Luengo Velasco, I.

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Pub . Mat . UAB
N° 23, Febrer
	
1981
CLASIFICACION DE PUNTOS DOBLES DE SUPERFICIES ALGEBROIDES
SUMERGIDAS .
Ignacio Luengo Velaspo
Dueto . de Algebra y Fundamentos
Universidad Complutense de Madrid
ABSTRACT
Lt .í s a weU-Fznown tesult that one can aeeoc í.ate to each embedded
algebno.íd euAgace (E.A.S . ), such that mult(S) = 2, an algebnoíd curve C (V)
(nox necusaxí,Uy nedueed) . Un the otheA hand, .ín [5] we a,6,socíate -to each
E .A.S . (0 a á.ín,íte we.íghted tAee Ak (W) . In th,is woxk we pn.ove that .íb S
and S' are E .A.S . wíth m(S) = m(S') = 2, .then Ak (S') ;z Ah (S) tib and on1y
.íb C (S) and C (S') are equú.íngulan a6 non-nedueed cukves .
1 . Sea S una superficie algebroide sumergida (S.A.S .) defini-
da sobre un cuerpo algebraicamente cerrado de característica k, que consi-
fijo . Si mult.(S) = 2, se puede asociar a S una curva algebroide
plana no reducida C(S), de tal forma que las superficies
isomorfas si y sólo si C(S) y C(S') son k-isomorfas, con lo que la cla-
sificación por isomorfismo de puntos dobles de S .A .S . coincide con la de las
curvas asociadas (para una formulación clásica de este hecho véase [2 ] .)
deramos
A.M .S . Subject Classification : 14B05, 32C40 .
S y S' son k-
140
Ahora bien, desde el punto de vista de la estructura geométrica de la sin-
gularidad, la clasificación por isomorfismo es demasiado fuerte, como se
pone de manifiesto en el caso de curvas planas . Para clarificar la estruc-
tura geométrica de la singularidad nosotros asociamos a cada S .A .S . V un
árbol pesado Ak (V) que describe el proceso de resolución puntual (formal)
de V mediante transformaciones monoidales y cuadráticas.formales .
El objeto de este trabajo, que es un resumen, es comparar en
puntos dobles de S.A.S. la clasificación mediante los árboles Ak y median-
te la clase de equisingúlaridad de C(V), obteniéndose (Teorema 2 .4) que
ambas coinciden .
2 . Sea
	
S = Spec(0) una S .A .S . definida sobre un cuerpo k C0;
si m (S) = 2 se puede elegir en 1 .` C 0 un sistema de coordenadas t x, y, z
tal que la ecuación de S respecto a L x, y, z } sea de la forma
Z 2 + F(X,Y) E k [[X,Y,Z]
J
. Entonces se tiene (cf . [3] , Teoremas 2 y 2a) :
Lema 1 . Sí S. y S-' son S.A .S . de Ícuací,one3 Z 2 + F(X,Y) y Z2 + F' (X,Y),
S S' 6.í y aálo sí ex í,ste un k-ízomon6 .ídmo de k [[X, Y, Z]], tal que
(F) = F' .u, con u(0,0) # 0 .
2'.2 . Definición. Dada S de ecuación Z2 + F(X,Y), a la variedad algebroi-
de Spec (k[[ X,YJ,/F
(X,Y)))
la llamaremos curva a.eocc-ada a S, y la desig-
naremos por C(S) .
C(S) es una curva algebroide no reducida y por el Lema 1, la
clase de isomorfismo de C(S) no depende del sistema de coordenadas elegi-
do .
r
En la situación anterior, sean F =TT F "¿ la descomposición en
i=1
factores irreducibles de F 6 k UX,Y1] , y la rama algebroide de ','C(S) de-i
terminada por Fi , y (C(S)) = {y1'-"' Yr} el conjunto de ramas de C(S) .
Para cada i, sean m( y 1 ), m(y 2), . . . las multiplicidades de las suce-
sivas transformadas cuadráticas de Yi, y sea la
aplicación
6
	
