Указываются отличия между критерием устойчивости Гурвица и критерием Рауса и обосновываются существенные преимущества последнего по условиям достоверности результатов и трудоемкости для исследователя.The differences between the Hurwitz stability criterion and the Routh criterion are shown in the paper and the essential advantage of the latter in terms of reliability and laboriousness is grounded

Eversheim, Walter

Fuhlbrügge, M.

Долбня, Виктор Тимофеевич

Electronic National Technical University &quot;Kharkiv Polytechnic Institute&quot; Institutional Repository (eNTUKhPIIR)

14УДК 62-83В.Т. Долбня, д-р техн. наук УкраинаХарьковНациональный технический университет «Харьковский политехнический институт»О ЦЕЛЕСООБРАЗНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ОПРЕДЕЛИТЕЛЯ ГУРВИЦА ДЛЯПРОВЕРКИ УСТОЙЧИВОСТИ СИСТЕМ АВТОМАТИЧЕСКОГО УПРАВЛЕНИЯУказываются отличия между критерием устойчивости Гурвица и критерием Рауса и обосновываютсясущественные преимущества последнего по условиям достоверности результатов и трудоемкости для иссле-дователя.Вказаноно на відмінності між критерієм стійкості Гурвіца та критерієм Рауса та обґрунтовуються іс-тотні переваги останнього за умовами достовірності результатів  та трудомісткості для дослідника.The differences between the Hurwitz stability criterion and the Routh criterion are shown in the paper and the es-sential advantage of the latter in terms of reliability and laboriousness is grounded.Помимо частотных критериев (Найквиста, Ми-хайлова и др.) в технической литературе широко по-пуляризируется алгебраический критерий, установ-ленный Гурвицем в 1895 г. Этот критерий использу-ется как в специальной,  так и в учебной литературе[1-5]. Иногда его называют «критерием Рауса-Гурвица» на том основании, что за 18 лет до Гурвица(в 1877 г.)  он был предложен Раусом,  но в несколькоиной форме,  хотя за основу,  как затем и Гурвицем,были взяты коэффициенты характеристического по-линома системы.  А в [5] вообще сказано,  что методыРауса и Гурвица – это один и тот же метод.Общее, однако, у них лишь то, что оба они исхо-дят из коэффициентов характеристического полино-ма, но действия с этими коэффициентами выполняют-ся совершенно по-разному.Цель настоящего сообщения – показать, что кри-терий Гурвица намного уступает критерию Рауса какпо трудоемкости его применения, так и по полнотесведений, полученных с его помощью о системе авто-регулирования.Допустим, что исследуемая система имеет харак-теристический полином( )7201764162473517521 23456+++++++=pppppppF  (1)По Гурвицу, из коэффициентов этого полиномасоставляется определитель0162417510001764735210007201624175100017647352100072016241751000176473521(2)Необходимо найти значения всех миноров, на-чиная с верхнего левого угла и заканчивая значениемопределителя. Если все они имеют одинаковый знак,то система устойчива – все корни полинома распола-гаются в левой полуплоскости. В частности, если пер-вый элемент первой строки положителен, то должныбыть положительными и все остальные миноры.Сразу видно,  что нахождение всех миноров –трудоемкая вычислительная задача. Ее можно,© Долбня В.Т., 2011правда, чуть-чуть упростить, вынося за знак опреде-лителя общий положительный множитель из каких-либо строки или столбца. Выносимые числа можнодалее не учитывать, так как нас интересуют толькознаки миноров. Подготовленный таким образом опре-делитель примет вид:140617510002135100018016241751001843510007201624175100084351(3)Найдем все его миноры.М1 = 1 > 0; М2 = 175 – 35 = 140 > 0;024351016241751843513 >==М ;===15401400084351072015401401084351162417510843510720162417510843514М012967710845136117>== ;==2135100180162417510084351007201624175100843515М===73510377700843510367777351006015401400008435100720154014010084351.0475207351461680055216873510461680008435105521680>=-=----=15Последний минор М6 (он же определитель D) ра-вен предыдущему минору М5, что видно из (3).Бросается в глаза обилие вычислительной рабо-ты, что отмечается многими авторами [2].