We are concerned with an epidemic in a closed population under the assumption that the per capita number of contacts remains constant, when population size diminishes due to the fatal consequences of the disease. We focus on the final size as a function of the basic reproduction ratio $R_0$ (which now is independent of population size!) and the survival probability $f$. Mathematically the model is described by a nonlinear Volterra integral equation of convolution type, just as the general Kermack-McKendrick model

Diekmann, Odo

Koeijer, A.A.

Metz, J.A.J.

Sylvie Lacombe

Crossref

Recherches sociographiques

Janet Ajzenstat (dir.), et al., Débats sur la fondation du Canada, Sainte-Foy, Les Presses de l’Université Laval, 2004, 555 p. (Traduit par J. Des Chènes, édition française préparée par Stéphane Kelly et Guy Laforest.)

NARCIS 

On the final size of epidemics within herds

Lacombe, Sylvie

Érudit

Érudit est un consortium interuniversitaire sans but lucratif composé de l'Université de Montréal, l'Université Laval et l'Université du Québec àMontréal. Il a pour mission la promotion et la valorisation de la recherche. Érudit offre des services d'édition numérique de documentsscientifiques depuis 1998.Pour communiquer avec les responsables d'Érudit : info@erudit.org Compte rendu Ouvrage recensé : Janet AJZENSTAT (dir.),et al., Débats sur la fondation du Canada, Sainte-Foy, Les Presses del’Université Laval, 2004, 555 p. (Traduit par J. DES CHÈNES, édition française préparée par StéphaneKELLY et Guy LAFOREST.) par Sylvie LacombeRecherches sociographiques, vol. 47, n° 2, 2006, p. 402-405.   Pour citer ce compte rendu, utiliser l'adresse suivante : URI: http://id.erudit.org/iderudit/014221arDOI: 10.7202/014221arNote : les règles d'écriture des références bibliographiques peuvent varier selon les différents domaines du savoir.Ce document est protégé par la loi sur le droit d'auteur. L'utilisation des services d'Érudit (y compris la reproduction) est assujettie à sa politiqued'utilisation que vous pouvez consulter à l'URI https://apropos.erudit.org/fr/usagers/politique-dutilisation/Document téléchargé le 9 février 2017 02:15402 R E C H E R C H E S  S O C I O G R A P H I Q U E S   national canadien et le projet national québécois. Fédéraliste de conviction ou de raison, Laforest n’en demeure pas moins l’un des rares intellectuels du Québec qui ait pris le fédéralisme au sérieux et y ait vu un programme de pensée et d’action encore crédible. Avec beaucoup de pudeur, Laforest lève le voile sur son expérience de militant et de président de l’Action démocratique du Québec. Il s’explique notam-ment sur les raisons de la chute de l’ADQ dans les intentions de vote aux élections d’avril 2003, après que les sondages eurent prédit une percée spectaculaire, voire une prise de pouvoir qui opérerait un réalignement des forces partisanes au Québec. En fait, au dire de Laforest, le parti semble avoir été victime de son succès trop rapide : erreurs de positionnement dans la campagne, syncrétisme idéologique, volatilité de l’électorat nationaliste. Le militant reconnaît sa part de responsabilité dans ces ratés, sans ajouter à son mea culpa. C’est d’ailleurs au nom de l’humanisme qui semble avoir guidé son entrée en politique que l’auteur a commencé dans ses pages une réflexion critique de l’éducation au Québec, tombée sous l’emprise d’une pédagogie anti-humaniste et d’un conformisme technocratique dans les universités. Il est dommage que Laforest n’ait pas mis autant de soin à développer cette critique qu’il en a mis à méditer l’impasse constitutionnelle. L’éducation est aussi une question constitutionnelle, dans le sens premier du terme, en ce qu’elle touche à la reproduction de la société. Ce seul déséquilibre dans la réflexion, qui n’est certes pas propre à l’auteur, atteste hélas combien il est lourd d’être un intellectuel engagé au Québec. La question nationale  réclame sans relâche de ses clercs son tribut : tout le temps et l’énergie qu’ils vouent à ce dilemme lancinant, ils ne peuvent l’investir ailleurs. Marc CHEVRIER Département de science politique, Université du Québec à Montréal.         Janet AJZENSTAT (dir.), et al., Débats sur la fondation du Canada, Sainte-Foy, Les Presses de l’Université Laval, 2004, 555 p. (Traduit par J. DES CHÈNES, édition française préparée par Stéphane KELLY et Guy LAFOREST.) Il est pour le moins étonnant que ces débats opposant promoteurs et détracteurs de la Confédération entre 1864 et 1873 dans les différents parlements coloniaux, depuis Terre-Neuve jusqu’à la Colombie-Britannique en passant par l’Assemblée constituante de Rivière-Rouge avant l’annexion forcée du Manitoba, n’aient pas été publiés – sauf à coups d’extraits où prédominaient les discours des représentants du Canada-Uni – avant 1999, date de l’édition originale anglaise dont on accueille aujourd’hui la traduction. Sans doute fallait-il attendre que la culture politique d’ascendance britannique présidant à ces délibérations soit en fâcheuse posture, et même en passe d’être entièrement recouverte par une autre, pour qu’on  C O M P T E S  R E N D U S  403  puisse s’intéresser sérieusement à ce moment fondateur ? Quoi qu’il en soit, l’initiative d’Ajzenstat et de ses collègues, auxquels Kelly et Laforest emboîtent le pas dans la version française, doit être saluée à plus d’un titre.  