A DESIGUALDADE DE CHEBYCHEV Quando se pretende calcular a probabilidade de poder ocorrer determinado acontecimento e se conhece a distribuição probabilística que está em causa no problema, não se colocam dificuldades particulares. É o que sucede, por exemplo, com uma variável aleatória X, contínua, cuja função densidade de probabilidade seja: [ ][ ]f xx xxX ( ),, .=⇐ ∈⇐ ∉120 20 0 2 O valor médio de X - o seu primeiro momento ordinário, portanto - e o seu segundo momento ordinário valem, respetivamente: [ ][ ]E X x xdxE X x xdx= == =∫∫1243122022 202 pelo que a variância de X toma o valor: [ ] [ ] [ ]( )V X E X E X= − = −  = ⋅22224329 Admita-se, agora, que se pretende calcular a seguinte probabilidade: P X − <4323. Ora, tendo-se: X X− < ⇔−< <+43234 234 23 o valor da probabilidade procurada vale: 120 6294 234 23xdx−+∫ ≈ , . Esta é, pois, uma estimativa da probabilidade de que X assuma valores no intervalo: 4 234 23− +, centrado no valor médio de X : [ ]E X X= =µ ' 43 e de semi-amplitude igual ao desvio-padrão de X : σ X = ⋅23 Neste caso foi possível obter o valor da probabilidade procurada, conseguido com a precisão que se entendeu, dado ser conhecida a distribuição da variável aleatória X em causa. Pode, porém, acontecer que se conheçam o valor médio e o desvio-padrão da variável aleatória, mas se desconheça a correspondente distribuição, o que impossibilita o cálculo tal como anteriormente apresentado. É para uma situação deste tipo que a Desigualdade de Chebychev se mostra de enorme utilidade, já que, segundo Pestana (2004) a mesma envolve apenas o valor médio e a variância (de X ), mostrando que o simples conhecimento de localização e escala permite fazer avaliações de probabilidades. Este importante instrumento da Teoria da Probabilidade é válido para uma qualquer variável aleatória, com a única condição de ser finito o valor da respetiva variância, o que acarreta que os dois primeiros momentos ordinários o sejam também. Este resultado é válido, por igual, para o caso de distribuições discretas, mas acarreta, em qualquer caso e como seria sempre de esperar, uma imprecisão na estimativa achada para a probabilidade do acontecimento em causa. A Desigualdade de Chebychev é um caso particular da Desigualdade de Markov, que se apresenta de seguida, sem demonstração, e que pode encontrar-se nos manuais dos autores portugueses mais consagrados. Seja, então, ( )g X uma função mensurável da variável aleatória X , e que não assuma valores negativos, ou seja, ( )g X ≥ 0 . Então, se existir o valor médio de ( )g X ,( )[ ]E g X , ter-se-á: ∀ ∈c R + , ( )[ ] ( )[ ]P g X c E g Xc≥ ≤ ⋅ Como corolário desta propriedade, considere-se agora o caso em que a função considerada é: g X X( ) .= Tem-se, neste caso, a desigualdade: [ ] [ ]P X c E Xc≥ ≤ ⋅ Retomando o exemplo da distribuição inicial, facilmente se pode mostrar: [ ]P X xdx x≥= = =∫5312140 305322 532, (5). Em contrapartida, se se desconhecesse a distribuição da variável aleatória X , e se recorresse ao anterior resultado, corolário da Desigualdade de Markov, obter-se-ia: P X ≥≤ = =53435345 0 8, o que mostra que o desconhecimento da distribuição de X determina a estimação de uma probabilidade do acontecimento em causa muito acima do seu valor real. A probabilidade estimada pelo recurso ao corolário da Desigualdade de Markov fornece um limite superior da probabilidade do acontecimento: X ≥53 mas muito acima do valor real, calculável a partir do conhecimento da distribuição exata. Um segundo corolário da Desigualdade de Markov, mas que exige o conhecimento de mais informação, pode encontrar-se se se conhecer o momento absoluto ordinário de ondem n ∈ N 2 de X , fornecendo o resultado: [ ] [ ]P X c E Xcnn≥ ≤ onde c ∈ R + . Tendo presente que para a variável aleatória X se tem: [ ]E X 5 9 14≈ , este último corolário da Desigualdade de