В соответствии с критерием Рауса определительГурвица (2) не составляется, его заменяет таблица, со-ставляемая по следующему правилу:Пусть дан характеристический полином:( ) nnnn apapapapf ++++= -- 1110 ... .Составленная по Раусу таблица имеет вид:.......................................3213215314200321cccbbbaaaaaapppppnnnn---.В первом ее столбце записываются операторы от pn доp0. Это фактически нумерация строк. Первая строкасостоит из коэффициентов полинома, записанных че-рез один, начиная с а0, а вторая – из оставшихся. Эле-менты третьей строки находятся по формулам:130211 aaaaab-= ;150412 aaaaab-= ;170613 aaaaab-=  (5)и т.д.Последующие строки (с1, с2… d1, d2…  и т.д.)  со-ставляются по этому же правилу, исходя из двух пре-дыдущих строк.Элементы строк можно умножать или делить налюбое положительное число. Таблица закончится(n+1)-й строкой при р0, которая будет иметь лишьодин первый элемент.После составления таблицы рассматривают вто-рой ее столбец с элементами а0, а1, b1 и т.д.  Если всеего элементы положительны, у полинома нет корней,расположенных в правой полуплоскости. Если попа-даются отрицательные элементы, то исследуемый по-лином имеет столько корней в правой полуплоскости,сколько знакоперемен имеется во втором столбце.Это первое преимущество критерия Рауса. Из опреде-лителя Гурвица получить такие сведения невозможно.Составим таблицу Рауса применительно к ужерассмотренному полиному (1).1167.0129.3114.511184351720162417510123456ppppppp.Первые две строки составлены из коэффициен-тов полинома, при этом вторая сокращена на 21. Тре-тью строку находим по формулам (5):140135117511 =×-×=b ; 154018416242 =-=b ;720107203 =-=b .Разделив эти элементы на 140, получим третьюстроку: 1; 11; 5,14. Таким же образом находим и эле-менты четвертой строки:24111351 =-=c ; 86,78114,5841 =-=cили после сокращения на 24: 1 и 3,29.Элементы пятой строки равны (11-3,29)=7,71 и5,14 или 1 и 0,67. У шестой строки будет только одинэлемент (3,29-0,67)=2,62 или 1, а у седьмой тоже одинэлемент: 0,67 или 1.Во втором столбце знак «минус» отсутствует,следовательно, у полинома (1) нет корней с положи-тельной вещественной частью.Если сравнить проделанную только что вычис-лительную работу с той, которую пришлось проде-лать, пользуясь определителем Гурвица, то впечатля-ет огромное преимущество критерия Рауса. Странно,что он практически не применяется в отечественнойлитературе.Критерий Рауса позволяет получить еще некото-рую информацию об исследуемом полиноме. Если,например, при составлении таблицы появилась стро-ка, состоящая из одних только нулей, то это означает,что исследуемый полином имеет корни, симметрич-ные относительно начала координат комплекснойплоскости [5]. Это могут быть как вещественные, таки комплексные корни. Если при этом нет корнейсправа (нет знакоперемен во втором столбце табли-цы), то эти симметричные корни будут мнимыми. Ес-ли нулевых строк будет две или три, то такие симмет-ричные корни будут соответственно двух- или трех-кратными.Поскольку появление первой же нулевой строкине позволяет продолжить составление таблицы, нуж-но заменить эту строку ненулевой. Делается это сле-дующим образом [5].Строку, расположенную непосредственно наднулевой, используем для составления соответствую-щего ей полинома. Старшая степень оператора р это-го полинома приведена в первом столбце этой строки,а коэффициентами являются элементы строки. Как ив первых двух строках, степень оператора снижаетсячерез одну. Когда полином для этой строки состав-лен, находят его первую производную. Коэффициен-тами полученного нового полинома и заменяют нуле-вые элементы последующей строки. Далее составле-ние таблицы продолжается по уже установленнымправилам.Проанализируем теперь при помощи определи-теля Гурвица следующее характеристическое уравне-ние( ) .75100432494 23456 ++++++= pppppppf  (6)Составленный определитель предварительно упро-стим, вынося общие множители из 1-й, 3-й и 5-йстрок и из последнего столбца:1614391000256100075439100025610007543910002561754391000100244000754391000100244000754391000100244= ,после чего найдем все его миноры:М1 = 1 > 0; М2 = 9 – 6 > 0;0181861018302561610439125613 =-===М ;01830025610751830025614391025610754391025614 ===М(2-я и 3-я строки пропорциональны).025610075183000256100751830002561256100754391002561007543910025615 ===М(2-я и 3-я строки пропорциональны).