L’ouvrage met d’abord en exergue la pensée politique des « Pères de la Confédération ». Contre l’interprétation classique voulant que celle-ci flottait au ras des pâquerettes, que les Pères étaient essentiellement des pragmatiques, c’est-à-dire des négociateurs jaloux défendant âprement les seuls intérêts de leur province, la lecture des débats révèle plutôt une analyse minutieuse de plusieurs principes politiques et des institutions parlementaires. Tous expriment en effet de solides convictions à propos de la responsabilité ministérielle, de la pertinence des partis politiques, des vertus et défauts de l’union législative ou de l’union fédérale, etc. Le regroupement de leurs propos sous cinq grands thèmes – liberté, prospérité, iden-tité, fédéralisme et droits des provinces, élaboration d’une constitution –, à défaut de rendre directement accessible au lecteur non averti leur richesse intellectuelle, ne gomme pas la diversité des vues exprimées : les questions soulevées par exemple par la notion de liberté sur la côte est ou dans la province du Canada-Uni, où l’on pratiquait déjà le gouvernement responsable, ne sont pas les mêmes qu’en Colombie-Britannique ou à Rivière-Rouge, où les institutions représentatives étaient moins élaborées. L’éventail des positions ne se laisse pas non plus ramener au clivage entre conservateurs et libéraux, mais demeure, sans grande surprise, impré-gné de parlementarisme britannique. Comme on possède déjà une excellente étude de la signification de la Confédération au Canada français9, la présente publication intéresse surtout par ce qu’elle nous apprend sur la teneur des débats ailleurs.  Le second intérêt du livre tient en effet au décentrement du regard qui lui fait embrasser l’ensemble des débats et pas seulement ceux ayant animé les deux provinces du Canada-Uni – même si on sait que celles-ci ont pesé de tout leur poids démographique dans l’élaboration du projet, et par la suite à travers la représen-tation proportionnelle à la population. Sur ce point, comme sur plusieurs autres, les provinces coloniales ne se leurrent d’ailleurs pas, loin de là. Mais on découvre avec surprise que les hésitations des Maritimes et de la Colombie-Britannique concer-naient moins l’union elle-même que ses modalités ; que les représentants de ces provinces étaient jaloux de leur autonomie coloniale, et qu’ils craignaient la dilution du sentiment d’appartenance politique rattaché à leurs assemblées législatives déjà anciennes. En somme, qu’ils n’étaient pas convaincus que la forme fédérale de l’union serait une garantie suffisante pour protéger l’individualité politique de leurs colonies. Enfin, plus concrètement, ils craignaient que les nominations liées aux institutions fédérales ne soient sous contrôle exclusif des Canadiens. Que le nom de la nouvelle entité dont on négociait la création reconduise celui des colonies réunies par l’Acte de 1840 ajoutait évidemment à leur méfiance.  De même, l’anti-américanisme soi-disant derrière le projet de Confédération doit être relativisé et ne plus être présenté comme son seul, ou son plus déterminant,   9. A. I. SILVER, The French-Canadian Idea of Confederation, 1864-1900, Toronto, University of Toronto Press, 1982. 404 R E C H E R C H E S  S O C I O G R A P H I Q U E S   incitatif. En Nouvelle-Écosse et en Colombie-Britannique, l’intérêt économique faisait en effet envisager l’annexion américaine. Si bien que ce qui frappe, c’est de voir combien les colonies côtières, à l’est comme à l’ouest, ne se sentaient pas, ou si peu, liées à celles du Canada-Uni. L’idée traverse l’esprit que les récriminations contre le « Canada central » sont finalement plus anciennes que le pays lui-même ! Si en définitive la Confédération voit néanmoins le jour, on doit en chercher la raison ailleurs que dans les intérêts bassement matériels des colonies. Plutôt que par le ventre, c’est par en haut, si l’on peut dire, que leur communauté s’est imposée : par l’attachement à la Couronne britannique et à son empire. L’ambition impériale qui allait embraser les consciences quelque trente ans plus tard était déjà là, bien que sous forme embryonnaire, dans l’option sentimentale en faveur de la Confédération.  