Solá-Morales, J.

Revistes Catalanes amb Accés Obert

PUBL . Mat. UAB
Ns 18 Abril 1980
Actas II Congreso de Ecuaciones Diferenciales
Aplicaciones . Valldoreix, Mayo 1979 . .
"FLUJOS HAMILTONIANOS PROXIMOS AL FLUJO GEODESICO DE UNA
SUPERFICIE DE REVOLUCION"
J . Solá-Morales
Secció de Matemátiques
Universitat Autónoma de Barcelona
Esta comunicación consiste en buena parte en la presen
taci6n de resultados que figuran en la Tesina del autor diri
gida por C . Perell6 y que citamos como referencia (1) .
El flujo geodésico de una superficie de revolución es
un flujo hamiltoniano del que pueden conocerse muchas propie
dades cualitativas por ser totalmente integrable . Nuestro ob
jetivo es conocer cuales de estas propiedades se mantienen
en flujos hamiltonianos suficientemente próximos a éste .
Si nos restringimos a las superficies de revolución
compactas difeomorfas a T2 (únicamente por comodidad en
ciertas definiciones ; los resultados que daremos valen nor
malmente también para las difeomorfas a S 2 , y éstos son los
únicos casos posibles de superficies de revolución compactas
y conexas) una superficie de revolución viene dada por una
curva g:S1>]B x IR+ (pedimos que g sea una inmersión) que ha
cemos girar alrededor del eje X dando lugar a la superficie
M(g)
	
dada por x=gx(v), y=g
Y
(v)cos u, z=g
Y
(v)sin u, con u,vESl
Si v es un múltiplo de la longitud del arco, concretamente
" 2 " 2 2 2si gx(v)+gy (v) = L /(2r) donde L es la longitud de g, el
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flujo geodésico de M(g) es el flujo hamiltoniano dado en T(M)
por la función de Hamilton
	
H = (2nPv)
2
/2L
2
+ P
2
u/2g
2
(v), don
2 " 2 2
de Pv L v/(2n) y Pu= gy (v) u, y la forma dPvAdv + dPuAdu .
El sistema de ecuaciones de Hamilton tiene dos integra
les primeras, la energía H y el momento angular P
u
, que lo
hacen totalmente integrable . A todos los efectos es suficien
te el estudio del flujo geodésico restringido a la subvarie-
dad invariante T1 (M) = H-1 (1/2) pues en los demás niveles de
energía las geodésicas correspondientes son las mismas aun-
que recorridas a distinta velocidad . La aplicación del Teore
ma de Liouville-Arnol'd (véase (2)) nos dice que excepto pa-
ra ciertos valores críticos de la energía y del momento angu
lar las variedades invariantes I
c,k
={ zET(M)J H(z)=c,P
u
(z)=k}
son reunión disjunta de toros T . En cada toro el flujo res-
tringido está determinado cualitativamente por su número de
rotación p .
Un instrumento muy útil para estudiar el flujo en T1 (M)
es la aplicación de Poincaré definida en una sección "meridia
na" (u=u0 ) de T1 (M) . Esta es superficie de sección del flujo
si excluimos un entorno de las lineas P =0 (se trata del me-u
ridiano u=u0 recorrido en los dos sentidos) . Llamémosle E,
considerémosla coordenada por v,P
v
, y sea P :E-v2 la aplica-
ción de Poincaré . Es fácil deducir que si g (v0)=0 entonces
Y
v=v0 , Pv= 0 es un punto fijo de P (correspondiente a la geo-
désica cerrada que recorre este paralelo) y los valores pro-
píos de DP(v0 ,0) son exp (} (2n) 2L
-1 (
gy(v0) .gy(v0)
)1/2) .
Como se ve (v0,0) es un punto fijo elíptico si §
Y
(v0 )<0 (en
este caso g (v0 ) es un máximo relativo, y la geodésica v=v0
Y
es un ecuador exterior) e hiperbólico si g
y
(v0)>0 (gy (v0 )
es un mínimo relativo, y v--v0 es un ecuador interior) .
Estudiemos ahora las perturbaciones de este flujo da-
das por funciones de Hamilton de la forma H'=H+H 1 ,
es la definida anteriormente . El hamiltoniano H' no poseerá
en general, claro está, la propiedad de que el flujo sea e-
quivalente en todas las variedades H'=constante (como ocu-
rre con H), por tanto para fijar nuestra atención en una re
gión concreta nos fijaremos en el flujo en H'=1/2 (como ha-
ciamos con H) . Se cumple el siguiente
Lema 1 :
	