Рассмотрим еще один полином:f (p) = 2p4 + 4p3 + 3p2 + 1.                    (7)Определитель Гурвица и его миноры:1320024001320024=D ; ;82;41==MM==2401320243М= 24 – 16 – 8 = 0 ; М4=М3=0.Автор предлагал многим, в том числе кандида-там и докторам наук,  высказать свое мнение о поли-номах (6) и (7), руководствуясь определителями Гур-вица. Все сходились на одном: корней в правой полу-плоскости у этих полиномов нет, так как нет отрица-тельных миноров. Нулевые же миноры говорят о на-личии мнимых корней. Никто не обратил внимания наприведенное в [3] мелким шрифтом замечание, чтопри отрицательных минорах требуется какое-то до-полнительное исследование. Мои коллеги были ис-кренне удивлены тем обстоятельством, что если у по-линома (7)  в самом деле правых корней нет,  но естьмнимые, то у полинома (6) с аналогичной ситуацией сминорами нет именно мнимых корней, зато имеютсядва корня с положительной вещественной частью:1+j2 и 1-j2. Определитель Гурвица и в этом случаедает сбой.  А что же критерий Рауса?251625331256125617543910123456-ppppppp11121213201234ppppp. (8)У полинома (6) составление таблицы, где втораястрока сокращена на 4, а третья после сокращения на3 полностью повторяет вторую, наталкивается на по-явление четвертой нулевой строки. Возвращаемся ктретьей, восстанавливаем соответствующий ей поли-ном р4+6р2+25  и находим его производную 4р3+12р.Е е коэффициентами, сокращенными на 4, заменяемнули четвертой строки и заканчиваем составлениетаблицы, которая приведена в (8) слева. Во втором еестолбце две знакоперемены, значит у полинома естьдва корня справа. Действительно – корни: р1=1+j2;p2=1-j2; p3=-1+j2; p4=-1-j2; p5=-1; p6=-3. Нулевая стро-ка свидетельствует о наличии симметричных корней.Такими являются корни р1, р4  и р2, р3.Для полинома (7) в таблице Рауса (см. (8) справа)также четвертая строка окажется нулевой. Производ-ная полинома 2p2 + 1 для третьей строки равна 4 или1. В последней строке также будет 1.В этой таблице все элементы второго столбцаположительны, корней справа нет, а симметричныекорни, на наличие которых указывает нулевая строка,будут мнимыми.Действительно, корни этого полинома121 -== pp ; 224,3 jp ±= .Как видим, определитель Гурвица не выдерживаетникакого сравнения с критерием Рауса как по трудо-емкости его применения, так и по достоверности по-лучаемых сведений о полиноме.Список использованной литературы1. Автоматизация производства и промышленнаяэлектроника – М.: Советская энциклопедия, 1962, т.1.– 524 с.2. Власов К.П. Теория автоматического управле-ния / К.П. Власов – Харьков: Гуманитарный центр,2007. – 525 с.3. Воронов А.А. Основы теории автоматическогоуправления / А.А. Воронов – М.-Л.: Энергия, 1965,ч.1. – 423 с.4. Корн Г. Справочник по математике / Г.Корн,Т. Корн. – М.: Наука, 1973. – 832 с.5. Пиан Луи де. Теория линейных активных це-пей / Пиан Луи де – М.-Л.: Энергия, 1967. – 536 с.Получено 19.07.2011Долбня Виктор Тимофеевич,д-р техн. наук, проф. каф.«Автоматизированныеэлектромеханические системы»НТУ «ХПИ».тел. 70-76-445

О целесообразности применения определителя Гурвица для проверки устойчивости систем автоматического управления

RWTH Publications

Grundlagen der Simmulation in CIM

http://repository.kpi.kharkov.ua/bitstream/KhPI-Press/34503/1/ETKS_2011_3_Dolbnya_O_tselesoobraznosti.pdf

О целесообразности применения определителя Гурвица для проверки устойчивости систем автоматического управления

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute" Institutional Repository (eNTUKhPIIR)

RWTH Publications

О целесообразности применения определителя Гурвица для проверки устойчивости систем автоматического управления

Abstract

Similar works

Full text

Available Versions

Electronic National Technical University &quot;Kharkiv Polytechnic Institute&quot; Institutional Repository (eNTUKhPIIR)

RWTH Publications

Electronic National Technical University "Kharkiv Polytechnic Institute" Institutional Repository (eNTUKhPIIR)