Markov permite a nova estimativa: P X P X≥= ≥≤≈53539 14530 7115,, que fornece um limite superior para a probabilidade do acontecimento em causa: X ≥53 já mais próximo do verdadeiro valor da sua probabilidade, se fosse conhecida a distribuição exata de X . Esta maior proximidade da probabilidade estimada através deste segundo corolário já requereu, contudo, o conhecimento do quinto momento absoluto ordinário de X , ou seja, uma informação maior que a requerida no caso do primeiro corolário. A Desigualdade de Chebychev é um caso particular da Desigualdade de Markov, aplicada ao caso da função: ( ) ( )g X X X= − µ ' 2 e tomando a constante c como sendo: c t X=2 2σ onde µX' e σ X2 são, respetivamente, o valor médio e o desvio-padrão de X , e onde t ∈ R + . Virá, então, por substituição na Desigualdade de Markov: ( )[ ] ( )[ ]P X t E Xt t tX X XX XX− ≥ ≤−= =µ σµσσσ''2 2 222 222 2 21 ou seja: [ ]P X t tX X− < ≥ − ⋅µ σ' 1 12 É esta expressão, ou a imediatamente anterior, que constitui a importante Desigualdade de Chebychev para o caso de uma única variável aleatória. Mas esta desigualdade pode ainda assumir uma outra forma, se nela se fizer: [ ]t t ttV XXX Xσ αασασ α= ⇔ = ⇒ = ⇔ =222 2 21 forma essa que é: [ ] [ ]P X V XX− ≥ ≤ ⋅µ α α' 2 Tomando, mais uma vez, a variável aleatória inicialmente considerada, calcule-se a probabilidade: P X P X− < ⋅ =−< <+4311234 11 234 11 23,, ,. Se se conhecer a distribuição de X , esta probabilidade vale: 120 6914 1 1 234 1 1 23xdx−+∫ ≈,,, . Contudo, se essa distribuição for desconhecida, e se recorrer à Desigualdade de Chebychev, virá, dado ser: t = 11, o valor da probabilidade em causa: P X − < ≥ − ≈43112311110 1742,,, que é um limite mínimo para a probabilidade procurada, embora muito distante do verdadeiro valor. O que já pôde perceber-se é que a Desigualdade de Chebychev se mostra muito limitada ao nível das probabilidades estimadas. É o preço que a sua grande generalidade comporta. O único caminho para melhorar o valor das suas contribuições é restringir o conjunto das distribuições a que se aplica, havendo necessidade de se conhecer, ao menos, que o seu comportamento tem maior proximidade com o de tipo gaussiano. No caso da variável aleatória com valor médio nulo, µX' = 0 , e variância σ σX2 2= , Murteira (1990) mostra que, se for conhecido o momento absoluto ordinário de quarta ordem: [ ]α4 4' = E X se tem: [ ]P X tt t≥ ≤−+ −σα σα σ σ4444 4 2 42'' com t > 1. Admita-se agora que se possuem n variáveis aleatórias, semelhantes e independentes, cada uma com valor médio µ1' e variância σ 2 , sendo n ∈ N 1 . A média aritmética das n variáveis aleatórias é a variável aleatória: XXniin==∑1 cujo valor médio e variância são, respetivamente: [ ][ ]E XV Xn== ⋅µσ12' Recorrendo à Desigualdade de Markov, mas tomando agora a nova função g:R→R, definida por: ( ) ( )g X X= − µ1 2' para a qual: ( )[ ]E Xn− =µ σ122' virá: ( )[ ] [ ]P X tntP X tnt− ≥ ≤ ⇔ − > ≤ ⋅µ σ σσµ σ12 2 222 2 1 21' ' Esta última expressão é, pois, a da Desigualdade de Chebychev, quando a variável aleatória é a média aritmética de n variáveis aleatórias, semelhantes e independentes, situação que se coloca frequentemente na prática. Seja uma população normal, de valor médio, µ1 6' = , e variância,σ 2 0 36= , , e suponha-se uma amostra de dimensão 100, oriunda dessa população. Ter-se-á, então: [ ][ ]E XV X== =60 361000 0036,, pelo que será: σ X = 0 06, . Se neste caso se pretender estimar um valor para a probabilidade do acontecimento: X − <6 1 virá: ( )P X P X− < = − < ⋅ ≥ −≈6 1 610 06 0 06 1110010 060 9999642,,,, . Esta é uma estimativa do mínimo da probabilidade procurada. De facto, se se soubesse que: ( )X N Z X N~ ; ,,~ ( , )6 0 0036 60 06 0 1⇔ =− tirar-se-ia da tabela da distribuição Normal reduzida que: [ ]P X − < ≈6 1 1. A maior proximidade entre a anterior estimativa, 0,999964, e