Ríos Montes, J.

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Pub . Mat . UAB
Vol . 27 N2 2 Juny 1983
SOBRE FILTROS ESTABLES DE GABRIEL VII
(Algunas relaciones entre teorías de torsión
en A-mod y teorías de torsión en Mod-A)
José Ríos Montes
En [3,b1 y [41, se definen los conceptos de semisimplici-
dad y regularidad, relativos a un filtro de Gabriel en un anillo A,
en esta nota se define una función entre el conjunto de teorías de tor-
sión hereditarias en A-mod y el conjunto de teorías de torsión heredi-
tarias en mod-A, entre otros resultados, se prueba que en el caso esta
ble, los conceptos antes mencionados se preservan bajo esta corresponden-
cía .
En la última sección, se da una caracterización de los filtros
de Gabriel en A que satisfacen la propiedad de que todo módulo simple
de torsión es F-inyectivo y se estudian algunas propiedades que compar
ten estos filtros y aquellos que hacen de A un anillo F-regular .
{A/J
	
/ J E F~ } .
La notación y terminología utilizada, sera la de (3,al .
I .- RESULTADOS PRELIMINARES
Sea A un anillo con l, denotamos por T, al conjunto de
teorías de torsión hereditarias en A-mod y por Td , al conjunto de
teorías de torsión hereditarias en Mod-A .
Sea (4,L) una teoría de torsión hereditaria en A-mod con
filtro asociado F, sea E~ = {IA/I E F} y (Td'Ld) la teoría
de torsión en Mod-A, generada por los módulos derechos
PROPOSICION 1 .1 . (Td ,Ld) es una teoría de torsión hereditaria .
DEMOSTRACION : Las clases Ir d y (Ld' se describen como sigue ;
IL d = {NA/HomA (A/J,N) = o Id J E BF }
Td ={MA/HomA (M,N) = 0 il N E ILd}
Para probar la afirmación, basta hacer ver que ILd es cerrada
bajo capsulas inyectivas .
Sean N E ILd , J E BF	y f E HomA(A/J, E(N)), si f 9` 0
existe x E E(N), x Y( 0 tal que f (1) = x, entonces xJ = 0 como
N es submódulo esencial de E(N), podemos elegir y E N de tal
manera que y it 0 y xa = y para algún a E A como J es ideal bila-
teral, yJ = xaJ C xJ = 0, entonces, podemos definir g : A/J - N
	
por
g(a) = ya y este morfismo no es cero, de aquí que para todo J E ", .
HomA (A/J,E(N)) = 0 esto nos dice que (T d ,ld ) es una teoría de torsión
hereditaria .
Definimos ahora, T -> T d	comosigue
OBSERVACIONES 1 .2 .
~ ( (T,L)1 = (Td .Ld ) .
a) Si A es conmutativo,
b) Si T y T' son clases de torsión hereditarias en A-mod
tales que Ir C T' entonces Td C Td
d) Si T = A-mod, Td = Mod-A
e) Es fácil ver que si IF es un filtro de Gabriel en A,
entonces el conjunto .F0 =- {I A/ I D J 1 . . . J k	 n J i E BF} es una
pretopología en AA .
1T
c) Si T = {O} entonces Td ={O}
COROLARIO 1 .3 . Sea Fd el filtro de Gabriel asociado a (Ir d >Ld )
entonces :
IF d - {I A/ para todo J tal que I C J r# A, existe
a E A-J tal que (J : a) C- FO } .
DEMOSTRACION : 15 1 .
OBSERVACION 1 .4 . Si los elementos de lF son finitamente generados como
ideales derechos, entonces IFd = IFO .
PROPOSICION 1 .5 .
	
Si (lí,L) es una teoría de torsión T.L .T . entonces
(Td' ILd)
es T .L .T .
DEMOSTRACION : Sea J el ideal bilateral idempotente, generador de IF,
entonces ;
F0
=. {I A/ J C I} es un filtro de Gabriel y de aquí que
PROPOSICION 1 .6 . Si (IT,ll) se escinde centralmente, entonces
(1rd'Ld) se
escinde centralmente .
DEMOSTRACION .- Sean e,f, idempotentes centrales tales que
A = Ae 9 Af, donde tA = A y IF ='{A I / Af C I} de la proposición
anterior, tenemos que Fd = {I A/fA C I} y entonces t dA = eA, por
consiguiente
II .- ANILLOS NETERIANOS
escinde centralmente .
DEFINICION 2 .1 . Un filtro de Gabriel F en A es acotado, si IF
tiene una base consistente de ideales bilaterales .
OBSERVACION 2 .2 .
	
