Jordi-Roger Riba Ruiz

Riba Ruiz, Jordi-Roger

Hemeroteca Cientifica Catalana

Reducció dels camps magnètics de les línies elèctriquesmitjançant el trenat dels conductorsJordi-Roger Riba Ruiz∗IntroduccióEn aquest treball s’estudia la reducció del camp mag-nètic generat per una línia elèctrica trifàsica equilibradasimplement trenant-ne els tres conductors actius.El trenat dels conductors també s’utilitza molt encomunicacions telefòniques així com en xarxes informà-tiques ja que permet minimitzar el camp magnètic quegeneren els cables i, per tant, les interferències electro-magnètiques entre ells. De fet, l’eficiència d’aquest mè-tode es basa en dos fenòmens. El primer és que el trenatpermet que una línia sigui molt més immune a les inter-ferències electromagnètiques generades per altres líniesja que l’acoblament entre els dos cables és més gran i,per tant, les interferències afecten els dos cables de lamateixa manera. El segon fenomen és que el camp mag-nètic generat per la línia es redueix notablement quanaquesta es trena.Figura 1: Conductor trenat de dos filsPer tant, el trenat dels cables que transporten inten-sitats de corrent elevades permet reduir el camp magnè-tic generat per aquests cables. Aquesta tècnica també ésaplicable al cablejat de tota instal·lació de baixa tensió,ja sigui domèstica o industrial.En el cas de cables unipolars trenats, la reactànciade cada fase és molt constant. D’aquesta manera s’igua-len les impedàncies dels tres conductors i, per tant, lacaiguda de tensió en cada cable és la mateixa.Els cables trenats utilitzats en les línies elèctriquesde mitjana i baixa tensió estan constituïts per tres ca-bles unipolars aïllats individualment sense funda exteri-or comuna, cablejats sobre un nucli central format perun cable portador d’acer de 50 mm2 de secció, protegidageneralment amb una capa de clorur de polivinil.∗Jordi-Roger Riba Ruiz (Igualada, 1966) és doctor en Ci-ències Físiques per la UB i és professor de l’EUETI d’Igualada(UPC) i de l’ETSEI de Terrassa (jordi@euetii.upc.edu).A més de la reducció del camp magnètic, els cablestrenats presenten altres avantatges com per exemple:• El fet d’acoblar els tres conductors al voltant d’uncable fiador.• L’escalfament mutu entre fases és notablement mésfeble que en un cable trifàsic.• La facilitat de fabricació, muntatge i reparació, ja queles avaries quasi sempre són en una sola fase.• En l’alimentació de petits nuclis rurals on les líniesnues presenten perill i la canalització subterrània és moltcara, s’empra aquest tipus de cable.• L’absència de suports facilita la circulació sobre lesvoreres i els carrers.El trenat dels cables manté molt constants i igualales propietats elèctriques dels cables trenats al llarg de lalongitud de la línia. Aquesta afirmació es pot entendrefàcilment a partir de la figura 2.      a b       c a     b     cFigura 2: Línia triangular i línia planaEn el cas de la línia triangular cada un dels cables estroba igualment distanciat dels altres dos. Per tant, lainductància de cada un dels tres cables de la línia seràidèntica i, com que també ho és la seva resistència (sesuposen cables de seccions i longituds idèntiques), elstres cables de la línia tindran impedàncies idèntiques.Com que suposem un règim equilibrat de corrents, lescaigudes de tensió a cada un dels cables serà la mateixa.Això no serà així en el cas de la línia plana ja que elsdos conductors extrems no presentaran la mateixa in-ductància que el conductor central. Això