On Uzawa's Equivalence Theorem千葉,昌夫

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宇沢の同値定理について
千葉 回巨ヨ 夫
はしがき
ワルラス体系は多数の消費者と多数の生産者から構成され，生産，交換，
消費の対象になる多数の財がある。各消費者は自己の予算制約の下に，価
格体系に対して最適な財の需給計画をたてる。各生産者は生産技術の制約
の下に，価格体系に対して最適な財の需給計画をたてる。このような個別
需給計画を社会全体にわたって統合するとき，各財についての需要と供給
が均衡すれば個別計画は相互に整合的で実行可能なものとなる。このよう
な均衡状態は任意の価格体系の下では一般に実現し得なし、。適切な価格体
系の下に各財について総需要と総供給が均衡する状態が， ワルラスによっ
て考えられた一般均衡で、ある。
ワルラス体系の均衡解の存在問題に関しては， ワルラス以来かなり長期
間にわたって大多数の経済学者は，方程式と未知数の個数の一致の確認と
いう，素朴な数学的論拠で満足していた。しかしこれは均衡解の存在証
明になんの役にも立たないのである。このことを理解するために，二階堂
[2]による簡単な例をあげよう。連立方程式
fl(X， y) =X+y=O 
f2(X， y) =xy-l=O 
の関数行列式
?
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??? ?
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?
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????
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は，平面全域から直線 x-yを取りのぞいた残りの開集合G内で oにな
64 第4巻第 3号(経済学・経古学編)
らなし、。ゆえに， この方程式はGにおける独立な方程式体系である。しか
し，この方程式は明らかに， Gはもとより，平面内に解をもたない。
1950年代に至って， ワルラス体系の解の存在;土，ナッシュ流のn人ゲー
ムの構想にもとづくアローニドブリュー[1 ]を鳴矢とする一群の数理経
済学者によって厳密に証明された。これらの解の存在証明は，最終的には
位相数学におけるもっとも著名な定理のひとつであるプラウワーの不動点
定理に帰着される。
ところがさらに驚いたことに， ワルラス体系の均衡解の存在問題が終結
した1962年に宇沢 C8Jによって， ワノレラスの存在定理とブラウワーの不
動点定理は同値であるとし、う定理が証明された。この同値定理はワルラス
がなぜ均衡解の存在問題を決定的な意味で解くことができなかったかを明
らかにしているのであるO
以下， 1においてブラウワーの不動点定理について述べ 2においてワ
ルラスの存在定理 3においてその例を述べ， 4において宇沢の同値定理
について述べる。最後に， 5において宇沢の同値定理の一般化について簡
単にふれることにする。
1. ブラウワーの不動点定理
20世紀のはじめ，位相数学の分野においてきわめて重要であり，一般均
衡解の存在問題と不可分の関係にある定理が生まれた。それは次に述べる
プラウワーの不動点定理である。
定理1(プラウワーの不動点定理) X を Rn内のコンパクトな凸集合
とする。 f:X→X を， X の点Z を X の点 f(x)に対応させる，連続な
写像であるとすれば，不動点 x=f(x)が存在する。
証明はきわめてむずかしいので二階堂 [2J，[4Jにゆずることにし
て.Rlにおける証明を坂口 [5Jにしたがってあたえることにする。 Rl
の中のコンパクトな凸集合は単位閉区間 [0，1J として一般性を失わな
い。 f(x)を [0，1Jで定義され， [0， 1]内のある部分集合を値域とする
:j三沢の同値定理につし、て 65 
任意の連続関数とするとき£己[0，1]が存在Lて f(x)=x をいえばよ
い。あきらかに O手f(O)，f(1)豆1である。もしも
1(0) =0あるいは f(1iニ 1 、 、?『?????• ??
?