Por 1 .4, si AA es neteriano, entonces, para
cada teoría de torsión hereditaria, (4,d) E T, tenemos que IFd	 s
un filtro de Gabriel acotado .
Denotemos por C(A) al conjunto de clases de isomorfismo de
módulos derechos inyectivos inescindibles, y por Spec (A) al conjunto
de ideales primos de A .
Sea A neteriano derecho y : J(A) -> Spec(A), la función
que asigna a cada inyectivo inescindible, su único ideal primo asociado,
tado derecho si ~ es biyectiva . En esta sección, se da una demostra-
ción distinta a las conocidas, de una caracterización de los anillos
completamente acotados .
PROPOSICION 2 .4 . Sea A neteriano derecho y EO,EI , módulos de-
rechos inyectivos inescindibles no isomorfos, entonces, la teoría de
torsión cogenerada por EO , es distinta a la teoría de torsión cogene-
rada por E l .
DEMOSTRACION .- supongamos que EO esta cogenerado por E I , probare-
mos que EO no cogenera a E l .
es conocido que esta función es suprayectiva, ya que, si P E Spec(A),
n
entonces E(A/P) -~ ® Ei donde cada E i es inyectivo inescindible
i=1
y E i = E j para todo i,j, sin embargo 0 no es siempre inyectiva .
DEFINICION 2 .3 . Un anillo neteriano derecho A, es completamente aco-
Sea I un máximo en la familia de anuladores de elementos no
nulos de EO , este máximo existe porque AA es neteriano, además
11{ A, sea x E E0-{O}, elemento asociado a
	
I, como E
l
	coge eraa
EO , existe un morfismo distinto de cero, f : A/I -+ E 1 , notemos que
f no es monomorfismo, ya que entonces tendríamos que E l = E(A/I)
pero E(A/I) = EO y de aquí E l
_ EO lo cual contradice la hipótesis,
sea J/I = Kerf,_ por lo anterior, I r{ J rf A, entonces
A/J _ Imf c E 1 , la maximalidad de I nos dice que HomA (A/J,E0 ) = 0,
de aquí que E l no está cogenerado por E0 .
TEOREMA 2 .5 . Sea A neteriano derecho, son equivalentes :
DEMOSTRACION
a) A es completamente acotado derecho .
b) Todo filtro de Gabriel en AA es acotado .
a) b) f 5 l .
b) a) Sean EO ,E 1 , A-módulos derechos inyectivos ines-
cindibles, probaremos que no tienen el mismo ideal primo asociado .
Sea t 0 el radical asociado a la teoría de torsión cogenera-
da por E0 y
F0 el filtro de Gabriel correspondiente . Por la propo-
sición anterior, podemos suponer que t0E l Y 0, sea P el primo aso-
ciado a E 1 , como E l	esinescindible, existe x E t 0 E 1 , x gt 0 tal
que P = An(xA), por otro lado,
	
an(x) E FO , como FO es acotado,
existe J E FO , ideal bilateral tal que J C an(x) entonces xAJ = 0
y de aquí que J C P de lo cual tenemos que P E FO .
Si P fuese el primo asociado a EO , tendríamos un elemento
y E EO , y ¢ 0 tal que P = An(yA) y entonces P C an(y) lo cual nos
dice que an(y) E FO 'y por lo tanto 0 ¢ y E t0EO = 0 que es absurdo,
entonces EO y
E l	ti nen distinto primo asociado es decir, A es
completamento acotado .
COROLARIO 2 .6 . Si A es neteriano derecho y ~ es suprayectiva en-
tonces A es completamente acotado derecho .
DEMOSTRACION
La hipótesis junto con la observación 2 .2, nos dicen que
todo filtro de Gabriel en AA es acotado .
COROLARIO 2 .7 . Si A es neteriano derecho e izquierdo entonces :
es biyectiva si y sólo si A es completamente acotado derecho é iz-
quierdo .
DEMOSTRACION : Basta considerar el siguiente hecho :
Si A es neteriano y F es un filtro de Gabriel en A, aco
tado, entonces :
F = {I/I D P 1 . . . P k donde P i E F n Spec A) .
111 .- CONCEPTOS RELATIVOS
En [3,b1 y [41, se definieron los conceptos de semisim-
plicidad y regularidad, relativos a un filtro de Gabriel en
	