provocarà queels conductors extrems i el central tinguin caigudes detensió diferents. Aquest fet presenta problemes en lesinstal·lacions elèctriques ja que genera desequilibris enel sistema de tensions, cosa que es pot solucionar o bétransposant els conductors o bé trenant-los, ja que d’a-questa manera tots els conductors ocupen les mateixesposicions relatives en tot el recorregut de la línia.14 Revista de Física / 1r semestre de 2006Camp magnètic generat per un conductormolt llargLa figura 3 mostra un conductor rectilini molt llarg pelqual circula un corrent d’intensitat I, que genera uncamp magnètic B en l’espai que l’envolta.Figura 3: Camp magnètic generat per un conductor rectilinimolt llargEn problemes amb un grau elevat de simetria es potdeterminar el camp magnètic aplicant la llei d’Ampè-re i resolent la integral de línia donada per l’expressiósegüent: ∮C~B · d~l = µ0I, (1)on C és una corba tancada, que concatena el corrent I.Tenint en compte que per a un corrent rectilini i inde-finit, les línies de flux del camp magnètic són circum-ferències concèntriques amb el fil, aplicant (1) s’obté elcamp de Biot i Savart:B =µ0I2pir. (2)Per tant, el camp magnètic generat per un conductorrectilini en coordenades cilíndriques és:Br = 0, Bφ =µ0I2pir, Bz = 0, (3)on r =√(x− x0)2 + (y − y0)2 i µ0 = 4pi10−7 N/A2 ésla permeabilitat magnètica de l’espai buit.A partir de la figura 3 també es pot deduir que l’ex-pressió en coordenades cartesianes del camp magnèticve donada per l’expressió següent:~B =µ0Iα2pi((y − y0)(x− x0)2 + (y − y0)2 ,−(x− x0)(x− x0)2 + (y − y0)2 , 0)(4)on α és l’angle de fase del corrent. Cal tenir presentque I i B són variables físiques alternes sinusoïdals i ésconvenient d’expressar-ne les magnituds en valor eficaç.Per determinar el camp magnètic generat per mésd’un conductor rectilini en un punt de l’espai només calaplicar el principi de superposició, és a dir, calcular elcamp magnètic que genera cada conductor i sumar.Camp magnètic generat per un conductortrenatLa figura 4 mostra un conductor trenat al voltant d’uncilindre de radi a, on el pas de l’hèlix és p.paFigura 4: Conductor trenatEl camp magnètic que genera un conductor únic tre-nat ve donat en coordenades cilíndriques per les expres-sions següents (Pettersson i Schönborg 1997):Br =µ0Iapir2γ2×[ ∞∑n=1nI ′n(nη)K′n(nγ) sin[n(φ− φ0 − kz)]]Bφ =µ0I2pir+µ0Iapir2γ×[ ∞∑n=1nI ′n(nη)Kn(nγ) cos[n(φ− φ0 − kz)]]Bz = −µ0Iapir2γ2×[ ∞∑n=1nI ′n(nη)Kn(nγ) cos[n(φ− φ0 − kz)]](5)on k = 2pi/p, η = 2pia/p i γ = 2pir/p. Les funcionsI n(z) i K n(z) de les equacions (5) són, respectivament,les funcions de Bessel modificades de primera i segonaespècie, mentre que I ′n (z) i K ′n (z) són les seves deriva-des.De les equacions anteriors es reflecteix el caràcterhelicoïdal del camp magnètic generat per un conductortrenat ja que les tres components esdevenen constantsen els punts que compleixen φ – kz = constant.Les equacions (5) també mostren que el camp mag-nètic generat per un conductor trenat únic mai pot serinferior que el que generaria el mateix conductor en for-ma rectilínia. Es pot veure que Bφ com a mínim valµ0I/(2pir), que és el valor eficaç del camp magnètic ge-nerat per un conductor rectilini.Revista de Física / 1r semestre de 2006 15Recordem que l’equació d’una hèlix en forma polarés: ρ = a, φ = (2pi/p)z, i per les funcions de Bessel escompleix:I ′n (z) =12[In−1 (z) + In+1 (z)]K ′n (z) =12[Kn−1 (z) +Kn+1 (z)] , (6)sentIn(x) =∞∑k=0(x/2)n+2kk!