Congreso Nolineal 2008 Barcelona 16 al 19 de Junio de 2008. 
Actas Nolineal 2008, Editado por F.Marques y A. Delshams, ISBN: 978-84-96736-48-1, (2008) 198Peer reviewe

Arroyo Guardeño, David

Fernández Mármol, Verónica

Orúe, Amalia B.

Pastor, Gerardo

Romera, Miguel

Álvarez Marañón, Gonzalo

Digital.CSIC

Conjuntos de Julia alternadosG. Pastor, G. Alvarez, A. B. Orue, V. Fernandez, D. Arroyo y M. RomeraInstituto de F´ısica Aplicada, CSIC, c/ Serrano 144, 28006 Madrid, Espan˜a.Introduccio´nUn proceso natural puede modelizarse utilizando sistemas dina´micos discretos. En la naturaleza existen muchas interacciones diferentes; por lo que podemos pensar que unproceso natural puede explicarse por la iteracio´n alternada de diferentes dina´micas [1]. Para simplificar, suponemos so´lo dos dina´micas discretas diferentes: D1 y D2 . Ladina´mica resultante sera´: D : x0D1−→ x1 D2−→ x2 D1−→ x3 . . ., donde {x0, x1, x2, ...} son los valores de la variable x que describe el sistema f´ısico [2]. Las propiedades deconexidad del conjunto de Julia para un polinomio complejo Pc(z) de grado d ≥ 2 esta´n ı´ntimamente relacionadas con las propiedades dina´micas de los puntos cr´ıticos, comonos dice el teorema de Fatuo-Julia: (i) El conjunto de Julia es conexo si y so´lo si las o´rbitas cr´ıticas esta´n acotadas. (ii) El conjunto de Julia es totalmente no-conexo si (perono so´lo si) todas las o´rbitas cr´ıticas esta´n no-acotada. (iii) Para un polinomio con al menos una o´rbita cr´ıtica no acotada, el conjunto de Julia es totalmente no-conexo siy so´lo si todas las o´rbitas cr´ıticas acotadas son aperio´dicas. El teorema de Fatou-Julia para polinomios cuadra´ticos complejo Pc(z) = z2 + c , d = 2 , se conoce como ladicotomı´a fundamental. Cada Pc del mapa cuadra´tico tiene un punto cr´ıtico simple en 0 y una o´rbita cr´ıtica simple. (i) El conjunto de Julia de Pc es conexo si la o´rbita de 0es acotada. (ii) El conjunto de Julia de Pc es totalmente no-conexo si la o´rbita de 0 es no-acotada En este trabajo mostraremos que, si iteramos alternativamente dos mapascuadra´ticos, el conjunto de Julia alternado puede ser, adema´s de conexo y totalmente no-conexo, tambie´n no-conexo.1. Conjuntos de Julia alternadosDefinimos el conjunto de Julia alternado rellenoKc1c2 (o´ Kc2c1) como el conjunto de puntos del planocomplejo cuyas o´rbitas esta´n acotadas cuando itera-mos alternativamente el sistema:Pc1c2 : zn+1 ={z2n + c1 si n es parz2n + c2 si n es imparo´ Pc2c1 : zn+1 ={z2n + c2 si n es parz2n + c1 si n es imparLas iteraciones par e impar de Pc1c2 responden a:z2i = z22i−1 + c2 y z2i+1 = z22i + c1.Es fa´cil probar la siguiente proposicio´n: Proposicio´n(i) Si z2i es acotada, z2i−1 tambie´n es acotada. (ii)Si z2i es no-acotada, z2i+1 tambie´n es no-acotada.Dado que el estudio de la conexidad de los conjun-tos de Julia de Pc1c2 es una tarea dif´ıcil, se introdu-ce el siguiente polinomio cua´rtico complejo auxiliar:Qc1c2 : z∗n+1 = (z∗2n + c1)2 + c2 (2. 5) para pro-bar el siguiente teorema: Teorema 2.1 La acotacio´n/no-acotacio´n de{Q◦nc1c2}implica la acotacio´n/ no-acotacio´n de{P ◦nc1c2}. Por lo tanto, ya se puede enun-ciar el siguiente teorema: Teorema 2.2 El conjuntosde Julia del sistema alternado Pc1c2 y el conjunto deJulia del sistema cua´rtico Qc1c2 son lo mismo paralos dos valores dados del para´metro c1 y c2.EjemploLa Fig. 1 muestra el conjunto de Julia del mapacuadra´tico zn+1 = z2n + (−0,76 + 0,1i). Como es sa-bido, este conjunto de Julia es totalmente no-conexoporque (−0,76 + 0,1i) no pertenece al conjunto deMandelbrot. Sin embargo, el conjunto de Julia alter-nado Kc1c2, cuando c2 = (−0,76 + 0,1i) y c1 tomadiferentes valores en la vecindad de c2, puede ser co-nexo, no-conexo y totalmente no-conexo.Figura 1En esta seccio´n, de acuerdo con el Teorema 2.2, com-probamos gra´ficamente que las propiedades de cone-xidad de los conjuntos de Julia de Qc1c2 son transfe-ridos a los conjuntos de Julia alternados de Pc1c22. Zonas de conexidadEl polinomio cua´rtico Qc1c2 tiene tres puntos cr´ıti-cos: 0,√−c1 y −√−c1, pero las o´rbitas de ±√−c1son las mismas, excepto en el punto inicial, debidoa la paridad de Qc1c2. Segu´n el teorema de Fatou-Julia, existen tres posibilidades sobre las o´rbitas delos puntos cr´ıticos de Qc1c2:(i) Las o´rbitas de 0 y±√−c1 esta´n acotadas. Enton-ces, el conjunto de Julia alternado Kc1c2 es conexo.