A fin de disminuir las dificultades que presentan los alumnos cuando deben visualizar los dibujos correspondientes a curvas como intersección de superficies y sólidos limitados por las mismas, la Cátedra implementa como recurso didáctico la construcción de maquetas. En una primera implementación esta experiencia centró su objetivo en la visualización de la curva resultante como intersección de dos superficies, teniendo en cuenta que los resultados obtenidos fueron más que satisfactorios, la Cátedra consideró la importancia de aprovechar la experiencia previa para avanzar y mejorar la aplicación de este recurso didáctico.\ud
En la resolución de integrales triples, una de las dificultades frecuentes que presentan los alumnos es la determinación de los límites de integración, inconveniente que se detectó durante la realización de los trabajos prácticos. Para lograr disminuir esta dificultad, la Cátedra decidió aprovechar la experiencia para implementar nuevamente este recurso, con el objetivo que los alumnos visualicen el volumen de integración mediante el uso de las maquetas, de manera de apreciar las proyecciones en los planos coordenados para que, mediante la utilización de las mismas, los alumnos determinen los límites de integración

Almazán, Jorge

Collivadino, Carolina

Copa, Beatriz

Repositorio Insitucional de la Universidad Nacional de Salta

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Utilización de maquetas como recurso didáctico para resolver 
integrales triples 
Ing. Jorge Almazán
1   
Ing. Carolina Collivadino
1 
& Prof. Beatriz Copa
1
 
 
(1)Facultad de Ingeniería, Universidad Nacional de Salta. 
jalmazan@unsa.edu.ar,  collivad@unsa.edu.ar,  beaemil@gmail.com 
 
 
 
 
 
RESUMEN: A fin de disminuir las dificultades que presentan los alumnos cuando deben visualizar los 
dibujos correspondientes a curvas como intersección de superficies y sólidos limitados por las mismas, la 
Cátedra implementa como recurso didáctico la construcción de maquetas. En una primera 
implementación esta experiencia centró su objetivo en la visualización de la curva resultante como 
intersección de dos superficies, teniendo en cuenta que los resultados obtenidos fueron más que 
satisfactorios, la Cátedra consideró la importancia de aprovechar la experiencia previa para avanzar y 
mejorar la aplicación de este recurso didáctico. 
En la resolución de integrales triples, una de las dificultades frecuentes que presentan los alumnos es la 
determinación de los límites de integración, inconveniente que se detectó durante la realización de los 
trabajos prácticos. Para lograr disminuir esta dificultad, la Cátedra decidió aprovechar la experiencia para 
implementar nuevamente este recurso, con el objetivo que los alumnos visualicen el volumen de 
integración mediante el uso de las maquetas, de manera de apreciar las proyecciones en los planos 
coordenados para que, mediante la utilización de las mismas, los alumnos determinen los límites de 
integración. 
 
 
1   INTRODUCCIÓN 
Análisis Matemático II es una asignatura de 
régimen promocional que está ubicada en el 
primer cuatrimestre de 2do año de las carreras 
Ingeniería Civil, Industrial y Química de la 
Facultad de Ingeniería de la Universidad Nacional 
de Salta. Uno de los temas que incluye la 
asignatura es Integrales Triples. Durante la 
resolución de los ejercicios de ese tema en el 
correspondiente trabajo práctico, los alumnos 
presentaban algunas dificultades, en cuanto a la 
determinación de los límites de integración en la 
integral triple que nos permite calcular el 
volumen encerrado por varias superficies. Esta 
falta de competencia fue corroborada en el 
rendimiento académico en las distintas instancias 
de evaluación, como son las evaluaciones por 
temas, cuestionarios y los exámenes parciales. 
A fin de aprovechar la experiencia previa,  es 
decir los resultados e impactos positivos, que se 
obtuvieron al implementar el recurso de las 
maquetas para la visualización de las curvas 
resultantes como intersección de dos superficies, 
la Cátedra decidió avanzar en la aplicación de la 
metodología utilizada. 
Este avance se llevó a cabo, en otro tema de la 
asignatura, Integrales Triples, en el cálculo de 
volumen  encerrado por  dos  o  más  superficies, 
mediante la entrega de fichas de estudio, trabajo 
voluntario de los alumnos, utilización del recurso 
didáctico maquetas y exposiciones. 
Uno de los objetivos de la implementación de 
este recurso didáctico es que, mediante la 
utilización de las maquetas, el alumno pueda 
lograr una mejor visualización de sólidos 
encerrados por superficies. También, se plantea 
como objetivo: que el alumno pueda determinar 
correctamente las proyecciones, en los distintos 
planos coordenados del volumen limitado por las 
superficies dadas. Por último, se procura lograr, 
que el alumno plantee con menor dificultad los 
límites de la integral iterada que permite calcular 
dicho volumen. 
 