Γ (n+ k + 1)I−n (x) = In (x) si n = 0, 1, 2, ...Kn (x) =pi2[I−n (x)− In (x)]sin (npi)si n 6= 0, 1, 2, ...K−n (x) = Kn (x) si n = 0, 1, 2, ...La funció gamma ve donada per Γ (n) =∫∞0tn−1e−tdtper n > 0. Per a n enter es té Γ (n+ 1) = n!.Si es vol donar el resultat en coordenades cartesianescal aplicar: BxByBz = cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 00 0 1 BrBφBz . (7)Camp magnètic generat per dos conductorstrenatsAplicant el principi de superposició a les fórmules (6)i suposant dos conductors situats diametralment en elperímetre exterior d’un cilindre de radi a —per un cir-cula una intensitat I amb φ0 = 0◦ i per l’altre, unaintensitat –I amb φ0 = 180◦—, els termes parells s’a-nul·len i resulta:Br =2µ0Iapir2γ2×[ ∞∑nnI ′n(nη)K′n(nγ) sin[n(φ− kz)]]Bφ =2µ0Iapir2γ×[ ∞∑nnI ′n(nη)Kn(nγ) cos[n(φ− kz)]]Bz = −2µ0Iapir2γ2×[ ∞∑nnI ′n(nη)Kn(nγ) cos[n(φ− kz)]]amb n = 1, 3, 5, 7, . . . (8)Camp magnètic generat per tres conductorstrenatsEn línies trifàsiques de distribució de mitjana i baixatensió s’utilitzen sovint cables unipolars trenats. Aquestprocediment permet reduir el camp magnètic que gene-ren i així disminuir les possibles interferències que podenocasionar sobre línies de telefonia i de comunicacions ve-ïnes.paFigura 5: Tres conductors trenatsPer determinar el conjunt d’equacions que cal utilit-zar en aquest cas, cal aplicar el principi de superposicióa les fórmules (6). En aquest cas tenim tres conduc-tors girats 120◦ i desfasats també 120◦, de manera quetindrem φ0,i = 2pi(i–1)/3 per i = 1, 2, 3.Br =32µ0Iapir2γ2[ ∞∑m,nmnI ′m(mη)I′n(nη)× K ′m(mγ)K ′n(nγ) cos[(∓m± n) Φ]] 12Bφ =32µ0Iapir2γ[ ∞∑m,nmnI ′m(mη)I′n(nη)× Km(mγ)Kn(nγ) cos[(∓m± n) Φ]] 12Bz =32µ0Iapir2γ2[ ∞∑m,nmnI ′m(mη)I′n(nη)× Km(mγ)Kn(nγ) cos[(∓m± n) Φ]] 12amb Φ = φ− kz. (9)En les expressions (9), el cas (−m+ n) és vàlid perm,n = 2, 5, 8, 11, . . . mentre que el cas (m− n) hoés per m,n = 1, 4, 7, 10, . . . Els termes amb m,n =3, 6, 9, 12, . . . són nuls.Simulació del camp magnètic generat perun conductor trenat únicLa figura 6 mostra una representació del camp mag-nètic generat per un conductor únic trenat al voltantd’un cilindre de radi a = 0,05 m, amb pas de l’hè-lix p = 0,5 m. Per tant, es veu que el camp té unperfil helicoïdal, tal com es dedueix de les equacions (6).La línia negra correspon al traçat del conductor,mentre que les zones amb igual color representen punts16 Revista de Física / 1r semestre de 2006Figura 6: Camp magnètic generat per un conductor trenatamb l’eix segons OZde l’espai on el mòdul del camp magnètic és constant.Els colors més foscos indiquen zones de camp magnèticmés intens.Camp magnètic generat a una distànciaconstant del centre de l’hèlixLa figura 8 mostra el camp magnètic creat per un con-ductor helicoïdal a una distància r = 0, 2 m de l’eix del’hèlix (veure figura 7). L’hèlix té radi a = 0, 05 m ipas p = 0, 5 m i pel conductor circula una intensitatI = 100 A.ar = 0,2 mFigura 7: Secció del cable i cercle de mesura a r = 0, 2 mde l’eix de l’hèlixI - k.z -180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180Btotal ( PT)32,432,532,632,732,832,933,033,1Figura 8: Camp magnètic a una distància r = 0, 2 m del’eix de l’hèlixComparació del camp magnètic generat peruna línia trifàsica trenada i sense trenarLa figura 9 mostra el perfil del camp magnètic generatper una línia trifàsica trenada (al voltant d’un cilindrede radi a = 0, 05 m i pas de l’hèlix p = 0, 5 m) i el per-fil d’una línia trifàsica sense trenar (els tres conductorssituats a 120◦ sobre el cilindre de radi