Inspirándonos en el diseño del Ensanche de Barcelona de Ildefonso Cerdá, definimos una nueva distancia estadística, denominada la distancia del ensanche. Se estudian algunas propiedades de esta función de distancia y se proponen algunas posibles aplicaciones

Greenacre, Michael

Greenacre, Michael J.

UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC

QU¨ESTIIO´, vol. 26, 3, p. 503-513, 2002LA DIST `ANCIA DE l’EIXAMPLEM. GREENACREUniversitat Pompeu Fabra∗Inspirant-nos en el disseny de l’Eixample de Barcelona per Ildefons Cerd a`,definim una nova dista`ncia estadı´stica, anomenada la dista`ncia de l’eixam-ple. Estudiarem algunes propietats d’aquesta funci o´ de dista`ncia i propo-sem algunes possibles aplicacions.The Eixample DistanceParaules clau: Statistical distance, Manhattan distance, Euclidean dis-tanceClassificacio´ AMS (MSC 2000): 62H17, 62H25* Universitat Pompeu Fabra. Barcelona.– Rebut al desembre de 2001.– Acceptat a l’octubre de 2002.5031. INTRODUCCI ´OIldefons Cerda` i Sunyer (1815-1876), el dissenyador de l’Eixample de Barcelona, noera nome´s enginyer, urbaniste i catalanista. El 1856, tres anys abans de presentar ElProyecto de Ensanche de 1859, va publicar el seu primer llibre: Una Monograf ı´a Es-tadı´stica de la Classe Obrera de Barcelona. Era una obra molt detallada, plena de taulesi llistes, basada en fets recollits pel mateix Cerda`, i era el primer estudi de l’espai urba`de Barcelona, dels serveis de transport i de sanitat i de les condicions de treball delsseus ciutadans. Mai no s’havia donat a aquests assumptes una base estadı´stica, i aques-ta base so`lida de dades el va conduir a una visio´ global de les necessitats de la ciutatrenovada i reconstruı¨da.Figura 1. Ildefons Cerda` i Sunyer (1815-1876).No entrarem en me´s detalls del Pla Cerda`, a part de citar, segons l’exposicio´ del PlaCerda` i de Urbs Quadrada, organitzada a la Universitat Pompeu Fabra per l’Institutd’Estudis Territorials l’any 1999, que Cerda` va deduir «la dimensi o´ de la mansana... atrave´s d’una fo´rmula matema`tica que considera com variables l’amplada del carrer, lalongitud de la fac¸ana, la fonda`ria del solar, les caracterı´stiques de la unitat d’habitacio´504definida el 1855 i el nombre de metres quadrats per habitant». Sembla que Cerda` vatenir habilitat tambe´ per a l’ana`lisi multivariant.En aquest article ens inspirem en el disseny ba`sic de les mansanes de l’eixample, pro-posada per en Cerda`, per donar a la llum una nova mesura de dista`ncia estadı´stica. Elsque han caminat per l’eixample s’han adonat que e´s possible escurc¸ar la dista`ncia entredos punts aprofitant dels xamfrans1 a cada cantonada d’una mansana. Definirem unadista`ncia suggerida d’aquesta observacio´, que anomenarem la dist a`ncia de l’eixample,i n’estudiarem algunes propietats i possibles aplicacions.Figura 2. La visio´ d’en Cerda`.2. DIST `ANCIA DE l’EIXAMPLE: DEFINICI ´OPer al nostre objectiu e´s suficient de considerar un eixample sense carrers ni voreresentre les mansanes. Aixo` no e´s cap restriccio´, perque` podem suposar que aquesta am-plada esta` continguda en la longitud de les fac¸anes. ´Es a dir, si el carrer i les vorerestenen un amplada total de 35 m (que era, de fet, l’amplada recomanada per Cerda`), espot comptar aquesta longitud en la de la fac¸ana de cada edifici.1xamfra` Xamfra` constituı¨da per un pla que forma angles obtusos, especialment de 135◦, amb cadascunade les dues fac¸anes que la determinen.505Figura 3. Un Eixample sense Carrers ni Voreres.Aleshores considerem un eixample com el dibuixat a la Figura 3. Cada mansana te´ vuitcostats, quatre fac¸anes