Esse artigo foi escrito para alunos de graduação e pós- graduação em Física e para alunos de Engenharia. Primeiramente mostramos como construir a equação diferencial não-linear de Korteweg e de Vries a partir das equações básicas da hidrodinâmica. Em seguida mostramos como resolvê-la obtendo as ondas denominadas de solitons

Bassalo, José Maria Filardo

Cattani, Mauro Sergio Dorsa

Biblioteca Digital da Produção Intelectual da Universidade de São Paulo (BDPI/USP)

  Universidade de São Paulo
 
2013-03-07
 
Solitrons Hidrodinâmicos de Korteweg-de
Vries.
 
 
Publicação do Instituto de Física, São Paulo, n.1676, p.1-10, 2013.
http://www.producao.usp.br/handle/BDPI/44529
 
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 Solitons Hidrodinâmicos de Korteweg-de 
Vries. 
 
Instituto de Física, Universidade de São Paulo, CP 66.318 
05315-970, São Paulo, SP, Brasil 
 
 
 Mauro Sérgio Dorsa Cattani  e José Maria Filardo Bassalo 
 
Publicação IF  
1676 / 2013 
 
07/03/2013 
 1 
 
Solitons Hidrodinâmicos de Korteweg-de Vries. 
 
M.Cattani
1
 and J.M.F.Bassalo
2 
1
Instituto de Física, Universidade de São Paulo, São Paulo, SP, Brasil 
mcattani@if.usp.br 
2
Fundação Minerva, Belém, Pará, Brasil 
jmfbassalo@gmail.com 
 
Resumo.Esse artigo foi escrito para alunos de graduação e pós- graduação 
em Física e para alunos de Engenharia. Primeiramente mostramos como 
construir a equação diferencial não-linear de Korteweg e de Vries a partir 
das equações básicas da hidrodinâmica. Em seguida mostramos como 
resolvê-la obtendo as ondas denominadas de solitons.  
 
 
I) Introdução. 
 Este é o primeiro de vários artigos sobre solitons que pretendemos 
escrever para alunos de graduação e pós-graduação em Física e de 
Engenharia. Desse modo, nesses artigos, analisaremos o problema de modo 
mais simples possível, mas, sem perder o rigor matemático quando tal for 
necessário. Visando apresentar somente os aspectos básicos do fenômeno 
não iremos fazer uma análise demasiadamente extensa ou detalhada do 
problema, tanto teoricamente como experimentalmente. Citaremos um 
número mínimo de referências onde podem ser encontradas formulações 
teóricas e comparações com resultados experimentais.  
 Os fenômenos não-lineares são muito comuns na natureza
1
 e uma 
parte muito importante das pesquisas atuais em vários campos da Física. As 
ondas solitárias, também conhecidas como solitons, resultam da não 
linearidade de equações diferenciais que regem certos fenômenos físicos. 
Elas aparecem, por exemplo, em fluidos, mecânica, óptica, estado sólido e 
biofísica. Veremos aqui somente “solitons hidrodinâmicos”2 que se 
propagam na superfície de fluidos sob a ação de um campo gravitacional. 
Faremos aqui somente o seguinte: deduziremos a equação diferencial não-
linear de Korteweg-de Vries a partir das equações da hidrodinâmica e 
obteremos as suas soluções. Não nos preocuparemos em estudar as 
propriedades dos solitons hidrodinâmicos. Essas propriedades e muitos 
outros detalhes sobre tais solitons podem ser vistos no livro de Lonngrem e 
Scott.
2
 
 O caso mais simples de onda é um “pulso”, ou seja, uma onda não-
periódica. Um pulso é chamado de soliton quando ele se propaga sem 
mudar de forma e sem diminuir a sua velocidade de propagação. Em 
outras palavras, é um pulso que se movimenta de modo estável. Na Fig.1 
 2 
 
vemos um pulso se propagando com velocidade c na superfície de um 
líquido num campo gravitacional g. 
 
Figura 1. Pulso se propagando com velocidade c na superfície de um líquido submetido 
a um campo gravitacional g em um canal com profundidade ho. 
 