a = 0, 05 m). Enels dos casos pels conductors circula un sistema trifàsicequilibrat de corrents de 100 A d’intensitat.r (m)0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0Btotal  (PT)510152025Conductors trenatsConductors sense trenarFigura 9: Camps magnètics generats per una línia trifàsicatrenada i per una sense trenarEfecte del pas de l’hèlix sobre el camp mag-nètic generat per una línia trifàsicaEl pas de l’hèlix té un efecte important sobre el campmagnètic que genera la línia trifàsica. La figura 10 mos-Revista de Física / 1r semestre de 2006 17tra el perfil del camp magnètic creat per una línia trifà-sica equilibrada d’intensitat de 100 A trenada sobre uncilindre de radi a = 0, 05. Quan el pas de l’hèlix tendeixa infinit ens trobem davant d’una línia sense trenar.r (m)0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0Btotal (PT)0510152025p = 0.5p = 1 p = 5 p = 10 p = infinitFigura 10: Efecte del pas de l’hèlix sobre el camp magnèticgenerat per una línia trifàsica trenadaDe la figura 9 es dedueix que per a valors grans delpas de l’hèlix la diferència entre el camp magnètic creatper una línia trifàsica trenada i per una línia sense trenarés insignificant.ConclusionsUna vegada analitzats tots els punts d’aquest article espot concloure que el trenat de les línies elèctriques ésun sistema simple i econòmic per reduir-ne considera-blement el camp magnètic per comparació a les líniesno trenades. El trenat també permet reduir les interfe-rències que aquestes generen.A mesura que el pas de l’hèlix augmenta, l’efectivitatd’aquest mètode disminueix ja que per a passos d’hèlixelevats el camp magnètic generat per la línia trenadas’assembla molt al de la mateixa línia sense trenar.Aquest mètode és molt utilitzat en les línies de co-municacions telefòniques i en els conductors de xarxesinformàtiques a causa de la immunitat a les interferèn-cies que proporciona.BibliografiaRiba, J.R. i Alabern X., Simulació del camp mag-nètic generat per les línies aèries d’alta tensió, Revistade Física, 3(1), 38–42 (2001).Riba, J.R. i Alabern X., Camp elèctric generat perles línies aèries d’alta tensió, Revista de Física, 3(2),47–52 (2002).Pettersson, P. i Schönborg, N., Reduction ofPower System Magnetic Field by Configuration Twist,IEEE Transactions on Power Delivery, 12(4), 1678–1683 (1997).18 Revista de Física / 1r semestre de 2006

Reducció dels camps magnètics de les línies elèctriques mitjançant el trenat dels conductors

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Reducció dels camps magnètics de les línies elèctriques
mitjançant el trenat dels conductors
Jordi-Roger Riba Ruiz∗
Introducció
En aquest treball s’estudia la reducció del camp mag-
nètic generat per una línia elèctrica trifàsica equilibrada
simplement trenant-ne els tres conductors actius.
El trenat dels conductors també s’utilitza molt en
comunicacions telefòniques així com en xarxes informà-
tiques ja que permet minimitzar el camp magnètic que
generen els cables i, per tant, les interferències electro-
magnètiques entre ells. De fet, l’eficiència d’aquest mè-
tode es basa en dos fenòmens. El primer és que el trenat
permet que una línia sigui molt més immune a les inter-
ferències electromagnètiques generades per altres línies
ja que l’acoblament entre els dos cables és més gran i,
per tant, les interferències afecten els dos cables de la
mateixa manera. El segon fenomen és que el camp mag-
nètic generat per la línia es redueix notablement quan
aquesta es trena.