i quatre xamfrans (Figura 4), i suposem que l’angle del xamfra`e´s de 135◦. Sigui a la longitud de la fac¸ana i b la longitud del seu xamfra`. Anomenemla longitud del quadre format per la mansana la longitud exterior. La longitud exteriorde la mansana e´s igual a a+√2b.Suposem que hem de calcular la dista`ncia entre un punt amb coordenades (x 1, y1) i unaltre amb coordenades (x2, y2). Siguin les difere`ncies absolutes entre les coordenades:x = |x1− x2| y = |y1 − y2|aba+√2bFigura 4. Longitud de la fac¸ana i de la xamfra`, i longitud exterior.506Provisionalment suposem que els nu´meros positius x i y tenen un factor comu´. Unexemple senzill seria x = 2 i y = 3 amb factor comu´ 1. Llavors suposem que la lon-gitud exterior de cada fac¸ana e´s igual a 1, e´s a dir a+√2b = 1.Figura 5. La dista`ncia de l’eixample (en trac¸ gruixut).A la Figura 5 els dos punts en negre tenen la posicio´ relativa desitjada (comencem iacabem sempre a la mateixa posicio´ en una mansana, en aquest cas al punt nord de lacruı¨lla). Per caminar una dista`ncia mı´nima entre aquests dos punts haurı´em de passarper 5 fac¸anes i 6 xamfrans. ´Es fa`cil deduir que el nu´mero de fac¸anes e´s igual a la sumade x i y, i que el nu´mero de xamfrans e´s igual a la suma me´s la difere`ncia absoluta. Enaquest exemple 2+3= 5 i 2+3+ |2−3|= 6. Llavors la dista`ncia a caminar e´s igual a5a+6b.Un altre exemple me´s concret e´s la dista`ncia a caminar entre el Forum Verg e´s, actual-ment l’Institut d’Educacio´ Continua (IdEC) de la Universitat Pompeu Fabra, a la cruı¨llade Balmes i Rossello´, i La Pedrera de Gaudı´ a la cruı¨lla de Provenc¸a i Passeig de Gra`cia.Aquests edificis tenen la mateixa orientacio´ al sud-oest de les mansanes respectives, itenen una illa de difere`ncia en la direccio´ nord-sud i dues en la direccio´ est-oest. Ales-hores, la dista`ncia a caminar e´s igual a 3a+4b, on a e´s en aquest cas la longitud de lafac¸ana me´s l’amplada del carrer (suposant, e´s clar, que cada mansana e´s perfectamentquadrada).Aquest resultat no depe`n de la mida de la mansana, pero` sı´ que depe`n de la relacio´ entrea i b. Si enlloc de mansanes de longitud exterior 1, considerem mansanes de longitudexterior 1/n, on n e´s un enter, el nombre de fac¸anes i xamfrans a caminar esta` multiplicatper n, pero` la longitud de cada fac¸ana i xamfra` esta` dividida per n, llavors la dista`ncia a507caminar queda igual. En general, per a nombres x i y reals, no trobarem necessa`riamentun factor comu´ per dividir el pla en mansanes. Pero`, per a nombres arrodonits semprepodem escriure:x = m×10k y = n×10kon m,n i k so´n enters, m,n positius i k tant gran en valor absolut com volguem. Alesho-res la longitud exterior de la fac¸ana sera` 10 k i el punt tindra` m mansanes de difere`ncia al’eix horitzontal i n a l’eix vertical.Les longituds a i b de la fac¸ana amb longitud exterior de 10 k han de satisfer la igualtat:a+√2b = 10k. Si definim la relacio´ entre b i a com c = b/a, llavors:a =11+√2c= 10k b = c1+√2c10ki la dista`ncia a caminar e´s igual a:d = (m+n)a+(m+n+ |m−n|)b= (x+ y)11+√2c+(x+ y+ |x− y|) c1+√2cIntroduı¨m algunes definicions:➢ Una mansana de Cerda` e´s un octa`gon que te´ la forma de la Figura 4: tots elsangles interiors so´n de 135◦ i els costats i els xamfrans poden tenir longitudsdiferents.➢ El nu´mero de Cerda` c e´s la relacio´ b/a entre les longituds del xamfra` i de lafac¸ana d’una mansana.