Hidalgo, J. L.

Pérez Bustamante, J. A.

Enseñanza de las Ciencias Revista de investigación y experiencias didácticas

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OTROS TRABAJOS 
VELOCIDADES MOLECULARES 
EN SISTEMAS GASEOSOS MACROSCÓPICOS: 
Aclaración de errores y discusión de equívocos y 
ambigüedades advertidos en los libros de texto. 
PÉREZ-BUSTAMANTE DE MONASTERIO, J.A. 
HIDALGO DE CISNEROS, J.L. 
Departamento de Química Analítica, Facultad de Ciencias. Universidad de Cádiz. 
SUMMARY 
A considerable number of well-known textbooks written in different languages have been examined in connection 
with the treatment of the molecular velocities. A surprisingly high number of inconsistencies have been disclosed 
relating to erroneous concepts, incorrect denominations and notation problems. Suggestions are put forward to 
circumvent such inconsistencies inequivocally. 
Nuestra ya larga experiencia en la enseñanza de la asig- tión, según se infiere del estudio comparativo del gran 
natura «Química General» a los alumnos de primer cur- número de textos consultados -todos ellos muy po- 
so de la Licenciatura en Ciencias Químicas nos ha de- pulares y de uso generalizado- no parece haber me- 
mostrado fehacientemente que existe un generalizado recido aún el debido análisis y el correspondiente co- 
confusionismo, tradicionamente «hereditario», en los mentario crítico. 
numerosos textos -nacionales y extranjeros- en re- 
lación con el concepto, expresión y notación de los di- 
versos tipos de velocidades moleculares en sistemas ga- 
seosos. Dicho confusionismo, tanto conceptual, como 
semántico, de notación y de definición puede plantear 
numerosas dudas y crear indudables problemas al es- 
tudiante motivado, que tenga la  recomendable costum- 
bre de consultar varios libros de texto para la prepara- 
ción de sus lecciones y temas. 
Creemos que resulta absolutamente imprescindible 
prestar la debida atención a tan importante cuestión, 
con el fin de aclarar debidamente la diferencia entre 
lo que se dice, lo que se escribe y lo que se quiere decir 
al respecto, cuando intentamos explicar, o aprender, 
el tema de las velocidades moleculares al tratar el te- 
ma de la teoría cinética de Maxwell-Boltzmann, fun- 
damental para la debida comprensión de tantos y tan- 
tos aspectos fundamentales de la Física y de la Quími- 
ca, y que sirve de puente de unión entre la mecánica 
newtoniana tradicional y la moderna teoría cuántica, 
imprescindible para entrar en el estudio de la estructu- 
ra de la materia y en la comprensión de la atomística. 
De modo tan sorprendente, como inexplicable, la caó- 
tica anarquía en que se halla el tratamiento de esta cues- 
Con el fin de intentar obviar tales deficiencias, hemos 
considerado oportuno examinar con el debido deteni- 
miento el tema en cuestión, según aparece tratado en 
varias docenas de textos, unos muy recientes y otros 
más antiguos, publicados en lenguas española, fran- 
cesa, inglesa, alemana y rusa, de cuyo análisis resulta 
obvia la aludida situación de incoherencia, confusio- 
nismo, ambigüedad e incongruencia en que se halla el 
tema objeto del Dresente artículo. aue constituve un 
, . 
auténtico según se desprende de lo &e si- 
gue. Finalmente, con el fin de obtener una visión sufi- 
cientemente panorámica de la cuestión, hemos exami- 
nado, indistintamente, textos de Física General, Quí- 
mica General, Química Física, Termodinámica y 
Cinética. 
2. VELOCIDADES MOLECULARES 
Antes de entrar en materia, comenzaremos por revisar 
y formular diversos conceptos fundamentales, consi- 
derando un sistema gaseoso constituido por un núme- 
ro total N de partículas, suficientemente elevado co- 
mo para poder ser objeto de tratamiento estadístico. 
ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1989, 7 ( l ) ,  72-76 
OTROS TRABAJOS 
~ 
1. Velocidad media y ((velocidad media cuadrátican 3. DISCUSIÓN DE IyCONSISTENCIAS Y 1 
1 ERRORES 
- u, + u, + ... u Iniciaremos el análisis y discusión de las inconsisten- 
U = - n - N =  N cias y errores generalizados advertidos agrupando ade- N cuadamente las anomalías más características adverti- 
siendo ü = velocidad media y 
((velocidad media cuadrática)). 
2. ((Velocidad cuadrática media)) 
((velocidad cuadrática media)). 