Figura 1: Conductor trenat de dos fils
Per tant, el trenat dels cables que transporten inten-
sitats de corrent elevades permet reduir el camp magnè-
tic generat per aquests cables. Aquesta tècnica també és
aplicable al cablejat de tota instal·lació de baixa tensió,
ja sigui domèstica o industrial.
En el cas de cables unipolars trenats, la reactància
de cada fase és molt constant. D’aquesta manera s’igua-
len les impedàncies dels tres conductors i, per tant, la
caiguda de tensió en cada cable és la mateixa.
Els cables trenats utilitzats en les línies elèctriques
de mitjana i baixa tensió estan constituïts per tres ca-
bles unipolars aïllats individualment sense funda exteri-
or comuna, cablejats sobre un nucli central format per
un cable portador d’acer de 50 mm2 de secció, protegida
generalment amb una capa de clorur de polivinil.
∗Jordi-Roger Riba Ruiz (Igualada, 1966) és doctor en Ci-
ències Físiques per la UB i és professor de l’EUETI d’Igualada
(UPC) i de l’ETSEI de Terrassa (jordi@euetii.upc.edu).
A més de la reducció del camp magnètic, els cables
trenats presenten altres avantatges com per exemple:
• El fet d’acoblar els tres conductors al voltant d’un
cable fiador.
• L’escalfament mutu entre fases és notablement més
feble que en un cable trifàsic.
• La facilitat de fabricació, muntatge i reparació, ja que
les avaries quasi sempre són en una sola fase.
• En l’alimentació de petits nuclis rurals on les línies
nues presenten perill i la canalització subterrània és molt
cara, s’empra aquest tipus de cable.
• L’absència de suports facilita la circulació sobre les
voreres i els carrers.
El trenat dels cables manté molt constants i iguala
les propietats elèctriques dels cables trenats al llarg de la
longitud de la línia. Aquesta afirmació es pot entendre
fàcilment a partir de la figura 2.
      a
 b       c 
a     b     c
Figura 2: Línia triangular i línia plana
En el cas de la línia triangular cada un dels cables es
troba igualment distanciat dels altres dos. Per tant, la
inductància de cada un dels tres cables de la línia serà
idèntica i, com que també ho és la seva resistència (se
suposen cables de seccions i longituds idèntiques), els
tres cables de la línia tindran impedàncies idèntiques.
Com que suposem un règim equilibrat de corrents, les
caigudes de tensió a cada un dels cables serà la mateixa.
Això no serà així en el cas de la línia plana ja que els
dos conductors extrems no presentaran la mateixa in-
ductància que el conductor central. Això provocarà que
els conductors extrems i el central tinguin caigudes de
tensió diferents. Aquest fet presenta problemes en les
instal·lacions elèctriques ja que genera desequilibris en
el sistema de tensions, cosa que es pot solucionar o bé
transposant els conductors o bé trenant-los, ja que d’a-
questa manera tots els conductors ocupen les mateixes
posicions relatives en tot el recorregut de la línia.
14 Revista de Física / 1r semestre de 2006
Camp magnètic generat per un conductor
molt llarg
La figura 3 mostra un conductor rectilini molt llarg pel
qual circula un corrent d’intensitat I, que genera un
camp magnètic B en l’espai que l’envolta.
Figura 3: Camp magnètic generat per un conductor rectilini
molt llarg
En problemes amb un grau elevat de simetria es pot
determinar el camp magnètic aplicant la llei d’Ampè-
re i resolent la integral de línia donada per l’expressió
següent: ∮
C
~B · d~l = µ0I, (1)
on C és una corba tancada, que concatena el corrent I.