  A primeira observação detalhada de uma onda solitária foi feita
3
 
em1834 em um canal de navegação pelo engenheiro escocês John Scott 
Russel. Ela foi gerada pela proa de um barco que parou subitamente. 
Russel acompanhou a propagação do pulso, montado a cavalo, por uns 3 
km ao longo do canal. Depois dessa distância perdeu o pulso de vista nas 
sinuosidades do canal. O pulso se movia, sem mudar de forma, com uma 
velocidade constante ≈ 14 km/h. 
 Durante muitos anos vários trabalhos forma feitos para explicar o 
fenômeno, mas, as equações sendo não-lineares eram muito difíceis de 
serem resolvidas. A solução analítica exata só foi obtida em 1895 por 
D.J.Korteweg e G.de Vries.
4
 Eles mostraram que o movimento era regido 
por uma equação diferencial, que ficou conhecida com o nome de equação 
de Korteweg-de Vries (KdV) contendo efeitos não-lineares e dispersivos. 
Eles resolveram exatamente a equação obtendo uma família de soluções 
estacionárias, sendo o soliton um caso particular. 
 Na Seção 2 deduziremos a equação de KdV usando as equações 
básicas da hidrodinâmica. Na Seção 3 resolveremos a equação de KdV 
mostrando que o soliton é uma das soluções particulares da mesma.  
 
 
2)A Equação de Korteweg-de Vries. 
 A dedução da equação de KdV e a obtenção de suas soluções serão 
feitas seguindo um roteiro visto no artigo de Gratton e Delellis
5
 onde são 
usadas as equações básicas da Mecânica de Fluidos.
6
  
 Consideremos um canal horizontal raso contendo água que em 
repouso tem uma profundidade ho.  Vamos assumir que um pulso está se 
movendo na superfície com um perfil mostrado na Fig.2. O sistema de 
coordenadas (x,y) se move junto com o perfil. A velocidade de propagação 
v(x,y) do fluido é dada por 
 
                                       v(x,y) = u(x,y) i + w(x,y) j                          (2.1). 
 
 3 
 
 
Figura 2. Pulso se propagando com velocidade c, yperfil = ysuperfície = ys(x,t) = h(x)  e 
lim|x|→∞ h(x,t) = ho
.
. No ponto x a velocidade do fluido ao longo do eixo x é u(x,y) e 
w(x,y) ao longo do eixo y. Longe da deformação v(x,y) = c e nos pontos y = 0 temos 
w(x,0)=0. 
 
 Supondo o fluido incompressível (ρ = densidade = constante) e 
irrotacional, temos div(v) = 0 e rot(v) =0, respectivamente:
6
 
 
                                            ∂u/∂x + ∂w/∂x = 0                                  (2.2)      
e 
                                            ∂w/∂x − ∂u/∂y = 0                                   (2.3). 
 
Da incompressibilidade do fluido decorre  –uh = cho. Assim, numa 
aproximação de ordem zero para a velocidade u teríamos  
 
                                              uo ≈ – cho/h(x)                                          (2.4). 
 
vamos determinar u e w até a ordem um, ou seja, 
 
        u(x,y)  ≈ uo(x,y) + u1(x,y) +…   e      w(x,y)  ≈ wo(x,y) + w1(x,y) +… 
 
 De (2.3) e (2.4) tiramos ∂w/∂x = ∂u/∂y ≈ ∂uo/∂y = 0 de onde vem 
∂wo/∂x = 0, ou seja, wo ≠ wo(x). Como lim |x| →∞wo(x,y) = 0 resulta que  
wo(x,y) = 0. 
 De (2.2) e (2.4) decorre, pondo h’(x) = dh(x)/dx: 
             
                                ∂w1/∂y = −∂uo/∂x = −choh’(x)/h
2
(x) . 
 
Como wo(x) = 0 integrando a equação acima verifica-se que  
 
                       w(x,y) ≈ w1(x,y) ≈ − c hoh’(x)y/h
2
(x)                         (2.5). 
 
Como uo ≈ uo(x) = −cho/h(x) , u = uo + u1 e w = wo+ w1, onde wo ≈ 0, de 
(2.3) obtemos 
                          ∂u/∂y = ∂(uo +u1)/∂y = ∂u1/∂y =∂(wo+w1)/∂x = ∂w1/∂x, 
 
ou seja, ∂u1/∂y = ∂w1/∂x. Desse modo, levando em conta a (2.5), 
 4 
 
                                         ∂u1/∂y = −c hoh’(x)y/h
2
(x)                        
que integrando dá 
                                            u1(x,y) ≈ Ay
2
/2  + k(x)                                (2.6), 
onde   
                                  A = −cho{h”(x)/h
2
(x) – 2h’(x)/h3(x)} 
 
Levando em conta a conservação do fluxo de massa devemos ter 
 
                 − cho = ∫o
h(x) 
u(x,y) dy = ∫o
h(x) 
{uo + Ay
2
+ k(x)} dy , 
ou seja, 
                                   uo h(x) +Ah
3(x)/3 = k(x)h(x) = −cho 
de onde tiramos 
                                       k(x) = − cho/h − uo –Ah
3
(x)/3. 
 