➢ Un eixample e´s una matriu de maI, finalment, la definicio´ de la dista`ncia de l’eixample:➢ Sigui x i y la difere`ncia absolut(x1,y1) i (x2,y2): x = |x1 − x2|, y = |y1 − y2|; sigui c el nu´mero de Cerda` del’eixample. La dista`ncia de l’eixample entre els dos punts esta` definida com:11+√2c(x+ y)+c1+√2c(x+ y+ |x− y|)=1+ c1+√2c(x+ y)+c1+√2c(|x− y|)5083. PROPIETATS• ´Es evident que la dista`ncia de l’eixample e´s una me`trica, e´s a dir que satisfa` ladesigualtat triangular. Per anar d’un punt A a un punt B, e´s impossible que elcamı´ de A a un tercer punt C i de C a B sigui me´s curt.• No e´s evident si la dista`ncia de l’eixample es pot representar en un espai euclidia` ono. ´Es un problema obert provar que podem fer una «immersio´» («embedding»)de les dista`ncies entre un conjunt de punts dins d’un espai euclidia`.• La dista`ncia de l’eixample e´s sempre me´s llarga que la dista`ncia Pitagoriana (nor-ma L2).• Comparada amb la dista`ncia de Manhattan (norma L 1), la dista`ncia de l’eixamplepot ser me´s curta o me´s llarga depenent de la «diagonalitat» del trajecte. Perfer un trajecte de x mansanes horizontals i y mansanes verticals, la dista`ncia deManhattan DM i la dista`ncia de l’eixample DE so´n:DM = (x+ y)(a+√2b)DE = (x+ y)a+(x+ y+ |x− y|)bEs pot demostrar que DE < DM quan el pendent y/x e´s entre els valors√2−1=0,4142 i 1/(√2−1)= 2,4142. La curiositat d’aquest resultat e´s que no depe`n delnu´mero de Cerda`. Quan s’ha de caminar entre dos punts i el trajecte e´s «menysdiagonal» que aproximadament dues illes en un sentit i cinc illes en l’altre, pertant la dista`ncia de l’eixample e´s me´s llarga que la dista`ncia de Manhattan. Me´sconcretament si heu de caminar entre el Forum Verge´s i La Pedrera (pendent0,5), el camı´ e´s me´s curt gra`cies al disseny de l’eixample. Pero` per caminar entreel Forum Verge´s i la cruı¨lla Rambla de Catalunya i Vale`ncia (pendent 3), heude caminar una mica me´s a causa dels xamfrans extres que cal passar baixantBalmes o la Rambla.4 APLICACIONSL’idea de parametritzar la mesura de dista`ncia e´s nova i te´ aplicacions potencials. Jugantamb el para`metre c de la dista`ncia podrem introduir me´s informacio´ en la dista`ncia en-tre objectes que finalment representarem visualment en un gra`fic. Per exemple, podremestimar c per ajustar les dista`ncies millor al pla bidimensional de representacio´, i des-pre´s podrem donar una interpretacio´ de la estimacio´. ´Es tambe´ possible de generalitzarla dista`ncia de l’eixample a illes rectangulars, que te´ sentit quan tenim dues variablesd’escales diferents. En aquest cas la xamfra` no tindra` necessa`riament un angle interiorde 135◦.509Una generalitzacio´ multidimensional sera` igualment interessant. Inspirant-nos en ladista`ncia de l’eixample, podem definir dista`ncies que so´n combinacions lineals de dis-ta`ncies conegudes, p.e. les dista`ncies L1 i L2:D(x,y,λ) = λd1(x,y)+ (1−λ)d2(x,y)on x i y so´n vectors multidimensionels, d1 e´s la dista`ncia L1 de Manhattan, d2 e´s ladista`ncia L2 euclideana, i λ e´s un para`metre entre 0 i 1 que es pot definir o estimar,segons l’aplicacio´.AGRA¨IMENTSVoldria donar gra`cies a en Daniel Serra, de l’Institut d’Estudis Territorials, d’haverportat a la Universitat Pompeu Fabra l’exposicio´ «Urbs Quadrada» sobre el projecte del’Eixample, i pels seus comentaris u´tils. S’agraeix l’ajut BFM2000-1064 del Ministeride Cie`ncia i Tecnologia.REFER `ENCIESMagrinya`, F. & Tarrago´, S. (1994). Cerda`. Urbs i Territori, una visio´ del futur. Cata`legde l’exposicio´.510ENGLISH SUMMARYTHE EIXAMPLE DISTANCEM. GREENACREUniversitat Pompeu Fabra∗Taking our inspiration from the design of the Eixample district in Barcelo-na by Ildefons Cerda`, we define a new statistical distance function, calledthe Eixample Distance. We study some properties of this distance and pro-pose some possible applications.Keywords: Statistical distance, Manhattan distance, Euclidean distanceAMS Classification (MSC 2000): 62H17, 62H25* Universitat Pompeu Fabra. Barcelona.