 
2  DESCRIPCIÓN DE LA METODOLOGÍA 
La implementación de este recurso didáctico fue 
similar a la realizada el año anterior cuando se 
trabajó con maquetas para representar curvas 
resultantes de la intersección de dos superficies, 
siendo ahora el objetivo aplicar este recurso en el 
Trabajo Práctico Nº 9 Integrales Dobles y Triples, 
donde el alumno para resolver dichas integrales 
debe encontrar el volumen limitado por varias 
superficies y luego determinar los límites de 
integración mediante las proyecciones  que 
pueden ser visualizadas en la maqueta. 
 
 
 
53 | Capítulo II 
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La mayor dificultad de los alumnos se presenta 
cuando son varias las superficies a intersecar y 
más aún cuando ese volumen resulta limitado por 
varios planos. Este trabajo fue organizado para 
desarrollarlo en varias clases y se prepararon 
cuatro fichas de trabajo. 
 
 
2.1 Ficha Nº1 
La ficha Nº 1 se entregó dos semanas antes de 
desarrollar el Trabajo Práctico. 
En esta ficha se daban las instrucciones para la 
confección de la maqueta, tales como sugerencias 
de material a utilizar, dimensiones de la misma, 
los objetivos propuestos, fecha de entrega de la 
maqueta y las superficies correspondientes a cada 
grupo. La ficha es la indicada a continuación. 
 
 
 
 
Figura 1. Modelo de Ficha N° 1 
 
 
De acuerdo a las pautas indicadas, los alumnos en 
horario extra-clase debían reunirse para resolver 
esta ficha. 
Durante el desarrollo de esta ficha se destaca el 
trabajo conjunto con los docentes, ya que los 
alumnos solicitaron consejos a los mismos sobre 
diferentes  aspectos  de  la  construcción  de  la 
maqueta, por ejemplo sobre los materiales a 
utilizar, a la vez realizaron consultas acerca de las 
superficies dadas que limitaban el volumen 
pedido. Este intercambio de opiniones permitió 
que los alumnos tengan un mejor desempeño en 
la construcción de las maquetas y  además 
propició una interacción entre los docentes y los 
alumnos. 
La presentación de las maquetas se realizó el día 
en que se comenzó a trabajar con el Trabajo 
Práctico Nº 9: Integrales Dobles y Triples. 
Se muestran a continuación algunas fotografías de 
las maquetas realizadas por los mismos en el 
primer octante. 
 
 
 
 
Foto 1. Volumen limitado por los planos z= x+y; 
x+y=1 
 
 
 
Foto 2. Volumen limitado por los planos z= x+y; 
x+y=2; z=1 
 
 
 
54 | Capítulo II 
Cátedra: Análisis Matemático II – Facultad de Ingeniería – 
1er Cuatrimestre de 2009 
Fechas: Comisión 1: 05/05/09 
Comisión 2: 06/05/09 
Integrantes: 
 
Objetivo: 
Lograr que el alumno utilice elementos concretos, para la 
visualización de volúmenes encerrados por varias superficies. 
 
Actividades 
 
1. Formar grupos de 6 ó 7 alumnos para confeccionar 
la maqueta (pueden ser o no los grupos de los 
Trabajos Prácticos). 
2. Realizar en grupo la maqueta correspondiente a las 
siguientes superficies. 
 
