Bruna, Joaquim

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Pub . Mat . UAB
N° 21 Oct . 1980
Actes VII JMHL
CONJUNTOS DE INTERPOLACION PARA FUNCIONES HOLOMORFAS Y REGULA-
RES EN LA FRONTERA
Joaquim Bruna
Seccib de Matemátiques
Universitat Autónoma de Barcelona
Abstract .- En está comunicación, después de exponer esquemáticamente la si-
tuación, en lo que a resultados y problemas abiertos se refiere, del área
en cuestión, presentamos la*solución a uno de esos problemas abiertos : la
caracterización de los conjuntos cerrados de la circunferencia que son de
interpolación para las funciones holomorfas en el disco unidad y diferencia-
bles en su adherencia .
El área en la qué esta comunicación se encuadra es la del comporta-
miento en la frontera de funciones holomorfas, área a nuestro juicio actual-
mente en "efervescencia" . Nuestra intención es presentar la situación en un
aspecto de esta teoria así como nuestra aportación al mismo .
El aspecto al que nos referimos es el estudio de los llamados conjun-
tos excepcionales para clases de funciones con regularidad fuerte en la fron-
tera, clases que a continuación definimos .
0 es el disco unidad del plano complejo, T la circunferencia unidad .
A designa el á1.geizra del disco, formada por las funciones holomorfas en O y
continuas en D . Si p es un entero positivo, ponemos
AP ={fÉA :
f(j)eA,
j=0, . . .,p}
y si s> 0 es no entero y p= (s], As designa el subespacio de Ap formada por
aquellas f e Ap cuya p-sima derivada satisface en D una condición de Lips-
chitz de orden s-p . Finalmente,'ponemos A-=n AP.
p
Un conjunto cerrado E C T se llama un cero para A (resp .AP, As , A')
si existe f e A (resp .
	
Ap, As , A') tal que E ={eit Jf(e¡t )= 0} . Se llama
de pico para A(resp .AP, As , A') si existe f en la clase tal qúe If(z)J < 1
para z e D/E i f(z)=1 si z e E .
Si f está en una de esas clases, su restricción a T está respectiva-
mente, en los espacios C(T), Cp (T), Lip(s,T) o C'(T) (y reciprocamente) .
E se llama de interpolación para A (resp . Ap, As , A') si dada ~ e C(T) (resp .
CP(T), Lip(s,T), C_(T)), existe f en A (resp . P, P , A s , A') tal que
d?f (eit)= d?t (eit )
dtJ dtJ
para el t e E, j = 0 en el caso A, j = 0, . . . ,p en el caso Ap y A s	(p = [ s]) y
todo j en el caso A' .
El problema es caracterizar estos conjuntos para cada una de esas cla-
ses . Hasta hace poco, la situación era la descrita en el cudro siguiente :
En el cuadro anterior, JET es la medida de Lebesgue de E . Si
es la función distancia a E, E se llama un .conjunto de Carleson si
log p e L 1 (T) . Se llama un ATW-conjunto si además
-l log p dt < const log 1 +const-
I
-
para todo arco I c T y se llama un K-conjunto si
154
sup {p(e
it
), e it e I} > const III .
p(eit)
Todas estas condiciones expresan propiedades del "repartimiento" del conjun-
to E . Naturalmente, todas ellas pueden expresarse en términos de la sucesión
(p n ) de longitudes de las componentes conexas del complementario de E . Una
cuestión importante a destacar creemos que es el hecho de que mientras la
condición de Carleson es una condición "absoluta" y depende tan sólo de la
A A p AS (S > 1) A(S < 1) A"
cero ¡El= 0 conjunto de Conjunto de Conjunto de Conjunto de
Carleson Carleson Carleson Carleson
pico JET = 0 finito finito ? finito
interpolación ¡El= 0 ? K-conjunto K-conjunto ATW-conjunto
(en [31) (en [31) (en [ 1] )
magnitud de los pn , las otras condiciones son bastante más sutiles y depen-
den no sólo del tamaño de las pn sinó también de su posición "relativa" .
En el cuadro anterior vemos pues como problemas abiertos la caracte-
rización de los conjuntos de pico para As con 0<s< 1
	
