Perelló, Carles

Revistes Catalanes amb Accés Obert

PROBLEMES AMB LES EQUACIONS DE LA HIDRODINÁMICA . (*)
Secci6 de Matemátiques .Universitat Autónoma de Barcelona
Fa 200 anys que en Euler va proposar les equacions
que imposen condicions a 1'escolament d'un fluid incompres-
sible no visc6s . Aquestes equacions en derivades parcials
relacionen la pressió p i les tres components de la veloci-
tat v, considerades com a funcions del temps t i de la po-
sici6 x
d iv
	
v = 0
Carles Perell6
-grad p + f
Pub . Mat.UAB
Nó :12 Juny 1979
Aquí la notacib és la següent : v és el vector (vi ,
v2 , v3 ), vt és ót , (v, v) v és el vector E v7
óv
ax .
f és la forra deguda a un camp extern (per exemple la grave-
tat) i div v = E ax .7
Si M és la regi6 a la que está confinat el líquid,
s'ha d'imposar la condici6 suplementária de que v sigui tan-
gent a la vora de M .
. La utilitzaci6 d'aquest sistema d'equacions com a
model del comportament d'un fluid, va portar a resultats que
resultaven contradictoris amb les observacions experimentals .
(#) Conferéncia presentada al Seminari Barcelona el 4 de Maig
a la ETSEIB .
81
Entre les més sorprenents hi ha'la paradoxa de d'Alembert :
fent servir aquestes equacions es demostra que 1'escola-
ment estacionar¡ d'un fluid a 1'exterior d'un cos, el qual
escolament tendeix a tenir una velocitat constant a 1'infi-
nit, no produeix cap forra sobre aquest cos . És a dir, que
una pega submergida en un torrent no experimenta cap forra!
Per tal de salvar aquests inconvenients, al segle
XIX es van modificar les equacions de manera de tenir en
compte 1'efecte duna viscositat lineal . Sota els noma de
Navier i de Stokes es coneix el sistema d'equacions
v = 0 a bM .
82
vt + (v, v) v = -grad p + v i~v + f
divv= 0,
on v és 1'anomenat coeficient de viscositat (constant),
i pv és el vector
	
b 2 v
8x1
2
A més s'acostuma a imposar la condició de que la
velocitat s'anul .la a les parets del recipient, és a dir,
El terme de viscositat salva la paradoxa de 1'Alem-
bert al permetre la creaci6 de vorticitat a la capa limit,
poguent-se explicar aleshores els fenbmens de sustentaci6
i d'arrossegament d'un cos dins d'un escolament torrencial .
A canvi d'aixó es complica molt el model matemátic : les so~
lucions estacionéries per v de 1'equació d'Euler es poden
obtenir, al menys localment, com a gradients de potencials
(és a dir, de soluciona de 1'equaci6 del potencial), mentre
que aix6 ja no és cert en el ras de Navier-Stokes . El pro-
blema és tant difícil que es tenen molt poca exemples d'es-
colaments estacionaris que satisfaguin les condicions de
Navier-Stokes . Per exemple, ni tan sols es sap si existeix
soluci6 estacionaria de 1'escolament
	
