The center of mass problem for interacting relativistic particle systems is studied. It is shown the impossibility of finding in the relativistic case a set of three coordinate functions satisfying similar conditions to those verified by the Newtonian center of mass. Finally a 
particular system is studied and its center of mass is given according to restrictions previously set

Carot i Giner, Jaume

Revistes Catalanes amb Accés Obert

CENTRE DE MASSES RELATIVISTA PER A
SISTEMES DE PARTICULES AMB
INTERACCIO DIRECTA
per
JAUME CAROT I GINER
Departament de Ffsica Tebrica, Facultat de Ciencies,
Universitat de les illes Balears
SUMMARY
The center of mass problem for interacting relativistic particle sys-
tems is studied. It is shown the impossibility of finding - in the relati-
vistic case- a set of three coordinate functions satisfying similar
conditions to those verified by the Newtonian center of mass. Finally a
particular system is studied and its center of mass is given according to
restrictions previously set.
1. I NTRODUCCIO
L'objecte d'estudi del present treball es el centre de masses per a
sistemes aillats de partfcules relativistes amb interaccio directa; co es:
pretenem definir les coordenades d'un punt que satisfacin unes
condicions analogues a les verificades pel centre de masses newtonia:
CM1) Es transformen corn un punt que es mou amb moviment rec-
tilini i uniforme sota el grup de simetria. (Galileo en Mec.
Classica i Poincare en Mec. Relativista).
CM2) Poden prendre part en una transformacio canbnica de coor-
denades tal que separi el moviment del centre de masses (c.
Butll . Soc. Cat . Cien.], Vol. V, 1985
132 JAUME CAROT I GINER
de m.) del moviment intern del sistema. Aixo es: els Parente-
sis de Poisson (PP.) d'aquestes coordenades han d'anul•lar-se.
CM3) Es poden escriure com funcions depenents tan sols dels
generadors del grup de simetria.
El problema ha estat tractat anteriorment per diversos autors en un
nombre considerable d'articles, entre els quals cal destacar un article, ja
classic, degut a Pryce (PR-48); que constitueix un resum de totes les
solucions proposades fins aleshores, i on es veu la incompatibilitat de les
dues primeres condicions. D'altres referencies sobre el tema, poden
trobar-se en: LA-66, WI-39, NE-49, FL-65, JO-80.
El cami seguit en aquest treball fa compatibles ambd6s requeri-
ments (bon comportament sota el grup de Poincare i canonicitat) tot i
relaxant la 3a condici6, la qual es, des del nostre punt de vista, la que
menys desavantatges fisics comporta, car ens semblen me's importants i
alhora desitjables els dos primers requeriments que no pas el tercer.
D'altra banda, demostrem la impossibilitat de fer compatibles les tres
condicions esmentades.
