Saludes i Closa, Jordi

Hemeroteca Cientifica Catalana

Butlletí de la Societat Catalana de MatemàtiquesVol. 17, núm. 2, 2002. Pàg. 69–74Suplement electrònic a «Matemàtiques a la creaciómusical»Jordi SaludesCom a complement a l’article de Salvador Comalada [5] publicat en el nú-mero anterior del Butlletí, descrivim els fitxers que trobareu a l’adreçahttp://www.iecat.net/comalada/comalada.tar. El conjunt de fitxers cons-ta del parell de fragments musicals bach.mid i schoen.mid en format so-nor midi i els seus precursors Bach.lhs i Schoenberg.hs, juntament ambmidi.hs que proveix definicions auxiliars per a transformar i generar els frag-ments musicals.1 HaskellEls programes s’han fet utilitzant un paquet de programari anomenat Haskoreescrit en llenguatge Haskell [4].Com que tant el paquet com els exemples estan escrits en aquest llenguat-ge, és convenient que en parlem una mica, ja que Haskell és un llenguatgepurament funcional. En els llenguatges imperatius el paradigma vol que lesvariables siguin com contenidors on depositem números: res impedeix —i defet ho fem contínuament— canviar el valor d’aquests contenidors. En la majo-ria dels llenguatges clàssics una expressió com arax = x + 1 (1)té la semàntica: «Substituir el contingut del contenidor x pel valor del conte-nidor x més 1», o si voleu: xn+1 = xn + 1. És a dir, usem el mateix símbol pera referir-nos a diferents termes de la successió xn on n vé donat per l’etapadel càlcul.Per contra, en un llenguatge purament funcional, el signe igual denota unaregla de reescriptura: el que apareix al membre esquerre de la igualtat s’ha desubstituir pel que hi ha al membre dret.Cal fer notar que en el cas de l’expressió (1) es tracta d’una definició recur-siva. Si les regles de reescriptura s’apliquessin immediatament, el programa70 Jordi Saludesentraria en un llaç infinit. Això no passa perquè, a més, Haskell és un llenguat-ge peresós. Aquesta mena de llenguatges no avaluen una expressió fins queno és absolutament imprescindible. Això permet, entre altres coses, definirestructures infinites. Per exemple, el següent tros de codi defineix nat com lallista dels nombres naturalsseq n = n : seq (n+1)nat = seq 1Val a dir que l’operador «:» serveix per afegir un element al començamentd’una llista.Podeu trobar propaganda de programació funcional a [7].2 HaskoreEl paquet Haskore [3] és una col.lecció de definicions Haskell que permetend’escriure i transformar fragments musicals. La part executable (és a dir, nofuncional) de Haskore consisteix en les transformacions que escriuen fitxersmidi. Aquest és un estàndard per a l’emmagatzematge digital de música quedisposa de reproductors en la majoria de sistemes operatius.Els dos exemples musicals es troben als fitxers bach.mid i schoen.mid.Aquests fitxers s’han creat executant el codi del fitxer midi.hs. La part execu-table correspon a la funció main del final del fitxer. La resta són les definicionsdels fragments musicals que es troben als fitxers bach.hs i schoen.hs, jun-tament amb algunes funcions auxiliars.2.1 Instal.lacióSi voleu recrear els fragments musicals o bé explorar el paquet Haskore uscaldrà instal.lar uns fitxers que trobareu a les referències [3], [1]:1. Un compilador o intèrpret Haskell. Jo ho he fet amb el sistema hugs [1]però una altra possibilitat és utilitzar ghc [2] en lloc de hugs.2. El paquet Haskore format per fitxers de codi Haskell.Primer cal que instal.leu hugs seguint les instruccions que acompanyen elsfitxers. Després cal que desempaqueteu