(uk) Доводяться теореми неперервності згорток для кожної з основних топологій в 
просторі векторних мір.(en) The theorems of continuity of convolutions for every of the basic topologies in a space 
of vector measures are proved

Elenius, Jesper

Ramirez, Eusebio

Orthognathic surgery is today a standard procedure for improving the intermaxillary relationship by moving either one or both jaws surgically. However, statistics for frequency and indication for orthognathic surgery in Sweden are today non-existent. The purpose of the study is to examine indications, frequency and surgical techniques for orthognathic surgery performed in Swedish Oral and Maxillofacial Surgery (OMFS) clinics. A questionnaire survey was performed on all Swedish OMFS clinics for the year 2011 to identify gender and age of the patients, surgical techniques, indications, frequency of operations and whether patients underwent one- or two-jaw surgery. A total of 47 out of 50 clinics responded to the survey. According to it, 894 patients were treated with orthognathic surgery. Slightly more women underwent orthognathic surgery than men and 91% of the patients were 26 years or younger. The most common indication was functional and the most common main jaw discrepancy aimed to correct was of sagittal nature. The survey shows great discrepancies between the counties concerning one- vs. two-jaw surgery. The results regarding frequency, age and gender distribution in orthognathic surgery was somewhat expected. However, the spread in frequency regarding one- vs. two-jaw surgery between the counties is concerning. The main indication for performing orthognathic surgery in Sweden is by far functional but there is reason to suggest that aesthetic indication is not negligible

Digitala Vetenskapliga Arkivet - Academic Archive On-line

Indications and Frequency of Orthognathic Surgery in Sweden – a Questionnaire Survey

