Grau i Torre-Marin, Víctor

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Flaix de ciència
Gran o petit, llarg o curt...?
Algunes reflexions sobre la manera com comprenem les magnituds
«Com puc, al mateix temps, estar en el 
present i disposar 
de prou perspectiva per adonar-me que el 
temps passa?»
Sant Agustí, Confessions
Comprar 250 g de pernil o un litre de llet, 
tallar un metre de cordill o esperar el tren 
mitja hora són fets habituals. Intuïtivament 
sabem quin volum de llet tindrem, la longi-
tud del cordill o com de llarga serà l’espera 
a l’estació. Concebre la magnitud de fets 
com aquests no suposa cap mena d’esforç, 
ja que ens hi ajuda la nostra experiència 
quotidiana.
Ara bé, si ens diuen que un disc gira a tren-
ta-tres revolucions per minut segurament 
haurem de fer una petita divisió i observar el 
ritme al qual gira el disc per fer-nos-en una 
idea. Tampoc no ens farem una idea imme-
diata del volum d’un dipòsit de 1.600 litres 
o dels 4 × 1011 estels de la nostra galàxia. I 
és que fàcilment les magnituds depassen la 
nostra comprensió... Tot sovint mesurar és 
un problema resolt, però això no garanteix 
la comprensió de les magnituds mesurades. 
Mesurar
Comencem per posar algun exemple del que 
és o del que no és una magnitud. Ho són, per 
exemple la força, la velocitat o el volum. No 
ho són l’amor, el dolor, la valentia. Siguin o 
no magnituds, de totes podem fer-nos una 
idea del «valor» a través de mesures, de la 
nostra percepció directa o de les nostres 
emocions. La velocitat, per exemple, la po-
dem mesurar amb un regle i un cronòmetre. 
Una operació matemàtica ens en donarà el 
valor i serà més precís com més ho siguin les 
nostres mesures.
I si volem mesurar el dolor? El dolor es defi-
neix com ‘una experiència sensorial i emoci-
onal desagradable’. Un dolor que és tolerable 
per a unes persones pot ser insuportable per 
a altres. El dolor és sempre subjectiu; però 
es busquen maneres de mesurar-lo, com ara 
és donant als pacients una línia d’uns 10 cm 
sobre la qual han de situar la intensitat del 
seu dolor. Però un cop mesurades les magni-
tuds, com les comprenem?
L’experiència
Per a un infant de sis anys una setmana és 
llarguíssima, el curs escolar és enorme i 
pensar a dos anys vista és el futur llunyà. La 
seva experiència vital ha estat de només sis 
anys, i dos en són una eternitat. A mesura 
que ens anem fent grans, la nostra percepció 
del temps canvia, aviat una setmana serà un 
temps curt, i el curs escolar esdevé un perí-
ode raonable. A vint anys mirem deu anys 
enrere i ens sembla molt de temps, i cap a 
cinquanta descobrim que certs records, que 
crèiem propers, ja tenen trenta anys. La nos-
tra percepció del temps va canviant amb la 
nostra experiència vital.
La distància de Vic a Sant Cugat és d’uns 
60 km i la major part de nosaltres ens fem 
una idea clara de què significa això; però 
fixem-nos com. Potser pensem en el viatge 
en cotxe, els revolts que passarem, el temps 
que trigarem i els pobles que passarem, i tot 
això ens dóna una imatge dels 60 km. També 
podem imaginar el plànol i veure les ciutats 
i la carretera. Però si un metre de cordill el 
copsem directament d’una ullada, ara ne-
cessitem l’ajut de referències temporals o 
espacials.
Observem, doncs, que copsar magnituds 
implica referir-se a alguna experiència per-
sonal, fet que ens remet a la coneguda frase 
de Protàgores «l’home és la mesura de totes 
les coses». Aristòtil ho explica dient:
«[...] i no deia altrament que allò que sembla 
a cadascú, allò és sens dubte. Essent així, 
resulta que la mateixa cosa és i no és, que 
és bona i dolenta, i igualment en relació 
amb el que es pot dir amb proposicions 
contradictòries, ja que una cosa apareix a 
uns bella, i a d’altres al contrari: mesura és 
allò que apareix a cadascú.»
L’experiència ens dóna recursos, així l’as-
trònom s’habitua a treballar en anys llum 
i es fa una idea clara de les dimensions a 
l’espai, el biòleg copsa les mides relatives 
dels microorganismes i el geòleg la durada 
dels períodes geològics, però potser no amb 
la immediatesa del litre de llet esmentat al 
principi.