o valor real da probabilidade, quando se conhece a distribuição, deve-se ao facto de se ter usado uma amostra já grande, através da distribuição da sua média aritmética. Se na anterior expressão da Desigualdade de Chebychev para a média aritmética de n variáveis aleatórias se fizer: t tX Xσ α σ α= ⇒ =2 2 2 a expressão da desigualdade assumirá a forma: [ ]P XnX− ≥ ≤µ ασα122' onde n ∈ N 1 é o número de variáveis aleatórias. No caso de se estar perante uma sucessão de n provas de Bernoulli, sendo k o número de êxitos nessas n provas, a Desigualdade de Chebychev toma a forma, facilmente dedutível: Pknpp pn− ≥ ≤−αα( )12 onde p é a probabilidade de ocorrer um êxito num qualquer ensaio e α ∈ R + . Mas a Desigualdade de Chebychev pode ser ainda generalizada a situações mais amplas, como se mostra com as duas propriedades que se seguem. Sejam X i , ( )i n= 1,..., , n variáveis aleatórias independentes, para as quais se tem: [ ][ ]E XV Xi ii i==µσ'2 e seja: { }L n= sup ,..., .σ σ12 2 Então, sendo α ∈ R + , tem-se que: P XnLniin− ≥≤ ⋅=∑µαα'12 Embora independentes, as n variáveis aleatórias não possuem necessariamente o mesmo valor médio e a mesma variância. No caso da sucessão de n provas de Bernoulli, admita-se que a probabilidade de êxito na i-ésima prova é pi . Então, sendo k o número de êxitos nas n provas, tem-se: [ ][ ] ( )E X pV X p pi ii i i== − ≤114 pelo que virá a Desigualdade de Chebychev correspondente à presente situação: Pknpn niin− ≥≤ ⋅=∑1214αα Ora, a Desigualdade de Chebychev a que se chegou inicialmente refere-se a um intervalo centrado no valor médio da variável aleatória em causa. Podem considerar-se, contudo, intervalos centrados num valor real qualquer,τ , não necessariamente coincidente com o valor médio. Retomando a Desigualdade de Markov e fazendo: ( )g X X( ) = − τ 2 ter-se-á: ( )[ ] ( )[ ]P X t E Xt− ≥ ≤−τ στσ2 2 222 2 ou seja: [ ] ( ) ( )( )[ ]P X t E Xt− ≥ ≤− + −τ σµ µ τσ1 122 2' ' ou ainda: [ ] ( )[ ] ( ) [ ] ( )[ ]P X t E X E X Et− ≥ ≤− + − − + −τ σµ µ τ µ µ τσ121 1 122 22' ' ' ' ou, finalmente: [ ] ( )P X tt t− ≥ ≤ +−τ σµ τσ12122 22'( )1 244444 3444444 dado que o primeiro momento central de X é nulo: [ ]E X − =µ 0 e que: ( )[ ] ( )( )[ ]EE Xµ τ µ τµ σ121212 2' ''− = −− = A expressão (2) pode tomar a forma: [ ] ( )P X tt t− < ≥ − −−τ σµ τσ112122 23'( )1 244 3444 onde (3) fornece uma estimativa do limite inferior da probabilidade de X assumir valores no intervalo: ] [τ σ τ σ− +t t, centrado emτ e não em µ1' . De igual modo, se se tiver a função: ( ) ( )g X X= − τ 2 a Desigualdade de Chebychev virá neste outro formato: [ ] ( )P X tnt t− < ≥ − −−τ σµ τσ112122 2' que é também de muito fácil obtenção. A Desigualdade de Chebychev, que se tem vindo a tratar de um modo abrangente, pode apresentar-se de um outro modo mais geral. Considerem-se, de novo, n ∈ N 1 , variáveis aleatórias independentes, X i , ( i = 1,..., n ), todas elas de média nula, µi' = 0 , e variância,σ i2, ( i = 1,..., n ). Seja, agora, a variável aleatória: X X X Xn iin= + ⋅ ⋅ ⋅ + ==∑11 para a qual se tem: [ ] ( )[ ]E X E X X n iinn212 212= + ⋅ ⋅ ⋅ + = ==∑ ∑σ . Sejam, então, os acontecimentos: D X tD X X tD X X tnnn n n1 12 1 21= <= + <= + ⋅ ⋅ ⋅ + <∑∑∑......................................... A Desigualdade de Chebychev garante, então, que: ( )P D D DtP Dtn iin1 2 2121111∩ ∩ ∩ ≥ − ⇔ ≥ − ⋅=... I Trata-se de uma propriedade de essencial interesse para a obtenção de uma condição suficiente para a conhecida lei forte dos grandes números. Finalmente, a Desigualdade de Chebychev está também presente no âmbito dos processos estocásticos, conceito, este, que constitui, pode dizer-se assim, uma generalização do de variável aleatória. De facto, o processo estocástico mais não é que um conjunto de variáveis aleatórias, todas igualmente distribuídas, mas cada uma delas dependente de um parâmetro