2. PLANTEJAMENT DEL PROBLEMA
Com es ben conegut (MS-74), a un sistema aillat de N particules
relativistes Phi correspon una realitzacio del grup de Poincare `d' , que
ve donada per:
Pµ = Ea Pµ Jµv qµ Pav - qv Pap
o equivalentment:
a e 11,...,N 1
H = Po P i Kj = Joj Jk = 2 Eklm Jim
satisfent les relations:
iPi,HI = Pi,Pj1 = { Ji,HI = 0
Pi, Kj - 6 ij H 3 Pi, Ji } = Eijk Pk (2.1)
Ji, Jj Eijk Jk 3 Ji, Kj } = Eijk Kk i Ki, Kj Eijk Jk
L'espai fasic associat a un sistema fisic d'aquestes caracteristiques
es de dimensi6 6N (i en endavant sera designat per 1'6N i coordenat
[Butll. Soc. Cat. Cien], Vol. V, 1985
CENTRE DE MASSES RELATIVISTA 133
provisionalment amb qa i p) ; a, b = 1,...,N ; i, j = 1, 2, 3), i esta dotat
amb un PP . que satisfa:
1) Es bilineal 2) Es anti -simetric
3) Satisfa les identitats de Jacobi
El nostre proposit doncs es trobar 3 funcions Q'(q,P) i = 1, 2, 3;
coordenades del c. de m. del sistema, satisfent:
CMR1 ) Es transformen sota el grup de Poincare com que es mou
amb moviment rectilini i uniforme de velocitat Pi/H. Aixo
implica:
{ H, Qi _ - Pi/H { Pi, Qj } _ - 5 ij
i Ji, Qj) = Eijk Qk { Ki, Qj } _ -
H
Qi (2.2)
CMR2) Son coordenades canoniques, co es:
{ Qi, Qj I = 0 (2.3)
CMR3) Es poden escriure en funcio dels 10 generadors de
Qi = Qi (H, Pj, Jk, KI) (2.4)
3. INTEGRACIO DEL SISTEMA. INCOMPATIBILITAT DE LES CONDICIONS
EXIGIDES
El sistema diferenHal a integrar per tal de trobar les tres funcions
solucio del nostre problema , es el format pel conjunt d'expressions
(2.3) i (2.4); es a dir:
{ H, Qi
Pi
(3.1-a)
3 Ji, Qj ) = Eijk Qk
S Ki, Qj f = -
Pi Qi
(3.1-d)
{ Pi, Qj } _ - Sij (3.1-b)
(3.1-c)
{ Qi, Qj } = 0 (3.1-e)
[Butll. Soc . Cat. Cien.], Vol. V, 1985
134 JAUME CA ROT I GINER
Aquest sistema d'equacions diferencials es compatible, car son satis-
fetes totes les identitats de Jacobi que d'ell es puguin derivar.
Per tal d'integrar-lo prendrem condicions de Cauchy (CC.) a sobre
de la hipersuperffcie del c. de m., definida coin:
E = Iz€h6N/Pj=O j=1,2,31 (3.2)
de manera que a sobre d'aquesta hipersuperffcie, les funcions que
cerquem siguin:
Qt/E = f' (H, Kj(0), Jk(O)) (3.3)
on Kj(0) i Jk(0) indiquen respectivament els generadors de les trans-
formacions pures de Lorentz i de les rotations, ambdos presos a sobre
de la superffcie E del c. de in.
Considerem tot seguit els camps vectorials associats als generadors
de T, i que venen definits coin:
Al = Al, (VA1e T, I = 1,...,10)
A partir d'aquesta definicio, es senzill veure que els camps H, Pi i Jk
deixen 1' invariant i son doncs, tangents a ella, ja que:
HPj = Pi P; = JkPj =0 darnunt E (3.4)
Aquest fet ens permet prendre les equations (3.1-a, b, c) coin condi-
cions sobre les dades de Cauchy, tinguent que, a sobre de 1:
Pi, fj 1 = 5ij (3.5-a) 1 Ji, fi 1 = Eijk fk (3.5-b)
{ H, fi 1 = 0 (3.5-c)
Contrariament al que succeeix amb els esmentats camps H, Pi, Jk: el
camp vectorial K associat a les transformations pures de Lorentz, no
es tangent a E, ates que:
Kj Pi t 0 damunt E (3.6)
Es a dir: I no es una superffcie caracterfstica dels camps Kj, la qual
cosa, juntament amb les conditions (3.4), fa de E una "bona'' hipersu-
perffcie per prendre CC.
