 1'Cnic polinomi satisfent
f(0)=0 i tenint per derivada :
82
f' = n X (X-a1 ) 2 . . . " (X-ar)2 .
Per x>0, f'(x) és positiu, és a dir que f és estrictament
creixent i per tant es té :
f(ai )~0,
	
per i=1, . ., r ; f(a i )y!f(aj ), per igéj .e
Considerem el polinomi F=f+T2 EQ(T)[X] . Utilitzant
el conegut fet de que la resultant de dos polinomis es pot
expressar en termes del producte dels valors que pren un
qualsevol d'ells a les arrels de 1'altre (vegis t9],sec .28)
es té en aquest cas :"
és a dir,
D (F) = R(F,F') = nn F(0) " F(a1)2 " . . . " F(ar)2 .
r
D (F) = nn T2	II(T2+f(ai))2,
i=1
i per tant DE t)(T) .
Així doncs, el polinomi F satisfá (1) . Per veure que
satisfá (2) utilitzarem el següent lema :
Lema 4 . Sigui G un subgrup transitiu de An , és a dir, un
subgrup de An que opera transitivament en el conjunt d'in-
dexs X ={1,2, . . .n} sobre el qual actua An . Si G está generat
per 3-cicles, aleshores G=An .
Demostració .
Si YCX denotem per A(Y) el subgrup de An de les per-
mutacions que deixen els elements de Y-X fixos .
Si (1,2,3)EG és un deis generadors A({1,2,3})c G .
Així doncs, existeix un subconjunt YcX contenint al menys
tres elements tal que A(Y)cG . Si Y=X ja hem acabat . Si Y q X
existeix un 3-cicle (i,j,k)EG tal que ¡EY, j5¿Y, ja que en
cas contrari, com que G está generat per 3-cicles permutaria
els elements de Y entre ells mateixos i els de X-Y també en-
tre ells, en contra de la transitivitat .
Siguin r,sEY, r9¿i,k, syÉi,k ; tenim la relacib :
i per tant (r,j,k)EG,V rEY-{k} . D'aquí deduim que A(YU{j,k})cG
ja que els elements (r,j,k) variant rEY-{k}generen A(YU{j,k}) .
Repetint l'argument es té que G=A(X) .
	
&&
Veiem finalment que GC(T) (F) - An .
Denotem L=C(T), A=C[T], G=GL (F) . Es té Gc:Gk(T) (F)cAn .
Sigui b una arrel de F a una clausura algebraica 2 de L i si-
gui I=S2 el cos de descomposició de F . i
Proposició 5. Siguin B,C la clausura entera de A dins L(b),
N respectivament . Aleshores els grups d'inIIrcia de 1'extensib
N/L relatius als ideals primers de C s6n o bé trivials o bé
generats per un 3-cicle .
Demostració .
p o = (T) ; P j = (T+ -
Aquests s6n tots els ideals primers de A que divideixen el
discriminant de F, per tant s6n els únics ideals primers de A
que poden ramificar a B i per tant (vegis j'6],pág .217) s6n
els únics que poden ramificar a C .
Per tot ideal primer p de A, el cos residual A/p és
isomorf a C i per tant els graus residuals s6n sempre iguals
a 1 .
84
(i,r,s)(i,j,k)(i,s,r) = (r,j,k),
Considerem els següents ideals primers de A :
j+r = (T-~-f(aj ) ) . j=1, . .,r .
Per iyÉ0, la imatge de F a A/pi [X] és el polinomi
f-f(ai ) que té al com arrel triple i totes les altres sim-
ples, ja que per a tot ajysai és f(aj)-f(ai )~0 i també és
f(0)-f(ai)9¿0 .
Per i=0, la imatge de F a A/p0[X] és f, que té x=0
com arrel doble i totes les altres simples .
Pel lema de Hensel ([1],Cap .4,sec .3,t .2) tenim que F
descomposa al completat de L respecte de p i , que el denota-
rem L
pi
, de la manera següent :
per i7É0, F=gi~o " . . . " gi,n-3' gr(gi~0) =3 . gr(gi~j) = 1 per.j>0,
per i=0, F=h0' . . .'hn-2, gr(h 0 )=2, gr(hj )=1 per j>0 .
Siguin p un qualsevol dels p i 's per i=0,1, . .,2r i
un ideal primer de C sobre p .
	