であれは定理はすでに成立している」も Lも
1(0) >0および f(1)く1 (1.2) 
ならは，連続関数 g(x)三 f(x)-x こついて g(O)>o>g(l)であるから，
中間値の定理により，ある XE(0， 1) が存在して g(x)=0，すなわち，
x=/(x) となるはずである
2. ワルラスの存在定理
n 1闘の財が存在するO 財ベクトルをエ二 (Xl'Xz，."， x，)とし価格ベクト
ノしを ρ=(Pl' P2， ム)とする Q 価格ベクトノレ(土非宗かつ非負とする oP， 
X をそれぞれ価格ベクトルの集合，財ベクトノレの集合とする C
p= (p= (Pb Pz， .， p，) :ぁ乙o(i=1， 2， .， n)， PキO}
X二{x二(Xl'X2， ・，x，Jl 
趨過需要関数 Z(p)= (Zl (p)， Z2(P)，・.， z，(p))は Pから Xへの関数
である。均衡価格ベクトルを次のように定義する。
定義(均衡価格ベクトル〉 価格ベクトル P は
Zi(T)三o(i=1， 2， ・.， n) 
であるとき均衡価格ベクトノレで、あるいわれる。ただL，Pi=O (i=1， 2，・，
n)でなければ等号が成立するコ
この定義の意味は，次のとおりである o Zi (T)主o(i=1， 2，…， n) とい
う条件は，どの財の市場にも正の超過需要があってはならないということ
である。ただし価格がどロでなければ，すなわち，正ならば対応する超
過需要はゼロである。後者の対偶をとれば，負の超過需要がある場合に
は，対応する価格はゼロになる O
ワルラスの存在定理は次のように述べられる O
定理2(ワルラスの存在定理) 超過需要関数民p)が次の条件を満すも
66 指4巻第 3J，j-(経済学・経営学編)
のとする。
(1) Z(p)は Pから X への連続関数で、ある。
(2) Z(p)はO次同次であるO すなわち，すべての t>O，すべての pEP
について
z(tp) =z(p) 
である。
(3) ワノレラス法則が成立する。すなわち，すべての点 pEPについて
~þjZj(ρ)=0 
このとき，z(p) について，すくなくとも 1個の均衡価格ベクトノレが存在
する。
証明 (2)を仮定することによって，われわれの分析をなんら限定するこ
となく ，pの水準を自由に固定することができるO そのような方法として
もっとも便利なのは，価格ベクトルをすべての財の価格の総和が 1になる
ように規準化することである O すなわち，
P"-l={T=(九 ρ2，"'， Tn) :ρ之o(i=l， 2， "'， n)，召fi=1}
とする。次に，価格調節関数P→T(p)= (T1Cρ)， T2(p)，・.， Tn(p))を定
義する O
Tこだし
Tj(T) =ーユ~max{O， tj +kzj(ρ)} (i=l， 2，…， n，ρEP) 
え(t)
(2.1) 
k>O (2.2) 
A(の=21max{O，あ+kzj(t)} (2.3) 
とする。
価格調節関数(2.1)の意味は次のとうりである。右辺の max{O，pj+ 
1)-EAzt(P)=Oを狭義のワルラス法則といい， r:. p削 t)三Oを広義のワルラス
法則とL、ぅ。二階堂 [4]pp. 262-263。
'j三沢の同値定理につL、て 67 
kz;(p) }は，もし第 i財に超過需要があれば，当初の価格 Piはその超過
需要に比例した大きさだけー引上げられ，超過供給があれば，Piはその超
過供給に比例した大きさだげ引下げられることを意味している。すなわ
ち，両側伸縮型であるO ただ L，Pi 土ゼロより引下げられることはない。
また， これを分母で割っているのほ，調節ずみの価格をふたたひ、価格単体
Pnー1 に含ましめるためで、ある。
A.(p) >0である O いまも L，A.(p)ニL}max{O， Pi十kZi(p)} =0 とすれ
ば， max{O， Pi+kz;(P)}とO であるから，すべての iについて max{O，
kzi(p)} =0で、なければならないο したがって ，Pi十kZi(p)壬Oでなければ
ならない。そこで，あとO をそれぞれ両辺にかけて合計すれば 211PF十
kL}ρiZi (p)孟O となりワルラス法則から L}pj2豆Oとなる。 しかし， PE 
Pnー1 であるから，戸IPJ〉O でなければならず， これは不合理である。
Pnー1は Rn内のコンパクトな凸集合であり ，T(p)は Pnー1から Pnー1
への連続関数である。故にブラウワーの不動点定理を適用することによっ
て，
T=T(T) (2.4) 
であるような規準化された価格ベクトル t=(tt， T2' .， tn)が存在する。
(2.1)を考慮すれば(2.4)は
A.(t)tj二 max{O，tj十kzj(t)}(i=l，2，…， n) 
となる。 (2.5)に tiをかけ iについて合計すれば
L} ).(t)tj2= L) tj2+ L} ti Zi (t) 
となる。ここで，ワルラス法則を考慮、すれば
A.(t) =1 
であるから， (2.5)は次のようになるO
(2.5) 
(2.6) 
(2.7) 
Ti =max{O， tj +kz;(t)} (i= 1， 2，…， n) (2.8) 
いま ，Pi+kzj(t)>O とすれば，kZj (t) =0である。ん>0 であるから
Zj (t) =0，つぎに.Ti+kzj(t)豆O とすれば. (2.3)からあ=0，これと
第 3-¥会(経済学・経話学編)第4巻68 
?