viscós al voltant
d'un cilindre!
Hem tingut compte de dir que les equacions posen con-
dicions sobre 1'escolament, i no que determinen 1'escolament .
Aixb és degut a que no sabem a priori que les equacions junt
amb el coneixement de la pressi6 i la velocitat a tots els
punts del fluid en un moment donat, determinen (d'una manera
única, és clar), la pressi6 i velocitat en tot temps poste-
rior . I aquí precisament es troba un dels problemes més se-
riosos de la hidrodinámica : el decidir sobre 1'existéncia,
la unicitat, la regularitat i la continuitat de les solucions
de les equacioné d'Euler i de Navier-Stokes, conegut el valor
d'aquesta soluci6 (p i v) en un moment donat . La soluci6 sa-
tisfact6ria d'aquest problema no ha estat encara assolida en
dimeüsi6 3, perb si en dimensi6 2 . Els resultats coneguts es-
tán escampats en una gran quantitat d'articles i en algún
llibre, i no és gens senzill resumir-los en poques paraules .
El primer en obtenir resultats interessants va ser en Leray,
que va publicar els seus resultats 1'any 1934, obrint tota
una nova etapa, no només en 1'estudi de la hidrodinámica, si-
no en 1'estudi de les equacions d'evoluci6 . El treball va ser
seguit per en E . Hopf, que va publicar els seus resultats al
1951, i per Ladixenskaia, que va ser la primera en escriure
un llibre contenint .els resultats (miri's la bibliografia al
final) . En el problema hi ha treballat i hi segueix treballant
tot un estol de matemátics, entre els que podem esmentar
Judovic, Kato, Fujita, Foias, Lions, Prodi, Sobolevski ,
Iooss, Temam, etc . .
El mbtode utilitzat per a tots aquests resultats es
basa en la utilitzaci6 de les anomenades solucions "febles",
es a dir, de funcions que satisfan les solucions sense ser
derivables en el sentit clássic, sin6 en el sentit de la
Teoria de Distribucions . Més precisament, les solucions es
cerquen en el espai del tipus de Lebesgue
	
(LP ), o del ti-
pus de Sobolev (HS ' P ) .
Per a donar una idea de com s'aborda el problema,
farem 1'esboc duna demostració, en el cae de M campacta,
deguda a en Weissler (vbgis el llibre de Marsden i McCracken
esmentat a la bibliografia) . Es comenga per reduir les equa-
cions de Navier-Stokes a equacions d'evolució en un espai
convenient . Per a fer aix6 es tracta d'eliminar p, el que
s'aconsegueix, per exemple, utilitzant la descomposició úni-
ca d'un camp vectorial en un camp solenoidal i un camp gra-
dient . En forma precisa, tenim que si Hs és 1'espai de So-
bolev de les funcions a M que tenen derivades a LZ fine a
1'ordre s, i si X és un camp que té les seves components a
Hs , llavors existeix un camp Y amb componente a Hs i un
element o de Hs+l , tals que X = Y + grad 0, amb div Y = 0
i Y paral.lelaabM .A més Y i 0 s6n ñnics amb aquesta propie-
tat . Si es defineik la projecci6 P dels camps en el campsde
divergbncia nula i paral.lels a óM mitjangant PX = Y, i si
apliquem P a les equacions de Navier-Stokes, obtenim :
84
vt = P(v¿v - (v'o)v) = T(v)'
és a dir, la derivada del camp v respecte a t resulta
ser una funci6 de v . Malauradament no podem aplicar di-
rectament ele teoremes d'existbncia i unicitat de solu-
ció per a equacions diferencials ordinbries en espais de