Enfin, quand il s’agit de cautionner la Confédération, il est étonnant de ne trouver personne pour condamner les mécanismes de la représentation parlemen-taire. Tous semblent plutôt réfléchir à partir d’elle. Ceux qui demandent le vote du « peuple » le font pour une raison plus technique que politique : comme le parle-ment existant sera automatiquement dissout par l’acte même qui crée la nouvelle entité, le peuple doit s’exprimer directement, par voie référendaire. Les autres s’opposent à cette modalité craignant qu’elle fasse fi des voix minoritaires. Pour ceux-là, seul le débat parlementaire permet d’intégrer toutes les opinions politiques, majoritaires et minoritaires. L’opposition entre partisans et détracteurs de la confédération ne recoupe donc pas celle entre tenants de la représentation parlementaire et adeptes du plébiscite, comme le voudrait le sens commun québécois. Mais le livre n’est pas exempt de travers. Ainsi, la partie thématique sur l’identité porte à confusion : un chapitre interroge Britanniques ou Canadiens ?, mais les Macdonald, D’Arcy McGee et Campbell (seuls Canadiens, au sens étroitement provincial du terme) cités là chantent à l’unisson la beauté de l’empire britannique, tandis qu’ailleurs, on craint que l’adhésion au projet fasse troquer l’allégeance à l’empire contre une dépendance économique et politique vis-à-vis du Canada-Uni. Autrement dit, personne ne songe à renoncer à son appartenance britannique et le terme « canadien » renvoie aux habitants du Canada-Uni, non à l’entité qui résul-tera de la Confédération. L’intitulé des chapitres projette donc des catégories contemporaines qui embrouillent, plus qu’elles n’éclairent, notre compréhension de ces échanges vieux de plus d’un siècle. Deux annexes retiennent l’attention. L’appendice Une histoire de livres retrace les interprétations globales de la Confédération en les intégrant à une périodisation en quatre temps. Jusqu’à la Première Guerre mondiale, le grand récit est largement tributaire de la place du Canada dans l’empire britannique et accentue en consé-quence les libertés constitutionnelles de la tradition anglaise. Le nationalisme canadien, d’abord balbutiant mais bientôt triomphant, détrône cette vision au deuxième temps en insistant successivement sur les limites imposées par le pouvoir impérial à l’autonomie coloniale, sur les visées économiques et nationalistes des Pères fondateurs, et finalement sur la prééminence du pouvoir central sur les  C O M P T E S  R E N D U S  405  législatures provinciales. Puis vient le silence qui suit la célébration du centenaire de la Confédération, période malheureuse où l’histoire constitutionnelle et politique fut abandonnée au profit de l’histoire sociale. Dans ce contexte d’éclipse de la tradition politique s’est effectué le rapatriement de la constitution, suivi des pourparlers entourant l’Accord de Charlottetown ironiquement destinés à renouer, symboliquement du moins, avec les débats fondateurs de la Confédération. Leur échec retentissant marque le début du dernier temps : ayant mis en évidence l’ampleur de la déficience traditionnelle, il a généré une série de travaux qui renouvèlent notre compréhension de la Confédération et l’interprétation des idées politiques de l’époque. L’ouvrage d’Ajzenstat et al. participe de ce renouveau intellectuel dont on peut attendre d’autres études. La traduction comporte une annexe supplémentaire, rédigée par Kelly et Laforest, dont l’ambition est d’offrir le pendant français de ce bilan historiographi-que, avec son découpage propre. Ici, deux veines mutuellement exclusives sont repérées dès l’origine. L’une prédomine jusqu’au milieu des années 1930, c’est la thèse du provincialisme, ou si on préfère, celle du pacte entre provinces signataires. Selon cette interprétation, l’autorité impériale ne fait que sanctionner le schème élaboré par les représentants des colonies signataires de l’entente, et l’autorité de l’État fédéral repose tout entière sur ce dernier. La seconde interprétation s’impose progressivement au cours des cinquante années suivantes. Le centralisme fédéral supplante alors la théorie du pacte, non sans quelques affrontements épiques avec elle. La thèse provincialiste connaît ensuite une éclipse totale, car l’historiographie se détourne dès les années 1950 de la Confédération, laissant toute la place à l’interprétation centralisatrice. La période « révisionniste » engendre ses propres critiques que Kelly et Laforest répartissent en trois écoles, auxquelles ils identifient leurs propres travaux. Chacune à sa manière, ces écoles tentent de renouer avec la tradition politique québécoise. Le balancier connaît donc en parallèle le même mouvement que dans l’historiographie canadienne (anglophone) en vertu duquel un retour aux sources est amorcé et avec lui, un cortège de nouvelles interprétations. À l’heure où le cynisme citoyen à l’égard des politiciens atteint des maxima et où la légitimité des institutions représentatives plonge au contraire dans des profondeurs abyssales, ces Débats sur la fondation du Canada offrent un stimulant contraste. Mais il y a plus. Mûrs pour une salutaire et vigoureuse réforme de leurs institutions politiques, les Canadiens (Québécois compris) feraient bien de se pencher d’abord sur l’esprit de leur loi fondamentale au temps de sa fondation, ne serait-ce que pour mesurer tout ce qui les en sépare aujourd’hui. Sylvie LACOMBE Département de sociologie, Université Laval.         