Comprenem millor aquelles magnituds de les quals tenim una experiència di-
recta i que són properes a les dimensions implicades en la nostra vida quotidi-
ana. Si depassen en molt, per excés o defecte, les escales habituals, aleshores 
necessitem referències. En general som capaços d’avaluar amb força precisió 
com de llarg és un metre, però se’ns fa més difícil si pensem en altres magni-
tuds: volums, temps, rotacions... i fàcilment en perdem la perspectiva de les 
dimensions. La mesura ens dóna uns valors, però en copsem la «grandària»? 
Com comprenem les magnituds?
Víctor Grau i Torre-Marin. Escola Politècnica Superior, Universitat de Vic
54
Treballs de la Societat Catalana de Biologia
Pensem millor «en pla»
I si els objectes es corben o giren? Aquí la 
nostra comprensió es posa a prova. Estem 
habituats a un entorn «pla», en el qual te-
nim les nostres experiències, treballar amb 
girs o superfícies corbes demana un esforç 
suplementari. Respecte a les rotacions sor-
prèn força la proposta de Lévy-Leblond en 
què compensa la doble torsió d’una cinta 
aplicant només translacions paral·leles de 
l’extrem d’aquesta, i ens fa veure la propie-
tat geomètrica del nostre espai on l’absència 
de rotació equival a dues voltes completes. 
Aquesta estranya propietat desfigura l’opo-
sició entre les categories recte i corbat, ja que 
mostra que es pot cargolar la cinta sense fer-
la girar.
D’una altra banda, és més fàcil imaginar 
1 m2 sobre un pla que sobre una esfera. I per 
això el problema dels cartògrafs: traslladar 
al pla la superfície de la Terra. De fet, és un 
problema insoluble, ja que és impossible 
projectar fidelment una esfera sobre un pla; 
però sobre el pla sabem treballar: marcar 
rutes o mesurar distàncies. Els primers ma-
pes dibuixaven un món molt petit, fruit de 
la gran quantitat de terres inexplorades; un 
altre cop, la mesura del món estava determi-
nada pel coneixement que en teníem.
El temps
El temps és desconcertant. Com que no en 
tenim cap imatge directa, per copsar-lo ima-
ginem processos de durada similar, compa-
rables. Podem agafar un rellotge, però què 
ens marca el rellotge? Observem el movi-
ment de les busques, i diem que dóna l’hora, 
però el rellotge passa les hores sense fer res 
més que girar: disfressa el temps de movi-
ment i no ens en diu res. El llenguatge quoti-
dià li atribueix «rapidesa», però justament la 
velocitat és una derivada respecte... al temps!
Per afegir-hi més dificultat, la durada mai 
no es fa present in extenso, està formada per 
instants que no coexisteixen. La podem re-
córrer, però no la podem mostrar, només en 
podem percebre els efectes, i és així com en 
copsem la magnitud.
I doncs?
Som capaços de mesurar el temps, l’espai o 
les masses amb una precisió extraordinària, 
però sembla que sense alguna experièn-
cia més vital i directa d’aquestes segueixen 
lluny de la nostra comprensió. Potser ja tenia 
raó Protàgores:
«Les coses són, amb relació a mi, tal com a 
mi em semblen,
 i amb relació a tu, tal com a tu et semblen». 
•
Gran o petit, 
llarg o curt... ?
Bibliografia
Carandell, M. (2012). «Entrevista a John 
Wearden: Provo d’entendre per què 
a la gent gran els dies se’ls fan llargs 
i els mesos curts» [en línia]. UAB 
Divulga (juny). <http://www.uab.es/
servlet/e?cid=1096481464166&pagen
ame=UABDivulga%2FPage%2FTem
platePageDetallArticleInvestigar&par
am1=1340173438747>
Huang, C. The Scale of the Universe 2. 
Aplicació informàtica <http://htwins.
net/scale2/index.html>
Klein, É. (2003). Las tácticas de cronos. 
Siruela («Biblioteca de Ensayo», núm. 
41).
Lévy-Leblond, J. M. (1996). Conceptos 
contrarios o el oficio de científico. 
Tusquets («Metatemas», núm. 70).
Víctor Grau i Torre-Marin (San-
ta Coloma de Gramenet, 1962) 
és llicenciat en ciències físiques 
per la Universitat de Barcelona i 
doctor en ciències físiques per la 
Universitat Politècnica de Catalu-
nya. Ha estat professor a la UPC 
des del 1992 i, des del 2006, a la Universitat de Vic.