Sea K un entorno compacto de
T,1 (M) dentro de T(M)
del tipo K={zET(M) 1 H(z)E[1/2-k, 1/2+k] con 0<k<1/2} . En
tonces existe un e>0 tal que si H1 :T(M)--! IR cumple II
H1IIn<e
(ha de ser H1 E )°
n (T(M))) entonces el nuevo hamiltoniano H'
tiene una componente conexa de H'=1/2 contenida en K y di-
feomorfa a T1 (M) . Además, imaginando el flujo en esta varie
dad definido en T 1 (M) la superficie E definida anteriormen-
te sigue siendo superficie de sección y la aplicación de
Poincaré asociada P' (que sigue conservando área) se man-
tiene próxima a P en norma de e n-1(E), todo ello si e es
suficientemente pequeño .
Este lema nos permite unificar los campos de defini-
ción de los flujos perturbados y reducir los problemas a
problemas de perturbación para la aplicación de Poincaré P .
vamos a abordar la cuestión de la supervivencia de los pun-
tos fijos de P (ecuadores) .
a) Conservación de ecuadores .
Se cumple el siguiente
donde H
Lema 2 : Sea P una aplicación diferenciable de un abierto
de E2 en 12 y sea x0 un punto fijo por P de manera que
DP(x0 ) no tenga el valor propio 1 . Entonces si P' es lo su-
ficientemente próxima a P en norma % 0 de un entorno cerrado
de x0 , P' tiene un punto fijo x1 cerca de x0 .
Y se llega al siguiente resultado :
Proposición 1 : Si 11H1 11 2 es lo bastante pequeña se conserva
un número finito de ecuadores (exteriores e interiores) co-
mo puntos fijos (resp . elípticos e hiperb6licos) de P mien
tras éstos cumplan que
	
2n(§y(v0) " gy(v0))
1/2
/L sea distinto
de 0 y de i/2 .
b) Estabilidad de los ecuadores exteriores .
El problema que nos planteamos a continuación es el
de la estabilidad orbital de los ecuadores exteriores del
flujo perturbado (puntos fijos elípticos de P') . Para resol
verlo haremos uso del Teorema del Twist (véase (2)) .
La aplicación P '(no perturbada) en las proximidades
de un ecuador exterior puede escribirse en coordenadas "po-
lares" I,a (donde I depende sólo de Pu) como P(I,a)=(I, a+
+2n/p(I)), donde p es el número de rotación del flujo en el
toro invariante correspondiente . Por lo tanto puede ponerse
fácilmente en forma normal de Birkhoff
donde
P(I,a) = (I, a+a0+a11+0(1 2 ))
a0= (2rr) 2 (-gy(v0 ) " gy (v0 ) ) 1/2/L
-rr23 (v ) +g (V0 ) g (v Y9 (v )-(S/3) g (v )
.
g
2
(v ))Y o Y -0y 0 Y-0 v 0
L . 9y
(v0 )
Y aplicando el Teorema del Twist obtenemos el siguiente
Teorema 1 : Si M(g) tiene
,e
	
4H1E 6(T(M)) . IIH L II _ .
un
para
si a 19¿0 y >,=exp(ia 0 ) es tal que
correspondiente a H'=H+H1
orbitalmente estable que se
vuelta" y tan próxima como
suficientemente pequeño .
flujo
toria periódica
primera
si e es
c) Conservación de meridianos .
Como es sabido, en una superficie de
los meridianos son geodésicas . Si
tos fijos de cierta aplicación de
superficie de sección adecuada no
algunos de ellos, al menos dos de
pequeñas perturbaciones del flujo
Se cumple el siguiente
Teorema 2 : Si la perturbación H1 cumple H1E 0 ' (T (M)) , 11Hll¡4<e
entonces se conservan por lo menos dos meridianos de M(g) co
mo trayectorias del flujo dado por H'=H+H1 .
(Naturalmente, no se trata de dos meridianos estrictos de M(g)
sinó de dos curvas cerradas homotopas a
dos meridianos propiamente dichos) .
Demostración : Tomemos en T1 (M)
da como v=v0 (sección a lo largo del
ecuador exterior en v~-v0, si
cierto e>0 lo bastante pequeño,
k3í
1 y X 4 1, entonces el
tiene en H'=1/2 una trayec-
cierra "a la
queramos al ecuador v=v0
revolución todos
nos los miramos como pun-
Poincaré definida en una
es difícil demostrar que
ellos, se conservan en
geodésico .
éstos y próximas a
la superficie p defini-
paralelo v0 ) como super
es'superficie de
Estas corresponden
puntos fijos por la
ficie de sección coordenada por u y Pu . p
sección en un entorno de las lineas P =0 .
u
a los paralelos y son por tanto lineas de
aplicación de Poincaré asociada al flujo geodésico . Estas li-
neas son circunferencias rodeadas de
antes .
circunferencias invari-
En las coordenadas u,Pu la aplicación de Poincaré se
expresa como P(u,P )=(u+2Trp(P ) , P ) , es decir un Twist no per
u
	
