Dalmau i Matas, Manuel

Quintanilla, R.

Saludes i Closa, Jordi

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques
Vol. 13, núm. 1, 1998. Pàg. 39–40.
El teorema de Bolzano implica l’axioma del suprem
M. Dalmau,∗ R. Quintanilla∗, J. Saludes
Al cos real tota funció contínua f : [a, b] → R verifica la propietat dels valors
intermedis; en particular la gràfica de f no pot passar de valors positius a valors
negatius sense tallar l’eix d’abcisses. Imaginem aquest fet dient que als reals no hi
ha forats; així el cos real realitza la nostra intuïció d’un continu de nombres.
Els racionals són un cos ordenat que és arquimedià però no complet (hi ha succes-
sions de Cauchy que no tenen límit). Al cos racional hi ha funcions contínues que no
verifiquen la propietat dels valors intermedis; per exemple la funció f(q) = q2 − 2
és contínua, positiva si q > 2, negativa si 0 < q < 1, però no pren el valor 0.
Si a R(x), cos de fraccions de R[x], hi posem l’ordre lexicogràfic, obtenim un cos
ordenat que és complet però no arquimedià. Considerem-hi la topologia de l’ordre.
També en aquest cas hi ha funcions contínues que no verifiquen la propietat dels
valors intermedis; per exemple la funció f(ξ) = ξ2−x és contínua, positiva si ξ > x,
negativa per 0 < ξ < 1, però no pren el valor 0 (si p
2
q2 = x tindríem p2 = xq2, que no
pot ser per la paritat dels graus).
Imaginem aquests fets dient queQ i R(x) tenen forats. L’objectiu d’aquesta nota
és mostrar que el cos real és l’únic cos ordenat sense forats (en el sentit que les
funcions contínues verifiquen la propietat dels valors intermedis) i serà, per tant,
l’únic cos ordenat que realitza la nostra intuïció d’un continu de nombres.
També podem associar la idea d’un cos ordenat sense forats al fet que sigui
connex. Veurem, però, que ser connex és equivalent a què es verifiqui la propietat
dels valors intermedis (Proposició 1).
En el que segueix, X és un conjunt totalment ordenat (amb, almenys, tres punts)
dotat amb la topologia de l’ordre, és a dir, els conjunts oberts són les unions arbitràri-
es o les interseccions finites d’intervals a+ = {x ∈ X : a < x}, a− = {x ∈ X : a > x}
i tot l’espai, X.
Propietat de Bolzano X té la propietat de Bolzano si donats qualsevol a,b ∈ X,
a < b, f : [a, b] → X una aplicació contínua i k ∈ X tal que k ∈ (f (a), f (b)) (o bé
k ∈ (f (b), f (a))), existeix c ∈ (a, b) tal que f(c) = k.
∗ Amb el suport del projecte PB96-0497 de la DGES.
40 M. Dalmau, R. Quintanilla, J. Saludes
1 Proposició X és connex si i només si X té la propietat de Bolzano.
Prova: Si X no és connex existeix A ⊂ X, A ≠ ∅, A ≠ X que és obert i tancat
alhora. Siguin x,y, z ∈ X tals que x < y < z. Siguin a ∈ A i b ∉ A; definim
f(A) = x, f(Ac) = z. La funció f és contínua perquè l’antiimatge d’un obert és
A, Ac o bé X, que són oberts, però no pren el valor y que és un valor mig perquè
x = f(a) < y < f(b) = z. X no té la propietat de Bolzano.
Si X no té la propietat de Bolzano, existeixen a,b, k ∈ X i una f : [a, b] → X
contínua, tal que f(a) < k < f(b) (o bé k ∈ (f (b), f (a))) i tal que
k no té antiimatge. Els conjunts A = {x : f(x) ≤ k} ∪ {x : x ≤ a} i B = {x :
f(x) ≥ k} ∪ {x : x ≥ b} són tancats, disjunts (perquè el valor k no s’assoleix), no
buits (a ∈ A, b ∈ B) i tals que X = A∪ B. Per tant X no és connex. 
2 Proposició Si X és connex aleshores X verifica l’axioma del suprem.
Prova: Sigui A un conjunt fitat superiorment. Sigui B = ⋂a∈A{x ∈ X : x ≥ a} (fites
superiors de A); B és no buit perquè A està fitat superiorment. Sigui C = ⋂b∈B{x ∈
X : x ≤ b} (fites inferiors de B); C és no buit perquè A ⊂ C . Si no es verifiqués
l’axioma del suprem per a A, aleshores B i C serien dos conjunts no buits, tancats,
disjunts i tals que X = B ∪ C i per tant X no seria connex. 
3 Corol.lari Si K és un cos ordenat que té la propietat de Bolzano, aleshores K és el
cos real.
Prova: K és connex segons la proposició 1 i, segons la proposició 2, a K es verifica
l’axioma del suprem. És un resultat conegut (vegeu [1], p. 749 i ss.) que l’únic cos
ordenat en el qual es verifica l’axioma del suprem és el cos real. Per tant K és el cos
real. 
Recordem que existeixen conjunts totalment ordenats i connexos no inclosos en el
cos dels reals ([2]).
Referències
[1] Spivak, M. Calculus: Càlcul infinitesimal. Reverté, Barcelona 1995.
[2] Steen, L. A., Seebach, J. A. Counterexamples in Topology. Springer, New York
1978.
Dep. de matemàtica aplicada II
Universitat Politècnica de Catalunya
Colom, 11
08222 Terrassa
mdalmau@ma2.upc.es
saludes@grec.upc.es