3. Materiales a utilizar 
a.- Se sugiere el siguiente listado de materiales 
posibles a utilizar: madera liviana, cartón, cartulina, 
alambre, planchas y esferas de telgopor, placas de 
radiografías o cualquier otro material que considere 
conveniente. 
b.- Se sugiere que cuando el volumen resultante surja 
de la intersección de planos se utilice policarbonato o 
acetato para poder visualizar las proyecciones. 
Utilizar papel celofán de colores para distinguir los 
distintos planos. 
4. Medidas sugeridas: 
Largo, ancho y alto entre 15cm y 20 cm. 
5. Fecha de presentación: 
Comisión 1: martes 19 de mayo 
Comisión 2: miércoles 20 de mayo 
Cátedra: Análisis Matemático II – Facultad de Ingeniería – 
1er Cuatrimestre de 2009 
Ficha Nº 2: 
Esta ficha se desarrollará durante la clase del día jueves 21 en 
Comisión 1 y viernes 22 en Comisión 2 y será entregada al 
docente al finalizar la misma. 
Grupo Nº: ….. 
Integrantes: 
* 
* 
* 
* 
Objetivo: 
Lograr que el alumno: 
- represente   gráficamente   las   superficies   y   el 
volumen limitado por las mismas. 
represente  gráficamente  las proyecciones  en los 
tres planos coordenados. 
utilice la maqueta para determinar los límites de 
integración 
- 
- 
Actividades: 
1. Anexar a esta ficha una hoja A4 con el grafico 
correspondiente a las superficies dadas en la Ficha 
Nº 1, donde se visualice el volumen encerrado. 
Representar gráficamente las proyecciones en los 
tres planos coordenados, utilizando la maqueta. 
Determinar los límites de integración y armar la 
integral triple iterada que permita calcular el 
volumen encerrado. 
Utilizar como primera variable al eje z 
Utilizar como primera variable al eje y 
Utilizar como primera variable al eje x 
¿Cuál de los tres órdenes de integración propuestos 
anteriormente les resultó más sencillo y cuál más 
dificultoso? Explicar por qué. 
2. 
3. 
i. 
ii. 
iii. 
4. 
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Foto 3. Volumen limitado por los planos x+y=4; 
x+z=4; z=2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
El día que los alumnos presentaron la maqueta se 
les hizo entrega de la Ficha Nº 2, la cual debía ser 
desarrollada durante la clase práctica, y consistía 
en dibujar el volumen resultante obtenido en la 
maqueta  y  las  proyecciones  en  los  distintos 
planos  coordenados,  además de  determinar los 
límites de integración y expresar la integral que 
permita calcular el volumen encerrado. Esta ficha 
debía ser entregada al finalizar la clase práctica. 
Se muestra a continuación la Ficha Nº 2 
 
Figura 2. Modelo de Ficha N° 2 
 
 
 
Foto  4.  Volumen  limitado  por  las  superficies 
2 2 
z=x+y; z=x +y 
 
 
Se puede observar que en  la Ficha N° 1, ver 
Figura1, se sugiere los alumnos usar materiales 
transparentes y de distintos colores para poder 
apreciar y diferenciar mejor los distintos planos 
que limitaban el volumen de la maqueta, para 
visualizar de manera óptima las proyecciones en 
los distintos planos coordenados. 
Con respecto a la sugerencia, antes mencionada, 
se pudo apreciar que algunos grupos hicieron 
caso omiso de la misma, resultando más 
dificultosa la visualización de las distintas 
proyecciones en los planos coordenados. 
Se sugirió además que las dimensiones de la 
maqueta no superara los 20 cm de largo, ancho y 
alto para una mejor maleabilidad. La mayoría de 
los grupos respetó esta sugerencia. 
La maqueta más difícil de construir, fue la que 
resultó de la intersección del paraboloide, 
z=x2+y2, con el plano de ecuación z=x+y,  no sólo 
por la selección de los materiales a utilizar sino 
también por el volumen resultante. 
 
 
2.2  Ficha Nº 2 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Los alumnos trabajaron en grupo, con muy buena 
predisposición y en un clima de cooperación y 
participación. 
A continuación se muestran fotos de alumnos 
trabajando en clase con esta ficha. 
 
 
 
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Foto 5. Alumnos trabajando en clase 
 
 
 
Foto 6. Alumnos trabajando en clase 
 
 
Se puede concluir que la resolución de la Ficha 
N°2, ver Figura 2, presentada por los diferentes 
grupos de trabajo, fue más que satisfactoria con 
respecto a la visualización del volumen limitado 
por las superficies dadas, debido a que los 
alumnos lograron representar gráficamente dicho 
volumen en el papel. 
Con respecto a las proyecciones determinaron y 
graficaron correctamente las mismas en los tres 
planos coordenados. 
En cambio al determinar los límites de 
integración, se pudo detectar que algunos grupos 
de alumnos  tuvieron dificultad al realizar esta 
actividad, específicamente en el volumen 
mostrado en la Foto 2. 
 