[Butll. Soc. Cat. Cien .], Vol. V, 1985
CENTRE DE MASSES RELATIVISTA 135
Considerem un tri-vector unitari qualsevol wk
construim el camp vectorial:
d
dx
(w.w= 1),ambell
Kj (3.7)
el qual executa una transformaci6 pura de Lorentz en la direcci6 del
vector w i es, per construcci6, no tangent a E. L'evoluci6 de qualsevol
funci6, i en particular de les nostres funcions incognita Qi, a sobre les
corbes integrals d'aquest camp , vindra donada per:
aQl = (w-Q) H
d
(3.8)
Graficament , hom pot dir que el camp
dX
definit en (3.7) " esten"
els objectes definits damunt E a un punt qualsevol de r6N
Aplicant 1 ' esmentat camp a les funcions Kj i Jk i integrant les equa-
cions diferencials resultants , podem obtenir Kj(0) i Jk ( 0) en termes dels
generadors de `F expressats en un punt qualsevol de 1'espai fasic I'6N'
resulta:
-*p P
Ji(0) = M-Ji - M(HJ +) M) Pi
+ Eiji -M K1 (3.9-a)
Kj (0) =
M
Ki MOM) Pi eijl
M Jl
(3.9-b)
D'altra banda, la condici6 de canonicitat donada en (3.1-e), es sufi-
cient que es verifiqui damunt E, ja que la identitat de Jacobi existent
entre Kl, Qi, Qj la transporta a qualsevol punt de la varietat r6N
Aquesta condici6 no es sin6 una condici6 sobre les diferencials de
les funcions Qi en un entorn de la hipersuperficie E ; si suposem:
dQ' = df' + a'U dfj (3.10)
on els coeficients aij juguen un paper de multiplicadors de Lagrange,
aleshores ( 3.1-e) equival a:
fi, fj = aij - aji damunt 1; (3.11)
Veiem , doncs , que el sistema d'equacions initial ( 3.1) equival ara al
format per les equations (3.5), (3.8 ) i (3.11 ): amb l ' avantatge que totes,
[Butll. Soc . Cat. Cien.], Vol. V, 1985
136 JAUME CAROT I GINER
llevat de (3.8), ban de ser calculades damunt E, amb les simplificacions
que aixo comporta.
La integracio de (3.8) porta a:
iQi = (77 ij - M(H + M) ) fl (M, Jk (0), Kj(0)) (3.12)
on substituint OW, Jk(0), Kj(0)), calculades previament a partir de
(3.5) i (3.11); desenvolupant ara en serie de Taylor fins el primer ordre
en Pj (on tindrem en compte (3.9)); i identificant finalment amb (3.10),
tenim:
aij
fi =
M
+ (J 2, M) Ji
M D1 (K x j )j Ji + M eijl (`PK1 - MI
(3.13)
(3.14)
on D1 signlfica "derivada de la funcio envers el seu primer argu-
ment", co es: j 2 .
Imposant sobre aquests resultats la condici6 (3.11), que es Tunica
que resta per imposar, determina llevat d'un signe, la funci6 ^o (J2 , M),
essent:
,v (J2, M) = ±
M
(3.15)
on i es la unitat imaginaria; resultat totalment inadmissible. Aixi doncs,
i a titol de resum, podem expressar tot l'anterior dient:
Tenim una realitzacio a del grup de Poincare sobre la varietat de
l'espai fasic r6N, aixo es:
I'6N
(qa, Pj
a
M10
(H, Pi, Kj, Jk) = (A 1)10 1
on (qa, pj) son les coordenades de I'6N i AI les de la varietat M10 , la
qual to estructura de varietat de Poisson (MA-81) -amb PP. donats per
(2.1)- degenerada, car existeixen dues funcions neutres no trivials: M i
W2 (M = (-P2) /? W2:
modul del vector de Pauli-Lubansky al quadrat),
es a dir:
IM,AI^ = I W2,Al1= 0 VAIeff (3.16)
Pi P
[Butll. Soc. Cat. Cicn .], Vol. V, 1985
CENTRE DE MASSES RELATIVISTA 137
per tant, el rang de la 2 -forma diferencial associada al PP. no es maxi-
mal, sing 8, aixo es rang M1o = 8.
