Lasala, M.P.

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Pub . Mat . UAB
N°22 Nov . 1980
Actes VII JMHL
ALGUNAS CUESTIONES SOBRE FUNCIONES DE PERDIDA GENERALIZADAS Y
SU APLICACION A LA ESTIMACION DE PARAMETROS
María Pilar Lasala Calleja
Dpto . de Estadísticá Matemática e Investigación Operativa
Universidad de Zaragoza
SUMMARY
In this paper, a loss function called g-divergence is
defined, like a generalitation of Kullback's divergence, which
depends on a continuous and convexe function g . Its properties
are also studied and its relations with the Fisher Information .
I .- g-DIVERGENCIA ;PRIMERAS PROPIEDADES
Sea ( E,0 ) un espacio medible y F1 , .F2 dos medidas
de probabilidad definidas sobre 2, absolutamente continuas res-
pecto a una medida y positiva y a-finita sobre 2 . Además F 1 - F 2 .
Sean f ly f2 las derivadas de Radom-Nikodym de F1 y F2 respecto
a u . Sea C .el conjunto'de todas las funciones de R en R conti-
nuas y convexas . Sea Ai={fi(x)>O} .
DEFINICION .1 .- Se define g-divergencia de Fl respecto de F2como
f l (x)
Ig-JA g( f
	
(x} ) f2 (x)
du(x)
2 2
Es fácil probar que Ig es independiente de la elección de u .
PROPOSICION .1 .- Si A1= A2 , se verifica : Igh1 g(1) . Además,
Ig= g(1) si y sólo si F 1= F2 .
Sin pérdida de generalidad podemos reducir el conjun-
to C con la restricción g(1)=0, con lo que Ig tiene una primera
propiedad de las medidas, ya que se pretende utilizar Ig como
una medida de la "diferencia" entre F1 y F 2 .
cia funcional de Kullback .
Consideremos una familia de funciones de densidad res
pecto a u, dependientes de un parámetro : r={f(x,e)aeée}
Sea 0\ un intervalo finito o no de R . Consideremos I g (e+A e, e)
	
la
g-divergencia de f (x, e¡-A e) respecto a f (x, e) .
.DEFINICION .2 .- Se define la información. de Fisher generalizada
como el limite, si existe :
TEOREMA .1 .- Bajo las condiciones de regularidad de Wolfowitz, y
si g es tres veces diferenciable en un entorno de 1, se tiene :
donde I f (e) es la información de Fisher para la funci6n . de den-
sidad f (x, e) .
152
Si se toma g(x)=xlogx, Ig es precisamente la divergen
II .-CANTIDAD DE INFORMACION DE FISHER Y SU RELACION CON
LA 9-DIVERGENCIA
A6-0
I
g
( e+ A e, e)
(A e) 2
9 11 (1) IF,{ e)
2
Consideremos una variable aleatoria n con valores en E
y función de densidad respecto a p f(x,6) . Sea T=1(x1, . .,xn) una
aplicación medible de En en R, cuya función de densidad al con-
siderarla com variable aleatoria es h(t,e) . Los valores Ig(e) y
IT (6) serán los valores de I 9 (e) para las densidades de n y T .
TEOREMA .2 .- a) nI n (e)?IT(e)
b) nI'(e)=Ig(6) si y sólo si T es suficiente para e .
III .- LA g-DIVERGENCIA COMO FUNCION DE PERDIDA
Sea A={f(x,e)>0)
DEFINICION .3 .- Definimos la función de pérdida entre e y 6 como
L
	
(6,e) f (x,0)g =
fA g(f(x,~))
f (X, ddv(x)
Por hps resultados anteriores se tiene :
Lg (6, g)>0 d (6, 6),0 x R
Lg ( e, 6) =0 si y s61o si 0 = e
IV .- CASO DE PARAMETRO K-DIMENSIONAL
como el limite si existe :
I ( e+¿ e, e)
I g ( e) = lim g
2
La definición dada en II para la información de Fisher
generalizada, sólo es válida para el caso de parámetro unidimen-
sional . En el caso de parámetro k-dimensional, se podría genera-
lizar la definición de la siguiente manera :
DEFINICIONA .- Se define la información de Fisher generalizada
15 3
TEOREMA .3 .- En las hipótesis de Teorema 1, se tiene :
formación de Fisher .
I ( e) = lim (A e)' M ¿e
donde (¿e)' indica el transpuesto de ¿Ne y M es la matriz de in


Algunas cuestiones sobre funciones de pérdida generalizada y su aplicación a la estimación de parámetros

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