Usando esse fator k(x) e (2.6) e levando em conta que  u = uo+ u1 temos 
 
                                    u(x,y) = cho{1/h + A(y
2− h3/3)/2}                     (2.7). 
 
 Assumindo que o fluxo é estacionário e isentrópico
6
 considerando 
dois pontos quaisquer 1 e 2 ao longo do fluxo temos, de acordo com o 
teorema de Bernouilli, 
 
                              v1
2
/2 + p1/ρ + ϕ1 = v2
2
/2 + p2/ρ + ϕ2 = constante     (2.8), 
 
onde p é a pressão e ϕ = gy é o potencial gravitacional. Pegando o ponto 1, 
por exemplo, na superfície onde p1 = patm e longe da origem onde v1 = c , a 
(2.8) fica escrita num ponto 2 genérico também na superfície onde y = h(x): 
 
                               c
2
/2 + gy = (u
2
 + w
2
)/2 + gh(x)                             (2.9). 
 
Assim, diferenciando (2.9) em relação a x, 
 
                                 0 = udu/dx + wdw/dx + gh’(x)                          (2.10). 
 
Vamos agora escrever h(x) = ho[1 + ϵ(x)] e definir o parâmetro φ = x/ℓ , 
onde ℓ = “escala” = distância característica horizontal da perturbação da 
superfície do fluido, conforme mostramos na Figura 3. A altura ξ(x) da 
perturbação é dada por ξ(x) = hoϵ(x). 
 
 5 
 
 
Figura 3.  Altura ξ(x,y) da deformação da superfície e o fator de escala ℓ. 
 
 Consequentemente, h´(x) = ho(dϵ/dx) = ho(dϵ/dφ)(dφ/dx), ou seja,  
 
                                    h´= (ho/ℓ)(dϵ/dℓ) = α(dϵ/dℓ)                             (2.11), 
onde α = (ho/ℓ). 
 Admitiremos que a curvatura da superfície seja “suave”, ou seja, que 
ϵ(x) << 1, α = (ho/ℓ) << 1 e que ϵ(x) ≈ dϵ(x)/dφ ≈... ≈ d
nϵ(x)/dφn (n = 2,...). 
Levando em conta essas aproximações ds (2.5) obtemos, 
 
              w(x,h) = −cα(dϵ/dφ) + (termos de ordem superior em α, ϵ)   (2.12),  
e, assim 
                                  dw(x,h)/dx ≈ −(c/ℓ)α(d2ϵ/dφ2) .                         (2.13). 
 
 Levando em conta somente termos até segunda ordem em α e ϵ(x) 
vemos que a função u(x,y) definida por (2.7) fica escrita como 
 
                              u(x,h) ≈  −c{1− ϵ + (α2/3)(d2ϵ/dφ2)}                        (2.14)  
e que  
              du(x,h)/dx ≈  −(c/ℓ) {1− (dϵ/dφ)(1−2ϵ)+ (α2/3)(d3ϵ/dφ3)}      (2.15). 
 
Substituindo (2.11)-(2.15) em (2.10) obtemos 
 
                    (gho/c
2
 – 1) (dϵ/dφ) + 3ϵ(dϵ/dφ) + (α2/3)(d3ϵ/dφ3) = 0      (2.16). 
 
 Como sabemos
6
 ondas superficiais em camadas líquidas pouco 
profundas, ou seja, 2πho/λ → 0, onde λ é o comprimento da onda, se 
propagam sem se dispersar com velocidade co =√gho. Assim, assumindo 
que λ ~ ℓ teremos gho/c
2
 = (co/c)
2
 ≈ 1. Desse modo fazendo 
 
     (co/c)
2−1 = (co
2−c2)/c2 = (co – c)(co+ c)/c
2
 ≈ 2co(co – c)/c
2
 ≈ 2(1 – c/co). 
 