– Received December 2001.– Accepted October 2002.5111. INTRODUCTIONThe Catalan engineer and town planner, Ildefons Cerda` (1815-1876) was commissionedwith the remodelling of the district of Barcelona called the Eixample (literally: «broadaxis»). Cerda` based his design partially on a detailed statistical analysis of the urbanarea of Barcelona, its public transport and the needs of the residents. The key ideawas an urban layout in the form of blocks, each of which has an interior courtyardand a characteristic octagonal shape with its four oblique «cut-off» corners providingspacious intersections. The design of the Eixample has inspired a distance function,called the Eixample distance, which imitates a path traced by a pedestrian in this districttrying to minimize the distance between two points by taking maximum advantage ofthe oblique corners.2. THE EIXAMPLE DISTANCE: DEFINITIONThe Eixample distance is a particular combination of a distance in a «north-south» or«east-west» sense and a distance in a diagonal sense, like the sides and oblique cornersrespectively of a typical Eixample block in Barcelona.This distance depends on the ratio between the length of the diagonal corner of theblock (called a xamfra` in catalan) and the length of the fac¸ade (or fac¸ana), where weincorporate the width of the street into the fac¸ade without lack of generality. We callthis ratio the Cerda` index, and denote it by c.The Eixample distance between two points (x1,x2) and (y1,y2) , where x= |x1− x2| andy = |y1 − y2| are the absolute differences between the respective coordinates, can thenbe shown to be equal to:11+√2c(x+ y)+c1+√2c(x+ y+ |x− y|)=1+ c1+√2c(x+ y)+c1+√2c(|x− y|)3. PROPERTIES AND APPLICATIONSThe Eixample distance is a metric, but it is not clear whether it is Euclidean embed-dable or not. It is always larger than the Pythagorean (or L 2) distance. Compared tothe Manhattan (or city-block, or L1) distance it will be shorter or longer depending onthe «diagonality» of the trajectory between the two points. When the slope between the512two points is between the values√2−1 and 1/(√2−1), the Eixample distance will beshorter than the Manhattan distance.The novelty of this new distance measure is that it contains a parameter, the Cerda`index. This parameter can be varied between 0 and 1 according to some external crite-rion, for example the quality of the visualization of the distances in a multidimensionalscaling. Thus the introduction of the parameter coul lead to an improved fit of distancerepresentations in multidimensional scaling displays. Parametrizing the distance func-tion allows additional information to be included in the distance and in the eventualanalysis of distance.Since the Eixample distance is a type of combination of different distances, this alsosuggests defining distance functions that are combinations of well-known distances,such as a convex linear combination of the L1 and L2 distances, leading to a moreflexible class of distance measures.513

La distància de l'eixample

UPCommons

Revistes Catalanes amb Accés Obert

QU¨ESTIIO´, vol. 26, 3, p. 503-513, 2002
LA DIST `ANCIA DE l’EIXAMPLE
M. GREENACRE
Universitat Pompeu Fabra∗
Inspirant-nos en el disseny de l’Eixample de Barcelona per Ildefons Cerd a`,
definim una nova dista`ncia estadı´stica, anomenada la dista`ncia de l’eixam-
ple. Estudiarem algunes propietats d’aquesta funci o´ de dista`ncia i propo-
sem algunes possibles aplicacions.