 
2.3 Ficha Nº 3 
Al finalizar la clase donde los alumnos trabajaron 
con la Ficha Nº 2, se les hizo entrega de una 
nueva ficha de estudio, ver Figura 3. En ella se 
pide la resolución de las integrales planteadas en 
la ficha anterior para obtener finalmente el 
volumen resultante. 
El objetivo de esta ficha es que los alumnos 
verifiquen    que    el    volumen    obtenido    es 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
independiente del orden de integración elegido, 
además que el alumno sea capaz de elegir  el 
orden de integración más conveniente. 
La Ficha Nº 3 debía ser resuelta en horario extra- 
clase y ser entregada en la clase siguiente, donde 
se realizaría la exposición grupal. 
 
 
 
Figura 3. Modelo de Ficha N° 3 
 
 
En la clase siguiente, cada grupo mediante una 
breve exposición, relató lo realizado en las Fichas 
1, 2 y 3, utilizando el pizarrón, la tiza y el 
borrador, como recursos y también la maqueta. 
En primer lugar, cada grupo presentó en el 
pizarrón las ecuaciones de las distintas 
superficies, realizaron el gráfico de cada una de 
ellas determinando el volumen resultante y 
dibujaron también las tres proyecciones en los 
distintos planos coordenados, corroborando lo 
escrito en el pizarrón con la maqueta 
correspondiente. Luego plantearon los límites de 
integración para cada uno de los tres casos 
correspondientes al tomar como primera variable 
a cada uno de los distintos ejes coordenados y 
plantearon las tres integrales. No resolvieron las 
integrales en el pizarrón, puesto que ya estaban 
resueltas en las fichas. 
Finalmente dieron su opinión sobre el planteo de 
los límites de integración respecto de cuál orden 
de integración les resultó más dificultoso o más 
sencillo y cuál de las tres integrales era más 
complicada o más fácil de resolver. 
Al terminar las exposiciones y al realizar un 
análisis de las fichas entregadas por  los alumnos 
 
 
 
56 | Capítulo II 
Cátedra: Análisis Matemático II – Facultad de Ingeniería – 
1er Cuatrimestre de 2009 
 
Ficha Nº 3 
Grupo Nº: …. 
Integrantes: 
* 
* 
* 
* 
Fechas: Comisión 1: jueves 21de mayo 
Comisión 2: viernes 22 de mayo 
 
Objetivo: 
- Lograr que el alumno determine el volumen encerrado por 
varias superficies mediante la resolución de integrales triples. 
 
Actividades: 
 
Calcular el volumen obtenido en la ficha Nº 2 mediante la 
resolución de las tres integrales iteradas para poder comparar 
la dificultad en la resolución de cada una de ellas. 
 
Fecha de presentación: 
Comisión 1: jueves 28 de mayo 
Comisión 2: viernes 29 de mayo 
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se pudo observar que el volumen correspondiente 
a la maqueta de la Foto 4, limitado por un 
paraboloide y un plano, no presenta dificultades 
en la determinación de los límites de integración 
para el cálculo de volumen, pero si en la 
resolución de las mismas. 
Se muestran a continuación fotos de la exposición 
grupal. 
 
 
Foto 7 Alumnos durante la exposición en clases. 
 
Cabe destacar  que  los  alumnos  mostraron  una 
notable   predisposición   y   desempeño   en   las 
exposiciones realizadas. En dichas exposiciones 
se observó un buen manejo de los recursos (tiza y 
borrador), destacándose  también el buen manejo 
de los contenidos al exponer el desarrollo de las 
Fichas. De allí que sus exposiciones orales frente 
a sus compañeros fueron altamente satisfactorias. 
Se  destacan   las   exposiciones   orales   porque, 
debido   al   régimen   promocional,   todas   las 
instancias de evaluación durante el transcurso de 
primero y segundo año son escritas teniendo los 
alumnos  pocas  o escasas  oportunidades  de ser 
evaluados en forma oral. 
 
 
2.4 Ficha Nº 4 
La Ficha Nº 4 no estaba propuesta para ser 
implementada al comienzo de esta experiencia 
metodológica. 
Debido a la dificultad presentada por los alumnos 
al determinar los límites de integración del 
volumen limitado por planos correspondiente a la 
maqueta ver Foto 2, la Cátedra decidió 
implementar la siguiente ficha: 
 
 
 
 
 
Figura 4. Modelo de Ficha N°4. 
 