Substituindo esse resultado na (2.16) decorre:  
 
                         (1− c/co + 3ϵ /2)(dϵ/dφ) + (α
2
/6)(d
3ϵ/dφ3) = 0            (2.17). 
 6 
 
 A (2.17) foi obtida no referencial (x,y) que se move com velocidade 
c em relação ao referencial fixo no laboratório (x´,y´). Como x´= x + ct , 
y´= y = h(x) = h(x´− ct) e φ´= x´/ℓ  no laboratório a (2.17) fica escrita na 
forma 
                (c/co)(dϵ/dτ) +(1+ 3ϵ /2)(dϵ/dφ´) + (α
2
/6)(d
3ϵ/dφ´3) = 0     (2.18), 
 
ou ainda, lembrando que α = ho/ℓ, co =√gho, τ = ct/ℓ e ϵ = ξ(x)/ho,  
 
     ∂ξ/∂t + √gho{1 + (3ξ/2ho)}(∂ξ/∂x´) +( ho
2√gho/6) (∂
3ξ/∂x´3) = 0     (2.19), 
 
que é uma outra forma de escrever a equação de Kortweg-de Vries.
6 
 
 
3) Soluções da Equação de KdV. 
 Mostraremos, seguindo ainda o artigo do Gratton e Delellis,
5
 como 
obter as soluções da Eq.de KdV. É importante lembrarmos que as soluções 
são obtidas levando em conta sempre que a amplitude perturbação da altura 
ϵ = ξ/ho é muito pequena, ou seja, ϵ << 1. 
 A primeira integração de (2.17) dá 
 
                         (2/3)α2(d2ϵ/dφ2) = A + 4(c/co−1)ϵ − 3ϵ
2
                      (3.1), 
 
onde A = constante. Integrando o segundo membro de (3.1) obtemos  
 
                               V(ϵ ) = B − Aϵ −2(c/co−1)ϵ
2
 + ϵ3                           (3.2), 
 
onde B =constante. Assim, a (3.1) fica escrita na forma 
 
                                     (2/3)α2(d2ϵ/dφ2) = − dV/dϵ                              (3.3). 
 
A (3.2) é formalmente equivalente a equação que descreve o movimento de 
uma partícula em 1-dim submetida a um potencial V, interpretando ϵ como 
sendo a “coordenada” X do movimento, φ como “tempo” T e (2/3)α2 como 
a “massa” M da partícula. Nesse contexto a (3.3) torna-se, 
 
                                        Md
2
X/dT
2
 = − dV/dX                                    (3.4). 
 
Com essa interpretação (α2/3) (dϵ/dφ)2corresponde a “energia cinética”  
K = (M/2)(dX/dT)
2
. Ainda com essa analogia, é evidente que (3.4) tem uma 
integral primeira, correspondendo à energia mecânica E = K + V do 
movimento equivalente, 
  
                                  (α2/3) (dϵ/dφ)2 + V(ϵ) = E = constante                  (3.5), 
 7 
 
ou seja, usando (3.2): 
 
                           (α2/3) (dϵ/dφ)2 + B − Aϵ −2(c/co−1)ϵ
2
 + ϵ3 = E           (3.6). 
 
Como a constante B pode ser escolhida arbitrariamente é sempre possível, 
sem perda de generalidade, fazer E = 0. Assim, de (3.5) e (3.6) com E = 0, 
obtemos 
                  V(ϵ) = (α2/3) (dϵ/dφ)2 =  − B + Aϵ + 2(c/co−1)ϵ
2
 − ϵ3         (3.7), 
 
cujas soluções dependem dos valores de A, B e c/co . Assumindo ainda que 
a função ϵ(φ) seja tal que dϵ(φ)/dφ = 0 em ϵ = 0 teremos B = 0. Neste caso 
escreveremos V(ϵ), pondo B = 0 em (3.7), na forma  
 
                     V(ϵ) = ϵ (ϵ − ϵ3)( ϵ1− ϵ) = ϵ (ϵ − a)( a − b −ϵ)                    (3.8), 
 
onde ,   ϵ1 = a – b  = c/co – 1 –{(c/co – 1)
2
 + A}
1/2
 ,   
             ϵ2 = 0       e                                                                                  (3.9) 
             ϵ3 = a  = c/co – {(c/co – 1)
2
 + A}
1/2
 
 
onde ϵ1, ϵ2 = 0  e  ϵ3 são as raízes de V(ϵ) = 0.  
 
3.a) Onda solitária. 
 Assumindo que A = 0 em (3.9) verifica-se de ϵ1 que a = b e de ϵ3 que  
 
                                           c = co(1 + a/2)
1/2
                                          (3.10) 
e de (3.7) e (3.8), 
                                       (α2/3) (dϵ/dφ)2 = (a – ϵ) ϵ2                              (3.11). 
 