El primer problema que se plantea lo constituye la de- 
nominación y diferenciación de notaciones.de los dos 
tipos de «velocidades cuadráticas)), consideradas, que 
-evidentemente- no son iguales. 
ü2 # U2 
El segundo problema que se plantea es más sutil y es- 
curridizo, pues está relacionado con la denominación 
a asignar al resultado de extraer la raíz cuadradade 
las dos magnitudes cuadráticas consideradas, ü2 y u2, 
con el fin de diferenciarlas inequívocamente. 
3. Raíz de las ((velocidades cuadráticas)) 
velocidad media (en algunos textos se la designa equí- 
vocamente como velocidad (tmolecular)>) 
# u (velocidad media) 
= ? (problemas de notación y de 
denominación) 
Precisamente, el problema que plantea la notación y 
denominación de p o n s t i t i y e  la fuente más ge- 
nuina responsable e los numerosos errores y confu- 
sionismos advertidos en la bibliografía. 
das en las fuentes bibliográficas consideradas. 
1. Confusionismo entre u y dt? 
Este tipo de confusionismo aparece raramente, advir- 
tiéndose únicamente en unos pocos de los textos exa- 
minados, en los que no se diferencian adecuadamente 
los distintos tipos de velocidades moleculares a tener 
en cuenta en el tratamiento de la teoría cinética (p.e.: 
Eggert, pp. 51-53; Schulze, p. 36, parte 1; Sears, 1967, 
p. 477; Masterton et al., p. 166; Nikolaev-Tulypov, pp. 
213-14). 
Algunos textos incurren incluso en la simplificación de 
no considerar más que una sola ((velocidad molecular)) 
(«Sshulze, p. 36, parte 1; Sears, P. 477), lo que no de- 
ja de resultar sorprendente considerando el nivel ge- 
neral del texto. 
2. Confusionismo conceptual en relación con el signi- 
ficado de lo que es una magnitud cuadrática 
De modo tan generalizado, como sorprendente, existe 
un gran número de textos en los que la expresión 
-es denominada ((velocidad cuadrática median 
haciendo caso omiso de la implicación que impone la 
presencia del signo radical @.e.: Nikolaev-Tulypov, pp. 
213-214; Barrow, 1 pp. 34-43; Svitkov, pp. 99-105-109; 
Vinagre-Vázquez, p. 105; Babor-Ibarz, p. 61; Dicker- 
son et al., p. 76; Pauling, p. 299; Laidler, p. 197; Ca- 
brera, p. 384; Bares et al., p. 49; Gray-Haight, pp. 2-23; 
Sears, 1959, p. 198; Enciclopedia CIESA, Vol. 7, p. 
176; Claver, p. 38; Babor-Thiessen, pp. 8-9; Bol'dyrev, 
pp. 21-22; Butler-Grosser, p. 28). 
Especialmente grave y desorientador para el lector re- 
sultan las notas a pie de página que incluyen algunos 
celebrados textos (p.e.: Dickerson et al., p. 76; Enci- 
clopedia CIESA, p. 176, Vol. 7; Claver, p. 38) en las 
que se «aclara» que ((el valor cuadrático medio de una 
cantidad es la raíz cuadrada de la media aritmética dc 
los cuadrados de la misma)). 
Incluso, en otros textos, además de confundir la co- 
mentada expresión cuadrática con su raíz, la desorien- 
tación creada es aún mayor, como consecuencia del em- 
pleo de notaciones y denominaciones desafortunadas 
y confusas para el término a Así, en unos libros 
(p.e.: Vinagre-Vázquez, p. 105; Bares et al., p. 49) se 
emplea para tal raíz la notación u, que corresponde a 
la velocidad media. En otros textos aparecen notacio- 
nes tan inconvenientes para dicha raíz como v (Enci- 
clopedia CIESA, p. 176, Vol. 17), c (Claver, p. 38), 
aumentando así el confusionismo. 
ENSERANZA DE LAS CIENCIAS, 1989, 7 (1) 
OTROS TRABAJOS 
Anecdóticamente, en un texto que incurre en el expre- 
sado confusionismo (Barrow, pp. 34-43) ((cuadrático- 
radical)), advierte el autor -no sin cierto candor- en 
relación con la ((velocidad cuadrática media)), que se 
trata de una magnitud «incómoda». 