(ii) Las o´rbitas de 0 y ±√−c1 no esta´n acotadas.Entonces, el conjunto de Julia alternado Kc1c2 es to-talmente no-conexo.(iii) La o´rbita de 0 esta´ acotada y las o´rbitas de±√−c1 no esta´n acotadas, o la o´rbita de 0 noesta´ acotada y las o´rbitas de ±√−c1 esta´n acota-das.Entonces, el conjunto de Julia alternado Kc1c2 es no-conexo si las o´rbitas acotadas de los puntos cr´ıticosson perio´dicas y es totalmente no-conexo si las o´rbi-tas acotadas de los puntos cr´ıticos son aperio´dicas.Para un valor dado del para´metro c2 , es posible en-contrar, por medio de un programa de ordenador, laszonas de conexidad de c1 en las proximidades de c2que originan conjuntos de Julia alternados rellenosKc1c2 conexos, no-conexos y totalmente no-conexos.Figura 2La Fig. 2a representa las zonas de conexidad paraKc1c2 cuando c2 = −0,76 + 0,1i, la parte real de c1esta´ en el intervalo [−0,77, −0,75] y la parte imagi-naria de c1 esta´ en el intervalo [0,09i, 0,11i] (negrosi todas las o´rbitas esta´n acotadas, gris si las hayacotadas y no-acotadas, y blancas si todas son no-acotadas). La Fig. 2b es una ampliacio´n del cuadradoa de la Fig. 2a con c2 = −0,76 + 0,1i . La par-te real de c1 esta´ en el intervalo [−0,766, −0,759]y la parte imaginaria de c1 esta´ en el intervalo[0,099i, 0,106i] . Se dan seis puntos representativosen las zonas de conexidad. A (c1 = −0,76 + 0,1i)y B (c1 = −0,762 + 0,102i) , en la zona blanca,corresponden a conjuntos de Julia alternados total-mente no-conexos. C (c1 = −0,7628 + 0,1028i) y E(c1 = −0,764 + 0,104i) , en la zona gris, correspon-den a conjuntos de Julia alternados no-conexos. D(c1 = −0,763181 + 0,103171i) esta´ cerca del l´ımitede las zonas gris/blanca. F (c1 = −0,765 + 0,105i) ,en la zona negra, corresponde a un conjunto de Juliaalternados conexo.3. O´rbitas cr´ıticasLa Fig. 3 muestra las o´rbitas de los puntos cr´ıticos0 y −√−c1 de Qc1c2 que corresponden a los puntosA, B, C, D, E y F de la Fig. 2b (para +√−c1 sonla misma, excepto en el punto inicial). El segundopunto de las o´rbitas de ±√−c1 es c2.Figura 3En las Figs. 3a y 3b (puntos A y B de la Fig. 2b)las o´rbitas cr´ıticas son no-acotadas. En la Fig. 3c(punto C de la Fig. 2b) las o´rbitas de ±√−c1 sonno-acotadas, pero la o´rbita de 0 es perio´dica de pe-riodo 15. Fije´monos que el punto cr´ıtico C esta´ den-tro del disco de la zona no-conexa (Fig. 2b), no enel cuerpo principal de esta zona. El punto D de laFig. 2b esta´ cerca de la frontera entre las zonas grisy blanca (es imposible, con programas de compu-tacio´n de precisio´n finita, determinar un valor de c1en esta frontera). En la Fig. 3d, que corresponde alpunto D, las o´rbitas de ±√−c1 son no-acotadas, pe-ro la o´rbita de 0 es acotada. Esta o´rbita cr´ıtica esno-perio´dica. Por tanto, el conjunto de Julia alterna-do es totalmente no-conexo. En la Fig. 3e (punto Ede la Fig. 2b) las o´rbitas de los dos puntos cr´ıticosson no-acotadas, pero la o´rbita de 0 es perio´dica deperiodo 1. Fije´monos que el punto E esta´ en el cuerpoprincipal de la zona gris de la Fig. 2b. Finalmente,en la Fig. 3f (punto F de la Fig. 2b) todas las o´rbitascr´ıticas son perio´dicas de periodo 1.4. Dibujo de los conjuntos de JuliaalternadosEn la Fig. 4 se muestran tres ejemplos de conjuntosde Julia alternados rellenos Kc1c2 (a la izquierda) yKc2c1 (a la derecha) cuando c2 = −0,76 + 0,1i yc1 esta´ en la vecindad de c2 (comparar con la Fig.1). Tambie´n se muestran los puntos cr´ıticos del po-linomio Qc1c2. Los conjuntos de Julia alternados to-talmente no-conexos de la Fig. 4a corresponden alpunto B (c1 = −0,762 + 0,102i) de la Fig. 2b, losconjuntos de Julia alternados no-conexos de la Fig.4b corresponden al punto C (c1 = −0,7628+0,1028i)de la Fig. 2b y los conjuntos de Julia alternados co-nexos de la Fig. 4c corresponden al punto F (c1 =−0,765 + 0,105i) de la Fig. 2b.Figura 3Los conjuntos de Julia alternados Kc1c2 y Kc2c1muestran una alternancia gra´fica evidente. Por ejem-plo, en la Fig. 4a, puede verse la alternancia gra´ficade los conjuntos de Julia alternados Kc1c2 : aba′b′ . . .(a la izquierda) y Kc2c1 : bab′a′ . . . (a la derecha).Referencias[1] M. Romera, M. Small, M.-F. Danca, Determinis-tic and random synthesis of discrete chaos, AppliedMathematics and Computation 192 (2007) 283-297.[2] J. Almeida, D. Peralta-Salas, M. Romera, Cantwo chaotic systems give rise to order? Physica D200 (2005) 124-132.

Conjuntos de Julia alternados

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