Janet Ajzenstat (dir.),et al., Débats sur la fondation du Canada, Sainte-Foy, Les Presses de l’Université Laval, 2004, 555 p. (Traduit par J. Des Chènes, édition française préparée par Stéphane Kelly et Guy Laforest.)

We are concerned with an epidemic in a closed population under the assumption that the per capita number of contacts remains constant, when population size diminishes due to the fatal consequences of the disease. We focus on the final size as a function of the basic reproduction ratio R_o (which now is independent of population size!) and the survival probability f. Mathematically, the model is described by a nonlinear Volterra integral equation of convolution type, just as the general Kermack-McKendrick model

Diekmann, O.

Koeijer, A.A. de

International Institute for Applied Systems Analysis (IIASA)

CANADIAN APPLIED MATHEMATICS QUARTERLY Volume 4, Number 1, Winter 1996 O N  THE FINAL SIZE O F  EPIDEMICS WITHIN HERDS 0. DIEKMANN, A.A. DE KOEIJER AND J.A.J. METZ ABSTRACT. We are concerned with an epidemic in a closed population under the assumption that the per capita number of contacts remains constant, when population size diminishes due t o  the fatal consequences of the disease. We focus on the final size as a function of the basic reproduction ratio &J (which now is independent of population size!) and the survival probability f .  Mathematically, the model is described by a nonlinear Volterra integral equation of convolution type, just as the general Kermack-McKendrick model. 1. Introduction. As a rule, infectious agents either spread via a contamination of the environment or during a "direct" contact of two individuals. In any case, one has to model the contact process first and superimpose transmission of the agent afterwards. In this paper we scrutinize one of the assumptions underlying classical deterministic theory and then introduce a variant which seems particularly appro- priate for animals living in "herds," such that the density within the "herd" remains constant when population size decreases, for instance due to fatal consequences of the disease. (Here "herd" includes prides of lions, packs of wolves, family groups of foxes, breeding colonies of birds, as well as real herds of ungulates. And farm animals are included too.) We concentrate on the basic reproduction ratio & and on the final size of an epidemic within a completely susceptible closed popu- lation. The present work can be viewed as a generalization of a result of Lefevre and Picard [9] (see also [12and 71). 2. Model formulation and analysis. We assume that individuals have on average c contacts per unit of time and that, given a contact between a susceptible and an infective that was infected T units of time ago, transmission occurs with probability a(r ) .  By A(T) we denote Received by the editors in revised form on September 21, 1995. AMS Sub 'ect Classification. 92D30. Key words and phmses. Basic reproduction ratio, final size, Phocid distem- per virus, seals, contact process, Volterra convolution integral equation, renewal equation. Copyright 01996 Rocky Mountain Mathematics Consortium 22 0. DIEKMANN, A.A. DE KOEIJER AND J.A.J. METZ the product a(T)B(T), where B(T) is the probability to be still alive at disease age T. Let S(t) denote the number of susceptibles at  time t and N(t) the total number of individuals (note that our variables are numbers, not densities!). Of all contacts that an infected makes, a fraction SIN will be with susceptibles. The assumptions formulated above lead to the consistency relation To allow interpreting (2.1) as an equation for S, we still have to add an assumption that determines c. If, when population size changes, the density changes accordingly, the principle of mass action suggests to take c = PN(t). We then arrive at the celebrated. [6] model and find for the basic reproduction ratio, i.e., the expected number of secondary cases produced by a typical infected individual during its entire infectious period, while the fraction s(w) = S(w)/No that escapes from ever getting the disease is found as the solution of (see [lo, 111 for a derivation and discussion in the spirit of this paper). Here, however, we shall assume that the density stays constant when numbers change. Our original motivation to consider such a situation came from a study of the spread of Phocid distemper virus among seals (see [8], in preparation, and the references given there for further information; also see [5] and [2]). Observations suggest that the distance between individuals that rest and sun bathe on sand banks are independent of the colony size. We can imagine that this applies more generally for animals living in groups, while space is not a limiting factor. If c is constant we find straightaway that the basic reproduction ratio is given by 

Diekmann, O. (Odo)

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Janet Ajzenstat (dir.),et al., Débats sur la fondation du Canada, Sainte-Foy, Les Presses de l’Université Laval, 2004, 555 p. (Traduit par J. Des Chènes, édition française préparée par Stéphane Kelly et Guy Laforest.)

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