y la de los conjuntos
de interpolación para AP con p entero y bositivo .
Respecto al primer problema diremos tan sólo que existe una conjetura
en el sentido de que son aquellos conjuntos tales que p-s e 11 (T) ; nosotros
creemos que esta conjetura no es muy buena en el sentido apuntado más arri
ba, de que es ésta una condición absoluta y no depende de la situación rela-
tiva de las componentes del complementario de E .
Respecto la segunda, quizá sea bueno el comentar cuales son las téc-
nicas en los otros casos para ver así donde radican las dificultades .
Para A, las técnicas son las de las álgebras uniformes, con el uso de
las medidas ortogonales . En el caso A' se procede por dualidad, haciendo
uso de que se tiene una transformación de Borel
T(z) =T(w } wlz) Z¢ D , Te (A )
que representa el dual de A¢ en un espacio de funciones holomorfas en el
exterior del disco . Finalmente, para AS, la propiedad esencial es su estabi-
lidad por conjugación (la análoga de la transformada de Hilbert en la cir-
cunferencia) . No existen resultados análogos a éstos en el caso Ap y ello es
la razón por la cual estos resultados no se extienden a este caso .
Nuestra aportación es la caracterización, mediante técnicas construc-
tivas, de los conjuntos de interpolación para AP. Nuestros resultados pueden
sintetizarse en el teorema que sigue . De él quisiéramos destacar la conexión
que establece con el conocido espacio BMO de las funciones con oscilación
media acotada .
Teorema .- Un conjunto cerrado E C T es de interpolación Ap si .y sólo
si cumple las siguientes propiedades que son equivalentes
(a) E es un K-conjunto .
(b) para todo I C T, uT] log p < log ¡Il-const
I
(c) existe 0 < a < 1 tal que p-° ` <-const I _«
I
(d) existe 0< < 1 tal que 1 pa=const I
la . .
TIT I
(e) existe 0 < a < 1 tal que para todo I
156
1{xeI :p(x)<r)I<const II1(m)", r>0
(f) l09 peLl (i) y P[logp1(z) > log(1-1z1)--const
'(g) 1og p e L' (T) y I P[log pl(z)-log ~z),
	
const .
Cada una de estas condiciones implica que log pe BMO . //
Comentarios a hacer sobre el mismo son los siguientes : en primer lu-
gar, la condición no depende de p, y es la misma que para los As . Esto últi-
mo es natural y era lógico de esperar . En segundo lugar, y a la vista de la
condición (b), hay conjuntos de interpolación para A'° que no lo son para
Ap, lo cual ya es algo más sorprendente . Un ejemplo es E= {exp ñ U1 .
Dejando aparte la demostración de la equivalencia de las condiciones
asi como de la necesidad de las mismas, la técnica en la demostración de la
suficiencia es como sigue :
1°Construir funciones externas F(z) que se anulen,ella y sus deriva- ,
das en los puntos de E .
2°Dada O e CP(T), extenderla a D, resolver 5p= 5~~/F en D y poner
f = - wF . Entonces 5f = 50- -5(1J) = 5~ -(5u)F = 0 . .
El problema está en controlar el crecimiento de 0 y de F a fin de
que f satisfaga todos los requerimientos .
3 °El crecimiento (óptimo) de 1 puede conseguirse con el teorema de
extensión de Whitney . El crecimiento óptimo de F seria del tipo
IF(z)I~p(z) p
IF(n) (z)J< const p(z) p-n , n = 0, . . .,p .
La construcción de estas F con este crecimiento óptimo es una de las partes
técnicas dificiles y ya fue resuelta por Dynkin en el caso A` . Nuestra con-
tribución aqui es construir estas funciones usando precisamente las técnicas
de BMO .
4°Con F .de este estilo adecuadas, demostrar las estimaciones siguien-
tes para
~(j)v(z)
I = o(p(z) ` -e , j = 0, . . .,r .
Para más detalles nos referimos a [21 .
REFERENCIAS
[1] H . Alexander- B .A .Taylor- D .L .Williams, "The interpolacióg sets for
A , " J . Math . Anal . Appl ., 36,1(1971), 556-568 .
121 . .J . Bruna, "Boundary interpolation sets for holomorphic functions smooth
at the boundary and BMO" . Aparecerá en Transactions of the A.M .S .
(El anuncio del resultado principal en Comptes Rendus Acad . Sci . Paris,
1980, le Semestre, T .290, N°1)
131 . E .M . Dynkin, "Sets of free interpolation for Holder classes, Mat .
Sbornik, 1979, 109(151), 1(5) .