Haskore al directori «lib» dins deldirectori d’hugs i ja estareu a punt per usar-lo.2.2 Descripció del paquetEl mòdul Haskore està orientat a manipular música programàticament. El ma-terial bàsic és la NotaNote (n,o) d []Suplement electrònic a «Matemàtiques a la creació musical» 71on n i o designen respectivament la cnota i l’octava. Així (C,4) denota el do4.El paràmetre d especifica la duració de la nota. Observem que com a nom deles cnotes s’utilitza la notació A = la, B = si, . . ., G = sol, que és usual alspaïsos anglosaxons i Alemanya.Una sèrie de comandes facilita la creació de notes amb les durades méscorrents:nom duradafn rodonahn blancaqn negraen corxerasn semicorxera .Per a les pauses usemRest dPer a connectar fragments musicals usem els operadors :+: i :=:; el primerper a situar un fragment darrera l’altre, el segon per a fer-los sonar simultàni-ament.3 El fragment de BachDescrivim ara el contingut del fitxer Bach.lhs, que permet construir el frag-ment de les Invencions de Bach que trobem a [5].Definim el mòdul Bach i importem Haskore> module Bach where> import Haskorecor i scor permeten de construir una corxera i semicorxera respectivament> transposa = trans> lmap f l = line (map f l++[Rest 0])> nota d n = n d []> scor p o = nota sn (p o)> cor p o = nota en (p o)Definim el fragment com la superposició de les seqüències melòdiquesveu1 i veu2> bach = veu1 :=: veu2> veu1 = snr :+: sA :+: s1a :+: sC :+: s1b :+: sEs> sEs = sE :+: (scor g 5) :+: sE’ :+: (scor e 5) :+: sF’:+: (scor c 5) :+: sF :+: (cor a 4)> veu2 = hnr :+: sB :+: s2a :+: qnr :+: sD :+: s2b :+: s2c> base = map f4 [C, D, E, F, D, E, C]> where f4 p = (p,toInt 4)72 Jordi Saludesinverteix aplica la transformació Ip(n) = 2p − n tal com apareix a [5,pàg. 66]. És a dir, la inversió que deixa fixa la nota d’alçada p. fes aplicala transformació f a la seqüència base i s’obté una nova seqüència de semi-corxeres (sn)> fes f = lmap (fsn . f) base> where fsn p = Note p sn []> inverteix :: Pitch -> Pitch -> Pitch> inverteix p n = pitch (2*(absPitch p) - absPitch n)Per fi definim les seqüències, sA inalterada, sC i sB transposades 7 semi-tons amunt i 12 avall respectivament. sD és a sB com sC és a sA.> sA = fes id> sC = fes (transposa 7)> sB = snr :+: fes (transposa (-12))> sD = snr:+: fes (transposa 7 . transposa (-12))La transformació tE correspon a la composició tE = T21 ◦ Ido4 mentre quetF = T−10 ◦ tE . Definim sE com la seqüència base modificada per tE .> tE = transposa 21 . inverteix (C, 4)> tF = transposa (-10) . tE> sE = fes tELes seqüències E′, F i F ′ s’obtenen de la base aplicant T−4 ◦ tE , tF i T3 ◦ tF .Cal, però, ajustar E′ i F ′ a la tonalitat, cosa que fem amb ajustaP que esdefinirà més endavant> sE’= ajustaP (fes (transposa (-4) . tE))> sF = fes tF> sF’= ajustaP (fes (transposa 3 . tF))Ara anem a definir les sequències auxiliars (en gris a [5], fig. 3). Algunesd’aquestes porten un ornament anomenat tremblament definit com una breualternança ràpida de dos sons veïns (vid. [6]: ornaments). Atès que es tractad’un ornament he pensat que el codi queda més clar si s’aplica el trill aposteriori, un cop tot el fragment està definit. La definició de trembla quesegueix fa que el tremblament s’apliqui només a les cnotes equivalents a l’ar-gument rp. El periode del trinat s’ha ajustat a 1/48 d’una rodona.