k>Oとから Zi(T)孟Oとなる。ゆえに Pは均衡価格ベクトルで、ある
了)。
上述の証明は宇沢[7 ]によるが，二階堂[3 ]による別証明は次のと
(2.9) 
まず価格調節関数を
(i=1， 2，・"， 1l) 
うりである。
(/)j(t) = -tj手必1
1+ Llf}j(ρ〉
と定義するO ただし
(2.10) 
この関数 (/)iは片側伸縮型と名づけられ，第 i財に超過需要があ
れば，当初の価格あはその超過需要の大きさだけ引き上げられ，
過供給があれば Piはそのまま据え置かれることを意味する C
また超
。j(p)=max {Zj (p)， O} (I二1，2，・"， n) 
である O
Pnー1から Pnー1への連続関数 P→(/)(p) = (/)1 (ρ)， o2 (p)，…， on (p) は
ブラウワーの不動点定理により ，t=O(t)，これから
(2.11) (i=l， 2，…， n) tjLl f}j(t)=f}j(t) 
をかけて合計して広義のワ
ルラス法則を考慮すれば， ()i (p) 2 =θi (P)Zi (p)故
0;三2ムZj(T)Llf}j(t)= Ll f}j(t)2 
(2.11)の第 i番目の方程式にふ(t)が従う。
(2.12) 
これより，すべての iにつとなり，" n) ゆえに， () j (t) = 0 (i = 1， 2， 
いて Zi(T)豆0となる。
停t3. 
定理2の例をパイントラウプ [9]にしたがって m 人，n財からなる
純粋交換経済で考えよう o xiを第 r個人の第 i財の需要量とし第 rf同
人の効用関数を
(3.1) ur=21α;logx;，jE〆=1，0<α;・<1
とする。 MTを第 T 個人の所得とし， (3.1)を予算制約式
宇沢の同{w{定理について
zρjxi=Mr 
の下で‘最大化すれば，第 r個人の第 i財についての需要関数
"，r"/TY 
xi=ニヂ~(i=l， 2， "'， n) 
日.
を得る。 (3.3)を f について合計すると第 i財についての需要関数
"‘ 1'"71. ，/1 r 
Xj = 2J xi = 2J号L (i=l， 2， ・・，n)
69 
(3.2) 
(3.3) 
(3.4) 
を得る。ここで，M= 2JMr とし すべての個人が同ーの噌好をもっ，
すなわち，ai=ai(r=l， 2，…， m) と仮定すれば， (3.4)は
a，M 
Xi =----P;- (i=1，2，…， n) (3.5) 
となる。いま，第j財の当初保有量をめとし，総所得 M が当初保有量
の価値の総和に等しいと仮定すれば
M= 2JtjXj (3.6) 
である。すると ，M もまた Pの関数となるから，第t財の需要関数は
X;(ρ)=与L会ρjXj (i=l， 2，…， n) 
Pi ・1
となる。
第 i財の超過需要関数 Zj(p) 土
z;(ρ)=Xj(ρ)-Xi 
. . 
=与!.-2JρjXjー ム
Pi ;-1 
=女[ゑ(1一生)Pj X j] (i = 1， 2， ".， n) 
ただし，i=jならば Oij=lであり， iチjならば Oij=Oである O
(3.7) 
(3.8) 
各 iに対LZj(p)は Pに関して明らかに連続であり，どんな t>Oに
対しても Zj(tp) =Zi (p)であり について合計すれば，狭義のワルラス
法則が成立することがわかるO したがって， (3.8)で、表わされる超過需要
ベクトル Z(P)= (Zt(p)， Z2(ρ)， "'， Zn (p)) は定理 2の条件(1)，(2)， (3)を
を満すから，すくなくともひとつの均衡価格ベクトル Pが存在する。実
第 3号(経済学・経営学編)第4巻70 
とLてみると， (3.8Iは
z ω=ゆ1(14αjJ
=ム(ゑajー1)
????，?• 際，pj=aj'x; (j=1， 2， 
となるC
宇沢の同値定理4. 