A, en esta
sección, probamos que en el caso estable, estos conceptos permanecen in-
variantes bajo
DEFINICION 3 .1 . Sea F un filtro estable de Gabriel en A, A
es F-semisimple, si todo ideal en F es sumando directo de A .
Una caracterización de anillos F-semisimples es la siguiente :
A = tA e RA con tA y 2A generados por idempotentes centrales,
F ="{ I/ .2A C I} y tA semisimple .
TEOREMA 3.2 . Si F es un filtro estable de Gabriel en A
es F-semisimple, entonces Fd es un filtro estable y A es Fd-semi -
simple .
DEMOSTRACION
De la proposición 1 .6, tenemos que tA = t dA y
Fd = {I A/RA C I}, tA semisimple implica que todo ideal en Fd es sumando
directo de A, por otro lado, A(A/.PA) es proyectivo y de aquí que
Fd es un filtro estable en AA .
DEFINICION 3 .3 . Sea F un filtro de Gabriel en AA, A es F-regular
si para todo ideal derecho J y todo 1 en F, JI = J n I .
y A
OBSERVACION 3 .4 .
	
Si A es F-regular y J e I son ideales bilate-
rales de F entonces IJ = I n J y de aquí que
FO	{IA c A/1 D J para algún J
E V .
LEMA 3 .5 . Sea F un filtro de Gabriel estable en AA, si A es
regular entonces, para todo I A E IFO , el A-módulo derecho A/I
es plano .
DEMOSTRACION
Sea I E IF O , como A es F-regular, por teorema 2 .2 de
[41, el A-módulo A/I es F-plano, por consiguiente el A-módulo
izquierdo HomZ (A/I,Q/Z) es F-inyectivo (teorema 1 .4 de [41 ), de la
observación 3 .4, tenemos que existe J E F, J bilateral tal que
J c I, es claro que J anula a Hom,(A/1,Q/Z) entonces
Hom,(A/I,Q/Z) es F-inyectivo y de torsión respecto a F, la estabilidad
de F nos da por resultado que HomZ (A/1,Q/Z) es inyectivo y entonces
(A/1) A es plano .
LEMA 3 .6 . Si M E Mod-A es FO-inyectivo entonces M es
Fd -inyectivo .
DEMOSTRACION
Sea M E Mod-A tal que M es FO-inyectivo, sea
I E Fd	y f : 1 -+ M un morfismo, consideremos la familia
C ='{f' : I' -> M/I C I' C A y f' extiende a f} con la siguiente rela-
ción de orden g < g1 si g : J -> M, g' : J' -> M con
	
J C J' y
g'I J = g, es fácil ver que (C,<) satisface las hipótesis del lema de
Zorñ, sea f0 : 1 0 -> M un máximo en C, si 10 cf A, por el Corolario
1 .3, existe a E A - 1 0 tal que (1 0 : a) E
FO,
definamos
¢ : (1 0 : a) -> M de la siguiente manera O(b) = f0 (ab), como M es
F0 inyectivo, existe ¢ : A -> M tal que extiende a ~, sea
y = (1), definamos ahora
f 1 : [1 0 + a A] -> M por f1 (x + ab) = f0	(x) + yb ,
si x + ab = x' + ab' entonces x - x' = a(b' - b) y de aquí que
b' - b E (10 : a), f0 (x) - f0 (x') = f0(a(b-b')) = y(b-b') = yb " yb'
es decir, f1 está bien definida, es claro también que f1 extiende a
1 .. ..L .. ..J .~o cual. e5 ausürdu-, pvr í.wribigüierlte i 0 = A y i,í é5 rr d- inyectivo .
TEOREMA 3 .7 . Sea IF un filtro estable de Gabriel en AA, si A
es F-regular entonces A es IFd-regular .
DEMOSTRACION :
Por el teorema 2 .2 de [4], basta probar que todo módulo izquier-
do es Fd-plano .
Por el lema 3 .5, (A/1) A es plano para todo I E F0 y de aquí que la
sucesión exacta corta de A-módulos derechos
0 + 1 -> A -> Al¡ -> 0 es pura, es decir ;
0 - I ® M -> A ® M -> A/I ® M -; 0
	