Siguin b1 , . . . ,bn les arrels de
F a una clausura algebraica de L. . Aleshores :
N =NLp=Lp(b1, . . . . bn) . (vegis [7],Cap.II,sec .3) .
Com que en el nostre cas b¡ EL per i>-4, es té Np=Lp (bl ,b21 b3 ),
per tant YS3 i com que d'altra banda IlcGcAn , tenim que
CA 3 i per tant és o bé trivial o bé generatIper un 3-cicle .
Sigui I el subgrup de G generat per tots els grups
d'inércia i M el cos fix per I . Clarament M és la máxima sub-
extensió n0-ramificada de N/L . Ara bé, la fórmula del génere
de Hurwitz ([5],pág .25) :
on gM i gL sbn els géneres de M i L respectivament, er ; .
que L=C(T) no admet extensions no-ramificades . Per tani.
és a dir I=G . En consequéncia G está generat per 3-cicles .
D'altra banda, pensant F = T2+f com un element de
C[X][T] es veu clar que F és irreduible ja que -f no és un
quadrat a C[X] . En consequéncia G és transitiu . Aplicant el
lema 4,
	
s'obté que G=An .
Cas n- imparell
2gM-2 = [M :L](29L-2) + £ (e,P-1)
Siguin r=(n-1)/2, a l ar enters positius dife-
rents entre si i a = -1/2 E (1/a 2 . Considerem el poli~
i=l
nomi :
r
g = (n-1) (X-a) II (X-a i )
2 .
i=1
El coeficient de X és zero i aixó és condicib necessária i
suficient perqué existeixi un polinomi fEQ[X] de grau n sa-
tisfent g = Xf'-f . Doncs bé, si considerem F=f+(T2-f'(a))X
utilitzant la mateixa fórmula de la resultant del cas pa-
rell i tenint en compte que R(u-Xv,v)=R(u,v) s'obté que :
es demostra de manera idéntica al cas n parell .
86
r
D(F) = (n-1) n-1 T2	II(T2+f'(ai)-f'(a))2 .
i=1
Per tant F satisfá (1) . I que satisfá GC(T) (F)=An
Hem construit equacions que realitzen An com a grup
de Galois sobre Q(T) per a tot nzl . Aplicant el corol .lari
2 queda provat el següent :
Teorema 6 . Sobre qualsevol cos de números existeixen infi-
nites extensions de Galois de grup de Galois isomorf a An.&&
REFERÉNCIES
[13 Borevich-Shafarevich "Number Theory" Ac .Press 1966 .
[21 M.Fried
	
"On Hilbert's irreducibility theorem"
J .Number Theory 6,211-.231 (1974) .
[3] D .Hilbert "Deber die irreduzibilitat ganzer rationalen
Funktionen mit ganzzahligen Coefficienten"
J,Reine und angew . Math . 110 (1892), Sn .104-129 .
[4] A.Hurwitz "Deber Riemann'sche Flechen mit gegebenen
Verzweigungpunkten" Math .Ann . Bd .39 (1891) S .1 .
[51 S .Lang "Introduction to Algebraic and Abelian Func-
tions" Addison Wesley 1972 .
[61 P .Ribenboim "Algebraic Numbers"
Wiley Interscience, New York 1972 .
[7] J.P .Serre "Corps Locaux" Hermann, Paris 1968 .
[8] C.L .Siegel "Topics in Complex Function Theory" Vol .l
John Wiley & Sons, Inc . 1969 .
[9] B.L .Van der Waerden "Modern Algebra" Vol.l
Ungar, New York 1953 .


Sobre l'existència d'equacions que realitzen S_n i A_n com a grups de Galois d'un cos de números

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Revistes Catalanes amb Accés Obert