Va iniciar la seva carrera investigadora treballant en matèria 
condensada i actualment centra la seva recerca en la didàc-
tica de la ciència i les matemàtiques dins del Departament 
de Didàctica de les Arts i les Ciències de la UVIC. És també 
creador i director de la iniciativa PhysicS! (www.physics.cat) 
per apropar la física als centres d’ensenyament de Catalunya.
55
Treballs de la Societat Catalana de Biologia


Gran o petit, llarg o curt...?: algunes reflexions sobre la manera com comprenem les magnituds

Hemeroteca Cientifica Catalana

Flaix de ciènciaGran o petit, llarg o curt...?Algunes reflexions sobre la manera com comprenem les magnituds«Com puc, al mateix temps, estar en el present i disposar de prou perspectiva per adonar-me que el temps passa?»Sant Agustí, ConfessionsComprar 250 g de pernil o un litre de llet, tallar un metre de cordill o esperar el tren mitja hora són fets habituals. Intuïtivament sabem quin volum de llet tindrem, la longi-tud del cordill o com de llarga serà l’espera a l’estació. Concebre la magnitud de fets com aquests no suposa cap mena d’esforç, ja que ens hi ajuda la nostra experiència quotidiana.Ara bé, si ens diuen que un disc gira a tren-ta-tres revolucions per minut segurament haurem de fer una petita divisió i observar el ritme al qual gira el disc per fer-nos-en una idea. Tampoc no ens farem una idea imme-diata del volum d’un dipòsit de 1.600 litres o dels 4 × 1011 estels de la nostra galàxia. I és que fàcilment les magnituds depassen la nostra comprensió... Tot sovint mesurar és un problema resolt, però això no garanteix la comprensió de les magnituds mesurades. MesurarComencem per posar algun exemple del que és o del que no és una magnitud. Ho són, per exemple la força, la velocitat o el volum. No ho són l’amor, el dolor, la valentia. Siguin o no magnituds, de totes podem fer-nos una idea del «valor» a través de mesures, de la nostra percepció directa o de les nostres emocions. La velocitat, per exemple, la po-dem mesurar amb un regle i un cronòmetre. Una operació matemàtica ens en donarà el valor i serà més precís com més ho siguin les nostres mesures.I si volem mesurar el dolor? El dolor es defi-neix com ‘una experiència sensorial i emoci-onal desagradable’. Un dolor que és tolerable per a unes persones pot ser insuportable per a altres. El dolor és sempre subjectiu; però es busquen maneres de mesurar-lo, com ara és donant als pacients una línia d’uns 10 cm sobre la qual han de situar la intensitat del seu dolor. Però un cop mesurades les magni-tuds, com les comprenem?L’experiènciaPer a un infant de sis anys una setmana és llarguíssima, el curs escolar és enorme i pensar a dos anys vista és el futur llunyà. La seva experiència vital ha estat de només sis anys, i dos en són una eternitat. A mesura que ens anem fent grans, la nostra percepció del temps canvia, aviat una setmana serà un temps curt, i el curs escolar esdevé un perí-ode raonable. A vint anys mirem deu anys enrere i ens sembla molt de temps, i cap a cinquanta descobrim que certs records, que crèiem propers, ja tenen trenta anys. La nos-tra percepció del temps va canviant amb la nostra experiència vital.La distància de Vic a Sant Cugat és d’uns 60 km i la major part de nosaltres ens fem una idea clara de què significa això; però fixem-nos com. Potser pensem en el viatge en cotxe, els revolts que passarem, el temps que trigarem i els pobles que passarem, i tot això ens dóna una imatge dels 60 km. També podem imaginar el plànol i veure les ciutats i la carretera. Però si un metre de cordill el copsem directament d’una ullada, ara ne-cessitem l’ajut de referències temporals o espacials.Observem, doncs, que copsar magnituds implica referir-se a alguna experiència per-sonal, fet que ens remet a la coneguda frase de Protàgores «l’home és la mesura de totes les coses». Aristòtil ho explica dient:«[...] i no deia altrament que allò que sembla a cadascú, allò és sens dubte. Essent així, resulta que la mateixa cosa és i no és, que és bona i dolenta, i igualment en relació amb el que es pot dir amb proposicions contradictòries, ja que una cosa apareix a uns bella, i a d’altres al contrari: mesura és allò que apareix a cadascú.»L’experiència ens dóna recursos, així l’as-trònom s’habitua a treballar en anys llum i es fa una idea clara de les dimensions a l’espai, el biòleg copsa les mides relatives dels microorganismes i el geòleg la durada dels períodes geològics, però potser no amb la immediatesa del litre de llet