es exacta para todo I E FO	y
A A A
M E A-mod, esto nos dice que si M E A-mod, el A-módulo derecho
HomZ (M,Q/Z) es FO -inyectivo, aplicando aquí el lema 3 .6 tenemos que
Hom,(M,Q/Z) es Fd -inyectivo, finalmente el teorema 1 .4 de [41 da por
resultado que AM es Fd -plano y esto prueba que A es Fd-regular .
IV . CLASES DE TORSION DONDE TODO MODULO SIMPLE ES F-INYECTIVO .
En [4], se probó el siguiente teorema ;
TEOREMA.- Sea A un anillo conmutativo y F un filtro estable de Gabriel
en A, son equivalentes las siguientes afirmaciones :
a) A es F-regular .
b) Todo ideal en F es idempotente .
c) Todo A-módulo simple es F-inyectivo .
d) Todo módulo simple y de torsión es inyectivo :
En esta sección, se da una caracterización en .el caso general
de los filtros que satisfacen la propiedad de que todo módulo simple y
de torsión es F-inyectivo, finalmente se estudian algunas propiedades que
comparten estos filtros, con aquellos que hacen de A un anillo F-regular .
Denotamos (como en [11) por 1H a la clase de módulos M
tales que cM = {O}, donde cM = n k
kE F (M)
TEOREMA
	
4.1 . Sea F un filtro estable en AA, son equivalentes las
siguientes afirmaciones :
a) Todo módulo simple y de torsión es inyectivo .
b) Todo módulo simple y de torsión es F-inyectivo .
c) Todo módulo de torsión es semiprimitivo .
d) Todo módulo cíclico de torsión es semiprimitivo .
e) Si I E F, I es intersección de ideales máximos .
f) Si M E A-mod y N E F(M), N es intersección de submódulos
máximos de M .
g) cM es intersección de submódulos máximos de M, para todo
M E A-mod .
h) Todo elemento de Ni es semiprimitivo .
i) Si M = A-mod, cada submódulo cerrado de M, es intersec-
ción de submódulos máximos de M .
j) ki tiene un cogenerador que es suma directa de módulos
simples .
DEMOSTRACION
a) ~ b) Inmediato .
b) 2* c) Sea M E Ir y x E M, x :0 0, por el lema de Zorn,
elegimos N C M subm6dulo máximo tal que x 91 N, sea
NO = n ' {k c M/ N ~ k} entonces x E NO y NO/N es simple además
N0 /N C M/N y de aquí que N0/N es de torsión, por b),
M/N = N0/N ® N l /N
	
como x E N0 , x 01 N, y de aquí que N = N l	enton-
ces N es un submódulo máximo de M, por consiguiente
n {k/ k es submódulo máximo de M} = {0} es decir M es semiprimitivo .
tivo .
c)
d)
e)
d) Es claro .
c) Teniendo en cuenta que I E F si y sólo si A/I E Ir
b) Sea S un A-módulo simple, S E Ir, I E F
lado, J = I rl l 0 , definimos ahora, f : A-> S como sigue,
y
f : I -> S un morfismo, f gí 0, si J = ker - f entonces J E F ya
que I/J-- S E 1r e I E F, aplicando e), existe un ideal máximo
1 0 E F tal que J C 1 0 , I q 10	y de aquí que A = 1 + 1 0p r otro
f(x+x 0 ) = f(x), donde x E I, x0 E l o , si x + x 0 = x
.
+ x0
1
entonces x - x = x 0 - x 0 E 1 0 n I por lo cual f(x-x') = 0
entonces f está bien definida y de aquí que S es F-inyec-
b) ~ a) Inmediato de la estabilidad de F .
c) - f) Igual que d) ~ e)
f) g) cm = n k , como cada F-submódulo de M es
kE F (M)
intersección de submódulos máximos, tenemos a su vez que cm es intersec-
ción de submódulos máximos de M .
g) - h) Si M E IM entonces cm = {0}, la hipótesis da como
consecuencia que M es semiprimitivo .
h) =* i)
	