Conjuntos de interpolación para funciones holomorfas y regulares en la frontera

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Pub . Mat . UABN° 21 Oct . 1980Actes VII JMHLCONJUNTOS DE INTERPOLACION PARA FUNCIONES HOLOMORFAS Y REGULA-RES EN LA FRONTERAJoaquim BrunaSeccib de MatemátiquesUniversitat Autónoma de BarcelonaAbstract .- En está comunicación, después de exponer esquemáticamente la si-tuación, en lo que a resultados y problemas abiertos se refiere, del áreaen cuestión, presentamos la*solución a uno de esos problemas abiertos : lacaracterización de los conjuntos cerrados de la circunferencia que son deinterpolación para las funciones holomorfas en el disco unidad y diferencia-bles en su adherencia .El área en la qué esta comunicación se encuadra es la del comporta-miento en la frontera de funciones holomorfas, área a nuestro juicio actual-mente en "efervescencia" . Nuestra intención es presentar la situación en unaspecto de esta teoria así como nuestra aportación al mismo .El aspecto al que nos referimos es el estudio de los llamados conjun-tos excepcionales para clases de funciones con regularidad fuerte en la fron-tera, clases que a continuación definimos .0 es el disco unidad del plano complejo, T la circunferencia unidad .A designa el á1.geizra del disco, formada por las funciones holomorfas en O ycontinuas en D . Si p es un entero positivo, ponemosAP ={fÉA :f(j)eA,j=0, . . .,p}y si s> 0 es no entero y p= (s], As designa el subespacio de Ap formada poraquellas f e Ap cuya p-sima derivada satisface en D una condición de Lips-chitz de orden s-p . Finalmente,'ponemos A-=n AP.pUn conjunto cerrado E C T se llama un cero para A (resp .AP, As , A')si existe f e A (resp .	Ap, As , A') tal que E ={eit Jf(e¡t )= 0} . Se llamade pico para A(resp .AP, As , A') si existe f en la clase tal qúe If(z)J < 1para z e D/E i f(z)=1 si z e E .Si f está en una de esas clases, su restricción a T está respectiva-mente, en los espacios C(T), Cp (T), Lip(s,T) o C'(T) (y reciprocamente) .E se llama de interpolación para A (resp . Ap, As , A') si dada ~ e C(T) (resp .CP(T), Lip(s,T), C_(T)), existe f en A (resp . P, P , A s , A') tal qued?f (eit)= d?t (eit )dtJ dtJpara el t e E, j = 0 en el caso A, j = 0, . . . ,p en el caso Ap y A s	(p = [ s]) ytodo j en el caso A' .El problema es caracterizar estos conjuntos para cada una de esas cla-ses . Hasta hace poco, la situación era la descrita en el cudro siguiente :En el cuadro anterior, JET es la medida de Lebesgue de E . Sies la función distancia a E, E se llama un .conjunto de Carleson silog p e L 1 (T) . Se llama un ATW-conjunto si además-l log p dt < const log 1 +const-I-para todo arco I c T y se llama un K-conjunto si154sup {p(eit), e it e I} > const III .p(eit)Todas estas condiciones expresan propiedades del "repartimiento" del conjun-to E . Naturalmente, todas ellas pueden expresarse en términos de la sucesión(p n ) de longitudes de las componentes conexas del complementario de E . Unacuestión importante a destacar creemos que es el hecho de que mientras lacondición de Carleson es una condición "absoluta" y depende tan sólo de laA A p AS (S > 1) A(S < 1) A"cero ¡El= 0 conjunto de Conjunto de Conjunto de Conjunto deCarleson Carleson Carleson Carlesonpico JET = 0 finito finito ? finitointerpolación ¡El= 0 ? K-conjunto K-conjunto ATW-conjunto(en [31) (en [31) (en [ 1] )magnitud de los pn , las otras condiciones son bastante más sutiles y depen-den no sólo del tamaño de las pn sinó también de su posición "relativa" .En el cuadro anterior vemos pues como problemas abiertos la caracte-rización de los conjuntos de pico para As con 0<s< 1	y la de los conjuntosde interpolación para AP con p entero y bositivo .Respecto al primer problema diremos tan sólo que existe una conjeturaen el sentido de que son