> trembla rp i n@(Note (p,_) _ _)> | rp == p = trill i (1%48) n> trembla rp i (m:+:ms) = trembla rp i m :+: trembla rp i ms> trembla rp i m = mLes seqüències que venen ara són bàsicament de corxeres (en). Observem ques1a i s1b tenen un tremblament en el si i el fa respectivament.Suplement electrònic a «Matemàtiques a la creació musical» 73> s1a = trembla B 1 (lmap (nota en) [g 4, c 5, b 4, c 5]:+: (scor d 5))> s1b = trembla F (2) (lmap (nota en) [d 5, g 5, f 5, g 5]:+: (scor e 5))> s2a = lmap (nota en) [g 3, g 2]> s2b = lmap (nota en) [c 4, b 3, c 4, d 4, e 4, g 3, a 3, b 3]> s2c = lmap (nota en) [c 4, e 3, fs 3, g 3, a 3, b 3]:+: nota (5%16) (c 4)3.1 TonalitatLa tonalitat d’una peça es dóna distingint un conjunt de notes naturals. Aquírepresentem la tonalitat amb una llista d’enters (els representants de les cno-tes corresponents) i definim les tonalitats de Do major i La menor (que com aconjunt són el mateix)> type Tonalitat = [Int]> doMajor = map pitchClass [C, D, E, F, G, A, B]> laMenor = map pitchClass [A, B, C, D, E, F, G]Una nota n pertany a la tonalitat T si la cnota corresponent hi és. És a dir,si existeix p ∈ T tal que n− p mod 12 = 0> esATo :: Tonalitat -> Music -> Bool> esATo t (Note (n,_) _ _) = filter mod12 t /= []> where mod12 p = mod (p - np) 12 == 0> np = pitchClass nPer posar a to una nota, mirem primer si ja és a to. En aquest cas no fem res;en cas contrari hi apliquem la transformació i. La resta de la definició de aTopermet aplicar la comanda a qualsevol fragment de música amb la seguretatque la comanda s’aplicarà a cada nota individual. Observeu que per posar ato un fragment transposat ((Trans j m)) cal transposar també la tonalitatsumant j a cada cnota de la tonalitat.> aTo :: (AbsPitch -> AbsPitch) -> Tonalitat -> Music -> Music> aTo i t n@(Note p d v)> |esATo t n = n> |otherwise = Note pf d v> where pf = pitch (i (absPitch p))> aTo i t (Tempo r m) = Tempo r (aTo i t m)> aTo i t (Trans j m) = Trans j (aTo i t’ m)> where t’ = map (+j) t> aTo i t (m :+: ms) = aTo i t m :+: aTo i t ms> aTo i t (m :=: ms) = aTo i t m :=: aTo i t ms> aTo _ _ (Rest d) = Rest d74 Jordi SaludesFinalment definim comandes per ajustar a la tonalitat de Do major siguipujant o baixant un semitò.> ajustaP = aTo (+1) doMajor> ajustaB = aTo (+(-1)) doMajorReferències[1] Hugs98. http://haskell.cs.yale.edu/hugs ihttp://www.haskell.org/hugs[2] The Glasgow Haskell Compiler. http://www.haskell.org/ghc/[3] Haskore. http://www.haskell.org/haskore[4] Haskell. http://www.haskell.org[5] Comalada, S. «Matemàtiques a la creació musical». Butlletí SCM, 17-1,65–78.[6] Candé, R. de. Diccionari de la música. Edicions 62, 1982.[7] Hughes, J. «Why functional programming matters». The Computer Jour-nal, 32, 2, 1989. També a: David A. Turner (ed.). Research Topics in Functi-onal Programming, Addison-Wesley, 1990.Departament de Matemàtica Aplicada IIUniversitat Politècnica de CatalunyaEdifici TR5Colom, 1108223 Terrassajordi.saludes@upc.es

Catalan

Suplement electrònic a «Matemàtiques a la creació
musical»

Revistes Catalanes amb Accés Obert

Butlletí de la Societat Catalana de Matemàtiques
Vol. 17, núm. 2, 2002. Pàg. 69–74
Suplement electrònic a «Matemàtiques a la creació
musical»
Jordi Saludes
Com a complement a l’article de Salvador Comalada [5] publicat en el nú-
mero anterior del Butlletí, descrivim els fitxers que trobareu a l’adreça
http://www.iecat.net/comalada/comalada.tar. El conjunt de fitxers cons-
ta del parell de fragments musicals bach.mid i schoen.mid en format so-
nor midi i els seus precursors Bach.lhs i Schoenberg.hs, juntament amb
midi.hs que proveix definicions auxiliars per a transformar i generar els frag-
ments musicals.