definido em certo domínio. Para certo valor desse parâmetro obtém-se uma variável aleatória, com a referida distribuição. Em contrapartida, para certo valor da variável aleatória, obtém-se uma função do parâmetro antes referido, definido no domínio considerado. Ao domínio onde se encontra definido o parâmetro considerado dá-se o nome de conjunto-índice do processo estocástico correspondente. De um modo geral, os casos mais importantes são aqueles em que o parâmetro do processo estocástico é a variável tempo. Se o conjunto-índice é o conjunto dos números naturais, N, ou o dos inteiros, Z, ou uma sua parte própria, o processo estocástico diz-se de parâmetro discreto. Se o conjunto-índice é o corpo real, ou uma sua parte própria, o processo estocástico designa-se de parâmetro contínuo. Também no caso de um processo estocástico: { }X t t T( ): ∈ onde t é o parâmetro do processo, com valores no domínio T , se pode considerar uma função de valor médio do processo estocástico. Em torno desta função de valor médio dispõem-se, para um e outro lado, as diversas realizações do processo estocástico, cada uma definida para um certo valor de t T∈ . É, então, possível mostrar que, se o processo estocástico: [ ]{ }X t t a b( ): ,∈ for diferenciável em média quadrática, e fazendo: [ ]{ }[ ]{ }g t E X tg t E X t12122212( ) ( )( ) ( )'== se tem: [ ][ ]E X t g a g b g t g t dtt a b absup ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) .,∈ ≤ + + ⋅∫2 12 12 1 212 E desta propriedade se pode obter, como corolário, a Desigualdade de Markov para o caso dum processo estocástico nas condições indicadas: ∀ ∈c R + , [ ][ ]P X t cE X tct a bt a bsup ( )sup ( ),,∈∈> ≤22 Se for m t( ) a função de valor médio do processo estocástico X t( ) , pode obter-se a Desigualdade de Chebychev para o caso de um processo estocástico nas condições referidas, ou seja: [ ]P X t m t ccdtcX a X b X t X tab( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )'− ≤ ≥ −++⋅∫122 22 2σ σ σ σ onde t ∈ [a,b] e c ∈ R + . Trata-se, pois, de um limite inferior para a probabilidade de o processo estocástico se situar no interior de certa região centrada na sua função de valor médio. Se se considerarem duas realizações do processo estocástico em causa, sejam X e Y , ambas com valor médio nulo e variância unitária, e se for ρ o coeficiente de correlação entre as duas realizações - variáveis aleatórias, portanto -, pode mostrar-se que se tem: { }[ ]E max X Y, ≤ + −1 1 2ρ e também que: [ ] [ ][ ]P X E X t Y E Y ttX Y− ≥ ∨ − ≥ ≤+ −⋅σ σρ1 1 22 E é claro que se forY constante, será ρ = 0 , obtendo-se, então, a expressão já antes achada para a Desigualdade de Chebychev no caso de uma só variável aleatória: [ ][ ]P X E X ttX− ≥ ≤ ⋅σ12 Fica assim tratada a Desigualdade Chebychev, mas numa variedade muito mais vasta de situações que as normalmente contempladas nos textos de uso corrente ao nível dos cursos de licenciatura onde o tema está usualmente presente. BIBLIOGRAFIA GNEDENKO, B. V. (1976): The Theory of Probability, MIR, Moscovo. MELLO, F. Galvão de (1993): Probabilidades e Estatística, Conceitos e Métodos Fundamentais - Volume I, Escolar Editora, Lisboa. MURTEIRA, Bento José Ferreira (1990): Probabilidades e Estatística - Volume I, 2ª Edição Revista, Editora McGraw-Hill de Portugal, Lda.. OLIVEIRA, J. Tiago de (1990): Probabilidades e Estatística: Conceitos, Métodos e Aplicações, Volume I, Editora McGraw-Hill de Portugal, Lda.. PARZEN, Emanuel (1972): Processos Estocasticos, Paraninfo, Madrid. PESTANA, Dinis Duarte e Sílvio Filipe Velosa, (2006): Introdução à Probabilidade e à Estatística, Volume I, 2ª Edição Revista e Actualizada, Fundação Calouste Gulbenkian, Serviço de Educação e Bolsas. VENTZEL, H. (1973): Théorie des Probabilités, MIR, Moscovo

A Desigualdade De Chebychev

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