Tenint en compte que per a un corrent rectilini i inde-
finit, les línies de flux del camp magnètic són circum-
ferències concèntriques amb el fil, aplicant (1) s’obté el
camp de Biot i Savart:
B =
µ0I
2pir
. (2)
Per tant, el camp magnètic generat per un conductor
rectilini en coordenades cilíndriques és:
Br = 0, Bφ =
µ0I
2pir
, Bz = 0, (3)
on r =
√
(x− x0)2 + (y − y0)2 i µ0 = 4pi10−7 N/A2 és
la permeabilitat magnètica de l’espai buit.
A partir de la figura 3 també es pot deduir que l’ex-
pressió en coordenades cartesianes del camp magnètic
ve donada per l’expressió següent:
~B =
µ0I
α
2pi
(
(y − y0)
(x− x0)2 + (y − y0)2 ,
−(x− x0)
(x− x0)2 + (y − y0)2 , 0
)
(4)
on α és l’angle de fase del corrent. Cal tenir present
que I i B són variables físiques alternes sinusoïdals i és
convenient d’expressar-ne les magnituds en valor eficaç.
Per determinar el camp magnètic generat per més
d’un conductor rectilini en un punt de l’espai només cal
aplicar el principi de superposició, és a dir, calcular el
camp magnètic que genera cada conductor i sumar.
Camp magnètic generat per un conductor
trenat
La figura 4 mostra un conductor trenat al voltant d’un
cilindre de radi a, on el pas de l’hèlix és p.
p
a
Figura 4: Conductor trenat
El camp magnètic que genera un conductor únic tre-
nat ve donat en coordenades cilíndriques per les expres-
sions següents (Pettersson i Schönborg 1997):
Br =
µ0Ia
pir2
γ2
×
[ ∞∑
n=1
nI ′n(nη)K
′
n(nγ) sin[n(φ− φ0 − kz)]
]
Bφ =
µ0I
2pir
+
µ0Ia
pir2
γ
×
[ ∞∑
n=1
nI ′n(nη)Kn(nγ) cos[n(φ− φ0 − kz)]
]
Bz = −µ0Ia
pir2
γ2
×
[ ∞∑
n=1
nI ′n(nη)Kn(nγ) cos[n(φ− φ0 − kz)]
]
(5)
on k = 2pi/p, η = 2pia/p i γ = 2pir/p. Les funcions
I n(z) i K n(z) de les equacions (5) són, respectivament,
les funcions de Bessel modificades de primera i segona
espècie, mentre que I ′n (z) i K ′n (z) són les seves deriva-
des.
De les equacions anteriors es reflecteix el caràcter
helicoïdal del camp magnètic generat per un conductor
trenat ja que les tres components esdevenen constants
en els punts que compleixen φ – kz = constant.
Les equacions (5) també mostren que el camp mag-
nètic generat per un conductor trenat únic mai pot ser
inferior que el que generaria el mateix conductor en for-
ma rectilínia. Es pot veure que Bφ com a mínim val
µ0I/(2pir), que és el valor eficaç del camp magnètic ge-
nerat per un conductor rectilini.
Revista de Física / 1r semestre de 2006 15
Recordem que l’equació d’una hèlix en forma polar
és: ρ = a, φ = (2pi/p)z, i per les funcions de Bessel es
compleix:
I ′n (z) =
1
2
[In−1 (z) + In+1 (z)]
K ′n (z) =
1
2
[Kn−1 (z) +Kn+1 (z)] , (6)
sent
In(x) =
∞∑
k=0
(x/2)n+2k
k!Γ (n+ k + 1)
I−n (x) = In (x) si n = 0, 1, 2, ...
Kn (x) =
pi
2
[I−n (x)− In (x)]
sin (npi)
si n 6= 0, 1, 2, ...
K−n (x) = Kn (x) si n = 0, 1, 2, ...
La funció gamma ve donada per Γ (n) =
∫∞
0
tn−1e−tdt
per n > 0. Per a n enter es té Γ (n+ 1) = n!.