Hem vist la impossibilitat de definir 3 funcions Qi sobre M1o satis-
fent els requeriments CMR 1 i CMR 2, aixo es
%Qi e A° ( M1o ); i = 1, 2, 3 satisfent CMR1, 2
La conclusio a la qual arribem es que hem restringit massa el rang de
variables de Qi; dit d' una altra manera : la varietat Mlo esdeve massa
petita per als nostres proposits.
4. PROPOSTA DE SOLUCIO: AMPLIACIO DE LA VARIETAT
D'acord amb I'anterior conclusio sembla Yogic cercar la solucio tot i
ampliant M10 a una varietat de dimensio superior que la contingui, per
a la qual cosa, farem el seguent:
Suposem que tenim una realitzacio '1; de 1'espai fasic sobre una va-
rietat M13 coordenada pels 10 generadors de mes les tres funcions Qi
que tot just estem cercant:
1'6N M13
i b i=1, 2, 3
(qa, Pj) (AI. Qi )I=1 ,..., 10
Aquesta varietat conte 1'anterior , i to per PP:
{ Pi, H Pi, Pj { Ji, H } _ { Qi, Qj 0 { Pi, Ji eijk Pk
{ Pi, Kj } _ - S ij H { Ji, Jj } = eijk Jk { Ji, Qj } = eijk Qk
Ki,Kj}=- eijkJk IJi,Kj} =eijkKk
Pi P.
{H,Qi } _ - {Ki,Qj } _- H Qi
{Pi,Qj } =
- bij
(4.1)
Ates que se satisfan totes les identitats de Jacobi que d'aci es
poden derivar, la varietat M13 es de Poisson (MA-81), encara que, com
kn1 funcions neuabans, es tambe degenerada; existiran doncs Ok j
tres, en un nombre necessarialnent senar, car el rang de la 2-forma asso-
ciada al PP (4.1) ha de ser parell, i la dimensio de M13 es imparella:
{6k,AI}
=
{ Ok,Qi } = 0 (4.2)
[Butll. Soc . Cat. Cien.], Vol. V, 1985
138 JAUME CAROT I GINER
Aquestes funcions neutres resulten esser:
01 = M
essent
02 = W2 03 = M2 (N2 +
M2
W2 (4.3)
N H K + P.K P + P xJ
M2 M2 H M2
(4.4)
amb la qual cosa, el rang de M13 es 10,
Fins aci hem suposat que el problema era ja resolt , que les funcions
Qi eren ja conegudes , ates que aixo no es aixi , el que cal es trobar un
canvi de coordenades en M13: (AI, Qj) (A1, ^j); i aixi doncs, en
general:
Qi = Qi (AI, ^j) j = 1, 2, 3 (4.5)
Les funcions ^j, j = 1, 2, 3 hauran de ser proveides per la pr6pia
dinamica del sistema en estudi.
Resumim doncs les conclusions a les quals hem arribat en aquesta
seccio:
- Cal ampliar el rang de variables de Qi, la qual cosa porta a relaxar
la condicio CMR3, tal i com ja haviem anunciat.
Les variables afegides, donaran informacib sobre la dinamica del
sistema en estudi; aixo es: ens cal particularitzar a un sisterna fisic
concret.
Per descomtat que el fet d'incloure la interaccio en les coordenades
del centre de masses del sistema , no es , de cap de les maneres, agradosa;
inalgrat aixo , i des d ' un punt de vista estrictament fisic, aquesta alterna-
tiva sembla millor que qualsevol de les altres dues; aixo es: renunciar a
un bon comportament sota S , o renunciar a la canonicitat.
Fins aci arriba la discussio general del problema; anem tot seguit a
resoldre un cas concret: el de dues particules relativistes interaccionant
a traves d'un potencial del tipus oscil•lador harmonic.