u u
turbado . Se cumple que p cambia de signo con P
u
, y cambia
efectivamente pues
L 2 -2
p' (0) = 2 J ± g (v) dv
2rr 0 y
donde los signos «± corresponden al signo de P
v
.
Por tanto si la perturbación es lo bastante pequeña se
cumplen las condiciones del Teorema del Twist y se conservan
curvas invariantes a un lado y otro de P = 0 . Tomando una curu
va a cada lado se obtiene una corona invariante por P en que
sus curvas limite giran por P cada una en sentido opuesto . .
Por lo tanto puede aplicarse el llamado último Teorema Geomé
trico de Poincaré y existen por lo menos dos puntos fijos
por P en el interior de la corona . .
d) Orbitas homoclínicás .
Una característica importante de los ecuadores
res no perturbados es la existencia de órbitas homoc,línicas :
sus variedades estable e inestable coinciden globalmente ex-
cepto en casos degenerados, y por tanto existen geodésicas
que se "desenrollan" del ecuador interior para luego volver
a enrollarse en él . Se cumple el siguiente
interio
Teorema 3 : Si la perturbación H1 es suficientemente pequeña,
cada ecuador interior que se conserva, con las salvedades
que aparecerán en la demostración, tiene por 1o menos una
órbita homoclinica .
Demostración : Se trata de repetir un razonamiento de
Poincaré para la existencia de puntos homoclínicos en apli-
caciones que preservan área .
Tomamos la aplicación de Poincaré del flujo no pertur-
bado P y la del perturbado P' en la superficie de sección E
definida anteriormente . Puesto que P' es próxima a P, si la
situación fuera la representada en la fig . 1 (sin puntos ho-
moclínicos) las imágenes por P' de los puntos enmarcados en
el recuadro pequeño estarían todas desplazadas hacia la dere
cha, como ocurre con P, y se daría la situación representada
en la fig . 2 en la que P' aplica la zona rayada de la iz-
quierda en la de la derecha, contradiciendo el hecho de que
P' conserva área .
P'
FIG . 1 - -
	
FIG. 2
Esto es cierto si el ecuador interior corresponde a un
mínimo relativo de g que no es mínimo absoluto . Si nos r .fe
rimos al mínimo absoluto entonces la situación es la de la
fig. 3. : las variedades asintóticas de la órbita periodica
W1 y W2 no separan ningún conjunto invariante de Fs-T2 cada
una de ellas por separado, y no vale el razonamiento anterior .
Para que valga un razonamiento análogo hay que demos-
trar primero la conservación de alguna de las curvas cerra-
das invariantes a la izquierda de W1	( a la derecha de W2 ) .
Esto puede hacerse siempre prolongando por el flujo hasta
E las halladas en p cerca de los meridianos en la demostra-
ción del Teorema 2 .
Para una superficie de revolución generada por una cur-
va como la de la fig . 4 el ecuador interior v=v1 no tiene geo
désicas homoclinicas y no valen los razonamientos anteriores .
En este caso típicamente no genérico las variedades estables
(resp . inestables) de v=v1 coinciden con variedades inesta-
bles (resp. estables) de v
0
y v2 . En esta situación hay ór-
bitas hetroclinicas entre v=v0 y v=v1 y entre v=v1 y v=v2 , y
puede verse por razonamientos parecidos a los anteriores que
algunas de ellas subsisten al modificar el flujo ligeramente .
FiG. 3 FIG . 4
Con la salvedad, pues, de los casos'de superficies de
revolución generadas por curvas como la de la fig. 4 en que
el mínimo absoluto de ordenadas es alcanzado por más de dos
puntos, se cumple la conclusión del Teorema .
REFERENCIAS
(1) Solé-Morales, J . :"Flux Geodésic en Superficies de Revo-
luci6°, Pub . Mat . UAB nó 9 (1978) .
(2) Arnol'd, V.I . et A . Avez : " Problémes Ergodiques de la
Mécanique Classique" ; Gauthier-Villars, 1967 .


Flujos hamiltonianos próximos al flujo geodésico de una superfície de revolución

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