Publikationer från Umeå universitet

Романов, Володимир Олександрович

Electronic Kirovograd State Pedagogical University Institutional Repository

Випуск 57 Серія: Математичні науки Ш  НАУКОВІ ЗАПИСКИУДК 517.98ЗГОРТКИ З НЕПЕРЕРВНИМИ ВЕКТОРНИМИ МІРАМИВ. О. РомановДоводяться теореми неперервності згорток для кожної з основних топологій в просторі векторних мір.The theorems of continuity of convolutions for every of the basic topologies in a space of vector measures are proved.Відомо [ 1, 2 ] , що для скалярних мір в топологічних лінійних просторах операція згортки має суттєве значення при побудові теорії розподілів та теорії наближень. У зв'язку з подальшим розвитком функціонального аналізу виникає потреба в дослідженні векторних мір, в тому числі неперервних [ 3, 4 ]. Згортки з такими мірами можуть бути використані при побудові розв'язків задачі Коші [5,6]. Тому дослідження згорток з неперервними векторними мірами є актуальними як для розвитку самої теорії міри, так і до застосувань до теорії розподілів, диференціальних рівнянь та теорії наближень. Метою даної статті є одержання результатів про неперервність згорток в основних топологіях простору векторних мір.1. Згортки  з векторним и ш рами. Під векторними мірами розуміємо зчисленно адитивні функції множини, які визначені на сигма-алгебрі борелевських підшюжин повного сепарабельного метризовного топологічного лінійного простору X , приймають значення в сепарабельному банаховому просторі Y та мають скінченну повну варіацію.Нехай m є векторною мірою. Тоді для кожного функціоналу f  із спряженого до Y простору композиція f  m цього функціоналу з m є скалярною мірою на X. Оскільки простір X є сепарабельним та метризовним, то з результатів роботи [ 7, с.62-63 ] випливає, шо для кожної борелевської множини Е функція f  m ( Е -  х ) аргументу х є вимірною на цьому просторі. Таким чином, векторна функція m ( Е -  х ) аргументу х є слабко вимірною на X. Оскільки простір У , в якому вона приймає значення, є сепарабельним, то за теоремою Пеггіса [ 8 , с. 187 ] ця векторна функція є також сильно вимірною. Оскільки для кожного х норма вектора m ( Е -  х ) не перевищує повної напівваріації цієї векторної міри m , то ця норма є інтегровною відносно кожної цілком скінченної скалярної міри на X з невід'ємними значеннями. Тому за теоремою Бохнера [ 8 , с. 190 ] векторна функція m ( Е -  х ) є інтегровною за Бохнером відносно вказаної міри з невід’ємними значеннями. Це дає змогу ввести наступне означення.О значення 1. Згорткою  векторної міри m та скалярної знакозмїнної міри р скінченної повної варіації називається така векторна міра m * р , значення якої на кожній борелевській множині Е дорівнює різниці інтегралів Бохнера від векторної функції m( Е -  х ) аргументу х простору X відносно компонент розкладання Жордана знакозмінної міри р .88Випуск 57 Серія: Математичні науки Ш  НАУКОВІ ЗАПИСКИЗауваження 1. Дане означення є узагальненням означення згортки двох скалярних мір на X . Згортка скалярних мір на X розглядається в роботах [1, с. 150 ], [ 2, с. 44], [7, с.62-63].Нехай Н є лінійним підпростором простору X . Нагадаємо [4 ], що векторна міра називається Н-неперервною в даній топології, якщо для кожного напряму h з Н неотінченно малі зсуви вздовж h приводять до нескінченно малої стосовно даної топології зміни векторної міри.Нагадаємо також, що в просторі векторних мір основними є топології збіжності на системі вимірних множин, збіжності за иапівварїацією та збіжності за варіацією [9].2. Випадок топології збіжності на системі вимірних множин. Спочатку нагадаємо , що варіація v(m) векторної міри m має як функція множини властивість зчисленної адитивності [7, с.104], а тому вона є мірою, причому скалярною та невід'ємною.Нагадаємо також, що верхня грань даної сім'ї скалярних мір -  це така міра, яка мажорує кожну з мір цієї сім'ї і яка не перевищує кожної з інших мажорантних мір даної сім'ї.Позначимо через В одиничну кулю спяженого до Y простору.Л ема І.Варіація v(m) векторної міри m співпадає з верхнею гранню сім'ї невід'ємних мір v ( f  m), що є варіаціями композицій даної векторної міри з функціоналами f, які належать множині В.Доведення. Із теореми Гана -  Банаха випливає, що для кожної борелєвської підмножини Е простору X норма в просторі Y вектора m(E) дорівнює sup{ f  m(E), f  є В } .Оскільки f  m ( Е ) не перевищує V(f m ) ( Е ), то звідси легко одержати, що v(m) не перевищує верхньої грані сім’ї мір v(f m) . З іншого боку, кожна з таких мір V (f m) мажорується мірою V(m) , а тому верхня грань сім'ї цих мір не перевищує міри V(m).Теорема 1. Нехай В знову є одиничною кулею спряженого до Y простору. Тоді для Н-неперервності векторної міри m в топології збіжності на системі вимірних множин необхідно і досить, щоб для всіх функціоналів f  З множини В скалярні міри f  m були Н-неперервними.Доведення. Необхідність випливає з того факту, що композиція Н- неперервної векторної міри та лінійного неперервного функціоналу є скалярною Н-неперервною мірою. Обгрунтуємо достатність. Згідно з пропозицією 2 роботи [10, с. 770]» варіація Н-неперервної скалярної міри теж Н-неперервна. Тому з леми 1 даної статті випливає, що варіація нашої векторної міри співпадає з верхнею гранню деякої сім'ї Н-неперервних невід'ємних мір. Але тоді з леми 1 роботи [11, с. 105] випливає, що варіація Н- неперервна. Згідно з теоремою 1 роботи [11, с. 105-106], цього досить для Н- неперервності самої векторної міри в топології збіжності на системі вимірних множин. Теорема доведена.