esmentat al principi.Comprenem millor aquelles magnituds de les quals tenim una experiència di-recta i que són properes a les dimensions implicades en la nostra vida quotidi-ana. Si depassen en molt, per excés o defecte, les escales habituals, aleshores necessitem referències. En general som capaços d’avaluar amb força precisió com de llarg és un metre, però se’ns fa més difícil si pensem en altres magni-tuds: volums, temps, rotacions... i fàcilment en perdem la perspectiva de les dimensions. La mesura ens dóna uns valors, però en copsem la «grandària»? Com comprenem les magnituds?Víctor Grau i Torre-Marin. Escola Politècnica Superior, Universitat de Vic54Treballs de la Societat Catalana de BiologiaPensem millor «en pla»I si els objectes es corben o giren? Aquí la nostra comprensió es posa a prova. Estem habituats a un entorn «pla», en el qual te-nim les nostres experiències, treballar amb girs o superfícies corbes demana un esforç suplementari. Respecte a les rotacions sor-prèn força la proposta de Lévy-Leblond en què compensa la doble torsió d’una cinta aplicant només translacions paral·leles de l’extrem d’aquesta, i ens fa veure la propie-tat geomètrica del nostre espai on l’absència de rotació equival a dues voltes completes. Aquesta estranya propietat desfigura l’opo-sició entre les categories recte i corbat, ja que mostra que es pot cargolar la cinta sense fer-la girar.D’una altra banda, és més fàcil imaginar 1 m2 sobre un pla que sobre una esfera. I per això el problema dels cartògrafs: traslladar al pla la superfície de la Terra. De fet, és un problema insoluble, ja que és impossible projectar fidelment una esfera sobre un pla; però sobre el pla sabem treballar: marcar rutes o mesurar distàncies. Els primers ma-pes dibuixaven un món molt petit, fruit de la gran quantitat de terres inexplorades; un altre cop, la mesura del món estava determi-nada pel coneixement que en teníem.El tempsEl temps és desconcertant. Com que no en tenim cap imatge directa, per copsar-lo ima-ginem processos de durada similar, compa-rables. Podem agafar un rellotge, però què ens marca el rellotge? Observem el movi-ment de les busques, i diem que dóna l’hora, però el rellotge passa les hores sense fer res més que girar: disfressa el temps de movi-ment i no ens en diu res. El llenguatge quoti-dià li atribueix «rapidesa», però justament la velocitat és una derivada respecte... al temps!Per afegir-hi més dificultat, la durada mai no es fa present in extenso, està formada per instants que no coexisteixen. La podem re-córrer, però no la podem mostrar, només en podem percebre els efectes, i és així com en copsem la magnitud.I doncs?Som capaços de mesurar el temps, l’espai o les masses amb una precisió extraordinària, però sembla que sense alguna experièn-cia més vital i directa d’aquestes segueixen lluny de la nostra comprensió. Potser ja tenia raó Protàgores:«Les coses són, amb relació a mi, tal com a mi em semblen, i amb relació a tu, tal com a tu et semblen». •Gran o petit, llarg o curt... ?BibliografiaCarandell, M. (2012). «Entrevista a John Wearden: Provo d’entendre per què a la gent gran els dies se’ls fan llargs i els mesos curts» [en línia]. UAB Divulga (juny). <http://www.uab.es/servlet/e?cid=1096481464166&pagename=UABDivulga%2FPage%2FTemplatePageDetallArticleInvestigar&param1=1340173438747>Huang, C. The Scale of the Universe 2. Aplicació informàtica <http://htwins.net/scale2/index.html>Klein, É. (2003). Las tácticas de cronos. Siruela («Biblioteca de Ensayo», núm. 41).Lévy-Leblond, J. M. (1996). Conceptos contrarios o el oficio de científico. Tusquets («Metatemas», núm. 70).Víctor Grau i Torre-Marin (San-ta Coloma de Gramenet, 1962) és llicenciat en ciències físiques per la Universitat de Barcelona i doctor en ciències físiques per la Universitat Politècnica de Catalu-nya. Ha estat professor a la UPC des del 1992 i, des del 2006, a la Universitat de Vic.Va iniciar la seva carrera investigadora treballant en matèria condensada i actualment centra la seva recerca en la didàc-tica de la ciència i les matemàtiques dins del Departament de Didàctica de les Arts i les Ciències de la UVIC. És també creador i director de la iniciativa PhysicS! (www.physics.cat) per apropar la física als centres d’ensenyament de Catalunya.55Treballs de la Societat Catalana de Biologia

Gran o petit, llarg o curt...?: algunes reflexions sobre la manera com comprenem les magnituds

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Hemeroteca Cientifica Catalana