El mètode de quadratures de Fermat

Abstract

El Tractat de quadratures de Fermat (c. 1659) és conegut perquè conté la primera demostració de la qual hom té constància del còmput de l'àrea sota una paràbola superior, $\int x^{+m/n} dx$, o una hipèrbola superior, $\int x^{-m/n} dx$ —amb els límits d'integració adequats a cada cas. Però també conté una segona part que va ser gairebé ignorada pels seus contemporanis. Aquesta part és força obscura i difícil de llegir. En aquesta part, Fermat redueix la quadratura d'un gran nombre de corbes algebraiques a la quadratura de corbes conegudes: les paràboles i hipèrboles de la primera part. En altres casos, aconsegueix la reducció a la quadratura del cercle. En aquest article s'examina el mètode de quadratures de Fermat, que combina de manera molt intel·ligent dos procediments innovadors a l' època: el canvi de variables i un cas particular de la integració per parts. Amb el seu mètode, Fermat aconsegueix quadrar corbes tan conegudes com el foli de Descartes, la cissoide de Diocles o la bruixa d'Agnesi.Fermat’s Method of Quadrature. The Treatise on Quadrature of Fermat (c. 1659), besides containing the first known proof of the computation of the area under a higher parabola, $\int x^{+m/n} dx$ , or under a higher hyperbola, $\int x^{-m/n} dx$ — with the appropriate limits of integration in each case — has a second part which was mostly unnoticed by Fermat’s contemporaries. This second part of the Treatise is obscure and difficult to read. In it Fermat reduced the quadrature of a great number of algebraic curves to the quadrature of known curves: the higher parabolas and hyperbolas of the first part of the paper. Others, he reduced to the quadrature of the circle. We shall see how the clever use of two procedures, quite novel at the time: the change of variables and a particular case of the formula of integration by parts, provide Fermat with the necessary tools to square — quite easily — as well-known curves as the folium of Descartes, the cissoid of Diocles or the witch of Agnesi