Banach, perqué T fa baixar 1'ordre de 1'espai de Sobolev .
Per a solventar aquesta dificultat, s'observa que 1'equa-
ci6 lineal vt = vPpv determina un semigrup analític d'o-
peradors (anéleg al que apareix a 1'equació del calor), i
que la norma de exp (vP¿)t com a operador de Hl a H2 és
integrable a tot interval [O,T] . Escrivint llavors la so-
lució al temps t com una perturbaci6 d'aquesta, mitjan-
cant una fórmula del tipus de la de variaci6 de parémetres,
i fent servir el que'certa aplicació és contractiva, es
demostra que existeix una soluci6 local a H2 . El comprobar
que aquesta solució és diferenciable si la condici6 inicial
ho és i que existeix per tota t > 0 si M esté a IR 2 exigeix
més feina . Fem notar que si M és a IR 3 és un problema encara
obert el demostrar que no hi ha sólucions que s'escapin a
1'infinit en un temps finit . També és notable que no s'ha
pogut demostrar més que dependéncia continua de les solucions
respecte a t! En el cas de que M no sigui compacte el pro-
blema esté molt poc tocat, emcara que és clar que s'han de
demanar condicions a 1'infinit ben precises per a poder as-
solir algún resultat .
Per les equacions d'Euler la situacib és encara més
difícil, i una manera de demostrar que les solucions de la
equació d'evoluci6 resultant existeixen és fer tendir v a 0
a les equacions de Navier-Stokes . Cal remarcar aquí el tre-
ball de Arnold, que mostra que les solucions de les equacions,
de Euler es poden interpretar com a geodésiques en una
varietat riemanniana de dimensi6 infinita . (Es poden con-
sultar els llibres de Arnold i de Marsden esmentats a la
bibliografia) .
Observem que el teorema d'existénc 'ia i unicitat
ens d6na una aplicaci6 Ft de H en H, tal que si v és el
camp de velocitats al temps inicial, Ftv 1'és al temps t .
Si F esté definit per tota t > 0 aix6 és conegut com at
un semisistema dinámic (com en el cas de M a IR ) . En el
cas de que no estigui definit per tota t > 0 es parla d'un
semisistema dinámic local .
Per una v donada, l'aplicació de 1'interval (0,-)
a H donada per F tv és la trajectória de v, i descriu a
1'espai d'estats de la velocitát .H,, 1'evoluci6 d'aquest
camp en el temps . Les solucions estacionáries corresponen
a punts de repós o d'equilibri d'aquest sistema, i en ells
Ftv és constant .
Un problema natural i que pot ser d'importáncia
práctica, és el de 1'estabilitat de les solucions estacio-
náries . Suposem que es sap que hi ha un escolament torren-
cial estacionar¡ al voltant d'un cos, si aquest escolament,
com a punt critic del sistema dinámic és estable, les peti-
tes perturbacions no 1'afectaran molt, en canvi, si és ines-
table, una petita perturbació pot modificar molt 1'escola-
ment en el curs del temps . Donarem un exemple per il .lustrar
el problema . Per a viscositats altes i velocitats petites,
s'observa experimentalment que 1'escolament torrencial
al voltant d'un cilindre (es suposa molt llarg), amb
eix perpendicular a la direcci6 del flux a 1'infinit,
té una soluci6 estacionaria simétrica respecte al plá
determinat per 1'eix i la direcci6 limit del flux . Ma-
temáticament es demostra que aquesta soluci6 és global-
ment asimptóticament estable, és a dir, que es parteixi
de l' estat qze sigui, ,
	