El Teorema de Bolzano implica l?axioma del suprem

Hemeroteca Cientifica Catalana

Butlletí de la Societat Catalana de MatemàtiquesVol. 13, núm. 1, 1998. Pàg. 39–40.El teorema de Bolzano implica l’axioma del supremM. Dalmau,∗ R. Quintanilla∗, J. SaludesAl cos real tota funció contínua f : [a, b] → R verifica la propietat dels valorsintermedis; en particular la gràfica de f no pot passar de valors positius a valorsnegatius sense tallar l’eix d’abcisses. Imaginem aquest fet dient que als reals no hiha forats; així el cos real realitza la nostra intuïció d’un continu de nombres.Els racionals són un cos ordenat que és arquimedià però no complet (hi ha succes-sions de Cauchy que no tenen límit). Al cos racional hi ha funcions contínues que noverifiquen la propietat dels valors intermedis; per exemple la funció f(q) = q2 − 2és contínua, positiva si q > 2, negativa si 0 < q < 1, però no pren el valor 0.Si a R(x), cos de fraccions de R[x], hi posem l’ordre lexicogràfic, obtenim un cosordenat que és complet però no arquimedià. Considerem-hi la topologia de l’ordre.També en aquest cas hi ha funcions contínues que no verifiquen la propietat delsvalors intermedis; per exemple la funció f(ξ) = ξ2−x és contínua, positiva si ξ > x,negativa per 0 < ξ < 1, però no pren el valor 0 (si p2q2 = x tindríem p2 = xq2, que nopot ser per la paritat dels graus).Imaginem aquests fets dient queQ i R(x) tenen forats. L’objectiu d’aquesta notaés mostrar que el cos real és l’únic cos ordenat sense forats (en el sentit que lesfuncions contínues verifiquen la propietat dels valors intermedis) i serà, per tant,l’únic cos ordenat que realitza la nostra intuïció d’un continu de nombres.També podem associar la idea d’un cos ordenat sense forats al fet que siguiconnex. Veurem, però, que ser connex és equivalent a què es verifiqui la propietatdels valors intermedis (Proposició 1).En el que segueix, X és un conjunt totalment ordenat (amb, almenys, tres punts)dotat amb la topologia de l’ordre, és a dir, els conjunts oberts són les unions arbitràri-es o les interseccions finites d’intervals a+ = {x ∈ X : a < x}, a− = {x ∈ X : a > x}i tot l’espai, X.Propietat de Bolzano X té la propietat de Bolzano si donats qualsevol a,b ∈ X,a < b, f : [a, b] → X una aplicació contínua i k ∈ X tal que k ∈ (f (a), f (b)) (o bék ∈ (f (b), f (a))), existeix c ∈ (a, b) tal que f(c) = k.∗ Amb el suport del projecte PB96-0497 de la DGES.40 M. Dalmau, R. Quintanilla, J. Saludes1 Proposició X és connex si i només si X té la propietat de Bolzano.Prova: Si X no és connex existeix A ⊂ X, A ≠ ∅, A ≠ X que és obert i tancatalhora. Siguin x,y, z ∈ X tals que x < y < z. Siguin a ∈ A i b ∉ A; definimf(A) = x, f(Ac) = z. La funció f és contínua perquè l’antiimatge d’un obert ésA, Ac o bé X, que són oberts, però no pren el valor y que és un valor mig perquèx = f(a) < y < f(b) = z. X no té la propietat de Bolzano.Si X no té la propietat de Bolzano, existeixen a,b, k ∈ X i una f : [a, b] → Xcontínua, tal que f(a) < k < f(b) (o bé k ∈ (f (b), f (a))) i tal quek no té antiimatge. Els conjunts A = {x : f(x) ≤ k} ∪ {x : x ≤ a} i B = {x :f(x) ≥ k} ∪ {x : x ≥ b} són tancats, disjunts (perquè el valor k no s’assoleix), nobuits (a ∈ A, b ∈ B) i tals que X = A∪ B. Per tant X no és connex. 2 Proposició Si X és connex aleshores X verifica l’axioma del suprem.Prova: Sigui A un conjunt fitat superiorment. Sigui B = ⋂a∈A{x ∈ X : x ≥ a} (fitessuperiors de A); B és no buit perquè A està fitat superiorment. Sigui C = ⋂b∈B{x ∈X : x ≤ b} (fites inferiors de B); C és no buit perquè A ⊂ C . Si no es verifiquésl’axioma del suprem per a A, aleshores B i C serien dos conjunts no buits, tancats,disjunts i tals que X = B ∪ C i per tant X no seria connex. 3 Corol.lari Si K és un cos ordenat que té la propietat de Bolzano, aleshores K és elcos real.Prova: K és connex segons la proposició 1 i, segons la proposició 2, a K es verifical’axioma del suprem. És un resultat conegut (vegeu [1], p. 749 i ss.) que l’únic cosordenat en el qual es verifica l’axioma del suprem és el cos real. Per tant K és el cosreal. Recordem que existeixen conjunts totalment ordenats i connexos no inclosos en elcos dels reals ([2]).Referències[1] Spivak, M. Calculus: Càlcul infinitesimal. Reverté, Barcelona 1995.[2] Steen, L. A., Seebach, J. A. Counterexamples in Topology. Springer, New York1978.Dep. de matemàtica aplicada IIUniversitat Politècnica de CatalunyaColom, 1108222 Terrassamdalmau@ma2.upc.essaludes@grec.upc.es

Catalan

El Teorema de Bolzano implica laxioma del suprem

http://hispana.mcu.es/es/registros/registro.do?tipoRegistro=MTD&idBib=1092261

El Teorema de Bolzano implica l?axioma del suprem

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Hemeroteca Cientifica Catalana