Теорема 2. Нехай векторна міра m є Н-неперервною в топології збіжності на системі вимірних множин. Тоді її згортка з довільною89Випуск 57 Серія: Математичні науки Ш  НАУКОВІ ЗАПИСКИскалярною знакозмінною мірою р  скінченної повної варіації теж Н- неперервна в топології збіжності на системі вимірних множин.Доведення. Позначимо нашу згортку через Q . Тоді для кожної борелевської множини Е простору X , довільної збіжної до нуля числової послідовності ( t n ) , кожного вектора h з підпростору Н та довільного функціоналу f  Із спряженого до Y простору величина f  Q ( Е +tn h ) дорівнює інтегралу від функції ( fm)( E + tn h - х ) аргументу х простору X відносно міри р .Послідовність підінтегральних функцій е рівномірно обмеженою (вона обмежується повною варіаціїю міри f  m ) і збігається иа просторі X до функції f  m ( Е -  х ) аргументу х . Тому можна застосувати теорему Лебега про граничний перехід під знаком інтеграла, звідки випливає Н- неперервність скалярної міри f  Q . Для завершення доведення залишається застосувати теорему 1 .3.Випадок топології збіжності за напівваріацією . Спочатку нагадаємо, що через mth позначається зсунута векторна міра, значення якої на довільній борелевській множині Е дорівнює m ( Е +t h ) .Теорема 3. Згортка Н-неперервної за напівваріацією векторної міри m та довільної скалярної міри р  скінченної повної варіації теж Н-неперервна за  напівваріацією.Доведення. Знову позначимо нашу згортку через Q. Тоді для довільного вектора h з підпростору Н, кожного дійсного числа t та довільних неперерізних борелевських множин А та Е величина [( Q th - Q) ( А) - (Q th-  Q)(E)] дорівнює інтегралу відносно р від функції [(m th -m)( А -  х ) -  ( m th -m)(E-x)] аргументу х простору X.Підінтегральна функція мажорується повною напівваріацією векторної міри ( m th - m ).3відси випливає, що норма інтеграла не перевищує добутку повної напівваріації векторної міри ( mth - m ) на константу, яка дорівнює повній варіації міри р . Але тоді норма величини [(Q th - Q ) ( А ) -  (Q th -Q) (E)] теж не перевищує згаданого добутку. Оскільки неперервні борелевські множини А та Е можна змінювати, то з урахуванням пропозиції 1 роботи [12, с. З ІО ] одержуємо, що і повна напівваріація векторної міри ( Q th - Q ) не перевищує згаданого добутку. Звідси і випливає твердження теореми.4. Випадок топології збіжності за варіацією .Теорема 4. Згортка Н-неперервної за варіацією векторної міри m та довільної скалярної міри р  скінченної повної варіації теж Н-неперервна за варіацією.Доведення. Знову позначимо нашу згортку через Q. Тоді для довільного вектора h з підпростору Н, кожного дійсного числа t та довільної борелевської множини Е величина (Q th -Q) (E) дорівнює інтегралу відносно міри р від функції (mth -m ) ( Е - х ) аргументу х простору X.Тому для довільної системи із скінченного числа неперерізних борелевських множин Еп сума норм величин (Qth -Q)(En ) не перевищує90Випуск 57 Серія: Математичні науки Ш  НАУКОВІ ЗАПИСКИінтеграла відносно варіації v ( р ) скалярної міри р від суми норм величин ( mth - m)(En- xX а ця остання не перевищує повної варіації векторної міри (mth- m ) . Тому після переходу в лівій частині нерівності до верхньої грані по множині всіх систем із скінченної кількості непереоізних бооелевських множин Е п одержуємо, що повна варіація векторної міри ( Qth - Q ) не перевищує добутку повної варіації векторної міри ( mth - m ) на константу, яка дорівнює повній варіації скалярної міри р .Звідси і випливає твердження теореми 4.БІБЛІОГРАФІЯ1. Авербух В.И., Смолянов О.Г., Фомин С.В. Обобщённые функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах // Тр. Моск. Матем. О-ва. -1971.-т. 24.-С. 133­174.2. Далецкий Ю.Л., Фомин С.В. Меры и дифференциальные уравнения в бесконечномерных пространствах, -  М.: Наука, 1983. -  384 с.3. Романов В.А. Пределы аналитических векторных мер // Укр. Матем. Журн. -  1992. -  т. 44, № 8. -  С. 1133 -  1135.4. Романов B.A. Векторные меры различных классов гладкости и их пределы // Там же. -  1995. -  т. 47, № 4. -  С. 512 -  516.5. Романов В.А. Применение мер к дифференциальным уравнениям. Кировоград: Редакционно-издательский центр Кировоградского Гос. Педаг. Ун -  та, 2000.-24с.6 . Романов В. О. Різні види неперервності початкової умови в задачі Коші для векторних мір // Наук. Зал. Кіров. Держ. Педаг. Ун -  ту. Сер. Фіз.-матєм.наук. -2002. -  вип.43. -  С. 79 -  82.7. Вахания H.H., Тариеладзе В.И., Чобанян С.А, Вероятностные распределения в банаховых пространствах. -  М.: Наука, 1985. -  368 с.8. Иосида К. Функциональный анализ. -  М.: Мир, 1967. -  624 с.9. Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория. -  М.: ИЛ, 1962.-895 с.10. Романов В. А. Интегральные операторы, порождаемые Н-непрерывными мерами//Укр. Матем. Журн.- 1989. -т, 41, №6 .-С. 769-773.11. Романов В. О. Напрями неперервності та границі векторних мір // Наук. Зап. Кіровогр. Держ. Педаг. Ін-ту. -  1995. -т. 10. -  С. 104 -108.12.Романов ВА. О неэквивалентности трёх определений непрерывных направлений для векторных мер//Матем. Заметки.- 1995. -т, 57, №2.- С. 310 -312.Кіровоградський державний педагогічнийуніверситет ім. В.Винниченка Надійшло 6 квітня 2004р.91