3. Problemas conceptuales de tipo dimensional 
Abundan los textos (Babor-Thiessen, pp. 8-9; Bol'du- 
rev, pp. 21-22; Díaz Peñaroig Muntaner, pp. 662-663, 
Vol. 11; Alonso-Finn, p. 468; Longo, p. 117; Goldberg- 
Dillard, p. 349; Uson p. 99; Morcillo p. 48; Glassto- 
-5 ne, p. 232) en los que se denomina a u , de modo apa- 
rentemente correcto, como ((velocidad cuadrática me- 
dia)). Conviene dejar bien clara la inconveniencia que 
supone -por incongruente- el empleo generalizado 
del calificativo «cuadrático» en el contexto de una ve- 
locidad, totalmente carente de sentido desde un punto 
de vista puramente dimensional. En efecto, el valor nu- 
mérico de una velocidad es elevable al cuadrado, pero 
la expresión cuadrática resultante, así como dicho va- 
lor numérico cuadrático, ya no corresponden a una ve- 
locidad, cuyas dimensiones son LT-' y no L2T-2. Afor- 
tunadamente, en algunos textos (p.e.: Laidler, p. 197; 
Longo, p. 117; Goldberg-Dillard, p. 349; Moore, pp. 
205-207; Palacios, p. 266), tal inconsistencia es obvia- 
da hablando en términos tales como «cuadrado medio 
de la velocidad)), ((media de los cuadrados de las velo- 
cidades, ((promedio de la velocidad al cuadrado)), «ve- 
locidad cuadrado medio)), etc., evitando así incurrir en 
2: referido error conceptual y metrológico de ((veloci- 
dad cuadrática media)). 
En r-umen, debe quedar bien claro que los términos 
ü2  y u2 son cuadráticos (sin entrecomillados, esta vez) 
pero ninguno de ellos representa una velocidad, por las 
razones dimensionales antes apuntadas. 
Finalmente, otra inconsistencia ocasionalmente adver- 
tida en algunos libros (p.e.: Babor-Thiessen, pp. 8-9; 
Bol'dyrev, pp. 21-22) incurre en la triple incongruen- 
cia de denominar indistintamente como ((velocidad cua- 
drática media)), en la misma página, tanto a u2 , co- 
mo a m o  que excluye todo comentario. 
Aparte del concepto dimensional, antes aludido, debe 
tenerse bien presente que el término cuadrático impli- 
ca algo elevado a la segunda potencia -incógnita, o 
variable- «y no otra potencia)), según explicita el dic- 
cionario OXFORD, es decir, «algo de segundo grado)), 
relativo al cuadrado, según define nuestro diccionario 
de la Lengua, lo que invalida cualquier pretensión de 
denominación de ((cuadrática)) a cualquier magnitud 
elevada al cuadrado que se halle afectada por el signo 
radical. 
4. Concepto correcto con expresión terminológica y/o 
notación más o menos problemática 
Existe, igualmente, otro grupo numeroso de textos, que 
interpretan adecuadamente el concepto de velocidad 
74 
implicado por el término d i 2 ,  si bien contienen in- 
consistencia~ generalizadas en la denominación y/o no- 
tación del mismo. Así, en un texto (Eastman, p. 80), 
se emplea la denominación de ((velocidad promedio)), 
además de la inconveniente notación u. 
En la bibliografía anglosajona (p.e.: Longo, p. 117; 
Williams-Williams, p. 21; Kitaigorodsky, p. 194; 
Adamson, p. 28; Slabaugh-Parsons, p. 152; Gibson, 
p. 202 se emplea de modo generalizado la equivalen- &- tia u - u,,, (rms = «root mean square))), que po- 
demos traducir como «raíz del cuadrado medio))). Di- 
cha notación y denominación, castellanizadas, ya apa- 
recen en un texto bien conocido (Dickerson et al., p. 
76), como u,,,, en su versión española. 
Consideramos bastante afortunada y recomendable tal 
notación, ya que: 
a) se corresponde adecuadamente con la implicación 
del término radical fl 
b) evita cualquier equívoco con respecto a Ü (veloci- 
dad media) 
El Único inconveniente que le vemos a las notaciones 
u,,, y u,,, radica en la indeseable pérdida de la noción 
de magnitud estadística media, como consecuencia de 
la supresión del trazo superior correspondiente. En 
nuestra opinión, tal inconveniente quedaría fácil y sa- 
tisfactoriamente solventado mediante el empleo de las 
notaciones alternativas u,,,, o E,,,, que no hemos ha- 
llado en ninguno de los textos examinados. 
Para la velocidad en cuestión se han propuesto tam- 
bién diversas notaciones, absolutamente desaconseja- 
bles y equívocas, tales como: v,,,= mm (Tipler, p. 