Si es vol donar el resultat en coordenades cartesianes
cal aplicar: BxBy
Bz
 =
 cosφ − sinφ 0sinφ cosφ 0
0 0 1
 BrBφ
Bz
 . (7)
Camp magnètic generat per dos conductors
trenats
Aplicant el principi de superposició a les fórmules (6)
i suposant dos conductors situats diametralment en el
perímetre exterior d’un cilindre de radi a —per un cir-
cula una intensitat I amb φ0 = 0◦ i per l’altre, una
intensitat –I amb φ0 = 180◦—, els termes parells s’a-
nul·len i resulta:
Br =
2µ0Ia
pir2
γ2
×
[ ∞∑
n
nI ′n(nη)K
′
n(nγ) sin[n(φ− kz)]
]
Bφ =
2µ0Ia
pir2
γ
×
[ ∞∑
n
nI ′n(nη)Kn(nγ) cos[n(φ− kz)]
]
Bz = −2µ0Ia
pir2
γ2
×
[ ∞∑
n
nI ′n(nη)Kn(nγ) cos[n(φ− kz)]
]
amb n = 1, 3, 5, 7, . . . (8)
Camp magnètic generat per tres conductors
trenats
En línies trifàsiques de distribució de mitjana i baixa
tensió s’utilitzen sovint cables unipolars trenats. Aquest
procediment permet reduir el camp magnètic que gene-
ren i així disminuir les possibles interferències que poden
ocasionar sobre línies de telefonia i de comunicacions ve-
ïnes.
p
a
Figura 5: Tres conductors trenats
Per determinar el conjunt d’equacions que cal utilit-
zar en aquest cas, cal aplicar el principi de superposició
a les fórmules (6). En aquest cas tenim tres conduc-
tors girats 120◦ i desfasats també 120◦, de manera que
tindrem φ0,i = 2pi(i–1)/3 per i = 1, 2, 3.
Br =
3
2
µ0Ia
pir2
γ2
[ ∞∑
m,n
mnI ′m(mη)I
′
n(nη)
× K ′m(mγ)K ′n(nγ) cos[(∓m± n) Φ]
] 1
2
Bφ =
3
2
µ0Ia
pir2
γ
[ ∞∑
m,n
mnI ′m(mη)I
′
n(nη)
× Km(mγ)Kn(nγ) cos[(∓m± n) Φ]
] 1
2
Bz =
3
2
µ0Ia
pir2
γ2
[ ∞∑
m,n
mnI ′m(mη)I
′
n(nη)
× Km(mγ)Kn(nγ) cos[(∓m± n) Φ]
] 1
2
amb Φ = φ− kz. (9)
En les expressions (9), el cas (−m+ n) és vàlid per
m,n = 2, 5, 8, 11, . . . mentre que el cas (m− n) ho
és per m,n = 1, 4, 7, 10, . . . Els termes amb m,n =
3, 6, 9, 12, . . . són nuls.
Simulació del camp magnètic generat per
un conductor trenat únic
La figura 6 mostra una representació del camp mag-
nètic generat per un conductor únic trenat al voltant
d’un cilindre de radi a = 0,05 m, amb pas de l’hè-
lix p = 0,5 m. Per tant, es veu que el camp té un
perfil helicoïdal, tal com es dedueix de les equacions (6).
La línia negra correspon al traçat del conductor,
mentre que les zones amb igual color representen punts
16 Revista de Física / 1r semestre de 2006
Figura 6: Camp magnètic generat per un conductor trenat
amb l’eix segons OZ
de l’espai on el mòdul del camp magnètic és constant.
Els colors més foscos indiquen zones de camp magnètic
més intens.