 
El objetivo de su implementación fue, determinar 
cuál era el problema que se les presentaba a los 
alumnos al determinar los límites de integración, 
es por ello que en este caso la Ficha Nº 4 debía 
ser resuelta en forma individual. 
De acuerdo a los resultados podemos afirmar que 
la resolución de las integrales obtenidas no 
presentan dificultad, pero si la determinación de 
los límites de integración. 
Del análisis de los resultados obtenidos se puede 
concluir que los alumnos no tuvieron dificultad 
tomando como primera variable de integración al 
eje z, pero si presentaron mayores dificultades 
tomando como primera variable al eje x o al eje y. 
El error que generalmente cometen los alumnos 
es que al plantear la integral que representa el 
volumen limitado por los planos, lo realizan solo 
visualizando dos regiones, es decir, plantean el 
volumen como suma de dos integrales, mientras 
que en algunos casos necesariamente, se debe 
utilizar tres integrales, esto depende del orden de 
integración elegido, con lo que podemos concluir, 
que existe una región que los alumnos todavía no 
pueden visualizar. 
Al implementar esta ficha se llevaron al aula las 
maquetas que representaban dicho volumen, para 
que los alumnos puedan resolver la misma con el 
material concreto, se destinaron quince minutos 
aproximadamente para esta actividad. Aún así, 
teniendo los mismos el material concreto, era 
difícil la visualización. Es por ello, que 
consideramos que se puede mejorar un poco más 
este recurso didáctico. 
Una propuesta para mejorar este recurso surge de 
una de las maquetas presentada por los alumnos, 
 
 
 
57 | Capítulo II 
Cátedra: Análisis Matemático II – Facultad de Ingeniería – 
1er Cuatrimestre de 2009 
 
Ficha Nº 4 
 
Apellido y nombre ……………. ………...… Comisión ….. 
 
Considerando la maqueta del volumen que resulta de la 
intersección de las superficies: 
z = x + y , x + y = 2 , z = 1 en el primer octante, plantee la 
integral que permita calcular el volumen encerrado, tomando 
como primera variable de integración al eje x. 
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correspondiente también a un volumen limitado 
por planos. 
A continuación se muestra la maqueta realizada 
por los alumnos, donde podemos apreciar que 
colocan un plano generado por la recta de 
intersección de dos de los planos dados, para 
lograr una mejor visualización de los límites de 
integración. 
superior, Editorial Homo Sapiens, Buenos Aires, 
2003. 
Purcell E. & Varberg D., Cálculo con geometría 
analítica, Editorial Prentice Hall, México, 1993. 
Leithold    L.,   El   cálculo,    Editorial    Oxford 
University, Oxford, 1998. 
 
 
 
Foto 8 Maqueta con plano adicional 
 
 
3 CONCLUSIONES 
Con esta experiencia se logró aprovechar y 
mejorar la implementación del recurso didáctico 
maqueta siendo los resultados obtenidos 
altamente satisfactorios. 
Se puede afirmar que se alcanzaron los objetivos 
propuestos en las Fichas, los alumnos trabajaron y 
utilizaron satisfactoriamente el material concreto, 
a la vez, brindaron nuevas ideas para que el 
recurso se siga perfeccionando. 
Se destaca que todavía existen algunas 
dificultades en la determinación de los límites de 
integración de los volúmenes limitados por planos 
y consideramos que podremos superar estas 
dificultades, continuando y mejorando la 
utilización de este recurso didáctico a través de 
las nuevas propuestas planteadas por los alumnos 
por ejemplo planos adicionales  que dividen la 
región de integración. 
 
 
4 BIBLIOGRAFIA 
Bacus A. & Romain C., Creatividad: como 
desarrollarla. Editorial Iberia S.A., Barcelona, 
1994. 
Majaro S., Como generar ideas para generar 
beneficios, Editorial Granica, Buenos  Aires, 
1992. 
Sanjurjo L. & Vera M. T., Aprendizaje 
significativo y enseñanza en los niveles medio y 
 
 
 
58 | Capítulo II 


Utilización de maquetas como recurso didáctico para resolver integrales triples.

http://ediblio.unsa.edu.ar/75/1/Utilizaci%C3%B3n_de_maquetas_como_recurso_did%C3%A1ctico_para_resolver_integrales_triples..pdf

Utilización de maquetas como recurso didáctico para resolver integrales triples.

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