The Eixample Distance
Paraules clau: Statistical distance, Manhattan distance, Euclidean dis-
tance
Classificacio´ AMS (MSC 2000): 62H17, 62H25
* Universitat Pompeu Fabra. Barcelona.
– Rebut al desembre de 2001.
– Acceptat a l’octubre de 2002.
503
1. INTRODUCCI ´O
Ildefons Cerda` i Sunyer (1815-1876), el dissenyador de l’Eixample de Barcelona, no
era nome´s enginyer, urbaniste i catalanista. El 1856, tres anys abans de presentar El
Proyecto de Ensanche de 1859, va publicar el seu primer llibre: Una Monograf ı´a Es-
tadı´stica de la Classe Obrera de Barcelona. Era una obra molt detallada, plena de taules
i llistes, basada en fets recollits pel mateix Cerda`, i era el primer estudi de l’espai urba`
de Barcelona, dels serveis de transport i de sanitat i de les condicions de treball dels
seus ciutadans. Mai no s’havia donat a aquests assumptes una base estadı´stica, i aques-
ta base so`lida de dades el va conduir a una visio´ global de les necessitats de la ciutat
renovada i reconstruı¨da.
Figura 1. Ildefons Cerda` i Sunyer (1815-1876).
No entrarem en me´s detalls del Pla Cerda`, a part de citar, segons l’exposicio´ del Pla
Cerda` i de Urbs Quadrada, organitzada a la Universitat Pompeu Fabra per l’Institut
d’Estudis Territorials l’any 1999, que Cerda` va deduir «la dimensi o´ de la mansana... a
trave´s d’una fo´rmula matema`tica que considera com variables l’amplada del carrer, la
longitud de la fac¸ana, la fonda`ria del solar, les caracterı´stiques de la unitat d’habitacio´
504
definida el 1855 i el nombre de metres quadrats per habitant». Sembla que Cerda` va
tenir habilitat tambe´ per a l’ana`lisi multivariant.
En aquest article ens inspirem en el disseny ba`sic de les mansanes de l’eixample, pro-
posada per en Cerda`, per donar a la llum una nova mesura de dista`ncia estadı´stica. Els
que han caminat per l’eixample s’han adonat que e´s possible escurc¸ar la dista`ncia entre
dos punts aprofitant dels xamfrans1 a cada cantonada d’una mansana. Definirem una
dista`ncia suggerida d’aquesta observacio´, que anomenarem la dist a`ncia de l’eixample,
i n’estudiarem algunes propietats i possibles aplicacions.
Figura 2. La visio´ d’en Cerda`.
2. DIST `ANCIA DE l’EIXAMPLE: DEFINICI ´O
Per al nostre objectiu e´s suficient de considerar un eixample sense carrers ni voreres
entre les mansanes. Aixo` no e´s cap restriccio´, perque` podem suposar que aquesta am-
plada esta` continguda en la longitud de les fac¸anes. ´Es a dir, si el carrer i les voreres
tenen un amplada total de 35 m (que era, de fet, l’amplada recomanada per Cerda`), es
pot comptar aquesta longitud en la de la fac¸ana de cada edifici.
1xamfra` Xamfra` constituı¨da per un pla que forma angles obtusos, especialment de 135◦, amb cadascuna
de les dues fac¸anes que la determinen.
505
Figura 3. Un Eixample sense Carrers ni Voreres.
Aleshores considerem un eixample com el dibuixat a la Figura 3. Cada mansana te´ vuit
costats, quatre fac¸anes i quatre xamfrans (Figura 4), i suposem que l’angle del xamfra`
e´s de 135◦. Sigui a la longitud de la fac¸ana i b la longitud del seu xamfra`. Anomenem
la longitud del quadre format per la mansana la longitud exterior. La longitud exterior
de la mansana e´s igual a a+
√
2b.