ワノレラスの存在定理ーからブラウワーの不動点定理宇沢 [8Jは，逆に，
ワルラス体系の均衡解存在定理とブこれにより，が導れることを示した。
ラウワーの不動点定理が同値であることが明らかになったわけで-ある C
ブラウワーの不動点定理を基本単体を対象としたかたちに書きここで，
ffl[しておく o
<p(π) を基本単体 II"-l={(π1 九・ー ， π1/):πミ0，呂町=1}
から IIn-lへの連続関数とすれば，不動点完=ψ(完)が存在する。
定理1' 
宇沢の同値定理は次のように書かれるつ
ワルラスの存在定理とブラウワーの不動点定定理 3(宇沢の同値定理)
理は同値である O
ブラウワーの不動点定理がワルラスの存在定理を導くことは定理
2で証明されたから，逆を証明するだけでよし、コ
タ(π)を IIn-lから IIn-lへの任意の連続関数とする。次のような超過
証明
(4.1) 
需要関数引が=(Zl(P)， Z2(P)，…， Z" (pりをつくる C
川=刊誌アトムμω 日 2，.， n) 
(4.2) 
(4.3) 
η(t) =三コρa
£ρi桁 1-2ー
• T • ¥明(ρ)/μ(ρ)=己ーγ二一，~~!
:ETi2 
ただし
字沢の同値定理について 71 
である。約(P/写(p)) および Piμ(ρ) はともに O次同次である。 (4.1)で
定義した超過需要関数は，明らかに定理2の条件(1)， (2)， (3)を満す。ゆえ
に，均衡価格が存在する。 (4.1)より
ト乙:)三三Td-'(T)(i = 1， 2，…， 1) 
¥η(t)/ 
ただLPj=Oでなければ等号が成立するO ここで
!;;- p 一一η(t)
戸=η(t)μ(t)
とおけば， (4.4)は次のように書きかえられる。
(4.4) 
(4.5) 
(4.6) 
ψj (売)主三戸売g・(i=l， 2， …， n) (4.7) 
ただし完=0でなければ等号が成立する。 (4.7)を iについて合計して，
表，<p (売)EIIn-lを考慮すれば，
約(売)=戸売(i=1，2， ・・，n) 
を得るO 同様にして， (4.8)から
クi(売)=完(i=1，2，…， n) 
を得る。すなわち，元は写像ク(売)の不動点である(証了)。
5. 一般化
(4.8) 
(4.9) 
ワルラスの存在定理は， ゲール=二階堂の定理として次のように一般化
される。 Pn-1 を価格単体，Xを Rnの空でないコンパクトな凸集合と
する。さらに，超過需要関数以p)は Pnー1 の各点に X の部分集合を対
応さぜる写像であるとし 次の条件を満たすものとするo z(p)が非空，
コンパクトかつ凸な像をもち，その写像が上半連続で，しかも広義のワル
ラス法則が成立するO このとき 適当な tEP"-l に対Lて ZE量(t) を
2)このあたりの宇沢 [8]p. 61の論旨は明快でないので，二階堂 [4]p. 269に
したがった。
3)たとえば，二階堂 [4]pp. 265-267参照。
7'2 ~J~ 4巻第 3'i;-(経済学・経常学称D
とれば z壬0となるような(瓦乏)が存在する。
ブラウワーの不動点定理は，角谷の不動点定理として次のように一般化
される。 X が Rn内のコンノζグトな凸集合，f:X→2X が X の点 zに
X の凸部分集合を対応さぜる点対集合写像で，上半連続とすれlZ，不動
点 XEf(叫が存在する。
ゲール=二階堂の定理は角谷の不動点を用いて証明されるC 逆に，鈴村
[6]により，角谷の不動点定理からゲーノL=二階堂の定理が導れる G こ
れが一般化された宇沢の同値定理である O
(1981.6.26) 
参芳文献
[1 J Arrow， K.l and Debreu， G" "Existence of Equilibrium in a Competitive 
Equilibrium，" Econometrica， VoL 22， 1954. 
[2J 二階堂副j包『現代経済学の数学的方法一岩波書日， 1961 
[ 3 J Nikaido， H.， "A Technical Note on the Existence Proof for CompelIlive 
Equilibrium，" ~季刊理論経済学j，第13巻第 1 号， 1962. 
[ 4 J Nikaido， H.， Convex Structures and Economic Theory， New York: Aca-
demic Press， 1968. 
[9J 坂口実「ゲームの理論森北出版， 1969 
[ 6 J Suzumura， K.， 'てProfessorUzawa's Equivalence Theorem: l¥. Note，" r季刊
理論経済学}，第24巻第2~.，;-， 197~L 
[7 J Uzawa， H.， "Walras' Tatonnement in the Theory of Exchange，円 Review
。>/Economic Studies， VoL 27， 1960. 
[8 J Uzawa， H.， "Walras' Existence Theorem and Brouwer's Fixed Point The-
orem，'勺季刊理論経済学J，第13巻第1号。
[9 J Weintraub， E. R.， General Equilibrium Theory， Macmillan， 1974. 
[10J 安井琢磨・熊谷尚夫・福岡正夫『近代経済学の理論構造』第三版，筑序書房，
1977. 


宇沢の同値定理について

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