1 Haskell
Els programes s’han fet utilitzant un paquet de programari anomenat Haskore
escrit en llenguatge Haskell [4].
Com que tant el paquet com els exemples estan escrits en aquest llenguat-
ge, és convenient que en parlem una mica, ja que Haskell és un llenguatge
purament funcional. En els llenguatges imperatius el paradigma vol que les
variables siguin com contenidors on depositem números: res impedeix —i de
fet ho fem contínuament— canviar el valor d’aquests contenidors. En la majo-
ria dels llenguatges clàssics una expressió com ara
x = x + 1 (1)
té la semàntica: «Substituir el contingut del contenidor x pel valor del conte-
nidor x més 1», o si voleu: xn+1 = xn + 1. És a dir, usem el mateix símbol per
a referir-nos a diferents termes de la successió xn on n vé donat per l’etapa
del càlcul.
Per contra, en un llenguatge purament funcional, el signe igual denota una
regla de reescriptura: el que apareix al membre esquerre de la igualtat s’ha de
substituir pel que hi ha al membre dret.
Cal fer notar que en el cas de l’expressió (1) es tracta d’una definició recur-
siva. Si les regles de reescriptura s’apliquessin immediatament, el programa
70 Jordi Saludes
entraria en un llaç infinit. Això no passa perquè, a més, Haskell és un llenguat-
ge peresós. Aquesta mena de llenguatges no avaluen una expressió fins que
no és absolutament imprescindible. Això permet, entre altres coses, definir
estructures infinites. Per exemple, el següent tros de codi defineix nat com la
llista dels nombres naturals
seq n = n : seq (n+1)
nat = seq 1
Val a dir que l’operador «:» serveix per afegir un element al començament
d’una llista.
Podeu trobar propaganda de programació funcional a [7].
2 Haskore
El paquet Haskore [3] és una col.lecció de definicions Haskell que permeten
d’escriure i transformar fragments musicals. La part executable (és a dir, no
funcional) de Haskore consisteix en les transformacions que escriuen fitxers
midi. Aquest és un estàndard per a l’emmagatzematge digital de música que
disposa de reproductors en la majoria de sistemes operatius.
Els dos exemples musicals es troben als fitxers bach.mid i schoen.mid.
Aquests fitxers s’han creat executant el codi del fitxer midi.hs. La part execu-
table correspon a la funció main del final del fitxer. La resta són les definicions
dels fragments musicals que es troben als fitxers bach.hs i schoen.hs, jun-
tament amb algunes funcions auxiliars.
2.1 Instal.lació
Si voleu recrear els fragments musicals o bé explorar el paquet Haskore us
caldrà instal.lar uns fitxers que trobareu a les referències [3], [1]:
1. Un compilador o intèrpret Haskell. Jo ho he fet amb el sistema hugs [1]
però una altra possibilitat és utilitzar ghc [2] en lloc de hugs.
2. El paquet Haskore format per fitxers de codi Haskell.
Primer cal que instal.leu hugs seguint les instruccions que acompanyen els
fitxers. Després cal que desempaqueteu Haskore al directori «lib» dins del
directori d’hugs i ja estareu a punt per usar-lo.
2.2 Descripció del paquet
El mòdul Haskore està orientat a manipular música programàticament. El ma-
terial bàsic és la Nota
Note (n,o) d []
Suplement electrònic a «Matemàtiques a la creació musical» 71
on n i o designen respectivament la cnota i l’octava. Així (C,4) denota el do4.