Suposem que hem de calcular la dista`ncia entre un punt amb coordenades (x 1, y1) i un
altre amb coordenades (x2, y2). Siguin les difere`ncies absolutes entre les coordenades:
x = |x1− x2| y = |y1 − y2|
a
b
a+
√
2b
Figura 4. Longitud de la fac¸ana i de la xamfra`, i longitud exterior.
506
Provisionalment suposem que els nu´meros positius x i y tenen un factor comu´. Un
exemple senzill seria x = 2 i y = 3 amb factor comu´ 1. Llavors suposem que la lon-
gitud exterior de cada fac¸ana e´s igual a 1, e´s a dir a+
√
2b = 1.
Figura 5. La dista`ncia de l’eixample (en trac¸ gruixut).
A la Figura 5 els dos punts en negre tenen la posicio´ relativa desitjada (comencem i
acabem sempre a la mateixa posicio´ en una mansana, en aquest cas al punt nord de la
cruı¨lla). Per caminar una dista`ncia mı´nima entre aquests dos punts haurı´em de passar
per 5 fac¸anes i 6 xamfrans. ´Es fa`cil deduir que el nu´mero de fac¸anes e´s igual a la suma
de x i y, i que el nu´mero de xamfrans e´s igual a la suma me´s la difere`ncia absoluta. En
aquest exemple 2+3= 5 i 2+3+ |2−3|= 6. Llavors la dista`ncia a caminar e´s igual a
5a+6b.
Un altre exemple me´s concret e´s la dista`ncia a caminar entre el Forum Verg e´s, actual-
ment l’Institut d’Educacio´ Continua (IdEC) de la Universitat Pompeu Fabra, a la cruı¨lla
de Balmes i Rossello´, i La Pedrera de Gaudı´ a la cruı¨lla de Provenc¸a i Passeig de Gra`cia.
Aquests edificis tenen la mateixa orientacio´ al sud-oest de les mansanes respectives, i
tenen una illa de difere`ncia en la direccio´ nord-sud i dues en la direccio´ est-oest. Ales-
hores, la dista`ncia a caminar e´s igual a 3a+4b, on a e´s en aquest cas la longitud de la
fac¸ana me´s l’amplada del carrer (suposant, e´s clar, que cada mansana e´s perfectament
quadrada).
Aquest resultat no depe`n de la mida de la mansana, pero` sı´ que depe`n de la relacio´ entre
a i b. Si enlloc de mansanes de longitud exterior 1, considerem mansanes de longitud
exterior 1/n, on n e´s un enter, el nombre de fac¸anes i xamfrans a caminar esta` multiplicat
per n, pero` la longitud de cada fac¸ana i xamfra` esta` dividida per n, llavors la dista`ncia a
507
caminar queda igual. En general, per a nombres x i y reals, no trobarem necessa`riament
un factor comu´ per dividir el pla en mansanes. Pero`, per a nombres arrodonits sempre
podem escriure:
x = m×10k y = n×10k
on m,n i k so´n enters, m,n positius i k tant gran en valor absolut com volguem. Alesho-
res la longitud exterior de la fac¸ana sera` 10 k i el punt tindra` m mansanes de difere`ncia a
l’eix horitzontal i n a l’eix vertical.
Les longituds a i b de la fac¸ana amb longitud exterior de 10 k han de satisfer la igualtat:
a+
√
2b = 10k. Si definim la relacio´ entre b i a com c = b/a, llavors:
a =
1
1+
√
2c
= 10k b = c
1+
√
2c
10k
i la dista`ncia a caminar e´s igual a:
d = (m+n)a+(m+n+ |m−n|)b
= (x+ y)
1
1+
√
2c
+
(
x+ y+ |x− y|) c
1+
√
2c
Introduı¨m algunes definicions:
➢ Una mansana de Cerda` e´s un octa`gon que te´ la forma de la Figura 4: tots els
angles interiors so´n de 135◦ i els costats i els xamfrans poden tenir longituds
diferents.