aquellos conjuntos tales que p-s e 11 (T) ; nosotroscreemos que esta conjetura no es muy buena en el sentido apuntado más arriba, de que es ésta una condición absoluta y no depende de la situación rela-tiva de las componentes del complementario de E .Respecto la segunda, quizá sea bueno el comentar cuales son las téc-nicas en los otros casos para ver así donde radican las dificultades .Para A, las técnicas son las de las álgebras uniformes, con el uso delas medidas ortogonales . En el caso A' se procede por dualidad, haciendouso de que se tiene una transformación de BorelT(z) =T(w } wlz) Z¢ D , Te (A )que representa el dual de A¢ en un espacio de funciones holomorfas en elexterior del disco . Finalmente, para AS, la propiedad esencial es su estabi-lidad por conjugación (la análoga de la transformada de Hilbert en la cir-cunferencia) . No existen resultados análogos a éstos en el caso Ap y ello esla razón por la cual estos resultados no se extienden a este caso .Nuestra aportación es la caracterización, mediante técnicas construc-tivas, de los conjuntos de interpolación para AP. Nuestros resultados puedensintetizarse en el teorema que sigue . De él quisiéramos destacar la conexiónque establece con el conocido espacio BMO de las funciones con oscilaciónmedia acotada .Teorema .- Un conjunto cerrado E C T es de interpolación Ap si .y sólosi cumple las siguientes propiedades que son equivalentes(a) E es un K-conjunto .(b) para todo I C T, uT] log p < log ¡Il-constI(c) existe 0 < a < 1 tal que p-° ` <-const I _«I(d) existe 0< < 1 tal que 1 pa=const Ila . .TIT I(e) existe 0 < a < 1 tal que para todo I1561{xeI :p(x)<r)I<const II1(m)", r>0(f) l09 peLl (i) y P[logp1(z) > log(1-1z1)--const'(g) 1og p e L' (T) y I P[log pl(z)-log ~z),	const .Cada una de estas condiciones implica que log pe BMO . //Comentarios a hacer sobre el mismo son los siguientes : en primer lu-gar, la condición no depende de p, y es la misma que para los As . Esto últi-mo es natural y era lógico de esperar . En segundo lugar, y a la vista de lacondición (b), hay conjuntos de interpolación para A'° que no lo son paraAp, lo cual ya es algo más sorprendente . Un ejemplo es E= {exp ñ U1 .Dejando aparte la demostración de la equivalencia de las condicionesasi como de la necesidad de las mismas, la técnica en la demostración de lasuficiencia es como sigue :1°Construir funciones externas F(z) que se anulen,ella y sus deriva- ,das en los puntos de E .2°Dada O e CP(T), extenderla a D, resolver 5p= 5~~/F en D y ponerf = - wF . Entonces 5f = 50- -5(1J) = 5~ -(5u)F = 0 . .El problema está en controlar el crecimiento de 0 y de F a fin deque f satisfaga todos los requerimientos .3 °El crecimiento (óptimo) de 1 puede conseguirse con el teorema deextensión de Whitney . El crecimiento óptimo de F seria del tipoIF(z)I~p(z) pIF(n) (z)J< const p(z) p-n , n = 0, . . .,p .La construcción de estas F con este crecimiento óptimo es una de las partestécnicas dificiles y ya fue resuelta por Dynkin en el caso A` . Nuestra con-tribución aqui es construir estas funciones usando precisamente las técnicasde BMO .4°Con F .de este estilo adecuadas, demostrar las estimaciones siguien-tes para~(j)v(z)I = o(p(z) ` -e , j = 0, . . .,r .Para más detalles nos referimos a [21 .REFERENCIAS[1] H . Alexander- B .A .Taylor- D .L .Williams, "The interpolacióg sets forA , " J . Math . Anal . Appl ., 36,1(1971), 556-568 .121 . .J . Bruna, "Boundary interpolation sets for holomorphic functions smoothat the boundary and BMO" . Aparecerá en Transactions of the A.M .S .(El anuncio del resultado principal en Comptes Rendus Acad . Sci . Paris,1980, le Semestre, T .290, N°1)131 . E .M . Dynkin, "Sets of free interpolation for Holder classes, Mat .Sbornik, 1979, 109(151), 1(5) .

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