Sea M E A-mod y N un submódulo cerrado de M enton
ces M/N E fH por lo tanto M es semiprimitivo y de aquí que N es
intersección de submódulos máximos de M .
< x > f> S > 0
i) - c) Se sigue del hecho que Y c Hi
torsión está cogenerado por C .
a) - j) Sea C el conjunto de clases de isomorfismo de módulos
simples de torsión, sea C = ® S , probaremos que C es un cogenerador
SEC aa
de IH , por la proposición 1 .1 . de [ 11, basta ver que todo módulo de
Sea M E Ir, x E M-{0}, existe una sucesión exacta
con S módulo simple y S E Ir, por la hipótesis,
existe f : M -> S tal que f extiende a f , como S G C entonces M
esta ogencrado por C, por otro lado C E w y de aque que- C ces un
cogenerador para Ni .
j) - a) Sea C un cogenerador de Hi con C = ® S
aE X a
donde Sa es un A-módulo simple para todo a E X .
Sea S E Y, S simple, como F es estable, E(S) E Y y por
lo tanto E(S)E ya que C es cogenerador de H , dado x E S,
x ¢ 0 existe f : E(S) - C morfismo tal que f(x) 0, esto junto
con el hecho que S es simple y esencial en E(S) implican que f es
monomorfismo, entonces E(S) es semisimple e inescindible, de aquí que
S = E(S) ; lo cual prueba que S es inyectivo .
Si no suponemos la estabilidad de F, tenemos entonces :
TEOREMA 4 .2 .
	
Sea F un filtro de Gabriel en A, son equivalentes las
siguientes afirmaciones ;
a) Todo módulo simple y de torsión, es inyectivo .
b) Todo módulo de torsión es semiprimitivo .
c) Si I E F, I es intersección de ideales máximos .
d) Si M E A-mod y N E F(M) entonces N es intersección
de submódulos máximos de M .
COROLARIO 4 .3 . Si F satisface las condiciones del teorema anterior
entonces todo ideal en F es idempotente .
DEMOSTRACION
Sea 1 E F tal que 1 2 ~ I, como 1 2 E F, existe un ideal
máximo 1 0 tal que 1 2 C 1 0 , 14 1 0 , de aquí que A = I
+ 1 0 ,
sean x E I, x0 E 1 0	t les que 1 = x + x0 , entonces
x = (x2 + xx0 ) E 1 0	entonces 1 E 1 0 lo cual es absurdo, por lo tanto
I = 12
OBSERVACION 4 .4 . Notemos que si A es F-regular e 1 E F entonces
I = 1 2 , esto es inmediato de la igualdad ¡Al = IA n I .
El siguiente teorema es entonces válido para filtros que hacen de
A un anillo F-regular como para los descritos en el teorema 4 .2 .
TEOREMA 4 .5 .
	
Sea IF un filtro de Gabriel en A, son equivalentes las
siguientes afirmaciones ;
DEMOSTRACION
a) Todo ideal en 1F es idempotente .
b) Si J E F es bilateral, entonces (A/J) A es F-plano.
c) Si J E F es bilateral, entonces JI = J n I para todo
I E F .
a) - c) Sea I E IF, J n I E IF, por lo tanto (J n I) 2 = J n 1 .
JI C J n 1, por otro lado es claro que (J n I) 2 C JI, por consiguiente
c) - a) Sea 1 (-= F, entonces IA E IF, por la hipótesis,
¡Al = IA n I, de aquí que 1 2 = I
b) - c) Es consecuencia del teorema 1 .13 de [41 .
COROLARIO 4 .6 . Si en 4 .5 pedimos que F sea estable entonces c) se
puede modificar por
DEMOSTRACION
Utilizando el mismo argumento que en la demostración del lema
3-5-
c') Si J E IF es ideal bilateral entonces (A/J)A es plano .
Rebut 20 d'agoat del 1982
Mexico 20, D.F .
MEXICO
REFERENCIAS
New York-Berlín : Springer Verlag
1975
Area de la Investigación Científica
Circuito Exterior-Ciudad Universitaria
57
1) Colavita L., Raggi F ., Ríos J . Sobre filtros estables de Gabriel V .
Anales del Instituto de Matemáticas
UNAM, Vol . 17 no . 1 p . 1-16 (1977)
2) Fisher Joe W . Von Neumann regular rings versus
V-rings .
Ring Theory . Proceedings of the
Oklahoma conference .
Marcel Dekker Inc. New York 1974
p . 101-119 .
3) González M . et al . a) Sobre filtros estables de Gabriel I .
Anales del Instituto de Matemáticas
UNAM, Vol . 16 no . 2 p . 135-154
(1976) .
b) Sobre filtros estables de Gabriel II,
Anales del Instituto de Matemáticas
UNAM, Vol . 16 no . 2, p . 155-173
(1976) .
4) Ríos, J . Sobre filtros estables de Gabriel IV
Anales del Instituto de Matemáticas
UNAM . Vol . 17 no . 1, p . 95-108
(1977) .
5) Stenstrom Bo . Rings of Quotients .


Sobre filtros estables de Gabriel VII

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