El paràmetre d especifica la duració de la nota. Observem que com a nom de
les cnotes s’utilitza la notació A = la, B = si, . . ., G = sol, que és usual als
països anglosaxons i Alemanya.
Una sèrie de comandes facilita la creació de notes amb les durades més
corrents:
nom durada
fn rodona
hn blanca
qn negra
en corxera
sn semicorxera .
Per a les pauses usem
Rest d
Per a connectar fragments musicals usem els operadors :+: i :=:; el primer
per a situar un fragment darrera l’altre, el segon per a fer-los sonar simultàni-
ament.
3 El fragment de Bach
Descrivim ara el contingut del fitxer Bach.lhs, que permet construir el frag-
ment de les Invencions de Bach que trobem a [5].
Definim el mòdul Bach i importem Haskore
> module Bach where
> import Haskore
cor i scor permeten de construir una corxera i semicorxera respectivament
> transposa = trans
> lmap f l = line (map f l++[Rest 0])
> nota d n = n d []
> scor p o = nota sn (p o)
> cor p o = nota en (p o)
Definim el fragment com la superposició de les seqüències melòdiques
veu1 i veu2
> bach = veu1 :=: veu2
> veu1 = snr :+: sA :+: s1a :+: sC :+: s1b :+: sEs
> sEs = sE :+: (scor g 5) :+: sE’ :+: (scor e 5) :+: sF’
:+: (scor c 5) :+: sF :+: (cor a 4)
> veu2 = hnr :+: sB :+: s2a :+: qnr :+: sD :+: s2b :+: s2c
> base = map f4 [C, D, E, F, D, E, C]
> where f4 p = (p,toInt 4)
72 Jordi Saludes
inverteix aplica la transformació Ip(n) = 2p − n tal com apareix a [5,
pàg. 66]. És a dir, la inversió que deixa fixa la nota d’alçada p. fes aplica
la transformació f a la seqüència base i s’obté una nova seqüència de semi-
corxeres (sn)
> fes f = lmap (fsn . f) base
> where fsn p = Note p sn []
> inverteix :: Pitch -> Pitch -> Pitch
> inverteix p n = pitch (2*(absPitch p) - absPitch n)
Per fi definim les seqüències, sA inalterada, sC i sB transposades 7 semi-
tons amunt i 12 avall respectivament. sD és a sB com sC és a sA.
> sA = fes id
> sC = fes (transposa 7)
> sB = snr :+: fes (transposa (-12))
> sD = snr:+: fes (transposa 7 . transposa (-12))
La transformació tE correspon a la composició tE = T21 ◦ Ido4 mentre que
tF = T−10 ◦ tE . Definim sE com la seqüència base modificada per tE .
> tE = transposa 21 . inverteix (C, 4)
> tF = transposa (-10) . tE
> sE = fes tE
Les seqüències E′, F i F ′ s’obtenen de la base aplicant T−4 ◦ tE , tF i T3 ◦ tF .
Cal, però, ajustar E′ i F ′ a la tonalitat, cosa que fem amb ajustaP que es
definirà més endavant
> sE’= ajustaP (fes (transposa (-4) . tE))
> sF = fes tF
> sF’= ajustaP (fes (transposa 3 . tF))
Ara anem a definir les sequències auxiliars (en gris a [5], fig. 3). Algunes
d’aquestes porten un ornament anomenat tremblament definit com una breu
alternança ràpida de dos sons veïns (vid. [6]: ornaments). Atès que es tracta
d’un ornament he pensat que el codi queda més clar si s’aplica el trill a
posteriori, un cop tot el fragment està definit. La definició de trembla que
segueix fa que el tremblament s’apliqui només a les cnotes equivalents a l’ar-
gument rp. El periode del trinat s’ha ajustat a 1/48 d’una rodona.
> trembla rp i n@(Note (p,_) _ _)
> | rp == p = trill i (1%48) n
> trembla rp i (m:+:ms) = trembla rp i m :+: trembla rp i ms
> trembla rp i m = m
Les seqüències que venen ara són bàsicament de corxeres (en). Observem que
s1a i s1b tenen un tremblament en el si i el fa respectivament.