amb el temps es tendeix al mateix estat es-
tacionar¡ . Ara bé, si s'augmenta la velocitat o es dis-
minueix la viscositat, s'observa experimentalment que
86
a partir de ceit valor, el flux comenta a fuetejar pas-
sat el cilindre submergit . És com si la solució estacio-
n&ria hagués deixat de ser estable i tot tendis a una
soluci6 periódica : els camps de velocitat van canviant
amb el temps duna fais6 periódica . Matemáticament aix6
no esté encara explicat satisfactóriament, (encara que
m'acaven d'arrivar noves de que en Bábenkóv ho ha fet i
encara no ho ha publicat), peró 1'explicaci6 sembla ser
del següent tipus :
En el cas de viscositat alta la soluci6 estacio-
nária vo és tal que totes les trajectóries Ftv tendeixen
a v0
	
quan t -i -. Aixó es pot deduir d'un estudi de 1'es-
pectre de la part lineal Tt de Ft al punt vo , que és un
semigrup d'operádors lineals . Si 1'espectre de Tt está
contingut a un compacte de 1'interior del cercle unitari
als complexs, llavors v
o
és asimptbticament .estable . Si
a 1'ánar variant la viscositat v s'arriva a un valor critic
v c . tal que un parell de eigenvalors simples i conjugats
creuen el cercle per sortir-se'n, pot ocorrer que vo (que
depén de v, és clar), deixi de ser estable, i que apareixi
una trajectbria periódica prop d'ella, que atregui les
trajectóries del seu entorn . Aix6 és conegut com, a bi-
furcaci6 de Hopf . (Végis el llibre de Marsden-McCracken
esmentat a la bibliografia) . El problema de determinar
1'espectre de la part lineal de Ft a vo és tan seriós
que fins ara no hi ha publicat cap resultat on es tingui
prou control com per veure com. es perd l'estabilitat . En
una publicaci6 recent es tracta un problema semblant per
un disc girant al si d'un liquid . Es tenen tots els resul
tats satisfactóriament, peró fautor, incapac de provar-
ho, ha de suposar que els valors propis,que surten del
cercle unitari s6n simples .
Un altra exemple irtteressant el constitueix el
moviment d'un liquid entre dos cilindres coaxials,
suposant que el cilindre exterior esté quiet i
que es fa girar 1'interior amb una velocitat constant,
w, que seré el parémetre del nostra problema . Per a w
baixa s'observa (i es demostra mateméticament) que hi ha
una solucib estacionéria amb simetria tant axial com
longitudinal, és a dir, invariant tant per girs al voltant
de 1'eix com per translacions en la seva direccib . Per
un cert valor w, es produeix la primera bifurcació : el
flux estable discretitza la seva simetria longitudinal i,
sense deixar de ser estacionar¡, es formen uns comparti-
ments anul .lars, coneguts com a cel.les de Taylor, cada un
entre. els dos cilindres i dos plans perpendiculars a 1'eix,
i on el liquid, a més de girar al voltant de 1'eix, va gi-
rant al voltant de la trajectbria circular al centre del
compartiment, i de manera d'anar alternant el sentit d'a-
quest gir d'un compartiment al següent . Per a valors de
w encara més grans, també 1'estructura en cel.les esta-
cionéries deixa de ser estable, i es presenta un moviment
no estacionar¡, en que les cel .les s'ondulen i giren al
voltant de 1'eix . Per valors de w encara més grans s'ob-
serva un comportament turbulent . Per a més detalls del
que passa es pot consultar el llibre de Marsden i McCracken.
L'anélisi matemétic dels fenbinsis esmentats encara
és molt incomplert i el que manca és precisemant, al menys
per les dues primeres bifurcacions,
	