➢ El nu´mero de Cerda` c e´s la relacio´ b/a entre les longituds del xamfra` i de la
fac¸ana d’una mansana.
➢ Un eixample e´s una matriu de ma
I, finalment, la definicio´ de la dista`ncia de l’eixample:
➢ Sigui x i y la difere`ncia absolut
(x1,y1) i (x2,y2): x = |x1 − x2|, y = |y1 − y2|; sigui c el nu´mero de Cerda` de
l’eixample. La dista`ncia de l’eixample entre els dos punts esta` definida com:
1
1+
√
2c
(x+ y)+
c
1+
√
2c
(x+ y+ |x− y|)
=
1+ c
1+
√
2c
(x+ y)+
c
1+
√
2c
(|x− y|)
508
3. PROPIETATS
• ´Es evident que la dista`ncia de l’eixample e´s una me`trica, e´s a dir que satisfa` la
desigualtat triangular. Per anar d’un punt A a un punt B, e´s impossible que el
camı´ de A a un tercer punt C i de C a B sigui me´s curt.
• No e´s evident si la dista`ncia de l’eixample es pot representar en un espai euclidia` o
no. ´Es un problema obert provar que podem fer una «immersio´» («embedding»)
de les dista`ncies entre un conjunt de punts dins d’un espai euclidia`.
• La dista`ncia de l’eixample e´s sempre me´s llarga que la dista`ncia Pitagoriana (nor-
ma L2).
• Comparada amb la dista`ncia de Manhattan (norma L 1), la dista`ncia de l’eixample
pot ser me´s curta o me´s llarga depenent de la «diagonalitat» del trajecte. Per
fer un trajecte de x mansanes horizontals i y mansanes verticals, la dista`ncia de
Manhattan DM i la dista`ncia de l’eixample DE so´n:
DM = (x+ y)(a+
√
2b)
DE = (x+ y)a+(x+ y+ |x− y|)b
Es pot demostrar que DE < DM quan el pendent y/x e´s entre els valors
√
2−1=
0,4142 i 1/(
√
2−1)= 2,4142. La curiositat d’aquest resultat e´s que no depe`n del
nu´mero de Cerda`. Quan s’ha de caminar entre dos punts i el trajecte e´s «menys
diagonal» que aproximadament dues illes en un sentit i cinc illes en l’altre, per
tant la dista`ncia de l’eixample e´s me´s llarga que la dista`ncia de Manhattan. Me´s
concretament si heu de caminar entre el Forum Verge´s i La Pedrera (pendent
0,5), el camı´ e´s me´s curt gra`cies al disseny de l’eixample. Pero` per caminar entre
el Forum Verge´s i la cruı¨lla Rambla de Catalunya i Vale`ncia (pendent 3), heu
de caminar una mica me´s a causa dels xamfrans extres que cal passar baixant
Balmes o la Rambla.
4 APLICACIONS
L’idea de parametritzar la mesura de dista`ncia e´s nova i te´ aplicacions potencials. Jugant
amb el para`metre c de la dista`ncia podrem introduir me´s informacio´ en la dista`ncia en-
tre objectes que finalment representarem visualment en un gra`fic. Per exemple, podrem
estimar c per ajustar les dista`ncies millor al pla bidimensional de representacio´, i des-
pre´s podrem donar una interpretacio´ de la estimacio´. ´Es tambe´ possible de generalitzar
la dista`ncia de l’eixample a illes rectangulars, que te´ sentit quan tenim dues variables
d’escales diferents. En aquest cas la xamfra` no tindra` necessa`riament un angle interior
de 135◦.
509
Una generalitzacio´ multidimensional sera` igualment interessant. Inspirant-nos en la
dista`ncia de l’eixample, podem definir dista`ncies que so´n combinacions lineals de dis-
ta`ncies conegudes, p.e. les dista`ncies L1 i L2:
D(x,y,λ) = λd1(x,y)+ (1−λ)d2(x,y)
on x i y so´n vectors multidimensionels, d1 e´s la dista`ncia L1 de Manhattan, d2 e´s la
dista`ncia L2 euclideana, i λ e´s un para`metre entre 0 i 1 que es pot definir o estimar,
segons l’aplicacio´.