480); C =  m ( ~ a s t e l f r a n c h i ,  p. 10); c,,, = fl 
(Mahan, p. 54); u = \/;i(~laver, p. 38); C =  m 
(Moore, pp. 205-207), etc. 
Existen, incluso, textos acreditados que omiten por 
completo una notación específica para dicha velocidad, 
recurriendo simplemente al empleo de expresiones ra- 
dicales diversas, tales como: w ( ~ l i c h ,  pp. 19-22); 
f l ( ~ í a z  Peña, Roig Muntaner, pp. 662-663; 5 
(Russell, p. 96); *palacios, pp. 280-281), asocia- 
das con denominaciones poco adecuadas, o ambiguas, 
como «raíz cuadrada media de la velocidad)), «raíz cua- 
drada de la velocidad media)), o ((velocidad media 
cuadrática)). 
Por último, para ilustrar adicionalmente el confusio- 
nismo existente sobre todo lo hasta aquí expuesto, pa- 
rece oportuno pasar a reproducir un ejemplo típico de 
confusiones y contradicciones advertidas en textos, que 
gozan, o han gozado, de general aceptación. 
Así, en uno de ellos (Laidler, p. 197) puede leerse: «. . . 
portanto, la media de los cuadrados de las velocida- 
des c2.. .»; la velocidad cuadrática media (c2)% Y, Por 
tanto, la velocidad media E ... D. 
OTROS TRABAJOS l 
Para concluir estas ya largas consideraciones pasare- 
mos ahora a analizar qué denominaciones pueden re- 
sultar más apropiadas para referirnos a la velocidad 
u,,,, diferenciándola inequívocamente de la velocidad 
media, u, una vez descalificado el empleo de cualquier 
expresión adjetivada como ((cuadrática)) y consideran- 
do que resulta poco práctico y farragoso utilizar ex- 
presiones del tipo ((velocidad raíz del cuadrado medio)), 
o similares al referirnos a u,,,. En la bibliografía exa- 
minada solamente hemos podido encontrar tres deno- 
minaciones específicas para denominar a tal magnitud, 
que nos parecen aceptables, concretamente: 
a) ((velocidad eficaz)) (Moore, pp. 205-207) 
b) ((velocidad promedio)) (Slabaugh-Parsons, p. 152) 
c) ((velocidad térmica)) (Svitkov, pp. 99, 105, 109) 
La adopción generalizada de una de estas tres deno- 
minaciones eliminaría automáticamente la posibilidad 
de cualquier equívoco al referirnos verbalmente a los 
tres tipos de velocidades moleculares, que presentan es- 
pecial interés en el tratamiento cinético-molecular de 
los gases ideales. 
4. CONCLUSIONES Y RECOMENDACIONES 
tipos de velocidades moleculares de especial significa- 1 
ción (fig. 1), cuyos nombres, expresiones i interrela- 
ciones son los siguientes: 
*velocidad más probable up = v !  
M 
*velocidad media ii  = 
*velocidad eficaz, o velocidad térmica 
7 
(Alternativamente, en castellano, aconsejamos el em- 
pleo de la notación ü,, para Ti,). 
De esta forma se obtiene un cuadro final congruente 
entre conceptos, denominaciones, notaciones, dimen- 
siones físicas e interrelaciones para los diversos tipos 
de velocidades moleculares, que deben quedar inequí- 
vocamente establecidas en cualquier libro de texto, tan- 
to  de Enseñanza Media, como universitario. 
L. Entendemos que lo más aconsejable sería desterrar, 
de una vez por todas, el equívoco, desafortunado e in- 
correcto término de velocidades «cuadráticas», de cual- 
quier tipo. 
Por todo lo expuesto, parece oportuno resumir la cues- 3 .  El tema considerado entendemos que presenta es- 
tión tratada en la siguiente forma: pecial interés metodológico y pedagógico, pudiendo 
constituir un excelente ejemplo a discutir con deteni- 
1. En los diagramas típicos de distribución estadística miento en seminarios de Físicas y Químicas, tanto en 
de velocidades de las partículas en sistemas macroscó- centros de Enseñanza Media, como universitarios, ha- 
picos gaseosos, de tipo campaniforme, correspondien- bida cuenta de la gran riqueza conceptual y termino- 
tes a los modelos de Maxwell-Boltzmann, aparecen tres lógica que el tema presenta. 
figura 1 
Tipos de velocidades moleculares de los gases ideales en iin diagrama de distribución de Maxwell-Boltzmann. 
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ENSEÑANZA DE LAS CIENCIAS, 1989, 7 (1) 


Velocidades moleculares en sistemas gaseosos macroscópicos

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