Suplement electrònic a «Matemàtiques a la creació musical» 73
> s1a = trembla B 1 (lmap (nota en) [g 4, c 5, b 4, c 5]
:+: (scor d 5))
> s1b = trembla F (2) (lmap (nota en) [d 5, g 5, f 5, g 5]
:+: (scor e 5))
> s2a = lmap (nota en) [g 3, g 2]
> s2b = lmap (nota en) [c 4, b 3, c 4, d 4, e 4, g 3, a 3, b 3]
> s2c = lmap (nota en) [c 4, e 3, fs 3, g 3, a 3, b 3]
:+: nota (5%16) (c 4)
3.1 Tonalitat
La tonalitat d’una peça es dóna distingint un conjunt de notes naturals. Aquí
representem la tonalitat amb una llista d’enters (els representants de les cno-
tes corresponents) i definim les tonalitats de Do major i La menor (que com a
conjunt són el mateix)
> type Tonalitat = [Int]
> doMajor = map pitchClass [C, D, E, F, G, A, B]
> laMenor = map pitchClass [A, B, C, D, E, F, G]
Una nota n pertany a la tonalitat T si la cnota corresponent hi és. És a dir,
si existeix p ∈ T tal que n− p mod 12 = 0
> esATo :: Tonalitat -> Music -> Bool
> esATo t (Note (n,_) _ _) = filter mod12 t /= []
> where mod12 p = mod (p - np) 12 == 0
> np = pitchClass n
Per posar a to una nota, mirem primer si ja és a to. En aquest cas no fem res;
en cas contrari hi apliquem la transformació i. La resta de la definició de aTo
permet aplicar la comanda a qualsevol fragment de música amb la seguretat
que la comanda s’aplicarà a cada nota individual. Observeu que per posar a
to un fragment transposat ((Trans j m)) cal transposar també la tonalitat
sumant j a cada cnota de la tonalitat.
> aTo :: (AbsPitch -> AbsPitch) -> Tonalitat -> Music -> Music
> aTo i t n@(Note p d v)
> |esATo t n = n
> |otherwise = Note pf d v
> where pf = pitch (i (absPitch p))
> aTo i t (Tempo r m) = Tempo r (aTo i t m)
> aTo i t (Trans j m) = Trans j (aTo i t’ m)
> where t’ = map (+j) t
> aTo i t (m :+: ms) = aTo i t m :+: aTo i t ms
> aTo i t (m :=: ms) = aTo i t m :=: aTo i t ms
> aTo _ _ (Rest d) = Rest d
74 Jordi Saludes
Finalment definim comandes per ajustar a la tonalitat de Do major sigui
pujant o baixant un semitò.
> ajustaP = aTo (+1) doMajor
> ajustaB = aTo (+(-1)) doMajor
Referències
[1] Hugs98. http://haskell.cs.yale.edu/hugs i
http://www.haskell.org/hugs
[2] The Glasgow Haskell Compiler. http://www.haskell.org/ghc/
[3] Haskore. http://www.haskell.org/haskore
[4] Haskell. http://www.haskell.org
[5] Comalada, S. «Matemàtiques a la creació musical». Butlletí SCM, 17-1,
65–78.
[6] Candé, R. de. Diccionari de la música. Edicions 62, 1982.
[7] Hughes, J. «Why functional programming matters». The Computer Jour-
nal, 32, 2, 1989. També a: David A. Turner (ed.). Research Topics in Functi-
onal Programming, Addison-Wesley, 1990.
Departament de Matemàtica Aplicada II
Universitat Politècnica de Catalunya
Edifici TR5
Colom, 11
08223 Terrassa
jordi.saludes@upc.es


http://hispana.mcu.es/es/registros/registro.do?tipoRegistro=MTD&idBib=1093435

Suplement electrònic a «Matemàtiques a la creació musical»

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Hemeroteca Cientifica Catalana

Revistes Catalanes amb Accés Obert