' un bon coneixement
dels espectres dels operadors involucrats . En el mateix
llibre de Marsden i McCracken hi ha un-article d'en Schec-
ter on fé un anélisi matemétic correcte, peró hipotétic,
en quan a que ha de suposar que els espectres fan el que
els hi toca per que tot vagi bé .
88
Després del problema de la estabilitat i les bi-
furcacions, tocarem un problema més conflictiu : el de la
turbuléncia . Encara no esté clar el que es vol dir per
turbuléncia en un sentit matemétic, encara que en un sentit
fisic es designa aixi un estat en el que sembla que les
particles es moguin duna manera caótica . En alguns ex-
periment s'ha observat que 1'aparici6 de la turbuléncia
coincideix amb 1'aparici6 d'un continu d'harmóniques a
1'anélisi de Fourier-de la velocitat de les particules,
per comptes de les freqüéncies discretes que s'observen en
els fluxs no turbulents (Végis 1'article de Bowen al"Tur-
bulence Seminar") .
En Leray va suggerir que la turbuléncia era degu-
da a que les solucions de la equacions no eren diferencia-
bles en aquestes condicions pel que el model de Navier-Sto
kes no era vélid . Més modernament en Landan va suposar
que la turbuléncia era un moviment quasi-periódic, amb
una quantitat gran de frequéncies independents com per
que f6s molt complicat . Aquesta idea s'ha portat més
endavant, en el sentit de que la turbuléncia es podria
presentar com a resultat de bifurcacions successives,
cada una aportant noves freqüencies, i acumulant-se
en nombres infinit .(com a les catástrofes genera.litzades
d'en Thom) . En els darrers temps els matemétics, al
menys els qui utilitzen el llenguatge dels sistemes diná-
mics, es senten inclinats a rebutjar les hipótesis ante-
riors . Aixó és degut a dos fets : primer a que els méto-
des numérics d'en Chorin (végis el llibre d'en Marsden),
han permés integrar .les equacions per números de Rey-
nolds molt grans (vol dir viscositats molt petites o ve-
locitats molt grans), i han conseguit una resolució prou
bona com per explicar la-formaci6 de,vartexs en el flux
torrencial passat un cilindre . Áix6 sembla indicar que,
encara per aquests escolaments d'apariéncia turbulenta,
les equeacions s6n válidas i les solucions diferenciables .
En seg6n lloc sembla que la turbuléncia no apareix
al cap de moltes bifurcacions que incrementin gradulament
el nombre de frequéncies, sino que, al cap d'un parell o
tres de bifurcacions, ja apareix el continu de frequén-
cies (com en el cas ressenyat del flux entre dos cilin-
dres) . Aix6 fa pensar en la possibilitat del següent me-
canisme : per a valors grans de viscositat es té una solu-
ci6 estacionária asimptóticament estable . Al disminuir la
viscositat es perd l'estabilitat, i apareix una varietat
invariant de dimensi6 finita (1 o 2 en general), a la que
tendeixen totes les traject6ries Ftv i on passen les coses
interessants : per exemple pot haver-hi la trajectória
tancada asimptóticament estable corresponent a la bifur-
caci6 de Hopf . Aquesta trajectória tancada pot perdre
la seva estabilitat per altres valors de la viscositat,
i es pot separar d'ella un tor invariant de dimensi6
dos, diguem, asimptóticament estable, on el flux tendi-
rá encara a brbites tancades (genéricament) . Del tor bi-
dimensional es pot separar, al perdre aquest l'estabili-
tat, un tor tridimensional, per exemple, que sigui asimp-
tóticament estable . Dins d'aquest tor de dimensi6 tres el
flux ja pot ser molt complicat . Tant que, si hi ha el que
s'ha batejat amó el nom de "strange attractor" en anglés,
i que nosaltres anomanem atractor-complicat, es podria
tenir un bon candidat per a la turbuléncia, doncs les tra-
jectbries que tendeixen a un d'aquests atractor tenen un
comportament bastant caótic .
Aquests atractors complicats han sigut detectats
en sistemes dinámics a espais de tres dimensions, i en par-
ticular s6n molt coneguts els exemples de Lorenz i Rikitake .
El seu comportament és molt estable, en el sentit de que
persisteixen sota perturbacions, el que els fa uns bons can-
didats;. en contra de les solucions quasiperibdiques, que no
s6n gens genériques . Els primers en suggerir que la turbu-
léncia es pot deure a la preséncia d'atractors complicats
i que essencialment és un fenbmen de sistemes dinámics en
dimensi6 finita van ser Ruelle i Takens (végis bibliogra-
fia) . Per a tenir més informacib sobre aquests atractors
recomenem llegir 1'article del Marsden al Turbulence Seminar
bé el meu esmentat a la bibliografia .
	
,
Aquests ens semblen els problemes relacionats amb
sistemes dinámics més importants de la hidrodinámica, al
menys per el que fá als liquids incompressibles . Si .s'ad
met compressibi itat o transmisi6 de calor, llavors les
equacions es compliquen encara més i es poden presentar
fenbmens com el de la convexi6, que és ric en problemes
matemátics, perb que ja no tocarem aquí .
BIBLIOGRAFIA
Marsden, J., McCraken, M . "The Hopf bifurcation and its
applications" . Springer, New York, 1976
Marsden, J., "Applications of global analysis in mathema-
tical physics" . Publish or Perish, Boston,
1979 .
Leray, J . "Sur le mouvement d'un liquide visqueux remplis-
sant 1'espace" . Acta Math . 63 (1934), 193-248 .
0
Ruelle, D ., Takens, F . "On the nature of turbulence" . Comm .
Math . Phys . 20(1971), 167-192 .
"Turbulence Seminar", Berkeley 1976/1977", Lec-
ture Notes 615, Springer, New York, 1977 .
Arnold, V.I . "Méthodes Mathematiques de la Mécanique clas-
sique" . MIR. Moscd . 1976 .
Ladixenskaia, O.A . "The mathematical Theory of viscous Incom-
pressible Flow" . Annals of Math . Studies 11,
Princeton, 1947 .
Perell6, C . "Turbulencia y atractores complicados" Acta del
I Congres de Ecuaciones Diferenciales y Aplica-
clones, El Escorial, 1978 .


Problemes amb les equacions de la hidrodimàmica

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Revistes Catalanes amb Accés Obert