5. PRESENTACI6 DEL SISTEMA. VECTOR DE RUNGE-LENZ
Com ja hem anunciat , el sistema en que anem a centrar - nos es el
format per dues particules relativistes amb interacci6 tipus oscil•lador
harmonic. Aquest model , presentat originalment per Droz -Vincent
(DR-77) ha estat generalitzat posteriorment a N particules per Iranzo et
[Butll. Soc . Cat. Cien], Vol. V, 1985
CENTRE DE MASSES RELA TIVISTA 139
al. (IR-80), essent les hamiltonianes de les particules:
Ha = -
2
Pa kz2 a = 1, 2 (5.1)
amb
zµ
qµ q2
PA P v
zµ = (77 v M ) z° (5.2)
L'evoluci6 de les particles segons llur temps propi, ve donada per:
a
- =
1 Ha, } (5.3)
a Ta
fent la seguent transformaci6 de coordenades (IR-80):
Xµ Ea qa Pµ =
€a
Paµ
Zµ =
'1
n
1
rr^^2 Y
_ ( 5.4 )
- 1 µ Pµ PZ µ
la qual es canonica, segons horn pot veure dels PP:
Xµ Zv X,, Y, P" Z, P" y„ 0
{ Xµ, Xv } = i Pµ, Pv } = l zµ, zv } = l yµ, Yu 0
X,u, Pv 1 = 1 Zu, yv TIµ (5.5)
i fent el seguent canvi de parametre (IR-80):
x =
2
(T1 + T2) a= (T1 -- T2) (5.6)
resulta:
H, }
aQ = i
Py, } (5.7)
essent
H=eaHa
= - 4
P2 -y2 -k22 H2 - H, = Py (5.8)
[Butll. Soc . Cat. Cien.], Vol. V, 1985
140 JAUME CAROT I GINER
Les funcions extra que afegirem a les variables de Qi, son les compo-
nents del vector de Runge-Lenz (RL): vector propi unitari d'una inte-
gral tensorial primera del moviment Hµ,,, la qua] resulta esser:
HA V = k zµ zv + Yµ Yv (5.9)
amb valors i vectors propis donats respectivament per:
x± = e ± e2
-
k w2
essent:
Rµ
= (x+ y2 ) + (Y'z) Yµ
(5.10)
2e = y2 + k i2 w2 = y 2 22 (y.2 ) 2 (Pauli
-Lubansky) (5.11)
R. donat per (5.10) no es unitari, treballem amb ell per raons que
s aclariran mes endavant: de tota manera, el resultat final s'escriura en
termes del corresponent vector unitari.
6. DESCRIPCIO DEL SISTEMA DES DEL PUNT DE VISTA DELS C.H.S.
Els estats propis d 'un CHS ( Constrained Hamiltonian System), des-
crivint un sistema de N particules relativistes , son punts z = (qa, p" ) del
fibrat co - tangent T*M4 provist de la forma simplectica S2 = dpµ A dqa .
Un sistema d'aquesta mena, ve caracteritzat per 2N funcions
ka(z, m,) i xb(z) les quals formen un conjunt de 2N lligams de 2a classe
i defineixen una subvarietat r6N C T*MN, la qual pot esser dotada
d'una estructura simplectica mitjancant el procediment seguent:
Considerem la injeccio canonica de r6N en T*M4:
r6N T*M4
J
El pull-back per aquesta aplicacio de la forma simplectica SZ defi-
nida a sobre de T*M4 proveeix de manera natural una forma S * = j*S2,
simplectica tambe, definida a sobre de r6N; aixo es:
A2 (1'6N) A2 (T*M4)
com es ben conegut, el PP associat a I'6N es el Parentesi de Dirac (PD)
[Butll. Soc . Cat. Cien .], Vol. V, 1985
CENTRE DE MASSES RELATIVISTA 141
.(DI-64, AB-78) (per a definici6 en el cas general, veure les referencies
abans esmentades).