AGRA¨IMENTS
Voldria donar gra`cies a en Daniel Serra, de l’Institut d’Estudis Territorials, d’haver
portat a la Universitat Pompeu Fabra l’exposicio´ «Urbs Quadrada» sobre el projecte de
l’Eixample, i pels seus comentaris u´tils. S’agraeix l’ajut BFM2000-1064 del Ministeri
de Cie`ncia i Tecnologia.
REFER `ENCIES
Magrinya`, F. & Tarrago´, S. (1994). Cerda`. Urbs i Territori, una visio´ del futur. Cata`leg
de l’exposicio´.
510
ENGLISH SUMMARY
THE EIXAMPLE DISTANCE
M. GREENACRE
Universitat Pompeu Fabra∗
Taking our inspiration from the design of the Eixample district in Barcelo-
na by Ildefons Cerda`, we define a new statistical distance function, called
the Eixample Distance. We study some properties of this distance and pro-
pose some possible applications.
Keywords: Statistical distance, Manhattan distance, Euclidean distance
AMS Classification (MSC 2000): 62H17, 62H25
* Universitat Pompeu Fabra. Barcelona.
– Received December 2001.
– Accepted October 2002.
511
1. INTRODUCTION
The Catalan engineer and town planner, Ildefons Cerda` (1815-1876) was commissioned
with the remodelling of the district of Barcelona called the Eixample (literally: «broad
axis»). Cerda` based his design partially on a detailed statistical analysis of the urban
area of Barcelona, its public transport and the needs of the residents. The key idea
was an urban layout in the form of blocks, each of which has an interior courtyard
and a characteristic octagonal shape with its four oblique «cut-off» corners providing
spacious intersections. The design of the Eixample has inspired a distance function,
called the Eixample distance, which imitates a path traced by a pedestrian in this district
trying to minimize the distance between two points by taking maximum advantage of
the oblique corners.
2. THE EIXAMPLE DISTANCE: DEFINITION
The Eixample distance is a particular combination of a distance in a «north-south» or
«east-west» sense and a distance in a diagonal sense, like the sides and oblique corners
respectively of a typical Eixample block in Barcelona.
This distance depends on the ratio between the length of the diagonal corner of the
block (called a xamfra` in catalan) and the length of the fac¸ade (or fac¸ana), where we
incorporate the width of the street into the fac¸ade without lack of generality. We call
this ratio the Cerda` index, and denote it by c.
The Eixample distance between two points (x1,x2) and (y1,y2) , where x= |x1− x2| and
y = |y1 − y2| are the absolute differences between the respective coordinates, can then
be shown to be equal to:
1
1+
√
2c
(x+ y)+
c
1+
√
2c
(x+ y+ |x− y|)
=
1+ c
1+
√
2c
(x+ y)+
c
1+
√
2c
(|x− y|)
3. PROPERTIES AND APPLICATIONS
The Eixample distance is a metric, but it is not clear whether it is Euclidean embed-
dable or not. It is always larger than the Pythagorean (or L 2) distance. Compared to
the Manhattan (or city-block, or L1) distance it will be shorter or longer depending on
the «diagonality» of the trajectory between the two points. When the slope between the
512
two points is between the values
√
2−1 and 1/(√2−1), the Eixample distance will be
shorter than the Manhattan distance.
The novelty of this new distance measure is that it contains a parameter, the Cerda`
index. This parameter can be varied between 0 and 1 according to some external crite-
rion, for example the quality of the visualization of the distances in a multidimensional
scaling. Thus the introduction of the parameter coul lead to an improved fit of distance
representations in multidimensional scaling displays. Parametrizing the distance func-
tion allows additional information to be included in the distance and in the eventual
analysis of distance.
Since the Eixample distance is a type of combination of different distances, this also
suggests defining distance functions that are combinations of well-known distances,
such as a convex linear combination of the L1 and L2 distances, leading to a more
flexible class of distance measures.
513


La distància de l'eixample

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

UPCommons. Portal del coneixement obert de la UPC

UPCommons

Revistes Catalanes amb Accés Obert