Fazendo q = 3φ/α2 a (3.11) fica dada por    
 
                                           (dϵ/dq)2 = (a – ϵ) ϵ2                                   (3.12). 
 
Integrando a (3.12), obtemos  
 
                                       q = −(2/√a) tgh-1[(1− (ϵ/a)2)1/2]                     (3.13). 
 
Lembrando que tgh
-1
(z) = ± sinh
-1[1/(1− z2)1/2], φ = x/ℓ e que α = ho/ℓ de 
(3.13) teremos 
:  
                                         ϵ = a sech2[(3a/4ho
2
)
1/2
x]                            (3.14). 
 
Vemos de (3.12) que a perturbação ϵ da altura dada por h = ho (1+ ϵ) cresce 
de 0 do ponto φ = −∞ até o valor máximo a em φ = 0 e vai zero novamente 
 8 
 
em φ = +∞. Desse modo notamos que a amplitude máxima da deformação 
da superfície é ϵmax = a .Assim, como ξ(x,t) = ho ϵ(x,t) o seu valor máximo 
será ξo = ho , conforme ilustramos na Figura 3. Portanto, no sistema de 
referência (x´,y´) fixo no “laboratório” teremos,6 a deformação ξ(x´, t), 
 
                            ξ(x´, t) = ξo sech
2[(3ξo/4ho
3
)
1/2
 (x´− ct)]                    (3.15). 
 
A (3.15) descreve uma “onda solitária” que se propaga sem se deformar 
com velocidade constante c e altura h(x´,t) dadas, respectivamente, por   
 
                                      c = √gho [1 + ξo/2ho]  
e                                                                                                             (3.14) 
 
                       h(x´,t) = ho {1 + (ξo/ho) sech
2[(3ξo/4ho
3
)
1/2
 (x´− ct)] }   
         
 
Figura 4. Soliton com altura h(x´,t) = ho + ξ(x´,t) se propagando com velocidade c. 
                                          
 Um soliton hidrodinâmico (3.14) pode ser gerado, por exemplo, pela 
compressão ou descompressão do líquido por um pistão,
7 
como mostra a 
Figura 5. 
 
Figura 5. Modo de criar solitons com de compressões e descompressões do líquido. 
                                                    
 
 Num litoral oceânico a compressão ou descompressão pode ser 
gerada, por exemplo, por um abaixamento ou levantamento de uma placa 
tectônica, ou ainda, pela compressão devida a queda de uma falésia sobre o 
oceano. Esses processos podem gerar um maremoto denominado, na mídia, 
de “tsunami”. Uma estimativa de sua velocidade de propagação, supondo 
que esteja se propagando onde ho = 6 km, é c ~ √gho = 250 m/s ~ 900 km/h. 
  
 9 
 
3.b) Ondas Cnoidais.                
 De acordo com Gratton e Delellis
5
 resolvendo a EKdV (2.17) além 
da onda solitária, vista acima, aparecem ondas periódicas cujo perfil pode 
ser expresso através de funções elípticas de Jacobi.
8
 Na Figura 6 ilustramos 
essas ondas que são dispersivas e se propagam com velocidade  
c ≈ co(1− k
2
ho
2
/3) onde k = 2π/λ e λ é o comprimento de onda dado por 
λ = (2ho/3) ∫o
a
 dϵ/[ϵ (ϵ − a)( a − b −ϵ)]1/2. 
 
 
Figura 6. Ondas periódicas cnoidais se propagando no líquido. 
 
 
 
Referências. 
1)A.C.Scott. “Nonlinear Universe”. Springer-Verlag (2007). 
2)K. Lonngren and A.C.Scott. “Solitons in Action”. Academic Press 
(1978). 
3)A.Libchaber et G.Toulouse. La Recherche 17,1027 (1976). 
4)D.J.Korteweg et G.de Vries. Phil.Mag. 39,422 (1895). 
5)J.Gratton and R.Delellis. Am.J.Phys.57,683 (1989). 
6)M.Cattani. “Elementos de Mecânica de Fluidos”. Editora Edgard Blücher 
(1990).  
7)M.J.Ablowitz and H.Segur. “Solitons and the Inverse Scattering 
Transform”. Siam Philadelphia (1981).  
8)K.Chandrasekharan. “Elliptic Functions”. Springer-Verlag (1985) 


Solitrons Hidrodinâmicos de Korteweg-de Vries.

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