Gasca, M.

Ramírez, V.

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Pub . Mat . UAB
N° 22 Nov . 1980
Actes VII JMHL
SISTEMAS DE INTERPOLACION EN R2 .
M . Gasca, V. Ramírez
Dpto . de Ecuaciones Funcionales
Universidad de Granada
We study the posing and resolution of Hermite-Lagrange
interpolation problems in R2 , by extending the concepts of in-
terpolation system, assóciated interpolation space and set of
associated data which were introduced . by Gasca-Maeztu [1) .
Principally, the extension.is done by sustituting the polino-
mials of degree one (straight lines) which originate the system
by any functions f(x,y), preserving the same simplicity in the
construction by recurrence of the interpolatiog function that
in [1] .
Definición 1
Denominamos sistema de interpolación en R2 al siguiente
conjunto
(1)
	
S=~fi' t (u ij , fij o a)~ij j=O. . .m(i) i=0. . .n
donde
i) fi , f ij , i =O . . .n, j =O . . .m(i) son funciones de R2	
R suficientemente regulares .
ii) uij es un punto de R2	talque fi (u ij ) = fij (u ij ) = 0
iü)
aij
. es una variable indicador, que puede tomar los
valores cero 6 uno, siendo aim(¡)= 1, i= 0 . . .n .
iv) f i tiene gradiente distinto de cero en todo uhk EES tal
26 1
Definición 2
Sea S un sistema de interpolación en R2 y (i,j) un par de
I' . Entonces notamos por
,.u, si j=í3
tij = el número de funciones fio . . .fij-1 nulas en uij cuyo
gra-
diente en uij es proporcional al de f i , si j> 1
Pij
donde [x] significa parte entera de x .
conjunto de funciones de R2 en R
(3)
	
B (S) = {sDi
262
que fi (uhk ) = 0, ahk = 1 e i <
h .
v) f ij tiene gradiente distinto de cero en cualquier
uikE S tal que f ij (uik) = 0, a ik = 1, j <
k .
vi) Si a ij =l, entonces vfi ¡
u
	n es proporcional a
i .iJvf
ij1 u . .
iJ
Notemos por
(i, j) < (h, k) p ó
I = { (i, j) E Z+	x Z+ , i = 0 . . . n, j = 0 . . . m(¡) }
I' _ { (i, j) E I tales que a ij = 1 }
En el conjunto I consideramos el siguiente orden
( i<h
{
=h, j<k
0, si j = 0
el nflmero de funciones f . . . . f . 1 nulas en ui	 cuyo gra-j -
diente en uij no es proporcional al de f i , si j > 1
((
i
P .
J
l
e¡ = max ;t + 11 + 1 F i =0, . . . n-1
(i,j) E I' l j 22
Denominamos base asociada al sistema S, B(S), al siguiente
e el- 1
(ij) E I' - {f o0 . . .
fi-1 fio . . .fij-1}(ij) E I ,
Por B(S) entenderemos el espacio vectorial engendrado por
las funciones de B(S)
Definición 3 .-
Sea S un sistema de interpolación en R2 , y sea (i,j) E I',
entonces notaremos por
0, si
¡=oTij =~la suma de aquellos eh , h <i,
	
tales que fh (u ij ) = 0 y
(of indica, como es habitual, gradiente de f)
0, si ¡=o
Pij = ~la suma de aquellos eh , h <i, tales que fh (u ij ) = 0 y
al vector (- aYi , ax
i
) u .ij
a f . . a f . .
al vector (- a y 7 , ax ,	) u .
ij
de interpolación en R2 dado en (1) a
+ t . t P . + p .
donde Lij (f) = T
7
+ t] i + 13 fap ij ijap ij pij
i1 ij u . .
Teorema 1 .
vfh
l
es proporcional a ofil , si i >1
ij ij
vfh
l
no es proporcional a vf i l
uiiJ
u1J , si i
>
1
af . af .
Denominamos conjunto de datos, L(S), asociado al sistema
L (S) _ {Lij } (ij) E I
Sea . S un sistema de interpolación en R2 , B(S) la base aso-
ciada y L(S) el conjunto de datos asociados a S, entonces el de-
terminante
(1)
	
det (Lij (~ohk ) ) (ij), (hk) E I'
es triangular inferior con todos los elementos de la diagonal
principal distintos de cero .
Teorema 2 .
Nota : Los elementos de B(S) y de L(S) los consideramos
ordenados, en función de sus subindices con el or-
den establecido en (2)
Corolario I .- Los elementos de B(S) son una base de B(S) y las
formas lineales {L . .} son linealmente independientes so-
bre B(S) 17 (ij) E
11
Dado un sistema de interpolación S y una función suficien-
temente regular g, el problema de encontrar otra función w E B(S)
tal que
tiene una única solución .
Lij ( ,P) = Lij (g) . Y (ij) E I ,
Corolario II .- La función ~o puede calcularse de forma iteriativa
resolviendo un sistema triangular inferior de detc=n:nte 1, I
BIBLIOGRAFIA
(1] GASCA,M . - MAEZTU,J .I . "On lagrange and Hermite.interpolation
in Rk" mandado a Numerische Mathematik,
(1980)
[2)MAEZTU,J .I . "Interpolación deLagrange y Hermite en Rk " .
Tesis doctoral (Granada, 1979) .


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