Tanmateix, una descripci6 tal proporciona, via la inj'eccio canonica
j, una realitzaci6 induida de `,l' damunt r6N a partir de la realitzaci6
original d'aquest grup a sobre la varietat total T*M4 .
El formalisme exposat porta, en el nostre cas (N = 2, oscil•lador
harmonic), a una subvarietat r 12 definida mitjancant els lligams:
Ka = - 2
P2 - 2
k i2 -- 2 m2 = 0 a = 1, 2
Xb = P.qb = 0 b = 1, 2 (6.1)
que expressats en les coordenades noves, prenen la forma:
K; = H -
2
(m1 +m2)= 0 Xi =P.x = 0
K2 = Py -
1
2 ( M22 - ml
2 ) = 0 X' = P.z = 0 (6.2)
Treballarem en la base dels vectors de polaritzaci6 { Eµ(0) , E„ ) }
pels avantatges que suposa (MA-70), i anomenarem els components dels
quadrivectors segons aquesta base mitjancant un index entre parentesi:
A(O) = Aµcµ(O)
A(J) = AMe (J)
El PD, explicitat a sobre de r 12 , ve donat per:
If,g}*=(f,g}
oC
M2 - b2 (IFI,gl
b2 M )( 1 py, g}2
b2 If,H}
M 2 ) (
(6.5)
-
- If P }2 Y
b=m2 m, (6.6)
({Px,g }, IPz,g}+
o
^
essent:
M2
b2
O 1 P4 + 1 b2
^ 4 2
[Butll. Soc . Cat. Cien.], Vol. V, 1985
142 JAUME CAROT I GINER
7. INTEGRACIO DEL SISTEMA I RESULTAT FINAL
El sistema que hom ha d'integrar ara es formalment identic al siste-
ma (3.1 ), canviant pero el PP pel PD:
Pi
{P°,Ql}* = Po ( 7.1-a) {Pi ,Qj}* = Sij (7.1-b)
P^
{ Ki, Qj ^ * = - -P Qi (7.1 -c) { Ji, Qj } * = eijk Qk (7.1.-d)
{ Qi, Qj }* = 0 (7.1-e)
Aquest sistema es compatible (es satisfan les identitats de Jacobi) i
per tal d'integrar-lo seguirem un camf en tot analeg al cami seguit ante-
riorment, amb la diferencia que ara, en prendre CC a sobre la hipersu-
perfIcie del c. de in.; podrem tenir, de mes a mes, una dependencia en
els components del vector RL no unitari, es a dir:
Qi/E = fi (M, Kj(0), Jk(0), R(s)(0)) (7.2)
essent com abans:
E _ {zeF12 / Pj = 0} (7.3)
Fent com abans i substituint els PP pels PD , arribern a 1'expressi6:
Qi/E = M + 02 (J 2, M) R(j) + 03 J2, M) (J X R)(i) (7.4)
on podem veure que ens surten dues funcions indeterminades:
2 (J 2 , M) i w3 (J , M) les quals estan relacionades mitjancant:
2 +
-+2 ^2
0 2 .J 3 =
J 2 + F(M)
M
(7.5)
on F(M) es una altra funcio indeterminada depenent tan sols de M.
Per tal de reduir el mes possible aquesta doble indeterminacio,
imposarem que, en el limit no relativista, les funcions que hem trobat
coincideixin amb les coordenades del c. de m. newtonia, fora termes
d'ordre c-2:
i i 1
lfm Q /E = Qclassic + 0 (c2 ) (7.6)
[Butll. Soc . Cat. Cien.], Vol. V, 1985
CENTRE DE MASSES RELATIVISTA
essent:
Q classic
Ml qI + m2 q2
MI + m2
P°I
Aquesta condicio porta de forma immediata a:
0 1
+ P2 q2
M
V'3 (J2,M )= M +0(^) 2 ( j2,M)=0(2)
143
(7.7)
F(M) = 0 (C3) (7.8)
la qual cosa no elimina del tot la indeterminacio, pero sf que la "fiteja".