Camp magnètic generat a una distància
constant del centre de l’hèlix
La figura 8 mostra el camp magnètic creat per un con-
ductor helicoïdal a una distància r = 0, 2 m de l’eix de
l’hèlix (veure figura 7). L’hèlix té radi a = 0, 05 m i
pas p = 0, 5 m i pel conductor circula una intensitat
I = 100 A.
a
r = 0,2 m
Figura 7: Secció del cable i cercle de mesura a r = 0, 2 m
de l’eix de l’hèlix
? - k.z 
-180 -150 -120 -90 -60 -30 0 30 60 90 120 150 180
B
to
ta
l 
( ?T
)
32,4
32,5
32,6
32,7
32,8
32,9
33,0
33,1
Figura 8: Camp magnètic a una distància r = 0, 2 m de
l’eix de l’hèlix
Comparació del camp magnètic generat per
una línia trifàsica trenada i sense trenar
La figura 9 mostra el perfil del camp magnètic generat
per una línia trifàsica trenada (al voltant d’un cilindre
de radi a = 0, 05 m i pas de l’hèlix p = 0, 5 m) i el per-
fil d’una línia trifàsica sense trenar (els tres conductors
situats a 120◦ sobre el cilindre de radi a = 0, 05 m). En
els dos casos pels conductors circula un sistema trifàsic
equilibrat de corrents de 100 A d’intensitat.
r (m)
0,4 0,6 0,8 1,0 1,2 1,4 1,6 1,8 2,0
B
to
ta
l 
 (
?T
)
5
10
15
20
25
Conductors trenats
Conductors sense trenar
Figura 9: Camps magnètics generats per una línia trifàsica
trenada i per una sense trenar
Efecte del pas de l’hèlix sobre el camp mag-
nètic generat per una línia trifàsica
El pas de l’hèlix té un efecte important sobre el camp
magnètic que genera la línia trifàsica. La figura 10 mos-
Revista de Física / 1r semestre de 2006 17
tra el perfil del camp magnètic creat per una línia trifà-
sica equilibrada d’intensitat de 100 A trenada sobre un
cilindre de radi a = 0, 05. Quan el pas de l’hèlix tendeix
a infinit ens trobem davant d’una línia sense trenar.
r (m)
0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0
B
to
ta
l (
?T
)
0
5
10
15
20
25
p = 0.5
p = 1 
p = 5 
p = 10 
p = infinit
Figura 10: Efecte del pas de l’hèlix sobre el camp magnètic
generat per una línia trifàsica trenada
De la figura 9 es dedueix que per a valors grans del
pas de l’hèlix la diferència entre el camp magnètic creat
per una línia trifàsica trenada i per una línia sense trenar
és insignificant.
Conclusions
Una vegada analitzats tots els punts d’aquest article es
pot concloure que el trenat de les línies elèctriques és
un sistema simple i econòmic per reduir-ne considera-
blement el camp magnètic per comparació a les línies
no trenades. El trenat també permet reduir les interfe-
rències que aquestes generen.
A mesura que el pas de l’hèlix augmenta, l’efectivitat
d’aquest mètode disminueix ja que per a passos d’hèlix
elevats el camp magnètic generat per la línia trenada
s’assembla molt al de la mateixa línia sense trenar.
Aquest mètode és molt utilitzat en les línies de co-
municacions telefòniques i en els conductors de xarxes
informàtiques a causa de la immunitat a les interferèn-
cies que proporciona.
Bibliografia
Riba, J.R. i Alabern X., Simulació del camp mag-
nètic generat per les línies aèries d’alta tensió, Revista
de Física, 3(1), 38–42 (2001).
Riba, J.R. i Alabern X., Camp elèctric generat per
les línies aèries d’alta tensió, Revista de Física, 3(2),
47–52 (2002).
Pettersson, P. i Schönborg, N., Reduction of
Power System Magnetic Field by Configuration Twist,
IEEE Transactions on Power Delivery, 12(4), 1678–
1683 (1997).
18 Revista de Física / 1r semestre de 2006


http://revistes.iec.cat/revistes/index.php/revista_fisica/article/view/5172

Reducció dels camps magnètics de les línies elèctriques mitjançant el trenat dels conductors

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hemeroteca Cientifica Catalana

Revistes Catalanes amb Accés Obert