: (C (S) ) N--T N ,
definida por 6 ( Yi) _ (m( yi)
,m( yi) , . . .) E NN . Designaremos por m( Yi, Yj)
la multiplicidad de intersección y m: (C (S)) x (C (S)) -----~ N la aplica-
ción correspondiente . Consideremos, por último, la aplicación
a : (C (S) ) - 1 N, definida por a ( Y i ) = a i . Definimos entonces :
2 .3. Definición . A la cuaterna [S) = ((C(S)),8 ,m,a) la llamaremos eí" e
de S . Diremos que dos . clases [S) y [S'J son .í,bomoh.6ab si existe una bi-
yecci6n b : (C(S)) --- ) (C(S')) que conmuta con las aplicaciones ,ó , m y 0.
Si S es normal, entonces C(S) es reducida, con lo que
a( Yi ) = 1, para 1 < i < r, y entonces ES] representa la clase de equi-
singularidad de C(S) por [7), Proposición 4.5 . Si S no es normal, C(S)
no es reducida y en este caso [SI representa la clase de equisingularidad de
(C(S))red más la multiplicidad de cada componente ( a.i ) .
Sea S una S.A.S . y Ak (S) = (A, a, B) el árbol pesado que des-
cribe el proceso de resolución de S mediante transformaciones monoidales
y cuadráticas formales (cf . [5] ., Cap . II, para más detalle) . Se tiene en-
tonces :
2 .4 . Teorema . Sean S y S' dob S.A .S . talen que m(S) = m(S') = 2 . En-
tonces se cumple que [S] i:-_ [S'] a .í y eólo e.í Ak(S) :Z_ Ak(SI) .
La parte difícil de la demostración consiste en ver que Ak (S)
determina unívocamente ES] , lo cual se hace dando un algoritmo que permite
calcular [S] a partir de Ak (S) .
3 . Consideremos bhora una superficie analítica compleja y sea
P un punto doble normal de la superficie . Por ser P normal, OX,P es de
Cohen-Macaulay (cf . [8] , p . 397), con lo que por. [1] ,
dim . inm . (OX,P) = mul.(X,P) + 1 = 3 .
Denotemos por (X,P) = Spec (OX'P ) la S .A .S . determinada por
X en P, y por
	
C(X,P) la curva asociada a (X,P) que es reducida .
Sean JT : X '" X la resolución de X en un entorno de
P obtenida mediante el proceso canónico de Zariski (cf . j6], p.668) y
N=TT -1 (P) el divisor excepcional, que es una unión de curvas irreducibles
Ei que son compactas ya que Tf es propia . Si se considera el tipo topoló-
gico o diferenciable de la inmersión de N en X, que viene dado por el
tipo topológico de las singularidades de los -,Ek' el género de cada E¡	y
los números de intersección de (Ei ,E j ) y (E i ,Ei ), se obtiene otra posi-
ble clasificación de puntos dobles normales de superficies complejas . Aho-
ra bien, Laufer en C4 .J , demuestra que esta clasificación coincide con la
obtenida mediante la clase de equisingularidad de C(X,P) y el árbol de
(X',P) . Se tiene pues, que todas ellas dan una clasificación satisfactoria
de puntos dobles de S .A.S .
Referencias
11] S . S . ABHYANKAR : Local rings of high embedding dimension, Amer . J .
Math ., 89 (1967), p .1073-1077
12] A. FRANCHETA : Su¡ punti doppi isolati delle superficie algebriche,
Note I, Rend . Acad . dei Lince¡, (1946), p . 49-57
l3) D . KIRBY : The structure of an isolated multiple point of a surface I,
Proc . London Math . Soc., 6 (1956), p . 597-609
[4,) H . LAUFER : On normal two-dimensional double Point singularities, Israel
J . Math ., 31 (1978), p. 315-335
[5] I . LUENGO : Sobre la estructura de las singularidades de superficies
algebroides sumergidas, Monografías de Matemática del Inst .
"Jorge Juan" del C .S .I.C ., Madrid, 1980
[6] O . ZARISKI : The reduction of the singularities of an algebraic surface,
Ann . Math., 40 (1939), p . 639-689
142
C7) O . ZARISKI : Contributions to tbe problem of equisingularitV, en :
Questions on Algebraic Varieties , C .I .M .E ., Ed . Cremo-
nese, Roma, 1970
l8,
	
O. ZARISKI y P . SAMUEL : Commutative Algebra , van Nostrand, Prince-
ton, 1960 .


Clasificación de puntos dobles de superfícies algebroides sumergidas

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