L'cleccio mes senzilla de les funcions 02 (J 2 , M), 03 (j 2 , M) i F(M)
compatible amb (7.8) es sens dubte:
(j2,M)=0 Cd3 (J2,M)M F(M) = 0 (7.9)
De fet, i per arguments de tipus dimensional, hom pot veure que
F(M) es una constant numerica que depen nomes de k i de c 3 . D'acord
amb aquesta eleccio, finalment hom te:
Qi = (nij --
Pi Pj
P. (P° + M)
KK
M + M (J x R)(r)) (7.10)
8. CONCLUSIO
S'han trobat les coordenades canoniques del c. do in. per a un siste-
ma particular de partfcules relativistes en interaccio directa. Ara be,
la impossibilitat que siguin satisfetes simultaniament les 3 condicions
que satisfy el c. de in. newtonia, ens obliga a prescindir del 3r requeri-
ment (d'altra banda, el que menys inconvenients ffsics presenta); arnb
aixo el c. de m. depen d'altres variables a mes dels generadors del grup
de Poincare.
Aquesta dependencia de la dinamica del sistema, fa que en les teo-
ries d'accio a distyncia relativistes, no pugui, en general, esser definit el
centre de masses. Corn a consegiiencia d'aquest fet, 1'expressi6 analftica
de les coordenades del c. de m., esdeve forca complicada i perden
aleshores la seva utilitat com eina simplificadora dels calculs, a diferen-
cia del que succeeix en mecanica newtoniana.
[Butll. Soc . Cat. Cien.], Vol. V, 1985
144 JAUME CAROT I GINER
AGRAIMENTS
Agraeixo al Dr. Josep Llosa i Carrasco la direccio d'aquest treball i
el seu encoratjament constant.
Tambe agraeixo al Dr. Alfred Molina i Comte els valuosos suggeri-
ments prestats al llarg de la realitzacio d'aquest treball.
BIBLIOGRAFIA
AB-78: ABRAHAM, R. y MARSDEN, J.: "Foundations of Mechanics' Benja-
min, New York (1978).
DI-64: DIRAC, P.A.M. "Lectures on Quantum Mechanics" Academic Press
Inc. New York (1964).
DR-77: DROZ-VINCENT, Ph. Ann. Inst. H. Poincare, 27A, 407 (1977).
FL-65: FLEMING, G.N. Phys. Rev. 137, 188 (1965).
IR-83: IRANZO, V. et al. Ann. Phys. 150, p ?? (Oct. 1983).
IR-81: IRANZO, V. LLOSA, J., MARQUES, F. y MOLINA, A. Ann. Inst. H.
Poincare, 35, 1 (1981).
JO-80: JORDAN, T. F. J. Math. Phys. 21, 2028 (1980).
LA-66: LANDU, L. y LIFSHITZ, E. "Teoria clasica de los campos" Reverte,
Barcelona (1966).
MA-70: MARTIN, A. D. y SPEARMAN, T. D. "Elementary Particle Theory"
North Holland, Amsterdam (1970).
MA-81: MARLE, C. "Varietes de Poisson" Preprint del Second Seminar on Ma-
thematical Theories of Dynamical Systems and Microphysics" Udine
(1981).
MS--74: SUDARSHAN, E.C.G. y MUKUNDA, N. "Classical Dynamics" Wiley,
New York (1974).
NE-49: NEWTON, T. D. y WIGNER, E.P. Rev. Mod. Phys., 21, 400 (1949).
PR-48: PRYCE, M. H. L. Proc. Roy. Soc. London A/95, 62 (1948).
WI-39: WIGNER, E. P. Ann. Math. 40, 149 (1939).
[Butll. Soc . Cat. Cien], Vol. V, 1985


Centre de masses relativista per a sistemes de partícules amb interacció directa

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Revistes Catalanes amb Accés Obert